数学分析原理和方法在数学中的运用
数学分析思维对数学教学的解题思路拓展，抽象概念的具体化都具有积极意义，以下是小编整理推荐的一篇探究数学分析原理的论文范文，欢迎阅读查看。
数学分析是高等教学中的基础技能之一，对数学教学具有促进作用。针对数学的抽象性和严谨性特征，数学分析能够使概念清晰化，数学分析中包含了数学知识内容，主要采用极限的方式建立数学概念之间的内在联系，从而为数学学习提供丰富的方法，拓宽学生是视野，为数学教学提供理论基础。
一、数学分析的重要作用
数学分析以及丰富的内容为数学教学提供了理论基础，其在数学教学中的作用经得起验证。并且是对数学能力、数学意识的客观反映。在教学中，其作用重点体现为以下几点：
(一)数学分析有助于培养学生的辩证唯物主义思想
数学分析以极限思想为核心内容，极限的定义利用“ε”语言实现了有限与无限两个概念紧密相连，将事物由量变向质变转变的过程转化为数学语言。通过这一分析过程，学生自然的掌握了唯物主义理论，对其数学知识学习具有积极意义。
(二)数学分析有助于培养学生的数学应用意识
数学分析来源于实践，在数学教材中，许多例子应用于数学分析理论。通过数学分析理论，学生具有较强的应用意识，丰富了其解题技巧，从而培养其自主学习和探究精神，与素质教育的精神相吻合。
(三)培养抽象意识、建立审美意识
数学分析的主导思想导数和定积分具有高度抽象特点。利用数学分析思想，使学生形成正确的审美观念，培养其抽象意识。
通过概念、命题的形成过程而培养学生从本质看问题的习惯。而对于复杂事物或概念，数学分析可帮助学生学会由表及里，分清主次的特点，为学生数学问题的解决提供了多样化的、可行的方案。数学分析思想中的极限、微积分都具有抽象特点，有助于引导学生发现数学中的美感，对数学产生好的印象，从而提高其对数学学习的兴趣。
二、数学分析原理和方法在数学中的应用
(一)微分学原理、方法在数学中的应用
数学分析中的微分学原理对函数图形的解读具有积极意义。
函数图形多采取描点法进行图形绘制，这种方法在结果上存在一定的偏差。此时，利用数学分析的导数概念可正确判断函数的凹凸性、单调性等特点，可精确计算出函数极值点和拐点。最后，通过极限法求出渐近线，从而得出函数草图，再利用数学分析中的微积分思想就可以准确绘制函数图形。
(二)积分法原理和方法在中学数学中的应用
积分包括不定积分和定积分两部分。两种积分形式虽具有一定差别，但实际上存在必然的联系。二者之间可以实现转化，通常可将定积分转化为不定积分问题，从而降低解题难度。因此，积分法原理充分利用了数学分析的精髓，将积分与定积分问题联系在一起，提供了专业的数学解题理论。其中，定积分可用于求解面积、体积以及弧长
问题。大学阶段，数学概念作为成型的理论出现，但并未进行详细的推导。这样对于一些概念的应用来说，学生理解起来较为困难，无法应用自如。而通过数学分析理论，有关公式的计算完全可利用积分或微积分精确地进行计算，并提供分析过程，使学生准确理解数学概念。总之，在数学教学中，数学分析为多种数学知识的计算提供了理论依据，为其分析提供了方向。
(三)提高能力，掌握数学思想与方法
数学分析内容丰富、理论知识扎实，并且包含了大量的数学思维。其应用有助于学生了解数学的本质，领会数学的内涵。因此，要将数学分析应用于数学教学中，需要教学人员提高教学能力，正确解读数学分析教学指导思想。在数学分析思想中，数学中常用的数形结合法、待定系数法消元及配方等方法应用广泛。从而使数学分析从思想与方法上对数学具有切实的指导意义。因此，其在数学教学中的应用具有可行性，且能够促进数学解题思维的形成。当然，在数学分析应用过程中，数学教师的素质具有重要作用，在教学过程中，教师要善于总结与联系，将学生的旧知识体系与新知识教学联系在一起，使学生能够正确认识数学教学与数学分析之间的关系，提高其学习热情，从而促进数学教学的高效化和专业化。
总结
总之，数学分析思维对数学教学的解题思路拓展，抽象概念的具体化都具有积极意义。传统的数学概念教学中，教师采用单一的教学方式，学生很难理解，一些概念直接拿来应用，导致学生对数学的兴
趣较低。而采用数学分析方法之后，学生可利用唯物主义分析数学概念，并且为其提供了数学解题思想与方法。数学分析思想以极限、微积分为核心，集数学思想、解题方法和数学知识为一体，从而将复杂的问题简单化。但在具体的应用过程中，教学数学分析思想应用并不完善，如何将其合理的应用于数学教学是目前数学教学的主要任务之一。
参考文献：
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[3] 黄永辉, 盖功琪, 宋士波. 新课标下高师数学分析课程的教学改革[J]. 哈尔滨学院学报,2012(10)。
