基于软件平台高中数学实验设计
刘荣锋
（江西省赣州市会昌县会昌中学 342600）
摘要：关于数学实验作用已有大量研究，但在实验设计等微观层面的研究尚显不足，尤其是关于如何设计具有教学意义的数学实验的设计理论研究较少．我们认为，要设计合理、高效的数学实验，必须根据数学实验不同类型，采取不同的设计方法，才能使学生在数学实验过程中达到“学数学，做数学，用数学”的和谐进步．本文试从这一观点出发，基于软件平台，结合实验设计案例对数学实验设计做一实践探索．并从其中归纳出四种类型数学实验的设计结构图。
关键词：数学实验；计算机软件；实验类型、设计；教学案例
谈起实验，我们自然会与物理、化学、生物等学科产生联系．其实，数学的发展与学习也离不开实验．数学家欧拉曾说过：“数学这门科学需要观察，也需要实验”．著名数学家、数学教育家 G·波利亚也曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，它是创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”，指出“抽象的道理很重要，但要用一切办法使它们能看得见摸得着”．
基于软件平台数学实验，是指根据研究目标，借助现代教学技术，创设或改变某种数学情景，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律的过程。数学实验具有以下三个特点：
1、以问题为载体。通过对实际问题的解决培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
2、以计算机为辅助手段。利用计算机对数据进行处理和建模，更好地解决实际问题。
3、以学生为主体。在教师的精心准备和指导下，学生自主探索解决问题，在成功和失败中获取知识和培养能力。
正是因为这几个特点，使数学实验产生了其他授课形式难以替代的独特功能：
1、独特的同化功能。数学实验通过操作、实验，使学生进入主动探索状态，变被动的接受为主动的建构，由“听数学”向“做数学”转变。
2、优越的发展功能。讲授式教学设计得再好，也很难适合各种不同层次的学生的不同需求，而数学实
验是一种活动化教学，一种开放式教学，它能满足不同学生的需求，使不同学生的能力在各自的基础上都得到发展。
3、显著的激励功能。数学实验不仅能使学生主动建构，发展个性，而且能很好地激励学生的求知欲与好奇心
关于数学实验作用已有大量研究，但在实验设计等微观层面的研究尚显不足，尤其是关于如何设计具有教学意义的数学实验的设计理论研究较少．我们认为，要设计合理、高效的数学实验，必须根据数学实验不同类型，采取不同的设计方法，才能使学生在数学实验过程中达到“学数学，做数学，用数学”的和谐进步．本文试从这一观点出发，基于软件平台，结合实验设计案例对数学实验设计做一实践探索．
一中学数学实验设计的涵义、要求和基本原则
所谓数学实验设计是指运用课堂教学和实验教学的设计理论，侧重对实验系统的整体分析，从实验组成的各个要素之间的关系和相互作用中发现系统的规律性，从而指明解决复杂系统问题的一般步骤、程序与方法。它不是发现客观存在的教学规律，而是研究在一定的条件下，为了达到特定目标，选择和确定最好的教学策略去创造性地进行数学实验设计。
（一）数学实验设计要求
在讨论数学实验设计之前，我们想就数学实验设计要求做一说明．众所周知，不同类型的数学实验的设计过程应该是不同的．但是，我们认为，各种类型的数学实验教学都应有一些基本要求，这些要求包括：1. 数学实验设计应能清晰地表达所研究的数学问题，这种表达需符合数学的有关约定，有助于探究、发现
研究对象之间的相互关系．
2. 数学实验设计应能迅速地提供大量有关数学概念和原理的正例，以帮助学生形成概念和掌握原理．
3. 数学实验设计应根据实验课题内容，在实验的动态过程中，测量数据的变化能即时得到反应，即具有实
时反馈或同步互动的功能．
4. 数学实验过程中应可以随时添加某些可操控的数学对象，以帮助问题的探究．
（二）实验选题的基本原则
1、量力性：适合中学生的知识水平和年龄特点，在实验时不需要补充大量知识就可入手；
2、实用性：要有一定的实际背景(意义)，选择这种实际问题，可以使学生从实验过程中体会数学的价值，提高学生学数学的自觉性；
3、趣味性：学生动手操作，能充分调动学生学习的主动性，吸引学生思考，启迪学生思维，开阔学生眼界，提高学生学习数学的兴趣。
4、体现计算机的作用：实验课题的解决需要借助和通过计算机的计算和模拟功能，解决以前没有解决或难以解决的问题。
二中学数学实验教学设计
中学数学实验教学实践，由于实验的目的、应用的知识和采取的技术手段等不尽相同，因此各种分类的观点也大相径庭。一般地讲，数学实验的分类可以有以下四种分类标准．
第一类，按照数学知识素材来划分可以有代数、几何实验、解析几何实验、三角实验及概率统计实验等．例如用圆的内接正多边形面积和外切正多边形面积来逼近圆的面积过程可以作为几何实验．再如计算圆周率的实验可作为代数实验，圆锥曲线中的轨迹实验是解析几何实验。
第二类，依据数学实验的任务作为标准．可以有观察实验、计算实验、体验实验和应用实验四个子类．例如球面距离的概念和弧度的概念等测量是一种体验实验。
第三类，依据数学实验的使用的实验工具来区分，可以有计算机实验、折纸实验、算法实验和骰子实验等等．例如用纸折圆锥曲线，利用计算机软件的绘图、测量和动态演示等功能进行数学实验。
