第7章 气体动理论
7.1基本要求
1.理解平衡态、物态参量、温度等概念，掌握理想气体物态方程的物理意义及应用。
2.了解气体分子热运动的统计规律性，理解理想气体的压强公式和温度公式的统计意义及微观本质，并能熟练应用。
3.理解自由度和内能的概念，掌握能量按自由度均分定理。掌握理想气体的内能公式并能熟练应用。
4.理解麦克斯韦气体分子速率分布律、速率分布函数及分子速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率、方均根速率和最概然速率的求法和意义。
5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的物理意义和计算公式。
7.2基本概念
1 平衡态
系统在不受外界的影响下，宏观性质不随时间变化的状态。 2 物态参量
描述一定质量的理想气体在平衡态时的宏观性质的物理量，包括压强p 、体积V 和温度T 3 温度
宏观上反映物体的冷热程度，微观上反映气体分子无规则热运动的剧烈程度。 4 自由度
确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，用字母i 表示。 5 内能
理想气体的内能就是气体内所有分子的动能之和，即2i E R T ν=
6 最概然速率
速率分布函数取极大值时所对应的速率，用p υ表示，p υ=
=
≈，
其物理意义为在一定温度下，分布在速率p υ附近的单位速率区间内的分子在总分子数中所占的百分比最大。 7 平均速率
各个分子速率的统计平均值，用υ表示，υ==
≈8 方均根速率
各个分子速率的平方平均值的算术平方根，用rm s υ表示，
rm s υ=
=
≈
9 平均碰撞频率和平均自由程
平均碰撞频率Z 是指单位时间内一个分子和其他分子平均碰撞的次数；平均自由程λ是每两次碰撞之间一个分子自由运动的平均路程，两者的关系式为:
Z
υλ=
=
或
λ=
7.3基本规律
1 理想气体的物态方程
pV RT
ν=或'm pV R T
M
=
pV NkT
=或p nkT =
2 理想气体的压强公式
23k p n ε=
3 理想气体的温度公式
2
1322
k m kT ευ
=
=
4 能量按自由度均分定理
在温度为T 的平衡态下，气体分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为1
2kT
5 麦克斯韦气体分子速率分布律 （1）速率分布函数
()dN f N d υυ
=
表示在速率υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比或任一单个分子在速率υ附近单位速率区间内出现的概率，又称为概率密度。
（2）麦克斯韦速率分布律 2
3/2
2
2()4()2m kT
m f e
kT
υ
υπυ
π-=
这一分布函数表明，在气体的种类及温度确定之后，各个速率区间内的分子数占总分子数的百分比是确定的。
麦克斯韦速率分布曲线的特点是：对于同一种气体，温度越高，速率分布曲线越平坦；而在相同温度下的不同气体，分子质量越大的，分布曲线宽度越窄，高度越大，整个曲线比质量
小的显得陡。
7.4学习指导
1重点解析
压强公式是气体动理论的基本方程之一，是本章的重点之一。这一公式的推导过程体现了气体动理论研究问题的思路，其要点是建立理想气体微观模型和运用统计平均的方法。对压强的理解应注意：气体压强的产生是由于气体分子无规则热运动对器壁碰撞的结果，而不是由于分子有重量。具体地说，压强是容器中大量气体分子在单位时间内施于器壁单位面积上的平均冲量。压强必须是对大量分子而言的，对于个别分子或少数分子而言是没有意义的，也就是说压强具有统计意义。就时间尺度而言，压强必须对应足够长的时间，在这段时间内发生大量的分子碰撞，就空间范围而言，压强必须对应足够大的面积，在这一面积上发生大量的分子碰撞。作为一个统计平均值，压强有涨落，即相对平均值有一定偏差。虽然气体压强可以由实验测定，但分子的平均平动动能无法直接测量，因而压强公式是不能用实验来验证的。尽管如此，压强公式给出的结论及其推论却能够对气体中的许多现象和规律作出较圆满的解释，并为实验所证实。这就表明，压强公式在一定范围内的正确性是不容置疑的。
温度公式也是气体动理论的基本方程之一，是本章的又一重点。它给出了温度与分子平均平动动能的对应关系，表明了理想气体的温度是气体分子的平均平动动能的量度这一物理涵义，对认识温度的微观本质提供了理论依据，温度反映了气体分子无规则热运动的剧烈程度。温度和压强一样具有统计意义，由于分子的平均平动动能是统计平均值，因而温度是大量分子无规则热运动的集体表现，对个别分子或少数分子是没有意义的。
