高中数学人教A版必修1学案：1.3函数的基本性质第1课时课堂探究学案(含答案)

1.3 函数的基本性质

课堂探究

探究一利用图象确定函数的单调区间,函数单调性的几何意义：在单调区间上，若函数的图象“上升”则为增函数，图象“下降”则为减函数．因此借助于函数图象来求其单调区间，是直观且有效的方法．

【典型例题1】 作出函数f (x )＝231(2)31x x x x ≤??

>?－－，，－＋，的图象，并指出函数f (x )的单调

区间． 解：f (x )＝231(2)31

x x x x ≤??>?－－，，－＋，的图象如图所示，由图可知，函数f (x )＝231(2)31

x x x x ≤??>?－－，，－＋，的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．

反思(1)对于初等函数?

?y ＝kx ＋b (k ≠0)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，y ＝k x (k ≠0) ???

常借助函数图象去探求函数的单调区间．

(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数，画出其图象，借助图象的变化趋势分析函数的单调性(区间)．

(3)求函数的单调区间应在函数的定义域内进行，即函数的单调区间一定是函数定义域的子集．

探究二 证明函数的单调性

1．关于函数单调性的定义要注意以下几点：

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间上可以有不同的单调性．

(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1

(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即f (x )是增(减)函数且f (x 1)x 2)．

2．证明或判断函数的单调性，主要是利用定义法，其基本步骤是：

【典型例题2】 求证：函数f (x )＝x ＋1x

在(0,1)上为减函数． 思路分析：在(0,1)上任取x 1，x 2，且x 1f (x 2)即可．

证明：设x 1，x 2是(0,1)上的任意两个实数，且x 1

?+ ???－221x x ??+ ???

＝(x 1－x 2)＋2112x x x x -＝(x 1－x 2) 1211x x ??- ???

＝121212

()(1)x x x x x x --. ∵0

∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．

∴f (x )＝x ＋1x

在(0,1)上是减函数． 规律总结利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧：

(1)因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f (x )＝x 2－2x －3.

(2)通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例．

(3)配方．当所得的差式含有x 1，x 2的二次三项式时，可以考虑配方，便于判断符号．

(4)分子有理化．当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化．

探究三 函数单调性的应用

1．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．

2．(1)若f(x)在区间D上是增函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)>f(x2)?x1>x2；

f(x1)

(2)若f(x)在区间D上是减函数，x1，x2是区间D内的任意两个实数，则f(x1)>f(x2)?x1

f(x1)x2.

3．当抽象函数的不等式或函数式很复杂时，要注意考虑函数单调性的应用．

【典型例题3】已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)

与f

3

4

??

?

??

的大小．

思路分析：要比较两个函数值的大小，需先比较自变量的大小．

解：∵a2－a＋1＝

1

2

a

??

-

?

??

2＋

3

4

≥

3

4

，

∴

3

4

与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．

又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，

∴f

3

4

??

?

??

≥f(a2－a＋1)．

探究四易错辨析

易错点对“单调区间是……”和“在区间……上单调……”理解错误

【典型例题4】已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，

(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或取值范围)是__________．

(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的值(或取值范围)是__________．错解：(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.由于函数f(x)的单调递减区间是

(－∞，4]，因此1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．

(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.由于函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.

错因分析：函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调递减区间的子集．错解颠倒了这两种说法的含义，从而导致出错．

正解：(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.

(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．