第四类，按照需要来划分，按照用做实验中所用数学原理的数学思想方法可以分为逻辑确定性与随机模拟型等．如幂函数图像的性质的研究实验就是一种随机模拟的实验。
对于一个数学实验设计，本身就是一项系统工程。它需要理论的指导和实践的检验。只有经过理论――
从数学实验结果的角度来看，它具备三个特征，一是实证性，即能提供确定的数学知识，结论明确，（理论上）可以验证；二是深刻性，能在实践的基础上进行抽象思维，进而揭示数学规律或问题解决的本质；三是创造性，在技术中介（几何画板）的参与下扩大主体的认识能力，进行“发现”或“再发现”。
由于对数学实验的合理分类有助于指导实验设计的理论与方法，因而本文从数学实验教学设计的角度出发，以实验任务为划分标准，将数学实验分为：验证式、模拟实验式、观察理解式、探索建构式四种具体设计类型。
（一）验证性数学实验设计
验证式的数学实验是让学生通过实验验证、检测由已学过的相关知识推导出的结论或做出的一般性猜测的正确性。这类实验作为一种特殊的认识方式，把演绎与归纳两种方法的特点结合于一身。
这种实验的过程比较短，可以随堂进行，既可以由老师进行演示，也可以由学生利用计算机自行操作验证．根据教学实践经验，设计验证性数学实验一般要经历如下四个基本过程：
1. 实验课题的选择．一般来说，数学中并不是每一个结论都需要验证，教师在选择课题的时候应该深入考虑，所选择的课题是否需要验证，验证结论以后，对学生的理解会有什么样的帮助，为学生应用这个结论会起到什么样的作用．
2. 实验的准备．由于验证性的实验大部分可以随堂进行，需要教师课前做好课件．如果需要学生操作，应该在课前进行有关的准备性的实验，让学生熟练掌握有关的操作过程．
3. 实验时机的选择．根据教学的需要，验证性的实验一般放到新知识猜测、发现出来以后，或新结论产生之后．
4. 验证结论之后的应用．结论的验证过程中，往往包含了一定的数学思想和方法，在验证完某一个结论以后，教师应该补充一些问题，这些问题应和验证中所用到的思想和方法有关，这样就能够使学生对结论的理解上升到一个新的高度．
<案例1> 二次函数为抛物线
在学过抛物线的定义和方程以后，教师可首先提问：以前我们学习的二次函数的图像称作抛物线，那么它满足我们新下的抛物线的定义吗?这个问题如果采用严格证明是非常复杂的，所以可提议通过数学实验进行观察验证体认．验证性实验设计如下：
1、先利用几何画板软件做出二次函数的图像y x 42-=，根据抛物线的知识可知，该抛物线的焦点坐标是)1,0(-)，准线方程是1=y （如图2）．
2、在抛物线上任取一点M ，做l MA ⊥于点A ，连结MF ，测量MF ，MA 长度
3、拖动点M 在抛物线上移动．观察变化的数据，可以看出MF ，MA 始终相等，符合抛物线的定义。
如果只是上述这样验证定义，意义并不是很大．但是，如果验证完以后，做进一步的延伸，向学生提出如下问题，就更显数学实验的价值：
(1) MF MA =，点M 应在线段AF 的____________上． (2) 如果先在直线l 上确定点A ，怎样确定点M ？ (3) 当点A 在直线l 上移动时，MF MA =始终成立吗? (4) 点M 的轨迹是什么?
由此进一步分析、启发、诱导，可以得到已知焦点F 和准线l 的情况下，抛物线的一种做法： (1) 在l 上任取点1A 、2A 、3A …… (2) 分别过1A 、2A 、3A ……，做l l ⊥1、l l ⊥2、l l ⊥3，……
(3) 分别做F A 1,F A 2,F A 3……的中垂线1m ,2m ,3m ……和1l ,2l ,3l ……的交点分别是1M ，2M ，
3M ，……
(4) 用光滑的曲线把1M ，2M ，3M ，……连结起来，便得到
抛物线．
最后，可以进一步补充如下的题目作为学生的课外实验延伸材
图 2
图3
a>)，按（图3）所示的方法进行折叠，使折叠料：一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b(b
后B始终在AD边上，此时将B记为'B (EF为折痕)，过'B作'B T⊥AD交EF于点T，求T点的轨迹方程．在这一实验过程中，并没有停留在只对定义验证这一肤浅的层次上，而是在验证的基础上进行了适当的延伸，通过这一实验，学生对抛物线的理解上升到了一个新的水平，其观察能力和抽象思维能力得到了很好的锻炼．
通过上例，在验证性数学实验设计应注意：
1．选择具有一定的难度，要全面考虑才能得到正确答案的问题
2．问题结果的可验证性
3．选择利于对问题结果验证的实验工具
这种实验模式简单，其类型结构如图(图4)：
（二）模拟实验式数学实验设计
数学中的变量，由于其动态的复杂性和客观条件的限制，无法在想象中完成对它的刻画，借助计算机的强大动态功能描述客观数学变化现象，尽可能真实地创造一种实验环境，在这种环境中重现所要描述的客观数学现象，从而对这种现象的某些规律做描述和判断，这种数学实验通常成为“模拟式”的数学实验。
模拟实验可以弥补常规实验存在的一些不足中学数学有很多内容，如动态的函数问题、对参数范围的考察问题、轨迹问题等，都可以采取模拟实验进行教学。
案例2 等长线段在坐标轴上的运动
在直角坐标系中,有一条长为2的线段AB,点A在y轴上运动,点B在x轴上运动,且保持线段长度不变,线段AB上的点分线段AB所成的比为1:2.求点P满足的方程.