理想气体的内能及其计算也是这一章的重点内容。理解内能的概念应明确两方面的意义。一是内能的微观本质，理想气体的内能就是组成气体的各个分子的各种形式的动能的总和，这也体现了能量的叠加性。二是内能这一宏观量的性质。内能是热力学状态的函数，其变化与过程无关。一定量的内能只能是由温度来决定，即理想气体的内能是温度的单值函数。内能不同于机械能，机械能是物体机械运动状态或力学状态的函数。比如静止在地面上的物体，其机械能为零，但其内能并不为零。内能与物体中全部分子的微观运动相联系，机械能与物体整体的宏观运动相联系。内能和机械能是不同形式的能量，它们可以相互转化。
2难点释疑
对平衡态的理解是本章的一个难点。平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。在平衡态中，表征气体状态的一组参量（P、V、T）
具有确定的值。如果不受外界影响，那么不论多长时间，这些参量都将保持不变。系统内部也不会有诸如扩散、导热、电离或化学反应等宏观过程发生。但从微观上看，气体处于平衡态时，组成系统的分子仍将永不停息地作无规则热运动，但分子运动的平均效果不随时间变化，具体表现为宏观上的密度、温度和压强处处均匀，因此平衡态也被称为热动平衡。
热力学系统的平衡态与力学中的平衡是两个完全不同的概念。力学中的平衡是指系统所受合外力为零的状态，而热力学中的平衡态指系统的宏观性质不随时间变化的状态，或者说是系统的状态参量具有确定的量值的状态。所以，它们的物理意义是截然不同的。
平衡态是一个理想概念。实际上，容器中的气体总会不可避免地与外界发生程度不同的能量和物质交换，理想化了的完全不受外界影响的平衡态是难以存在的。平衡态只是当气体的变化很微小，以致可以忽略不计时，可以近似地看成一个理想状态。
对气体分子速率分布律的理解是本章的另一个难点。气体分子速率分布律是气体分子热运动的速率所服从的统计规律。某时刻各个分子的速率大小不同，且具有偶然性，但由大量分子组成的系统处于平衡态时，却表现出统计规律性。气体分子速率分布律的应用是有条件的，它只适用大量分子组成的处于平衡态的系统，对由少数分子组成的系统或处于非平衡态的系统，该定律不成立。由于气体分子热运动的无规则性，不可能给出某个分子速率的精确值，而只能说它在某个速率区间内的分子数占总分子数的比率。气体分子速率分布函数的归一化条件是指分子在整个速度区间的概率总和应等于1，即分子的速率必然处于这一速率区间。
7.5习题解答
7.1 一定量的理想气体可以：
(A)保持压强和温度不变同时减小体积；
(B)保持体积和温度不变同时增大压强；
(C)保持体积不变同时增大压强降低温度；
(D)保持温度不变同时增大体积降低压强。
解 由理想气体物态方程'm pV R T M
=
可知正确答案选D 。
7.2 设某理想气体体积为V ，压强为P ，温度为T ，每个分子的质量为m ，玻尔兹曼常数为k ，则该气体的分子总数可以表示为 (A)
P V km
(B)
P T m V
(C)
kT
PV (D)
kV
PT
解 由理想气体物态方程pV NkT =可得气体的分子总数可以表示为P V N kT
=，故答案选
C 。
7.3 关于温度的意义，有下列几种说法： （1）气体的温度是分子平均平动动能的量度；
（2）气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义； （3）温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同； （4）从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度； 上述说法中正确的是： （A ） (1) 、（2）、（4）. （B ） (1) 、（2）、（3）. （C ） (2) 、（3）、（4）. （D ） (1) 、（3）、（4）. 解 理想气体温度公式2
1322
k m kT ευ
=
=
给出了温度与分子平均平动动能的关系，表明温
度是气体分子的平均平动动能的量度。温度越高，分子的平均平动动能越大，分子热运动越剧烈。因此，温度反映的是气体分子无规则热运动的剧烈程度。由于k ε是统计平均值，因而温度具有统计意义，是大量分子无规则热运动的集体表现，对个别分子或少数分子是没有意义的。故答案选B 。
7.4 设某种气体的分子速率分布函数为)(v f ，则速率在1v ~2v 区间内的分子平均速率为： （A ）?