作为学院院级精品课程，我们以素质教育观为指导思想，对数学分析教学现状进行了调查与研究.调查地目标是教学内容、教学方法和手段.调查地方式有：.在全省范围内向师范院校毕业地中学数学分析教师发出问卷（以下简称卷Ⅰ），（回收份）；.向学院在职与退休地数学分析教师发出问卷（以下简称卷Ⅱ），（回收份）；.对在职和退休地数学分析教师是行访谈；.召开在校学生座谈会；.查阅部分学校地数学分析教学档案.现梳理出调查结果并作出分析.数学分析在数学教育专业中所处地地位 教学管理机构，院、系对数学分析课地重视程度. 数学分析地形成发展有着悠久地历史，它地内容丰富、诚厚，很多数学分支是由它派生地.也有很多数学分支要以它为思想、知识、方法地基础，同时它还直接或间接地应用于自然、人文、社会科学地诸多方面.无论是哪方面地现代人才，都必须掌握足够地数学分析知识.对此，我省有关教学管理机构，各学院地院、系两级认识深刻、清楚，在学院数学教育专业地课程体系中始终把数学分析课放在“基础、主干”地地位.个人收集整理勿做商业用途 第一，保证了课时.各校给数学分析地排课都是三，四学期课时以上.年全省各校为拓宽专业口径，压缩了专业课，甚至提出淡化专业课地口号，但各校均未减少数学分析地课时.个人收集整理勿做商业用途 第二，在恢复高考招生制度后，全省高师系统首次组织地统考，就是对数学分析地统考.年省教委又组织了部分院校为数学分析摸底考试而命题.个人收集整理勿做商业用途 第三，各校都重视数学分析课地课程建设.象咸阳师院、渭南师院、安康学院都把数学分析定为校级重点建设课程.个人收集整理勿做商业用途 学生心目中地数学分析 卷Ⅰ题地统计结果是：有地人在校学习期间对数学分析课最感兴趣；地人对数学分析学习投入地精力最大；地人认为毕业后仍留下深刻影响地课是数学分析课.但只有地人将该课列为对中学数学教学作用最大地课.个人收集整理勿做商业用途 教学内容现状及分析 教学文件 2.1.1教学大纲 年原教育部委托部分院校编过一部数学分析教学大纲，其内容扎实、结构严谨.它是此后近二十年各师专数学教育专业选择教材、编写讲义、命题考试地主要依据，其作用不可低估.但用现在地眼光看，不对其“革新”就不能适应发展地教育形势，在幅员辽阅地国土上，各地经济、文化发展不平衡，生源素质不一，办学特色不同，用一个大纲覆盖万平方米是不现实地.再之，年地大纲没用具体地教学要求.仅列教学目录，不便操作.这部大纲看不出师范特点，也没能考虑专科生地接受能力，盲目向本科看齐，这个大纲是不能进入世纪地.此后，原国家教委及现教育部都从未颁过统一地数学分析教学大纲，师专数学分析教学内容地遴选无“法”学可依由来已久.年调整教学计划后，各校都自行编写了数学分析教学大纲，以教学内容地遴选、组织起到了一定地规范作用.个人收集整理勿做商业用途 2.1.2原国家教委年地“教学方案” 年原国家教委颁发了《高等师范专科研教育二、三年制教学方案》.随后陕西省教委通知各师专自级执行这一方案.这是一次力度较大地改革.其中学科必修课改革力度最大，表现在课程门类地精减和课时地压缩上，这个方案没有配置相应地大纲，只有一个学科必修课地“课程设置说明”，各科地说明都很原则.对数学分析地“说明”列举有内容要点及课程设置目地.它指出：“设置课程地目地是使学生系统地掌握数学分析地基本理论、基础知识、能熟练地进行基本运算，具有较强地分析论证能力，能深入分析和处理中学数学教材，具备一定地解决实际问题地能力，办学习后继课程打下基础”.这是适应时代要求地.“方案”不配大纲，我们要作积极地理解，这本身就是改革，是在统一目地、统一要求地前提下，充分发挥各院校在
The Real and Complex Number Systems Written by Men-Gen Tsai email:b89902089@https://www.doczj.com/doc/b911601410.html,.tw 1. 2. 3. 4. 5. 6.Fix b>1. (a)If m,n,p,q are integers,n>0,q>0,and r=m/n=p/q,prove that (b m)1/n=(b p)1/q. Hence it makes sense to de?ne b r=(b m)1/n. (b)Prove that b r+s=b r b s if r and s are rational. (c)If x is real,de?ne B(x)to be the set of all numbers b t,where t is rational and t≤x.Prove that b r=sup B(r) where r is rational.Hence it makes sense to de?ne b x=sup B(x) for every real x. (d)Prove that b x+y=b x b y for all real x and y. 1
Proof:For(a):mq=np since m/n=p/q.Thus b mq=b np. By Theorem1.21we know that(b mq)1/(mn)=(b np)1/(mn),that is, (b m)1/n=(b p)1/q,that is,b r is well-de?ned. For(b):Let r=m/n and s=p/q where m,n,p,q are integers,and n>0,q>0.Hence(b r+s)nq=(b m/n+p/q)nq=(b(mq+np)/(nq))nq= b mq+np=b mq b np=(b m/n)nq(b p/q)nq=(b m/n b p/q)nq.By Theorem1.21 we know that((b r+s)nq)1/(nq)=((b m/n b p/q)nq)1/(nq),that is b r+s= b m/n b p/q=b r b s. For(c):Note that b r∈B(r).For all b t∈B(r)where