怎么是椭圆呢?这样很多同学不能理解的.轨迹形状与比有关系吗?若用几何画板将轨迹的
形成过程动态显现,可减少不同学的困惑,而且,在此基础上还可进一步探究.
1. 改变比值λ可发现,0<λ<1时是焦点在y 轴的椭圆, λ=1时为圆（图5）, λ>1时为焦点
在x 轴的椭圆(椭圆可看作是一个压扁的圆) 2. 若追踪线段AB 的轨迹呢?（图6）
3. 原点O 到梯子距离最小的点的轨迹呢?( 路径就是数学上的四叶玫瑰线)（图7）
4. 主动点D 到梯子距离最小的点的轨迹呢?( 星形线)（图8）
5. 若角AOB 不是直角呢?
评析：在过去传统教学中，教师只能用粉笔和黑板，学生只能用笔和纸，画出来的图象是静态的，有时很容易掩盖一些几何规律，无法形象地表达一些普遍性的内容．而现在，计算机的介入，给教师提供了动态的黑板，给学生提供了更为丰富的学习资源．借助于计算机和多媒体迅速的图文、数据处理功能， 为抽象的数学思维提供了直观的思维背景，使静态的数学结构表现为时空的动态过程，使得数学实验有了质
图5 图6 图7 图8
的飞跃．
在进行数学模拟实验的设计应注意：
1 充分考虑数学问题中控制动态特征的量和静态规律的质的结合
2 实验设计应对影响答案和结果的变因给予一定范围的限制
3 使学生能够观察和测量到动态变化的一些规律
4 问题变化的多方位多角度的设计考虑
这种实验类型主要通过实验工具为学生创设一定的问题情境，为学生的再发现提供了背景。为认识主体在实验中通过改变实验初始条件使认识主体对客体进行认识的角度、方位和层次变得灵活多样。
（三）观察理解式数学实验设计
观察理解式的数学实验设计通常是指在人为干预控制实验对象的条件下进行观察，利用计算机软件的几何作图功能，在动态的图形演示中，从直观上理解数学概念，并通过观察，分析、归纳出数学性质或真理，以深刻理解数学概念及原理。它主要通过对实验材料的“数学化”操作来实现对数学概念、原理和事实的接受和理解。这类实验在中学数学实验中占有相当大的比例。如中学数学教学内容中的复合函数的单调性规律、圆锥曲线与其离心率的关系、二次函数与其系数的关系等都可以通过观察实验进行教学，以帮助学生对这些数学知识的认识和理解。
案例3：复合函数单调性规律的实验
以往研究复合函数的基本性质，特别中复合函数单调性的判断，总是直接给出结论“同增异减”。学生只知其然，不知其所以然，往往疑惑不解。放置
四个图形：其左下方为y=f(x)图象，左上方为复
合函数y=f[g(x)]的图象。
画出(x,t),(t,y),(x,y)的对应点，认清这三
组变量的对应关系。以y=cos(sinx)为例，设
t=sinx,y=cost (如图9)
学生可以研究的g=cos(sinx) （1）定义域，
图9 值域（2）单调性、奇偶性（3）最大、最小
值等。
如果改变t=g(x),y=f(t)函数的具体表达式和绘图范围，就能看到不同的复合函数生成过程。由此可观察t=g(x),y=f(t)函数的基本性质对复合函数的影响，使复合函数问题变得直观、易懂，对复合函数的有关知识从疑惑不解到清楚明了，由不确定到确定，由含糊到明确。
在进行观察理解式数学实验设计应注意:
1 强化实验素材在实验目的方向上的数学化特征；
2 实验材料的选择应具有明显的数学形象
3 注意实验观察数学特征的分化点
这种实验在中学数学实验中的应用广泛。数学实验素材多取自基本数学概念和众多数学事实。具体设计结构如下(图10)：
（四）
探究性数学实验综合性特点既可以将验证性质的实验继续发展，又可将操作理解的效果移植到实验结论的掌握上，也可以在模拟实验的基础上进一步探究。更可将三者有机融合不断创新。探究性实验的目的是让学生通过观察、归纳、类比。概括等思维方式来建立具有一定层次性结构的数学思维方式。
中学数学中的很多知识都有一定的规律，并具有推广的潜力，这些知识或问题大部分可以通过实验的方式来获得。如有些问题在限定或放宽某些条件的情况下，通过对其结论变化的探索，从而得出一般意义下的规律和法则等，这样的问题都可以开发成探索实验。这种实验设计通常从某种数学原理出发，又回到这一数学原理。实验的最终目的是使学生在应用这个原理时，认识不同水平条件变化下的数学本质,真正意义上通过“探索”达到“建构”数学认识结构的目的。
探究性实验一般安排在概念原理之前，为发现、提出概念原理埋下种子，实验后一般要进行小组或班级讨论，讨论分析观察到的现象、收集到的数据和对数据进行的解释，提出猜想和假说，用时一般较多．所以，因此，它的设计过程要复杂一些，一般需要经过选题、实验方案的设计、局部设计和总体设计等阶段． 1. 选题．根据教学内容，由教师提出数学问题，这些问题可能是学生要学习的新知识，可能是学生学习中