21
d v v v )v (vf （B ）?
21
d v v v )v (vf v
（C ）
??
21
21d d v v v v v
)v (f v
)v (vf （D ）
?
?
∞0
d d 21v
)v (f v
)v (vf v v
解 速率分布函数f (v )的物理意义是表示速率分布在v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，由()dN f N d υυ
=
可得()dN Nf d υυ=，所以2
21
1
()d v v v v dN Nf v v =
??
表示速
率分布在v 1~v 2区间内的分子数，而221
1
()d v v v v vdN Nvf v v =??
表示速率分布在v 1~v 2区间
内的分子的速率总和，因此速率在1v ~2v 区间内的分子平均速率为
2221112221
1
1
()d ()d ()d ()d v v v v v v v v v v v v vdN
N vf v v
vf v v
dN
N f v v
f v v
==
?
?
?
???
，故答案选C
7.5 摩尔数相同的氢气和氦气，如果它们的温度相同，则两气体：
(A) 内能必相等；
(B) 分子的平均动能必相同；
(C) 分子的平均平动动能必相同； (D) 分子的平均转动动能必相同。
解 因摩尔数相同的氢气和氦气自由度数不同，所以由理想气体的内能公式2
i E R T ν=可知
内能不相等；又由理想气体温度公式2
1322
k m kT ευ
==
可知分子的平均平动动能必然相
同，故答案选C 。
7.6 在标准状态下，体积比为1:2的氧气和氦气（均视为理想气体）相混合，混合气体中氧气和氦气的内能之比为：
(A) 1 : 2 (B) 5 : 3 (C) 5 : 6 (D) 10 : 3
解 氧气和氦气均在标准状态下，二者温度和压强都相同，而氧气的自由度数为5、氦气的自由度数为3，将物态方程pV RT ν=代入内能公式2
i E R T ν=可得2
i E pV =
，所以氧
气和氦气的内能之比为5 : 6，故答案选C 。
7.7 一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是：
(A) Z 减小而λ不变． (B) Z 减小而λ增大． (C) Z 增大而λ减小． (D) Z 不变而λ增大．
解 在温度不变的条件下，由物态方程pV RT ν=可知体积增大时，压强减小，所以由
p nkT =可得气体分子数密度n 减小，再由平均碰撞频率n d Z 2
2π=
和平均自由程
n
d 2
21πλ=
得Z 减小而λ增大。故答案选B 。
7.8 A 、B 、C 三个容器中皆装有理想气体，它们的分子数密度之比为n A ∶n B ∶n C ＝4:2:1，而分子的平均平动动能之比为kA ε∶kB ε∶kC ε＝1:2:4，则它们的压强之比A p ∶B p ∶C p ＝_________。
解 由理想气体分子的压强公式23
k p n ε=
可得压强之比为：
A p ∶
B p ∶
C p ＝n A kA ε∶n B kB ε∶n C kC ε＝1∶1∶1
7.9 某种理想气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的算术平均速率，则T2∶T1= _________。
解因气体分子的方均根速
率=和算术平均速
率v=，由题
意
=2
1
3
8
T
T
=π
7.10 用总分子数N、气体分子速率υ和速率分布函数()
fυ表示下列各量：(1) 速率大于
υ
的分子数＝_________；(2) 速率大于
υ的那些分子的平均速率＝_________ ；(3) 多次
观察某一分子的速率，发现其速率大于
υ的概率＝_________ 。
解由速率分布函数()
dN
f v
N dv
=可得()
dN Nf d
υυ
=，d N表示~
v v dv
+区间内的分子
数，所以（1）速率大于
υ的分子数，即
~
v∞区间内的分子数为:
00
()
v v
dN Nf v dv
∞∞
=
??
（2）速率大于
υ的分子的平均速率：
000
000
()()
()()
v v v
v v v
vdN vN f v dv vf v dv
v
dN N f v dv f v dv
∞∞∞
∞∞∞
===
???
???