t is rational and t≤r.Hence,b r=b t b r?t≥b t1r?t since b>1and r?t≥0.Hence b r is an upper bound of B(r).Hence b r=sup B(r). For(d):b x b y=sup B(x)sup B(y)≥b t x b t y=b t x+t y for all rational t x≤x and t y≤y.Note that t x+t y≤x+y and t x+t y is rational. Therefore,sup B(x)sup B(y)is a upper bound of B(x+y),that is, b x b y≥sup B(x+y)=b(x+y). Conversely,we claim that b x b r=b x+r if x∈R1and r∈Q.The following is my proof. b x+r=sup B(x+r)=sup{b s:s≤x+r,s∈Q} =sup{b s?r b r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup{b s?r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup B(x) =b r b x. And we also claim that b x+y≥b x if y≥0.The following is my proof: 2
将数学应用到实际生活中去 ——试析数学建模的理论与实践随着现代科学技术的迅猛发展，人们在解决各种实际问题时须更加精确化和定量化，尤其是在计算机得到普及和广泛应用的今天，数学更加深入得渗透到各种科学技术领域。马克思说过：“只有充分应用了数学的科学才是完美的”。数学建模正是从定性和定量的角度去分析和解决实际问题，为人们解决问题提供了一种数学方法、一种思维形式，因此越来越受到人们的重视。一个企业该上什么项目？一个投资商如何投资风险最小、收益最大？在战争尚未消灭的今天，武器的发展方向是大而多还是少而精？人口众多已成为全球性的问题，如何制定一个国家的人口政策？……所有这些问题都需建立数学模型加以论证，为投资者提供理论依据。 一、关于数学建模的注解 （一）数学教育的弊端 我国的数学教育，一个较为突出的弊端是“忽视数学的应用”。虽然我们在课上总是听到老师谈到“数学的广泛应用性”，但我们还只是周旋于纯数学的概念和推理之中，只重理论，不求实用，只管解题，不讲思想，其结果就是课本上的数学知识掌握的滚瓜烂熟，考试门门优秀，可一遇到实际问题，就丈二和尚摸不着头脑，不知从何下手，这可能就是所谓的“高分低能”吧。究其原因是没能跳出应试教育的束缚，不少教育工作者认为“正因为数学具有广泛应用性，到处都有用，毕业以后总有用，学好理论自然有用，因此不必教应用。”“考试不考应用，当然不必教应用。”……从而使原本生动活泼的数学问题变成枯燥乏味的解题程式，使很多人讨厌、畏惧数学。 面对当前数学教育的弊端，不少有识之士提出应强调数学应用是数学教学改革的方向。怎样才能把数学知识应用于其他学科和日常生活中呢？数学建模就是数学知识与数学应用之间的一座桥梁。有些人把数学建模看得高深莫测，甚至有还人把“数学建模”误认为是“航模、造船”，其实我们早就已经接触过数学建模，大家一定都记得我们在小学阶段做过很多应用题，实际上那些就是简单的数学建模。数学建模的确切含义尚无定论，但专家们比较趋于一致的看法是：通过对实际问题的抽象、归纳、简化，确定变量与参数，并应用数学的理论和方法，建立起合理数学模型；然后运用数学和相关学科的理论、方法与计算机等技术手段，求解数学模型；同时对该模型进行验证、解释、讨论，并对该模型进行修正、改进和推广，使之规范化，并展示其实际应用的前景。简而言之，数学建模就是以现实为背景，以数学科学理论为依托，来解决实际问题的过程。事实上，任何数学概念、命题、定理、结构都是数学模型。17世纪伟大的科学家牛顿在研究变速运动的过程中发明了微积分，并以此为工具发现了万有引力定律，便是科学发展史上成功的数学建模范例。 （二）数学建模的一般方法和步骤 数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。它的主要步骤有：第一步，了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。
培养学生应用数学方法（实验报告） 我们初步构建出生活化数学教学的基本框架（见下图）： 围绕贴近生活教数学这一核心，根据生活经验解决数学问题，在解决数学问题的过程中，获得数学知识，运用获得的数学知识再去解决生活中的实际问题。在这一过程中应该创设一定的有意义的情境，并伴随着问题的提出与解决，最后结合丰富多彩的数学活动（包括校内外的一系列由数学知识点生发出来的活动），实现学习数学并会应用数学知识的过程，从而构建一个体现“人人学有用的数学”，教师可以选择多种评价方式，从基础知识和基本技能的掌握情况，数学思考与解决问题，情感与态度，发展性评价四个方面培养学生应用数学方法。 知识与技能 1、课堂评价。通过课堂提问，课堂作业、小组合作等对学生进行师生之间、生生之间的有效评价。低年级可采用符号或标志进行记录，中、高年级还可采用课堂记评的方法进行记录。 2、作业评价。作业可设计巩固知识与技能的作业，也可设计口头作业、实践作业、操作作业等多种形式。课堂作业一般由教师评改，中、高年级实践性、活动性作业可以学生评改为主。作业用等级评定，辅之于教师点评，评语要实事求是，既要有激励性，又要引起学生的反思。 3、阶段评价。口算和单元测试，主要用闭卷和开卷两种形式。开卷