遇到的不易解决的问题．
2. 实验设计．分析：①实验时应重点演示什么?②指导观察时，应指出什么?得到什么结论?③启发引导得
出实验结论时，应提问什么?分析归纳什么?等等
3. 总体构思．根据教学目标和所选实验方案，设计或选择适当的教学策略，建立教学模式，对整个教学过
程进行总体的构思，决定主要的教学环节和大致的教学程序．
4. 确定总体设计方案．根据总体的构思，将局部方案汇合，串接，调整，加工成为一个完整的总体设计方
案．这里需要注意：各局部设计、各环节的“接口”(过渡、衔接)须自然、恰当． <案例4> 直线与双曲线的交点问题的探索实验。 1、问题的提出
（1）己知双曲线422=-y x ，直线l 过定点 P ( 0 ，2 ) ，问直线l 何时与双曲线只有一个公共点?(代
数方法解决)
（2）在几何画板中绘制曲线和动直线，观察分析四条直线的位置特征，同时教给学生必要的操作方法。 （3）将问题一般化：若点 P 在平面内的其他位置时，过该点且与双曲线只有一个公共点的直线有几条? 2、问题探索：将学生分成若干小组，并进行实验操作，得出相应结论。 3、小组交流、总结 4、问题的代数验证
5、问题的拓展：给定双曲线和定点，过定点与双曲线有两个交点的直线有几条?
学生开始实验探索时，点 P 的选取是杂乱无章的，得出的结论也不全面。但无论如何都是自己的探究和发现，其中的体验是深刻的，尤其是通过交流后，便会相互补充形成全面的结论，而且会发现：利用对称性，只需探求点 P 在第一象限时的情形就可以得出全面的结论。探索建构式实验激发了学生探究的兴趣，提高了学生的实验能力和分析能力。实验并没有要求学生研究其他曲线(圆、椭圆和抛物线)与过定点的直线交点个数的问题，但很多学生能够主动地进行实践探索。这些都表明数学实验启发了学生的创造性，提
高了学生探究学习的主动性。
在进行探究建构式数学实验设计时应注意：
1 遵循学生认识事物从特殊到一般的规律
2 借助启发性联想，设计问题控制实验进程
3 利用经验的局限性设置认知冲突和布置实践探索的层次和变式。
这种实验将是中学实验中主流实验，其类型结构如下（图11）：
广和变换下的数学不变性，应包含有能动的抽象性促进实验主体发现规律特征的愿望。设计时，要让学生有机会经历各个抽象阶段。
三、基于软件平台高中数学实验设计的几点说明
（一）数学实验设计几点要求
不同类型的数学实验的设计过程应该是不同的．但是，我们认为，各种类型的数学实验教学都应遵循一些基本要求，这些要求包括：
1、数学实验设计应能清晰地表达所研究的数学问题，这种表达需符合数学的有关约定，有助于探究、发现
研究对象之间的相互关系．
2、数学实验设计应能迅速地提供大量有关数学概念和原理的正例，以帮助学生形成概念和掌握原理．
3、数学实验设计应根据实验课题内容，在众多的数学软件中选择一个合适的数学软件平台．一般要求数学
实验条件或原始参数可(在一定范围内)任意设定而实验过程的中间数据和最终数据可以测量，在实验
的动态过程中，测量数据的变化能即时得到反应，即具有实时反馈或同步互动的功能．
4、数学实验过程中应可以随时添加某些可操控的数学对象，以帮助问题的探究．
（二）数学实验的程序制作的几条原则
设计数学实验要有鲜明的数学属性，在具体制作过程中，又要充分考虑到它是一种教学工具（而不是玩具），因此，要符合“教”和“学”的基本规律。
1、取材要小，目的性要明确，问题的结论要清楚。
2、要能让学生操作，让学生在操作中有后续步骤，有发现新问题的潜能。
3、操作按钮要有提示；但不要把问题和盘托出，要给学生有想象的余地。
4、教师要坚持自己动手。因为同一个问题，不同的老师有不同的讲解方法。数学实验的设计和教师
的讲解相配套，就能充分发挥这一实验的优势。
四、结束语
以上4种实验设计范式是中学数学教学中常见的方式，对改革数学教学具有一定的意义．
首先，，数学实验设计将教师对数学的主观经验赋予一定的客观形式，即借助于物质材料作为传递经验的媒体或信号，使学生在活动中认识并改造着自己的数学知识结构．
其次，数学实验的设计规划对设计者所假设的认识主体(学生)具有可操作性和实践性．实验教学特别注重实测与直观，让数学在“实验”的过程中对所研究的内容“可视化”，从中获得对数、形的观念，并逐步对其适度抽象，进行更高层次上的“再实验”，进而体会数学的研究方法和构成体系．数学实验设计的最终目的是使学生逐步学会数学思维的方法，掌握研究的规律，培养理性思考问题的习惯，并检验和论证问题的结果．这是新课标所倡导的数学素养和数学的人文价值所在!
