贝叶斯统计大部分课后习题答案习题讲解
一、1,3,5,6,10,11,12,15
1.1记样本为x.
226pxC(0.1)*0.1*0.90.1488,,,,8
226pxC(0.2)*0.2*0.80.2936,,,,8
后验分布:
0.1488*0.7,,,0.10.5418x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，
0.2936*0.3,,,0.20.4582x，，,,0.1488*0.70.2936*0.3，
111233536mxpxdCdd,,,,,,,(|)(1)*2(1)112(1),,,,,,,,,,,，，，，8,,,00015 px(|)，，,,,36,,,,,x840(1),01，，,,,,,mx，，
1.6
1.11 由题意设x表示等候汽车的时间，则其服从均匀分布 U(0,), 1,,,0,,x,,px(), ,
,0,其它,
Xxxx,(,,)因为抽取3个样本，即，所以样本联合分布为 123 1,,,0,,,,xxx,1233 ,,pX(),
,其它0,,
4,192/,4,,, 又因为 (),,,,0,4,,,
所以，利用样本信息得
1192192,,,,,,,,,,,,,hXpXxxx(,)()() (8,0,,) 123347,,, ，,，,192,,,,,mXhXdd()(,)于是 7,,88,
,的后验分布为
76hX(,)192/68,,， ()X,,,,,7，,192mX(),d,,78,
6,68，,8,,,7 ()X,,,,,
,0,8,,,
1.12样本联合分布为:
1pxx,,,,,(),0n,
,,，1,,,,,,/,,00(),,,,0,,,,,0
,,,，，，，nn11 ,,,,,,,,,,,,()()()/1/,max,,,xpxxx,,,,,,,0101n ,，，n1,因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核 1/, ,,，，，nn1,()/,,,,,,，,n11即 ()x,,,,0,,,,,1
即得证。
1.15
n,,xi,nnnx,,,1i1()样本的似然函数:pxee,,,,,，，
,,,,1,,,(),e,,, ,，，,
nnx，,,，1(),,,参数的后验分布()()()xpxe,,,,,,,,,
服从伽马分布Gannx，，,.，，,,
,,,0.0002,,,(2)4,20000.,,, ,,,,2,,0.00012,,,
二、1,2,3,5,6,7,8,10,11,12
,,t2.2 解: 由题意，变量t服从指数分布: pte(),,,
,,tni,pTe(),,样本联合分布 ,
,,,,1,,,~(,),0Gae,,且， E()0.2,,Var()1,,,,,,,,(),
由伽玛分布性质知:
,,,0.2,,,0.04,0.2,,, ,,,,,,12,,,
t,3.8 又已知 n=20,
nn
t,，,203.876nt，,，,,,20.04,76.2 ，所以 ,,ii,1,1ii
由于伽玛分布是指数分布参数的共轭先验分布，而且后验分布
,,，,,,tt(),,,,,nn,，,11,,ii ()()()tpTeee,,,,,,,,,,,
即后验分布为 GantGa(,)(20.04,76.2),,，，,,i
,，n20.04,|TE()0.263,,, ,，t76.2,,i
,1服从倒伽玛分布 ,,,IGantIGa(,)(20.04,76.2),,，，,,i
,，t,i,,||1TT, ()()4.002EE,,,,,1，,n,
11,,2.3可以算出的后验分布为，的后验期望估计的后验方差为. Ga(11,4)16 n,362.5 .