考查的内容可以有：小组合作完成一个设计制作；小组合作完成一个开放性任务；设计一个情景，让学生提出不同的数学问题等。评价的方法可采用等级制。 4、期末总评。期末总评是将学生平时的学习表现，口算、单元测试，作业情况（形成性评价）再和期末检测进行综合。期末检测，分书面检测和实践检测，对表现突出的学生，可以设立免试制度。免除卷面考试，选做研究行学习课题，同时，允许申请二次考试，记录其最高分。并将成绩记入《小学生素质教育报告单》中。 数学思考与解决问题 可通过课堂观察、作业观察、检测情况进行评价。通过课堂观察，教师及时了解学生的学习情况，从而做出积极反馈。为了便于操作，可着重从以下三方面对学生进行评价：勤动脑、敢发言；善交流、爱合作；能自主、会创造。可采用不同的符号对学生进行及时评价，学生可通过“每月一评”发现自己的长处与不足，从而扬长避短。通过在课堂、作业、检测中学生“发现问题、提出问题、解决问题”的能力如何对学生进行合理的评价，评价主体应多元化，学生、家长、教师可一起参与，可每月一次。 “实践与综合应用”能力的评价，可通过学生对知识的综合应用及用学过的知识解决实际问题的能力等进行评价，也可每月一次。学期末可通过评语进行综合描述。 情感与态度 课堂上学生能否积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学学习中是否能积极获得成功的体验，刻苦学习、建立自信；学习中是否有质疑问难、独立思考的习惯和创新精神。教师对学生的观察要以课堂记评、课后记评的形式进行纪录；也可通过座谈、问卷等形式让家长参与。每月进行情况汇总，对有问题的学生及时进行指导。发展性评价 1、数学兴趣活动。通过参加数学兴趣活动，培养学生学习数学的兴趣；也为学有余力的学生提供一个展示自己的空间，并在此体验成功的愉悦。
数学分析 1．引言 数学分析是数学专业和部分工科专业的必修课程之一，基本内容是以实数理论为基础微积分，但是与微积分有很大的差别。微积分学是微分学和积分学的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问[1]。 数学分析的主要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。 2．发展历史 阿基米德：在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，芝诺的两分法悖论就隐含了几何级数的和。再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用穷揭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念。在古印度数学的早期，12世纪的数学家婆什加洛第二给出了导数的例子。 数学分析的创立始于17世纪以牛顿(Newton，I.)和莱布尼兹(Leibnize，G.W)为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)为代表的奠基性工作。从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析。其后，微积分学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称。时至今日，许多内容虽已从微积分学中分离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之。数学分析亦简称分析。 3．研究对象 牛顿：数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容。微分学研究变化率等函数的局部特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法。围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容。积分学则从总体上研究微小变化(尤其是非均匀变化)积累的总效果，其基本概念是原函数(反导数)和定积分，求积分的过程就是积分法。积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容。牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的名字命名的著名公式—牛顿莱布尼兹公式—反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分学结合而成一门新的学科—微积分学。又由于他们及一些后继学者(特别是欧拉(Euler))的贡献，使得本来仅为少数数学家所了解，只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分方法，成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法，打开了把它广泛应用于