参考文献：
[1] 邵光华，卞忠运．数学实验的理论研究与实践[J] 课程·教材·教法，2007 ( 3 ) 39－43
[2] 李尚志等．数学实验[ M] ．北京：高等教育出版社，1999 ．
[3] 关于“数学实验”课题研究的思考
https://www.doczj.com/doc/b810603991.html,/gzsx/jszx_1/jxyj/gzsxjgyj/201008/t20100826_763738.htm
[4] 董林伟在教材中渗透数学实验的思考与实践[J] 中学数学教学参考(上) 2012.（1－2）128－132
[5] 刘晶晶数学实验在解析几何教学中的应用[J] 甘肃科技2011（8）14－16
[6] 杨樟松基于软件平台的探究性数学实验[J] 上海中学数学2011. 5 3-5
[7] 吝维军数学实验——数学方法、数学软件和数学应用的融合[J] 大学数学2011（2）153－155
[8] 章水云中学数学实验课的类型与开展形式[J] 中学教研(数学) 2005.9 9-12
[9] 娄军高中数学课堂中开展数学实验教学的探索与实践[J] 基础教育论坛2011,5 12-13
[10] 陈慧数学实验课程教学改革研究[ J ] ．中国大学教学，2007 (12) 35－36
[11] 张华数学实验的教学内容及模式的探讨[J] 天津城市建设学院学报2011（12）299－302
[12] 董林伟论开展数学实验研究与实践的意义与方法[J] 中学数学月刊2007,12 1-4
作者简介：
刘荣锋：中学一级，本科，研究方向为信息技术与数学课堂教学有效整合。
模块标准测评 (时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中是假命题的是( B ) A ．?x ∈????0，π 2，x >sin x B ．?x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．?x ∈R,3x >0 D ．?x 0∈R ，lg x 0＝0 解析 因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ????x 0＋π 4≤2，所以B 错误，故选B ． 2．“a >1，b >1”是“(a －1)(b －1)>0”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 a >1，b >1?a －1>0，b －1>0?(a －1)(b －1)>0，故“a >1，b >1”是“(a －1)(b －1)>0”的充分条件； 而(a －1)(b －1)>0?????? a >1， b >1或????? a <1， b <1， 则“a >1，b >1”不是“(a －1)(b －1)>0”的必要 条件，故选A ． 3．(2018·山东威海模拟)与双曲线y 25－x 2 ＝1共焦点，且过点(1,2)的椭圆的标准方程为 ( C ) A ．x 28＋y 2 2＝1 B ．x 210＋y 2 4＝1 C ．x 22＋y 2 8 ＝1 D ．x 24＋y 2 10 ＝1 解析 由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将点(1,2)代入C ，D 可得C 正确，故选C ． 4．已知p ：cos(α＋γ)＝cos 2β，q ：α，β，γ成等差数列，则p 是q 的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 由α，β，γ成等差数列，即α＋γ＝2β，可得cos(α＋γ)＝cos 2β；而由cos(α＋γ)＝cos 2β不一定得出α＋γ＝2β，还可能是α＋γ＝2β＋2π，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B ． 5．(2018·湖南长沙模拟)给出下列三个命题： ①“全等三角形的面积相等”的否命题；
必修一 第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修三 第一章算法初步
1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1 随机事件的概率 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修四 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换 必修五 第一章解三角形 1．1 正弦定理和余弦定理 探究与发现解三角形的进一步讨论 1．2 应用举例 阅读与思考海伦和秦九韶 1．3 实习作业 第二章数列 2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前n项和 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 一元二次不等式及其解法 3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3．4 基本不等式 必修三实用性和适用性在高一作用不大，所以高一上学期学必修一二，下学期学必修四五，跳过必修三
高中数学竞赛校本课程 一、课程目标 数学是研究空间形式和数量关系的学科，也是研究模式与秩序的一门学科。数学本身的特点决定了它作为科学基础的地位，中学数学的内容与其中蕴含的数学思想方法，尤其是通过数学学习培养的思考问题、解决问题的数学能力将在更深一层次的科学研究中大有作为。 1、夯实学生数学基础，使学生熟练掌握各种数学基本技能；全面提高学生演绎推理、直觉猜想、归纳抽象、体系构建、算法设计等诸多方面的能力，并在此基础上培养学生学习新的数学知识的能力，数学地提出、分析、解决问题的能力，数学表达与交流的能力；发展学生数学应用意识与数学创新意识。 2、努力扩展学生的数学视野，全面渗透研究性学习，激发学生学习数学的兴趣，使学生能欣赏数学的美学魅力，认识数学的价值，崇尚数学的思考，培养从事科学研究的精神与方法。 3、多角度衔接高等教育，大胆引入现代数学基本理念，为学生继续从事高深科学领域的学习奠定所必需的数学基础。 二、课程设计理念与课程内容特色 本课程始终围绕学生群体设计，从他们的学习与发展的实际学情为基本出发点。课程的内容的选择是严格的，它具有鲜明的针对性，能体现数学教学的特点。本课程设计向要突现以下几点： 1、注重发展学生的数学综合能力 “学以致用”，数学知识的学习必须进入运用的层次，接受实践的考验。20世纪下半叶以来，数学的最大发展是应用，这也对数学教学产生了深刻的影响。本课程在数学知识的理论应用与实践运用上大大加强，数学的融会贯通与“数学建模”成为主体；加强了数学各分支间的结合，以重要的数学思想方法来贯穿数学学习。 2、重视数学思想与数学方法养成的创新学习理念 传授数学知识不是数学教学的重点，‘授人以鱼，不若授之以渔’。引导学生掌握解决问题的科学的数学思想与数学方法是本课程的核心。课程不完全以知识系统为主线，很多例题与练习是为了凸现其中的蕴含的数学思想方法而设计。本课程试图通过数学思想方法的养成为学生形成正确的，积极主动的学习方式创造有利条件，为学生提供“提出问题，探索研究，实践应用”的空间，帮助学生形成独立思考、自主钻研的习惯，培养学生的自主能力，提高理性的数学思维，养成勇于创新的科学理念。 3、拓展数学视野，形成开放体系，努力增强时代感 由于本课程的学习对象为具备教好的数学基础与学习能力的学生，因此在内容上必须有一定的深度与广度，要能够印发学生的思考，要有新的知识内容与视角，传统的 数学课程内容长期以来已经模式化，可选择性不强，本课程大胆突破高考限制，引入“向量几何”、“矩阵理论”、“概率统计”、“线性规划”、“微积分初步”等现代数学内容，摆脱以往数学课程内容的被动与滞后，是本课程力图突破的一点。此外，本课程通过每个章节设置的“本章阅读”介绍著名数学家、数学趣题、数学发展史以及最新数学进展来拓展学生的视野，提高学习数学兴趣。 三、课程内容与数学计划 高一上学期 第一章.集合与命题 第二章.函数 第三章.不等式 第四章.三角函数
高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
学人教版高中数学选修 模块综合测评 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