,,，1,,,,,,/,,00,2.7的先验分布为: (),,,,0,,,,,0
令 ,,,max,,,xx,,101n
,,，，，nn1,()/,,,,,,，,n11可得后验分布为: ()x,,,,0,,,,,1
()，n,,1,Ex(),则的后验期望估计为:， ,n，,1,
2(),,，n1Varx(),后验方差为:. ,2(1)(2)nn，,，,,,
n1,,,xGaIGa~(,),~(,)2.8由可以得出 22,
n12()1n,x,1,22,2 pxxex,,(),0,n,()2
,,,,(1),，,,(),0,,e ,,,,,(),
,(1)的后验分布为:
x，2,n,,，，(1),22,,,,,,,()()()xpxe,,
nxIGa(,)，，,,即为倒伽玛分布的核。 22
nxIGa(,)，，,,,所以的后验分布为 22
x，,x2，,2(2)后验均值为 Ex(),,,nn22，,,1，,,2
x2()，,2后验方差为 Varx(),,nn2(1)(2)，,，,,,22
(3)样本分布函数为:
nnn,1，，n,xnn2i,,1(2),,2,,,12i
pxpxxe()(),,,,ii,,,,n(/2),,,11ii,,，，
,所以的后验分布为:
nx，2,i,2ni,1,,，，(1),22,,,,,,,()()()xpxe,,
n
x,2in,1i即为的核。 (,)，，,,IGa22
n1n21(),n,,xni,,,1,2,,，(1)n,,2,1i2,
(xpxxee,,)()()[]*,,,,,,i,n,(),,1i,()2
(dx,,)令 ,0d,
即:
nnnn1xx，，22,,ii,,222x，
2,()nnn,2i,,,11iin,,,,,,,,,121,,n,ni,1222222,,xee,,,，,[][(1)*]0,,,i2,n, ()22,,i,1,()2
n
xn,i,1i，2,x，,,i,,12i可得 ,,,MD22n，，22n,，，1,2
n
xn,i,1i，2,x，,,i,,12i而由公式得 ,,,E22n，,22n,，,1,2
因此，倒伽玛分布的这两个估计是不一样的，原因是它不对称。
2.10解:已知 xNN~(,1),~(3,1),,
2N(,),,,设的后验分布为 11
可得:
,22,,x,,,，0, ,122,,，,,0
111 ,，222,,,10
2,243，，,12x,,3由已知得:， ,,,03n3
333111，，，2,,？,,,,3, 1131134，，
,所以的95,的可信区间为: [30.51.96,30.51.96],，，，即为. [2.02,3.98] 222.11已知xNIGa~0,,~,,,,, ，，，，
nn1,,22,,可得的后验分布为IGax，，, ,,i,,22i,1,,
n12,，x,i2i,1?后验均值为:, ,En，,1,2
2n,,12,x，,i,,2,i12,,后验方差为: Varx,,，，
2nn,,,,，,，,12,,,,,,22,,,,变换:
n11n,,2,,~,Gax，， ,i,,222,,1,,i
n1,,n，，,,22,,,2~2，，x ,i,,,,2,,2,,,,1，，i,,
n，，1,,22令: Pxn,,,220.9，,，,，，,0.1i,,,,2,,1,,i，，
n22,，x,i2,i1可得的0.9可信上限为. ,2n，2，，,,0.1
,,，1,,,,,,/,,00,2.12的先验分布为: (),,,,0,,,,,0
令 ,,,max,,,xx,,101n
,,，，，nn1,()/,,,,,,，,n11可得后验分布为: ()x,,,,0,,,,,1,1,,设的可信上限为, U
,U则 ,,,,xd,,1，，,,1
带入有:
,U，，，nn1,,()/1,,,,,，,,nd1,,1
，n,,1 ,,,，n,,U
1，n1,,,,,,,U1,,,,,
三、10,11,12,13
3.10解:依题意
1x,,pxxexp,0,,,,，，,,,,,,
0.01,,,20.01exp,0,,,，，,,,,,,,,,
，,0.01x，,,,3则mxpxdd0.01exp,,, ，，，，，，,,,,,,,,,,0,,,,
0.01,0x,,2x0.01，，，
该元件在时间之前失效的概率200:
2002000.01pmxdxdx0.99995,,,，，2,,00x0.01，，，
3.11:解依题意
xi,,,iipxe,,，，iix!i
,,,,1,,i,,,e,0，，,,,,iii,，，,
xi,，,,,,1i ii,,,,,,mxpxdeed,,，，，，，，iiiiiii,,,,,,,,0x,!，，i,, ,,,,，x，，ix，i,,,，x1!，，，，i,,nnn,,,，
x，，,i,mxmx,,,,，，，，,,,ix，i,,ii,,11,，，，x1!，，,,,i,,