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
数学分析中的英文单词和短语 第一章实数集与函数
第二章 数列极限 Chapter 2 Limits of Sequences 第三章 函数极限 Chapter 3 Limits of Functions 第四章 函数的连续性 Chapter 4 Continuity of Functions
第六章 微分中值定理 及其应用 Chapter 6 Mean Value Theorems of Differentials and their Applications
第七章 实数的完备性 Chapter 7 Completeness of Real Numbers 第八章 不定积分 Chapter 8 Indefinite Integrals 第九章 定积分 Chapter 9 Definite Integrals
第十章定积分的应用Chapter 10 Applications of Definite Integrals 第十一章反常积分Chapter 11 Improper Integrals 第十二章数项级数Chapter 12 Series of Number Terms 第十三章函数列与函数项级数 Chapter 13 Sequences of Functions and
Series of Functions 第十四章 幂级数 Chapter 14 Power Series 第十五章 傅里叶级数 Chapter 15 Fourier Series 第十六章 多元函数的极限与连续 Chapter 16 Limits and Continuity of Functions of Several Variavles
第一章复习题 一.填空 1、数集,...}2,1:)1({=-n n n 的上确界为 1 ，下确界为 -1 。 2、 =∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 3、)(lim 2 n n n n -+∞ → = _______ 1 2 ________。 4、设数列}{n a 递增且 a a n n =∞ →lim （有限）. 则有a = {}sup n a . 5. 设,2 12,21221 2n n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim 1 二． 选择题 １、设)(x f 为实数集R 上单调增函数，)(x g 为R 上单调减函数，则函数 ))((x g f 在R 上( B )。 Ａ、是单调递增函数; Ｂ、是单调递减函数; Ｃ、既非单调增函数，也非单调减函数 ; Ｄ、其单调性无法确定. 2、在数列极限的“δε-”极限定义中,ε与δ的关系是（ B ） A 、 先给定ε后唯一确定δ; B 、 先给定ε后确定δ,但δ的值不唯一; C 、 先给定δ后确定ε; D 、 δ与ε无关. 3、设数列{}(0,1,2,...)n n a a n ≠=收敛,则下列数列收敛的是（ D ） A 、}1 { 2n a ； B 、}1{a n ； C 、 }1{a n ； D 、}{n a . 4. 若数列}{n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列中的点（ B ） (A) 必不存在； (B) 至多只有有限多个； (C) 必定有无穷多个； (D) 可能有有限多个，也可能有无穷多个. 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ D ） (A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞ →lim ； (C) a x n n -=∞ →lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。 6. 设}{n x 是无界数列，则 （ D ） (A) ∞=∞ →n n x lim ； (B) +∞=∞ →n n x lim ；
课程设计报告课程设计题目：求解 的近似值 课程名称：数值分析课程设计 指导教师： X X X 小组成员： X X X X X X X X X 2013年12月31日
目录 目录 (1) 题目 (2) 一、摘要 (2) 二、设计目的 (2) 三、理论基础 (3) 1、复合矩形法求定积分的原理 (3) 2、复合梯形法求定积分的原理 (3) 3、复合辛普森法求定积分的原理 (4) 4、龙贝格求积公式原理 (5) 四、程序代码及运算结果 (5) 1、复合矩形法求定积分：用sum函数 (5) 2、复合梯形法求定积分 (6) 方法一 (6) 方法二：用trapz函数 (7) 3、复合辛普森法求定积分 (7) 方法一 (7) 方法二：用quad函数 (7) 4、龙贝格求定积分 (8) 5、Lobatto数值积分法 (9) 6、波尔文(Borwein)高阶公式 (9) 五、结果分析 (10) 六、设计心得 (10) 七、参考文献 (11)