模块综合测评 (时间150分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若复数z ＝a ＋i 的实部与虚部相等，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 【解析】 z ＝a ＋i 的虚部为1，故a ＝1，选B. 【答案】 B 2．已知复数z ＝1 1＋i ，则z ·i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【解析】 ∵z ＝ 11＋i ＝1－i 2，∴z ＝12＋12 i ， ∴z ·i＝－12＋1 2i. 【答案】 B 3．观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，…，对于任意的正实数a ，b ，使a ＋b <211成立的一个条件可以是( ) A ．a ＋b ＝22 B ．a ＋b ＝21 C ．ab ＝20 D ．ab ＝21 【解析】 由归纳推理可知a ＋b ＝21.故选B. 【答案】 B 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则 f ′(1)＝( ) 【】 A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e
【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x ， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1， ∴f′(1)＝－1. 【答案】B 5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( ) A．②①③B．③②① C．①②③D．③①② 【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)． 【答案】D 6．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则( ) 图1 A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点 B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点 C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点 【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x 1 ，x4不是极值点． 【答案】A 7．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.9 4 e2B．2e2
第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：m n a =)1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a +=；（2）rs s r a a =)(；（3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数. 2 （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：
N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x =?=log ；③注意对数的书写格式． 两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N lg ； ②自然对数：以 71828.2=e 为底的对数N ln ． 指数式与对数式的互化（如右图） （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ② =N M a log M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a b b c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数. 注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．②对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2a>1 0
数学与逻辑思维选修课程 一、总体目标 数学不仅具有基础性、工具性和广泛的应用性价值，而且蕴含了丰富的人文价值。数学在育人方面主要有以下体现：一是有利于学生思维能力与创新能力的培养，二是可以为学生的发展奠定基础，三是可以优化学生的个性品质。 着眼于学生发展和社会发展的需要，学生在学习数学知识的同 时，应当对数学问题的破题思路和解题方法有所了解和认识，这不仅因为数学的发展为人类文明积累了大量宝贵的科学思想和科学方 法，需要学生去学习和掌握，更重要的是为学生将来能独立地开展科 学探究、创新活动奠定坚实的基础和所必须具有的思想与方法。因此本课程着眼于：把“学生所求的、把学生所缺的、把学生所急的” 数学好东西尽可能以通俗易懂、深入浅出的方式传授给学生；引领学生拓宽数学知识视野，渗透常用数学思想方法，加深对数学本质的认识；培养学生的应用意识、创新意识、协作意识和良好的思维品质与 科学态度；感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，让学生学得兴致，学有所成。 二、具体目标 具体目标表现为以下几个方面： 1．知识与技能 学习和掌握高中数学知识基底，完成高中知识与大学知识的衔
接。深刻理解数学的有关概念，掌握数学相关规律。掌握数学的科学 思想和科学方法，初步能应用数学的思想和方法来分析数学问题和解决数学问题。 2．过程与方法 经历学习过程，懂得如何进行科学探究的活动；体会数学的科学思想和科学研究方法；学会如何分析数学情景，学会如何进行建模， 熟练掌握分析问题和解决问题的常规和典型的方法与技巧。 3．情感态度及价值观 通过对数学思想和方法的学习，培养学生热爱数学、关注数学的 发展和数学为社会的发展所带来的巨大贡献，树立热爱科学、崇尚科学的科学观和人生观。 三、课程内容 本课程以高中数学与大学数学衔接点为抓手，充分注意到现有高中数学教材的课程简介：通常定位于那些核心类、支撑性知识。选修 课程中的基础性内容是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的。提高性内容则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的.拓展性内容则是对数学有兴趣和希望进一步提高数学 素养的学生而设置的。对于数学探究、数学思想方法、数学建模、数 学文化则是贯穿于整个选修数学课程的重要内容，这些内容不单独设置。
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： sin cos
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． （ ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，）
，﹣ 4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，把 ∴圆心极坐标为； （1+2 ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
高中数学必修2模块测试试卷 考号 班级 姓名 一、选择题 1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ） B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．072=+-y x B ．012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 3. 下列说法不正确的．．．． 是（ ） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面； C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 4．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 6. 已知a 、b 是两条异面直线，c ∥a ，那么c 与b 的位置关系（ ） A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交 7. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ) （A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④ 8. 圆22 (1)1x y -+= 与直线y x = 的位置关系是（ ） A ．相交 B. 相切 C.相离 D.直线过圆心 9. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c=0上，则m+c 的值为