3.12解:超参数和的似然函数为,,
333,,,3,，,，,,，xf35，，，，，，，，，，,,,,,,,,iL,,,,,,其中，，,,338383x，，，,,,i1i,720，，，
1!13!5!1x，，，，，，,,，，，，，，，，,,,i,,，，，，
222f,，，，，1234.，，，，，，，，，，,,,,,,
由
,L,,，，,,,0,,,,,,L,，，,,,,0,,,,
38,,,,,,,,，1,,ff,3ln，，，，,,,,,,,,,,从而有:
，38,,,ff,3ln，，，，,,,,3,,,,
3,利用软件计算，可得，,,1.033599=0.3875996,,83.13证明:泊松分布的期望和方差分别为
2,.,,,,,,,,，，，，
,,1,,,,,，=,0,e，，,,,,,,,，，,
,，,,,,,,,，,,ed，，m,,,,,,0,，，,,
x，22,,,,,，，，，,,EE，，，，，，，，,,,,,221，
2,,,,2，，，，,,,,,,,,，,,,,,,,,,,，,EE，，，，，，
m,,,,22，，,,,,,,,,,,,,,,,,
2，,，，，,,m2,,,,,利用样本矩代替边际分布的矩，列出如下方程:
,,,x,,,,,,2,,，S2,,,,
2 ,,x,,2,,Sx,,,,x,,2,,Sx,,
四、1,4,8,9,10,11,12,15,16
4.4
15,6,7,8,9,10,5,6,7,8,9,10状态集行动集,,,,，，,,,,2收益函数，，
5,10aa,,,,Qa,,,，，,6,5,,,aa,,,
收益矩阵
aaaaaa123456
252423222120,,1,,,2530292827262,,,
,,2530353433323,Q,,,2530354039384,,,,,2530354045445,,,,,253035404550 ,,6,
3根据定义可知，最优a5行动是，即采摘朵鲜花，，1
4按折中准则:，，
HQaQa,,,,,,，,max,1min,，，，，，，，，,,,,,,H,25,，，,1,H,，246，，,,,2
,H,，2312，，3,,,,H,，2218，，4,,, ,H,，2124，，5,,,
,H,，2030，，6,,,
1当时，选择，每天摘朵鲜花05,,a1,6
1当时，选择，每天摘朵鲜花,,110a.6,6
4.8
La,1500，，13
购买8件. 4.9
a对于行动，其收益函数为 1
100,00.1,,,,
, Q,,,30,0.10.2，，,,,
,,,,50,0.21,,
a对于行动，其收益函数为 2
Q,,,,,40,01，，
从而可得在a和a处的损失函数: 12
0,00.1,,,,
, La,10,0.10.2,,,，，,,,1
,90,0.21,,,,
60,00.1,,,,La,, ,，，,20,0.11,,,,
,服从 Be2,14，，
0.21 Lapdpd,，,109018.86,,,,元吨，，，，，，，，1,,0.10.2
0.1 Lapd,,6027.06,,元吨，，，，，，2,0
故采用第一种收费方法对工厂有利.
##附R软件计算定积分程序:
int<-function(x){210*x*(1-x)^13};
integrate(int,0.1,0.2)$value*10+integrate(int,0.2,1)$value*90;
[1] 18.86049
integrate(int,0,0.1)$value*60;
[1] 27.05742 4.10
182012256，,,，,,,,,0
,,6,,QaQaaa当时，，则在和处的损失函数为，，，，,,,1212 La,0,，，,1
La,305,,，，2,,
,,6,,QaQaaa当时，，则在和处的损失函数为，，，，1212,,, La,530,,，，1,,
La,0,，，2,
0,10服从上的均匀分布，，,
101Lad,,,5304，，，，1,610,,
61Lad,,,3059，，，，2,010,,
a.最优行动是1
五、2,3,7,11,18,21,22
5.2(2)
2x,,，，,12(4) 由可得xNpxe,,,~,1，，，，2,
n2x,,，，i,ni1,,1,,2,样本的似然函数为:pXe,，，,,2,,,
2nx,，，,,n2后验分布xe,，，,,2,
2,,ncnx，，，,,,,，,,,,n2,,,,lned,,,,,,clnEex,，，cn1，，则dx,,，，，lnBcncc222,c,，x2n
附:用R软件作图程序:
y<-function(x){exp(0.1*x)-0.1*x-1};
plot(y,xlim=c(-20,20),type="l",lty=1);
lines(x,exp(0.5*x)-0.5*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=2);