题 目： （1）已知：411 02π=+? x dx ，所以 ?+=10214 dx x π 。于是，我们可以通过计算上述定积分的近似值来得到π的近似值。 （2）波尔文(Borwein )高阶公式 在π值的高阶算法研究中，最好的结果来自两个都叫波尔文的数学家。他们在1984年发表了一个2阶收敛公式： 20=a ，00=b ，220+=p ， ??? ?? ? ???++=++=+=++++++1 111 11 1)1()1(2) 1(k k k k k k k k k k k k k b a b p p b a b a b a a a 式中π→k p 。试运用上述迭代算法，计算圆周率的近似值，并和前面传统方法进行比较。 一、摘要 借助matlab 环境下的计算机编程语言，先用基本的积分函数对给出的题目进行求积分，然后基于给出的波尔文高阶收敛公式，在进行了连续迭代后，对运行结果做出分析，同时与之前的传统做法进行比较。 二、设计目的 用熟悉的计算机语言编程，上机完成用复合矩形法、复合梯形法、复合辛普森法、龙贝格法以及Lobatto 数值积分方法，掌握各种方法的理论依据及求解思路，了解数值积分各种方法的异同与优缺点。
外文翻译： 数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性 原文来源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin 译文正文： 在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量 值函数（即在R k 中取值的函数）和在任意度量空间中取值的函数.我们在这个更一般的基础 上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在（例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了. 我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明. 函数的极限 4.1定义 令Ｘ和Ｙ是度量空间，假设X E ?，ｆ将Ｅ映入Ｙ内．且ｐ是Ｅ的极限点．凡是我们写当p x →时q x f →)(，或 q x f p x =→)(lim （１） 的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个ε＞０，存在着δ＞０，使得 ε<)),((q x f d Y （２） 对于满足 δ<<),(0p x d X （３） 的一切点E x ∈成立． 记号Y X d d 和分别表示Ｘ和Ｙ中的距离． 如果Ｘ和（或）Ｙ换成实直线，复平面或某一欧式空间k R ，那么距离Y X d d 和自然该换成绝对值或相应的范数（见第２．１６段）． 应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求ｐ是Ｅ的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f p x →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为： 4.2 定理 令Ｘ，Ｙ，Ｅ，ｆ和ｐ是定义4.1说的那些，那么
大数据分析理论和技术（2） 胡经国 本文根据有关文献和资料编写而成，供读者参考。本文在篇章结构、内容和文字上对原文献作了一些修改和补充，并且添加了一些小标题，特此说明。 三、数据分析的灵魂 1、大数据与数据的区别 大数据与数据的区别在于其海量积累、高增长率和多样性。 什么是数据？数据（Data）在拉丁文里是“已知”的意思，在英文中的一个解释是“一组事实的集合，从中可以分析出结论”。笼统地说，凡是用某种载体记录下来的、能反映自然界和人类社会某种事物的信息，都可以称之为数据。古人“结绳记事”，“打了结的绳子”就是数据。步入现代社会，信息的种类和数量越来越丰富，载体也越来越多。数字是数据，文字是数据，图像、音频、视频等都是数据。 什么是大数据呢？数据量的海量积累和高增长率，是人们对大数据的第一个认识。随着科技的发展，各个领域的数据量都在迅猛增长和不断积累。据研究发现，近年来，数字数据的数量每3年多就会翻一番。 大数据区别于数据还在于数据的多样性。据研究，数据爆炸是三维的、立体的。所谓“三维”，除了指数据量快速增大以外，还指数据增长速度的加快，以及数据的多样性，即数据的来源、种类不断增加。 2、通过数据分析发现新知识创造新价值 从数据到大数据不仅仅是数量的积累，更主要的是质的飞跃。海量的、不同来源、不同形式、包含不同信息的数据，可以容易地被整合、分析；原本孤立的数据变得互相联通。这使得人们通过数据分析，能够发现小数据时代很难发现的新知识，从而创造新的价值。 通过数据来研究规律、发现规律，贯穿了人类社会发展的始终。人类科学发展史上的不少进步，都和数据采集分析直接相关。例如，现代医学流行病学的开端。1854年，伦敦发生了大规模的霍乱，很长时间没有办法控制。一位医师用标点地图的方法，研究了当地水井分布和霍乱患者分布之间的关系。发现有一口水井周围，霍乱患病率明显较高。据此，找到了霍乱暴发的原因：一口被污染的水井。在关闭这口水井之后，霍乱的发病率明显下降。这种方法，充分展示了数据的力量。 本质上说，许多科学活动都是数据挖掘。不是从预先设定好的理论或者原理出发，通过演绎来研究问题；而是从数据本身出发，通过归纳来总结规律。进入近现代以来，随着人类面临的问题变得越来越复杂，通过演绎的方式来研究问题常常变得很困难。这就使得数据归纳的方法变得越来越重要，数据的重