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 2. 3.集合的表示：{ …集合的含义 集合的中} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算
（数学1必修）第一章（上） 集合 [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ． },01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{ }1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 二、填空题 1．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N （2）1 ______,_______,______2 R Q Q e C Q π- （e 是个无理数） （3{} |,,x x a a Q b Q =∈∈ 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则 C 的 非空子集的个数为 。 3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． A B C
第4课时 三角函数的趣题— 直角三角形 教学要求：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。 教学过程： 一、 情境引入 直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 二、 例题分析 例1、海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 解析：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D.得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而BD=AD tan55°，CD ＝ADtan25°，由BD-CD ＝BC ，又BC ＝20海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=? -?25tan 55tan 20≈20.79(海里). 这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险 例2、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? 解析：(1)过点B 作BD ⊥AC.垂足为D.
第一章集合与常用逻辑用语解答题专题训练 (17) 1.设A=[?1,1],B=[?2,2]，函数f(x)=2x2+mx?1． (1)设不等式f(x)≤0的解集为C，当C?(A∩B)时，求实数m的取值范围； (2)若对任意x∈R，都有f(1?x)=f(1+x)成立，试求x∈B时，函数f(x)的值域； (3)设g(x)=2|x?a|?x2?mx(a∈R)，求f(x)+g(x)的最小值． 2.已知数列{a n}满足：a1=1 2,a n+1=n+1 2n a n． (1)求数列{a n}的通项公式； (2)求数列{a n}前n项和S n； (3)若集合A={n|2?S n?n+2 n2+n λ}中含有4个元素，求实数λ的取值范围． 3.设n≥3,n∈N?，在集合{1,2,???,n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大 元素相加，和记为a，较小元素之和记为b． (1)当n=3时，求a,b的值； (2)求证：对任意的n≥3,n∈N?，b a 为定值．
4.定义函数f a(x)=4x?(a+1)·2x+a，其中x为自变量，a为常数． (Ⅰ)若函数f a(x)在区间[0,2]上的最小值为?1，求a的值； (Ⅱ)集合A={x|f3(x)≥f a(0)}，B={x|f a(x)+f a(2?x)=f2(2)}，且(?R A)?B≠?，求a的取值范围． 5.已知数列{x n}：x1，x2，x3，…，x n，…，对于任意正整数m,n(n≠m,m>1)，记满足不等式： x n?x m≥t(n?m)的t构成的集合为T(m)． (1)若给定m=2，数列{x n}满足x n=n2，试求出集合T(2)； (2)如果T(m)(m∈N?,m>1)均为相同的单元素集合，求证：数列{x n}为等差数列； (3)如果T(m)(m∈N?,m>1)为单元素集合，那么数列{x n}还是等差数列吗？如果是等差数列， 请给出证明；如果不是等差数列，请说明理由． 6.设p：“?x∈R，sinx≤a+2”；q：“f(x)=x2?x?a在区间[?1,1]上有零点”． (1)若p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数a的 取值范围． 7.已知函数f(x)=x2?2ax+a+2， (1)若f(x)≤0的解集A?{x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围； (2)若g(x)=f(x)+|x2?1|在区间(0,3)内有两个零点x1，x2(x1 必修五高中数学模块综合测试 （满分150分,测试时间120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合M={x|-4≤x≤7}，N={x|x 2-x-12＞0}，则M∩N 为（ ） A.{x|-4≤x ＜-3或4＜x≤7} B.{x|-4＜x≤-3或4≤x ＜7} C.{x|x≤-3或x ＞4} D.{x|x ＜-3或x≥4} 解析：N={x|x ＜-3或x ＞4}，借助数轴，进行集合的运算，如图 . 得M∩N={x|-4≤x ＜-3或4＜x≤7}.故选A. 答案：A 2.若A 是△ABC 的一个内角，且sinA+cosA= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析：由sinA+cosA=32，得sinAcosA=18 5-＜0. 又∵0＜A ＜π，∴ 2 π ＜A ＜π.故∠A 为钝角. 答案：C 3.一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能组成一等差数列，则这群羊共有（ ） A.6只 B.5只 C.8只 D.7只 解析：设这群羊共有n+1只，公差为d （d ∈N *）. 由题意，得7n+ d n n 2 ) 1(-=55，整理，得14n+n （n-1）d=110. 分别把A 、B 、C 、D 代入验证，只有B 符合题意，此时n=5，d=2. 答案：A 4.已知点P （x ，y ）在经过A （3，0）、B （1，1）两点的直线上，那么2x +4y 的最小值是（ ） A.22 B.42 C.16 D.不存在 解析：可求AB 的直线方程为x+2y=3. ∴2x +4y =2x +22y ≥24222 2222322=+=?+y x y x . 答案：B 5.若实数x 、y 满足不等式组?? ? ??≥--≥-≥. 022,0, 0y x y x y 则w=11+-x y 的取值范围是（ ） A.［-1， 31］ B.［3 1,21-］ 排列组合 一．选择题（共5小题） 1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（） A．36种B．42种C．50种D．72种 2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（） A．8种 B．10种C．12种D．32种 3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A．72 B．120 C．144 D．168 4．现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有（） A．