lines(x,exp(1.2*x)-1.2*x-1,xlim=c(-20,20),type="l",lty=3); https://www.doczj.com/doc/b88718990.html,s<-c("c=0.1","c=0.5","c=1.2");
legend(locator(1),https://www.doczj.com/doc/b88718990.html,s,lty=c(1,2,3));
2x35.3 可以求得的贝叶斯估计为,,,,,.xce，，B23ln,c5.7
2,,,，，,12后验分布:,,xe,，，2,
2根据定理在加权平方损失函数下5.2:,L,,,，，，，，，,,,,,,
Ex，，，，,,,，，的贝叶斯估计为:,，，B,,, Ex，，，，,,，，
通过计算可得:
，,,Exxdxd，，,,，12，，，，，，，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,，，,211,，，，，，,,2,,,，e,,2,
5.11
的后验分布为Bexnx，，,,,,,，，
1,，，,,1,，，,,
1,，，
n，，,，,,nx2,,，,x1,Exd，，,,1，，，，,,,,,,，，,0,，,，,xnx，，，，,, 1,，，
n，，，,,nx2，,x2,,,,Exd，，,,1，，，，，，,,,,,,0,，,，,xnx，，，，,, Ex，，，，，,x1，，,,,11;,,,,,xnax时,的贝叶斯估计为,，，
B,，，,n2Ex，，，，，，,,,,
,1xax,,0时,若>1,，，,B，，,n2,,,若0<,1,考虑后验风险
,21,，，,,,,na，，，，
1,，,n,1,Raxd,,,01,,,，，，，,0,,，,n1，，，，，，,,,,
111,，，
n，，，,，,，,nnn222,,122,,,,,，，,,,,,,,，,dadad1211，，，，，，,,,,,,, ,,,,,,,000，，,,，n，，，，,,
0<上式中括号内前两项积分都是有限的,而第三个积分是趋于无穷大的,从
而,1,,
当时,达到最小值,即aRaxax,,,000;，，，，B
,，,n1类似地，时若>xn,,1,ax,，，B,，，,n2,,若0<1,,,ax1.，，,B
5.18(1)
支付矩阵
aa 12
,10075,,1W,,,100150,,,2
损失矩阵
aa 12
,250,,1L,,,050,,,2
,,aaaELaELa,,,17.5,,15,,，，，，与下的先验期望损失为，故是最优行动，，，，，12212，，，，先验. EVPI,15元，，
(2) 从到上的任一个映射都是该问题的决策函数0,1,2,aax,.,,,,，，12
(3)、(4)
2
xbmxpx~2,,,,,,,边缘概率可得:,，，，，，，，，,ii ,i1
mmm00.87475,10.1205,20.00475,,,,后验分布为:，，，，，，
X 0 1 2
0.7222 0.5519 0.3684 ,=0.05 1
0.2778 0.4481 0.6316 ,=0.1 2
,x计算ELa,,，可得表格: ，，，，，，
X 0 1 2
,x18.055 13.7975 9.21 ELa,,，，，，1，，
,x13.89 22.405 31.58 ELa，，,,，，2，，
从而最优决策函数为:
ax,0,,2, ,x,，，,ax,1,2,1,
,xx，，,EVPIEELx,13.89*0.8747513.7975*0.12059.21*0.0047513.8566后验,,，，,,,，，，，，，
xx,，，,EVSIEVPIEELx,,,,,先验元,1513.85661.1434，，，，，，,,，，ENGSEVSIC,,,,,21.14340.20.9434元，，，，
5.21
bb,21(1) ,6,,0mm,21
2,,~10,4,10,,NEmma,,最优行动为，，，，122
tmm,,,,,,5,4,10,6,,,120
,,,0DLDL,,,,1,10.08332，，，，00NN,
EVPILDt,,,**0.08332*5*41.6664，，0N,
(2)
类似可得
,,,,,0,,，3**=0.04270*5*3=0.6405EVPILt,,,,N,,,
,,,,,0,,2**=0.008491*5*2=0.08491，EVPILt,,,,N,,,
,,,0,,,,1**=0.000007145*5*1=0.000035725，EVPILt,,N,,,,,
EVPI(3)由上先验中有相当一部分是由于先验分布估计得不够精确引起的，随着标准差的,
,减小，用来描述状态的先验分布愈精确，增加了先验信息，从而减少了先验完全信息及其
期望值。