（3）某一分子的速率大于
υ的概率，即分子速率处于
~
v∞区间内的概率，应为
~
v∞区
间内的分子数占总分子数的百分比，即：
00
()
()
v v
v
dN N f v dv
f v dv
N N
∞∞
∞
==
??
?
7.11 一容器内储有某种气体，若已知气体的压强为3×105Pa，温度为27℃，密度为
3
0.24kg m-
?，则可确定此种气体是_________气；并可求出此气体分子热运动的最概然速率为_________1
m s-
?。
解由物态方程nkT
p=可得
kT
p
n=，又因气体密度
N m
nm
V
ρ
?
==，所以由上两式可
得分子质量
p
kT
n
m
ρ
ρ
=
=，故此种气体的摩尔质量为
A
RT
M N m
p
ρ
===2(g/mol) ，则可确定此种气体是氢气；气体分子热运动的最概然速率
ρ
p
M
RT
v
p
2
2
=
=
7.12 如图所示曲线为处于同一温度T 时氦（原子量4）、氖（原子量20）和氩（原子量40）三种气体分子的速率分布曲线。其中曲线（a ）是_________气分子的速率分布曲线；曲线（c ）是_________气分子的速率分布曲线。
解
根据理想气体分子的最概然速率p v =
可
知，同一温度下摩尔质量越大的p v 越小，因此（a ）是氩气分子的速率分布曲线；曲线（c ）是氦气分子的速率分布曲线。
7.13 某柴油机的气缸充满空气，压缩前空气的温度为47℃，压强为8.61×104
Pa 。当活塞急剧上升时，可把空气压缩到原体积的1/17，此时压强增大到4.25×106Pa ，求这时空气的温度。
解 因压缩过程中气体质量不变，所以由
11221
2
p V p V T T =
可得
6221124
11
14.25103209296568.611017
p V T V T K C p V V ???=
=
==????
7.14 已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为105
Pa ，求此气体内单位体积内的分子数。
解 根据气体压强公式p = nkT ，当T = 300K 时，气体单位体积内的分子数为
5
253
23
10
2.415101.3810300p n m
kT --=
=
=???
7.15 在90km 高空空气的压强为0.18Pa ，密度为3.2×10-6 kg/m 3，求该处的温度和分子数密度。空气的摩尔质量取29.0g/mol 。 解 由物态方程'm pV R T M
=可得该高空处的温度为
3
'
6
0.1829.0101963.210
8.31
pVM pM
T K m R
R
ρ--??=
=
=
=??
再由p nkT =，可得该处分子数密度为
193
23
0.18
6.65101.3810
196
p n m
kT
--=
=
=???
7.16 目前实验室中所能获得的真空，其压强约为1.33×10-8 Pa ，问在27℃的条件下，在这样的真空中每立方厘米内有多少个气体分子？ 解 由p nkT =可得 8
123
63
23
1.3310
3.2110 3.21101.3810
(27327)
p n m
cm
kT
----?=
=
=?=???+
7.17 一个温度为17℃、容积11.2×10-3
m 3
的真空系统已抽到其真空度为1.33×10-3
Pa 。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来。烘烤后容器内压强为1.33Pa ，问器壁原来吸附了多少个分子？
习题7.12图
()f υ
解 烘烤前容器内单位体积内的分子数为n 1 = p 1/kT 1 = 3.32×1017 m -3， 烘烤后容器内单位体积内的分子数为n 2 = p 2/kT 2 = 1.68×1020 m -3 则器壁原来吸附的分子数为N = (n 2 – n 1)V = 1.88×1018
7.18 如果在封闭容器中，储有处于平衡态的A 、B 、C 三种理想气体。A 种气体分子数密度为n 1，压强为P 1；B 种气体分子数密度为2n 1；C 种气体分子数密度为3n 1。求混合气体的压强。
解 由p nkT =，对于A 气体有P 1＝n 1 kT ；对于B 气体有P 2＝n 2 kT ＝2n 1 kT ； 对于C 气体有P 3＝n 3 kT ＝3n 1 kT ；于是，混合气体的压强为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝6n 1 k T ＝6P 1。
7.19 在一房间内打开空调后，其温度从7℃上升至27℃，试计算打开空调前后房间空气密度之比。（房间内压强可认为不变） 解 由状态方程'
m PV RT M
=
及'
m V
ρ=
可得： P R T M
ρ
=
所以开空调前、后的压强分别为：1
2
1122,P RT P RT M
M
ρρ==
因房间内压强可认为不变，即12P P =
则1122T T ρρ=，故开空调前后房间空气密度之比
122
1
27273157273
14
T T ρρ+=
=
=
+
7.20 2g 氢气装在20L 的容器内，当容器内的压强为3.99×104
Pa 时，氢气分子的平均平动动能为多大？
解 单位体积的分子数即分子数密度
'
23
25
3
3
2 6.02102
3.01102010
A A m
N N N M
n V V
V
m
ν--=
=
=??==??
