2018年4月浙江省学业水平考试
数学试题
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符
合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）
1. 已知集合{}10<≤=x x P ，{}
32≤≤=x x Q .记Q P M =，则 A .{}M ?2,1,0 B .{}M ?3,1,0
C .{}M ?3,2,0
D .{
}M ?3,2,1 2. 函数x
x x f 1
)(+
=
的定义域是 A .{}0>x x B .{}0≥x x C .{}
0≠x x D .R 3. 将不等式组?
?
?≥-+≥+-01,
01y x y x 表示的平面区域记为Ω，则属于Ω的点是
A .)1,3(-
B .)3,1(-
C .)3,1(
D .)1,3( 4. 已知函数)3(log )3(log )(22x x x f -++=，则=)1(f
A .1
B .6log 2
C .3
D .9log 2
5. 双曲线13
2
2
=-y x 的渐近线方程为 A .x y 3
1
±
= B .x y 33±= C .x y 3±= D .x y 3±= 6. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，直线C A 1与平面ABCD 所成角的余弦值是
A .31
B .33
C .32
D .36
7. 若锐角α满足5
3
)2πsin(=+α，则=αsin
A .
52 B .53 C .43 D .5
4
8．在三棱锥ABC O -中，若D 为BC 的中点，则= A .
OB OC OA -+2121 B . OC OB OA ++21
21 C .-+2121 D . ++2
1
21
9. 设{}n a ，{}n b )N (*
∈n 是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是 A .{}n n b a ? B .{}n n b a + C .{}1++n n b a D .{}1+-n n b a
A
B
C
D 1A
1D 1C 1B
（第6题图）
10.不等式1112<+--x x 的解集是 A . ?
?????<<-313x x B . ??????<<-
331
x x C . ?
?????>-<31,3x x x 或 D . ?
???
??>-<3,3
1x x x 或
11．用列表法将函数)(x f 表示为 ，则
A .)2(+x f 为奇函数
B . )2(+x f 为偶函数
C .)2(-x f 为奇函数
D . )2(-x f 为偶函数
12．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分
割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分 别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是 A .0122
2
=++-+y x y x B .01222
2
=+-++y x y x C .0122
2
=-+-+y x y x D .01222
2
=-+-+y x y x
13. 设a 为实数，则“21a
a >”是“a a 12
>”的
A .充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C .充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
14. 在直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(-A ，)0,2(B ，过A 的直线交x 轴于点)0,(a C ，若直
线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则=a A .
41 B .43 C .1 D .3
4
15. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为乙甲，S S ，体
积为乙甲，V V ，则
A .乙甲乙甲，V V S S >>
B . 乙甲乙甲，V V S S <>
C .乙甲乙甲，V V S S ><
D . 乙甲乙甲，V V S
S <<
15题图①）
侧视图
15题图②）
16．如图，F 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点，过F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，点
B A ,分别为椭圆的右顶点和上顶点，O 为坐标原点.若△OAB
的面积是△OPF 面积的2
5
倍，则该椭圆的离心率是 A .52或53 B .51或5
4
C .
510或515 D .55或5
52 17．设a 为实数，若函数a x x x f +-=2
2)(有零点，
则函数)]([x f f y =零点的个数是
A .1或3
B . 2或3
C . 2或4
D .3或4 18．如图，设矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .
若3,1=
=BC AB ，1===EC FE AF ，则下列二面角
的平面角的大小为定值的是
A . C A
B F -- B . D EF B --
C . C BF A --
D . D AF B --
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19. 已知函数1)3
π
2sin(2)(++
=x x f ，则)(x f 的最小正周期是 ▲ ，)(x f 的最大值是 ▲ .
20. 若平面向量,满足)6,1(2=+，)9,4(2-=+，则=? ▲ . 21. 在△ABC 中，已知2=AB ，3=AC ，则C cos 的取值范围是 ▲ . 22．若不等式02)(22
≥----a x a x x 对于任意R ∈x 恒成立，则实数a 的最小值是
▲ .
三、解答题（本大题共3小题，共31分.）
23. (本题满分10分)在等差数列{})N (*
∈n a n 中，已知21=a ，65=a .
(Ⅰ)求{}n a 的公差d 及通项n a ；
（Ⅱ）记)N (2*
∈=n b n a
n ，求数列{}n b 的前n 项和.
24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线12
-=x y 与x 轴相交于点A ，B 两点，P 是该抛物
A
B
C
D
E
F
（第18题图）
（第16题图）
线上位于第一象限内的点.
(Ⅰ) 记直线PB PA ，的斜率分别为21,k k ，求证12k k -为定值；
（Ⅱ）过点A 作PB AD ⊥，垂足为D .若D 关于x 轴的对称点恰好在直线PA 上，求△
PAD 的面积.
25. (本题满分11分) 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(A ，)3,1(B ，直线t x =
)20(< )(t f ，Ω各边长的倒数和为)(t g . (Ⅰ) 分别求函数)(t f 和)(t g 的解析式； （Ⅱ）是否存在区间),(b a ，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减？若存在，求 a b - 的最大值；若不存在，说明理由. (第25题图) x y O A B P D （第题图） 2018年4月浙江省学业水平考试 数学试题答案 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.） 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19． π，3 20. 2- 21.)1,3 5 [ 22. 3 三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23．解：（Ⅰ）因为d a a 415+=，将21=a ，65=a 代入，解得数列{}n a 的公差1=d ； 通项1)1(1+=-+=n d n a a n . （Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项n a 代入 122 +==n a n n b . 由此可知{}n b 是等比数列，其中首项41=b ，公比2=q . 所以数列{}n b 的前n 项和421) 1(21-=--= +n n n q q b S 24. 解：（Ⅰ）由题意得点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B . 设点P 的坐标为)1,(2 -t t P ，且1>t ，则 11121-=+-= t t t k ，11 1 22+=--=t t t k ， 所以212=-k k 为定值. （Ⅱ）由直线AD PA ,的位置关系知 t k k AD -=-=11. 因为PB AD ⊥，所以 1)1)(1(2-=+-=?t t k k AD ， 解得 2±=t .因为P 是第一象限内的点，所以2= t . 得点P 的坐标为)1,2(P . 联立直线PB 与AD 的方程 ?? ?+-=-+=), 1)(21(,)1)(21(x y x y 解得点D 的坐标为)2 2,22( -D . 所以△PAD 的面积2 2 121+=-??=D P y y AB S . 25.解：（Ⅰ）当10≤ 当21< 所以，???<<+-≤<=,21,20208, 10,8)(22t t t t t t f ???????<<+-+-+≤<+=.21,21)1(21)2(311,10,1)3323()(t t t t t t t g （Ⅱ）由（Ⅰ）中)(t f 的解析式可知，函数)(t f 的单调递减区间是)4 5 ,1(，所以 )4 5,1(),(?b a . 另一方面，任取)4 5,1(,21∈t t ，且21t t <，则 )()(21t g t g -]) 2)(2(31)1)(1(211)[ (21212112t t t t t t t t -----+-=. 由 45121<< 1 )1)(1(2021<-- 16 3 9)2)(2(321>--t t .从而<--<)1)(1(2021t t )2)(2(321t t --, 即 0) 2)(2(31 )1)(1(212121>-----t t t t 所以 0)()(21>-t g t g ，得)(t g 在区间)4 5 ,1(上也单调递减.证得 )4 5,1(),(=b a . 所以，存在区间)4 5,1(，使得函数)(t f 和)(t g 在该区间上均单调递减，且 a b -的最大值为4 1 . (第25题图②)
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