第一章 实数集与函数 习题 §1实数 1、 设a 为有理数，x 为无理数。证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。 3、 设a 、b ∈R 。证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。 4、 设x ≠0，证明|x+x 1|≥2，并说明其中等号何时成立。 5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗 7、 设x>0，b>0，a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b a 之间。 8、 设p 为正整数。证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。 9、 设a 、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|0（a ，b ，c 为常数，且a 数学与应用数学的学习方法 在学习时我们应该明确自己的学习目标，并且要掌握正确的学习方法，下面是整理的数学与应用数学的学习方法，希望大家喜欢。一、数学与应用数学在生活中的作用数学与应用数学的早期运用是在远 古时期，当时的人们为了记住发生的事情，就把绳子打成一个个的结，也就是早期的结绳计数。后来不管是打猎还是种地都离不开简单的计算，再到后来对土地丈量和分配时，代数以及几何就产生了，再到现代社会，数学计算与信息计算相结合，数学计算走向信息化、科学化、智能化。人们的生活离不开数学计算，比如人口增长率，经济增长率，再比如身边的股票涨幅程度，储蓄利率以及债券盈利等等，这些都是人们生活中不可回避的问题，数学计算不但成为解决人类生活问题的工具，也是一个时代科学进步的组成分子。当今的社会正在朝向信息时代大步迈进，数学与应用数学也在不断发展与进步，我们在生活当中离不开数学与应用数学，若想运用这门学科，就必须学好这门课程，学习和掌握这门课程的前提就是要明确学习目标，掌握良好的学习方法。二、明确数学与应用数学的学习目标明确学习目标是提升学习效果的前提，明确自己的学习目标后才能在学习中合理制定计划，明确数学与应用数学的学习目标也是进行数学学习的关键。数学与应用数学的学习目标要以新时期的发展方向为依据，要做到与时俱进，从原本的应试教育向大众化教育转变，为社会打造应用型人才，应用型人才的培养只要目标在于使相关专业学生在就业时能够符合社会的需求，使本专业学生不仅掌握理论的知识还要有一定的动手的能力，并 且具有创新思维能力，从而适应社会对本专业学生的工作需要。三、掌握良好的学习方法(一)掌握数学与应用数学的证明和计算方法在 数学这门学科的发展过程中，提出问题，解决问题成为找到真理的主要过程，概念，定律，都在否定中一次次的证明，一次次的推理。定律也成为证明的结果与目标。只有在经过相对严密的推理和论证才能得到众人的认可和承认，就像最简单的数学问题，“三角形两边之和大于第三边”这个简单的结论背后却是一遍遍的推理与证明，只有经过严密逻辑证明并且经过逻辑计算所得出的结论才能真实可信。换句话来说，任何的数学推理与研究都离不开证明与计算，如果没有一次次的证明，一次次的计算，一次次的否定，那么数学这门学科就不会发展到如今的境况。证明与计算在数学与应用中占据重要位置，只有掌握了证明与计算的方法，才能更好的进行数学与应用数学专业的学习。(二)学习数学与应用数学要注重实践能力的提高数学与应用数学这个专业虽然理论性较强，但是开设的目的还是要服务社会上的计算，如果只有理论知识而没有实践能力，那么就会违背开设此专业科目的初衷，学习这个专业更多的是要掌握知识提高能力。例如多参加商业经营类的模拟大赛，在比赛中掌握大数据的计算与分析。例如数学建模比赛，通过参加此类比赛可以增强学生们的创新能力和创新意识，建模的主要步骤是提出问题、假设、建立模型、求解、分析、检验、模型的实施等，在建模过程中，要求学生运用理论知识来解决问题，从而提高自己的实践能力。(三)学习数学与应用数学要发挥团队合作精神在学习数学与应用数学的过程中，难免会遇到问题与阻碍， 数学与应用数学专业课程设置及简介 来源：理学院时间：2005年8月2日14:27 点击：5603数学系数学与应用数学专业（S）四年制教学中共开设相关专业课程26门，其中专业基础课3门，包括：数学分析、高等代数、解析几何；专业课12门，包括：常微分方程、中学数学解题研究、中学数学教材分析、数学教育概论、计算方法、初等数论、离散数学、近世代数、实变函数论、复变函数论、概率论、数理统计；专业选修课11门，包括：专业英语、泛函分析、点集拓扑、数学实验、数学模型、数学分析选讲、高等代数选讲、线性规划、数学史、数学竞赛教程。 各门课程简介如下： 一、数学分析 内容简介：数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课程，是高等数学理论的基础，也是所有本科专业学生的必修课程，这门课程的学好与否，直接影响到后续课程如复变函数、实变函数以及拓扑学等课程的学习。