又由理想气体压强公式2
21()32
p n m υ=
可得氢气分子的平均平动动能
4
2
21
25
133 3.9910 1.9910
J 2
22 3.0110
k p m n
ευ-??==
=
=???
7.21 一个能量为1.6×10-7J 的宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中含有氖气0.01mol ，如射线粒子能量全部转变成氖气的内能，氖气温度升高多少？
解 氖气自由度数i = 3，当射线粒子能量全部转变成氖气的内能时，由公式2
i E R T ν
=可得
气体升高的温度为-7
6
22 1.610
1.2810
30.018.31
E
T K i R ν-??=
=
=???
7.22 7gN 2封闭在一容器内，试计算温度为273K 时：
（1）N 2分子的平均平动动能和平均转动动能； （2）气体的内能。
解 （1）N 2分子有t = 3个平动自由度，其平均平动动能为
23
-21
3 1.3810
273 5.6510
J 22
kt t kT ε-=
=
???=?
将N 2分子看作刚体，它就还有r = 2个转动自由度，其平均转动动能为
23
-21
2 1.3810
273 3.7710
J 2k r kT ε-=
=???=?
（2）N 2分子的摩尔数为'
0.25m mol M
ν==，自由度数为i = t + r = 5，
则气体的内能为3
50.258.31273 1.417102
2
i E R T J ν
==?
??=?
7.23 温度为27?C 时，1mol 氧分子具有多少平动动能和转动动能？1克氦气、氢气各有多少内能？
解 氧分子属于双原子分子，平均平动动能kT 2
3k =
ε
1mol 氧气含有N A 个氧分子，其平动动能为
3
3338.31300 3.710J 222
A
N kT R T =
=??=?
转动动能为3
28.31300 2.510J 2
A
N kT R T ==?=?
1克氦气（摩尔质量mol /kg 1043
-?）的内能：
33
3
3310
8.313000.9510J 2
2
410
RT ν--=
?
??=??
1克氢气（摩尔质量mol /kg 1023
-?）的内能：
33
3
5510
8.31300 3.110J 2
2
210
RT ν--=
?
??=??
7.24 质量为6.2×10-14g 的微粒悬浮于27℃的液体中，观察到它的方均根速率为1.4cm·s -1。由这些结果计算阿佛加德罗常数N A 。 解 当粒子平动时，其平均平动动能为2
3122k kT m ευ=
=
由此得阿佛加德罗常数为
231
-14322
338.31300 6.1545106.21010 1.410A R RT N mol k m v
---??====?????
7.25 体积为3
3
m
100.1-?的容器中含有231001.1?个氢气分子，如果其中压强为Pa
1001.15
?。
求该氢气分子的方均根速率。
解 由理想气体物态方程pV NkT =可得氢气温度为
5
3
23
23
1.0110107
2.5K 1.0110
1.3810
pV T Nk
--??==
=???
氢气分子的方均根速率为
21
9.5110m s
-=
=
=??
7.26 在容积为30×10.3m 3的容器中，贮有20×10-3kg 的气体，其压强为50.7×103Pa 。试求该气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。 解 由'm pV R T M
=有
最概然速率
1.411.41275.8389/p m s
υ===?