12种B．24种C．36种D．72种 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（） A．300种B．240种C．144种D．96种 二．填空题（共3小题） 6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有种． 7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）． 8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的 插法共有种． 三．解答题（共8小题） 9．一批零件有9个合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10．已知展开式的前三项系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 11．设f（x）=（x2+x﹣1）9（2x+1）6，试求f（x）的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和． 12．求（x2+﹣2）5的展开式中的常数项． 13．求值C n5﹣n+C n+19﹣n． 14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．（1）选5名同学排成一行； （2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； （3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； （4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； （5）全体站成一排，男、女各站在一起； （6）全体站成一排，男生必须排在一起； （7）全体站成一排，男生不能排在一起； （8）全体站成一排，男、女生各不相邻； （9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； （10）全体站成一排，甲必须在乙的右边； （11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变； （12）排成前后两排，前排3人，后排4人． 15．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）． 模块综合测评(一) (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2016·山西大学附中月考)某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( ) A．510种 B．105种 C．50种D．3 024种 【解析】 每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A. 【答案】 A 2．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为( ) A．32 B．－32 C．0 D．－64 16263646566【解析】 (1－x)6＝1－C x＋C x2－C x3＋C x4－C x5＋C x6， 所以x的奇次项系数和为－C－C－C＝－32，故选B. 163656 【答案】 B 3．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm) y^ 对年龄(单位：岁)的线性回归方程＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是( ) A．身高一定为145.83 cm B．身高大于145.83 cm C．身高小于145.83 cm D．身高在145.83 cm左右 y^y^ 【解析】 将x＝10代入＝7.19x＋73.93，得＝145.83，但这种预测不一定准确．实际身高应该在145.83 cm 左右．故选D. 【答案】 D 4．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( ) X 024P 0.3 0.2 0.5 A.16 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 【解析】 由表格可求E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A. 【答案】 A 5．正态分布密度函数为f (x )＝e －，x ∈R ，则其标准差为( ) 1 2 2π(x －1)28 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【解析】 根据f (x )＝e －，对比f (x )＝e －知σ＝2. 1 σ 2π(x －μ)2 2σ21 2 2π(x －1)28 【答案】 B 6．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H 0成立的情况下，P (K 2≥6.635)＝0.010表示的意义是( ) A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1% B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9% C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99% D ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99% 【解析】 由题意知变量X 与Y 没有关系的概率为0.01，即认为变量X 与Y 有关系的概率为99%. 【答案】 D 7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有( )A ．18种 B ．24种 C ．45种 D ．90种 【解析】 不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C ·C ·C ＝90(种)．2 6242【答案】 D 高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 集合的含义 集合的中元素的三个特性： 元素的确定性如：世界上最高的山 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 列举法：{a,b,c……} 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x -3>2} ,{x| x -3>2} 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} Venn 图: 4、集合的分类： 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集 B A ?? /?/ 课题：§集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一 个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评， 进而讲解下面的问题。 4.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5.元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a?A（或a A）（举例） 6.常用数集及其记法 ∈ 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R （二）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表 示集合。 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…； 例1．（课本例1）必修五高中数学模块综合测试(附祥细答案)
高中数学排列组合专题
2016-2017学年高中数学模块综合测评1
高一数学必修1各章知识点复习总结
新人教A版高中数学必修1全套教案
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