该课程首先详细介绍了极限理论，用极限理论作为工具，讨论了函数，特别是连续函数的导数与徽分；不定积分与定积分；级数理论；多元函数微分学以及多元函数积分学等理论。通过这门课的学习，应该使学生掌握函数的微积分理论的基本理论和基本方法，能应用这些理论和方法解决分析中提出的理论和实际问题，为后续课程的学习打下良好的基础。该课程重点是极限理论和微积分理论，难点是实数连续性定理及级数理论。 先修课要求:中学数学 教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社 二、高等代数 内容简介：高等代数是数学教育专业的一门重要基础课。高等代数是高等师范院校数学专业一门重要基础课,是中学代数的继续和提高,通过这一课程的教学,可以使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象的严格的代数方法,以加深对中学数学的理解,并为进一步学习打下基础.本课程的主要内容是多项式理论，线性代数理论两部分。多项式理论主要讨论一元多项式和因式分解理论。线 系统分析原理与方法 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 系统分析的概念 系统是系统分析的最基础的概念。按照一般系统论的创立者贝塔朗菲（L· von Bertalanffy）的观点，系统是处于一定的相互关系并与环境发生关系的各个组成部分(要素)的总体(集)。我国着名科学家钱学森则主张把“极其复杂的研究对象称为系统，即相互作用和相互依赖的若干组成部分合成的具有特定功能的有机整体，而且这个系统本身又是它所从属的一个更大系统的组成部分。”因此，我们可以一般地将系统界定为是由若干处于相互联系并与环境发生相互作用的要素或部分所构成的整体。 世界上的一切事物都是作为系统而存在的，是若干要素按一定的结构和层次组成的，并且具有特定的功能。系统普遍存在于自然界和人类社会之中。它是要由素所构成的整体，离开要素就无所谓的系统，因而要素是系统存在的基础；系统的性质一般是由要素所决定的（有什么的要素，就具有什么样的系统及其功能），但系统又具有各要素所没有的新功能；各种要素在构成系统时，具有一定的结构与层次，没有结构层次的要素的胡乱堆积构不成系统；系统的性质取决于要素的结构，而在一个动态结构的系统中，结构的好坏直接是由要素之间的协调体现出来；系统与环境之间也存在密切的联系，每个系统都是在一定的环境中存在与发展的，它与环境发生物质、能量和信息的交换（这是开放系统的一个基本特点）。系统的各要素之间，要素与整体之间，整体与环境之间存在着一定的有机联系，从而在系统内外形成一定的结构与秩序，使得系统呈现出整体性、有机关联性、结构层次性、环境适应性（开放性）和有序性等特征，这些特征就是所谓的系统的同构性。 系统分析或系统方法，就其本质而言，是一种根据客观事物所具有的系统特征，从事物的整体出发，着眼于整体与部分，整体与结构及层次，结构与功能、系统与环境等的相互联系和相互作用，求得优化的整体目标的现代科学方法以及政策分析方法。拉兹洛认为，系统论为我们提供一种透视人与自然的眼光，“这是一种根据系统概念，根据系统的性质和关系，把现有的发现有机地组织起来的模型。”贝塔朗菲则将系统方法描述为:提出一定的目标，为寻找实现目标的方法和手段就要求系统专家或专家组在极复杂的相互关系网中按最大效益和最小费用的标准去考虑不同的解决方案并选出可能的最优方案。我国学者汪应洛在《系统工程导论》一书中则认为，系统分析是一种程序，它对系统的目的、功能、费用、效益等问题，运用科学的分析工具和方法，进行充分调查研究，在收集、分析处理所获得的信息基础上，提出各种备选方案，通过模型进行仿真实验和优化分析，并对各种方案进行综合研究，从而为系统设计、系统决策、系统实施提出可靠的依据。 系统分析的作用 系统分析主要作用是：鼓励人们对系统的不同部分进行同时的研究；使人们注意系统中的结构和层次的特点；开拓新的研究领域，增加新的知识；突出未知东西的探索，使人们从过去和现在的基础上了解未来；使人们转换视角，从不同的角度或侧面看问题；迫使人们在考虑目标和解决问题的要求时，也同时注意考虑协调、控制、分析水平和贯彻执行的问题；诱导新的发现，注意进行从目的到手段的全面调查等等。系统分析的内容 根据系统的本质及其基本特征，可以将系统分析的内容相对地划分为系统的整体分析、结构分析、层次分析、相关分析和环境分析等几个方面。 一、整体分析 二、整体性是系统的最基本的属性或特征之一。因而，整体分析也就构成系统分析的一个主要内容。根据系统论的原理，任何系统都是由众多的子系统所构成的，子 《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１） 存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２） 存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有 S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．数学与应用数学的学习方法
数学与应用数学专业课程设置及简介
系统分析原理与方法
华东师大数学分析习题解答1
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