=?=平均速率
1.60275.8
441/m s
υ===?=
方均根速率 1.73275.8477/rm s m s υ=
===?=
7.27 求温度为127.0 ℃的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速率。 解 氢气的摩尔质量13H mol kg 1022
--??=M ，气体温度K
400=T
，则有
1
3H s
m 1006.282
-??==
M RT
v π，
1
3H 2
s
m 1023.232
-??==
M
RT v
，1
3H p
s
m 1082.122
-??==M RT v
氧气的摩尔质量为12O mol kg 102.32
--??=M ，则有
1
2O s
m 1016.582
-??==
M RT
v π，
1
2O 2
s
m 1058.532
-??==
M RT v
，1
2
p
s
m 10
55.422
-??==
O M RT v
7.28导体中自由电子的运动可看作类似于理想气体的运动（称为电子气）。设导体中共有N 个自由电子，其中电子的最大速率为m ax υ，电子在速率~d υυυ+之间的速率分布为
2
m ax m ax 4(0)0
()A d dN N N πυυυυυυ??
≥≥?
?
=????>?
?
式中A 为常数，试用N ，m ax υ求出常数A 。 解 由归一化公式0()1f d υυ∞=?
有
m ax m ax
2
3
m ax 0
441013
dN A A d d N
N
N
υυππυυυυ∞=
+=
?
=?
?
?
则3
m ax
34N A πυ
=
7.29 氮分子的有效直径为3.8×10-10m ，求它在标准状态下的平均自由程和连续碰撞的平均时间间隔。
解 在标准状态下，T = 273K ，p = 1.013×105Pa ，氮分子的平均自由程为
λ
=
23
8
5.8010
m --=
=?
氮分子的摩尔质量为M = 0.028kg·mol -1，平均速率为
1
454.2m s
υ-=
=
=
=?
连续碰撞的时间间隔为 8
10
5.8010 1.27610
454.2
s λτυ
--?=
=
=?
7.30 氖分子的有效直径为2.04×10-10m ，求温度为600K 、压强为1.333×102Pa 时氖分子的平均碰撞频率。
解 氖分子的热运动平均速率为
1.60794/m s
υ==?
=故平均碰撞频率为
2
2
2
10
2
23
6
1
1.33310(
2.0410
)794 1.3810
600
2.3610p Z d n d kT
s
υυ
---==
?=
???
??=?
7.31 在标准状态下CO 2气体分子的平均自由程λ= 6.29×10-8m ，求两次碰撞之间的平均时间和CO 2气体分子的有效直径。
解 CO 2的分子量是44，摩尔质量为M = 0.044kg·mol -1，其平均速率为
1
362.3m s
υ-=
=
=
=?
两次碰撞之间的平均时间为 8
10
6.2910 1.73610
362.3
s λτυ
--?=
=
=?
根据公式
λ=，可得CO 2气体分子的有效直径为
d =
10
3.64810
m -=
=?
7.32 容器内贮有O 2气，其压强为1.013×105
Pa ，温度为27℃，有效直径为d = 2.9×10-10
m ，求：（1）单位体积中的分子数n ；（2）氧分子质量m ；（3）气体密度ρ；（4）分子间平均距
离l ；（5）最概然速率P υ；（6）平均速率υ；（7）方均根速率（8）分子的平均总动能ε；（9）分子平均碰撞频率z ；（10）分子平均自由程λ。
解 （1）由p = nkT 得单位体积的分子数为：n = p/kT = 2.45×10-25m -3
（2）氧分子的原子质量单位是32，一质量单位是u = 1.66055×10-27kg ，分子的质量为
m = 32u = 5.31×10-26kg
（3）根据理想气体状态方程'm pV R T M
=，氧气的摩尔质量M = 0.032 kg·mol -1
，其密
度为
'
5
3
1.013100.032
1.308.31300
m pM kg m
V
RT
ρ-??==
=
=??
（4）一个分子占有体积为v = 1/ n ，设想分子整齐排列，则分子间的平均距离为 d = (1/n)1/3 = 3.445×10-9m
（5）最概然速率为：1
394.7p m s
υ-===?
（6）平均速率为：1
445.4m s υ-=
==?
（7）方均根速率为：1
483.5rm s m s υ-=
==?
（8）分子的自由度为i = 5，平均总动能为：
23-20
5 1.3810300 1.03510J 22
i kT ε-==???=?
（9）分子平均碰撞频率为：
2
-92-25
9
1
(3.44510)445.4 2.4510
4.0710Z d n s
υ-=
=
????=?
（10）分子平均自由程为：
λ=
237
1.0910
m --=
=?
第七章 气体动理论 一．选择题 1［ C ］两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量ρ的关系为： (A) n 不同，(E K /V )不同，ρ 不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，ρ 相同． (C) n 相同，(E K /V )相同，ρ 不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，ρ 相同． 解答：1. ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同∴n 相同； 2. ∵kT n V kT N V E k 2 323==，而n ，T 均相同∴V E k 相同 3. 由RT M m pV =得RT pM V M ==ρ，∵不同种类气体M 不同∴ρ不同 2［ C ］设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2区间内的分 子的平均速率为 (A) ?2 1d )(v v v v v f ． (B) 2 1 ()d v v v vf v v ?． (C) ? 2 1 d )(v v v v v f /?2 1 d )(v v v v f ． (D) ? 2 1 d )(v v v v v f /0 ()d f v v ∞ ? ． 解答：因为速率分布函数f (v )表示速率分布在v 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分率，所以 ? 2 1 d )(v v v v v f N 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的速率总和，而 2 1 ()d v v Nf v v ? 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子数总和，因此 ? 2 1 d )(v v v v v f / ? 2 1 d )(v v v v f 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率。 3［ B ］一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是： (A) Z 减小而λ不变． (B)Z 减小而λ增大． (C) Z 增大而λ减小． (D)Z 不变而λ增大． 解答：n d Z 22π= ，n d 2 21πλ= ，在温度不变的条件下，当体积增大时，n 减小，所以 Z 减小而λ增大。 4［ B ］若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了
第六章 气体动理论 一 选择题 1. 若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子总数为( )。 A. pV /m B. pV /(kT ) C. pV /(RT ) D. pV /(mT ) 解 理想气体的物态方程可写成NkT kT N RT pV ===A νν，式中N =ν N A 为气体的分子总数，由此得到理想气体的分子总数kT pV N = 。 故本题答案为B 。 2. 在一密闭容器中，储有A 、B 、C 三种理想气体，处于平衡状态。A 种气体的分子数密度为n 1，它产生的压强为p 1，B 种气体的分子数密度为2n 1，C 种气体的分子数密度为3 n 1，则混合气体的压强p 为 ( ) A. 3p 1 B. 4p 1 C. 5p 1 D. 6p 1 解 根据nkT p =，321n n n n ++=，得到 1132166)(p kT n kT n n n p ==++= 故本题答案为D 。 3. 刚性三原子分子理想气体的压强为p ，体积为V ，则它的内能为 ( ) A. 2pV B. 2 5pV C. 3pV D.27pV 解 理想气体的内能RT i U ν2 =，物态方程RT pV ν=，刚性三原子分子自由度i =6， 因此pV pV RT i U 326 2===ν。 因此答案选C 。 4. 一小瓶氮气和一大瓶氦气，它们的压强、温度相同，则正确的说法为：( ) A. 单位体积内的原子数不同 B. 单位体积内的气体质量相同 C. 单位体积内的气体分子数不同 D. 气体的内能相同 解：单位体积内的气体质量即为密度，气体密度RT Mp V m = = ρ（式中m 是气体分子
习题十 一、选择题 1．用分子质量m ，总分子数N ，分子速率v 和速率分布函数()f v 表示的分子平动动能平均值为 [ ] （A ）0 ()Nf v dv ∞ ? ； （B ） 20 1 ()2 mv f v dv ∞? ； （C ）20 1 ()2 mv Nf v dv ∞? ； （D ）0 1 ()2 mvf v dv ∞? 。 答案：B 解：根据速率分布函数()f v 的统计意义即可得出。()f v 表示速率以v 为中心的单位速率区间内的气体分子数占总分子数的比例，而dv v Nf )(表示速率以v 为中心的dv 速率区间内的气体分子数，故本题答案为B 。 2．下列对最概然速率p v 的表述中，不正确的是 [ ] （A ）p v 是气体分子可能具有的最大速率； （B ）就单位速率区间而言，分子速率取p v 的概率最大； （C ）分子速率分布函数()f v 取极大值时所对应的速率就是p v ； （D ）在相同速率间隔条件下分子处在p v 所在的那个间隔内的分子数最多。 答案：A 解：根据()f v 的统计意义和p v 的定义知，后面三个选项的说法都是对的，而只有A 不正确，气体分子可能具有的最大速率不是p v ，而可能是趋于无穷大，所以答案A 正确。 3．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 [ ] （A ）氧气的温度比氢气的高； （B ）氢气的温度比氧气的高； （C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。 答案：A rms v =222222221 ,16 H O H H H O O O T T T M M M T M ===，所以答案A 正确。 4．如下图所示，若在某个过程中，一定量的理想气体的 热力学能（内能）U 随压强p 的变化关系为一直线（其 延长线过U —p 图的原点），则该过程为[ ] （A ）等温过程； （B ）等压过程； （C ）等容过程； （D ）绝热过程。 答案：C
习题 8-1 设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当成是均匀的。若此理想气体的压强为1.35×1014 Pa 。试估计太阳的温度。（已知氢原子的质量m = 1.67×10-27 kg ，太阳半径R = 6.96×108 m ，太阳质量M = 1.99×1030 kg ） 解：m R M Vm M m n 3π)3/4(== = ρ K 1015.1)3/4(73?===Mk m R nk p T π 8-2 目前已可获得1.013×10-10 Pa 的高真空，在此压强下温度为27℃的1cm 3体积内有多少个气体分子？ 解：3462310 /cm 1045.210300 1038.110013.1?=????===---V kT p nV N 8-3 容积V ＝1 m 3的容器内混有N 1＝1.0×1023个氢气分子和N 2＝4.0×1023个氧气分子，混合气体的温度为 400 K ，求： （1） 气体分子的平动动能总和；（2）混合气体的压强。 解：（1） J 1014.41054001038.12 3)(233232321?=?????=+=-∑N N kT t ε （2）Pa kT n p i 32323 1076.210540010 38.1?=????== -∑ 8-4 储有1mol 氧气、容积为1 m 3的容器以v =10 m/s 的速率运动。设容器突然停止，其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。问气体的温度及压强各升高多少？（将氧气分子视为刚性分子） 解：1mol 氧气的质量kg 10323 -?=M ，5=i 由题意得 T R Mv ?=?ν2 5 %80212K 102.62-?=??T T R V p RT pV ?=???=νν
一、选择题 ［ C ］1、（基础训练2）两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量?的关系为： (A) n 不同，(E K /V )不同，??不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，??相同． (C) n 相同，(E K /V )相同， ??不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，??相同． 【提示】① ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同，∴n 相同； ② ∵kT n V kT N V E k 2 3 23==，而n ，T 均相同，∴V E k 相同； ③ RT M M pV mol =→RT pM V M mol ==ρ，T ，p 相同，而mol M 不同，∴ρ不同。 ［ B ］2、（基础训练7）设图示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令() 2 O p v 和() 2 H p v 分别表示氧气和氢气的 最概然速率，则 (A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v = 4． (B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝1/4． (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝1/4． (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v ＝ 4． 【提示】①最概然速率p v =p v 越小，故图中a 表示氧气分子的速率分布曲线； ②23 ,3210(/)mol O M kg mol -=?， 23 ,210(/)mol H M kg mol -=?， 得 ()() 2 2 O v v p p H 14 = ［ C ］3、（基础训练8）设某种气体的分子速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2
1.两瓶装有不同种类的理想气体，若气体的平动动能相等，两种气体的分子数密度不同，则两瓶气体的( ) (A)压强相等，温度相等； (B)压强相等，温度不等； (C)压强不等，温度相等； (D)压强不等，温度不等； 2.在一封闭容器中，理想气体分子的平均速率提高为原来的2倍，则( ) (A)温度和压强都提高为原来的2倍； (B)温度为原来的2倍，压强为原来的4倍； (C)温度为原来的4倍，压强为原来的2倍； (D)温度和压强都提高为原来的4倍。
3.一打足气的自行车内胎，当温度为7.0℃时，轮胎中空气的压强为 4.0×105Pa，温度变为37.0℃时，轮胎内的压强为。（设胎内容积不变） 4.已知n为气体的分子数密度f(v)为麦克斯韦速率分布函数，则nf(v)dv的物理意义 。 。
5.一容器内贮有氧气，压强为1.0×105Pa ，温度为27℃，求(1)气体分子数密度; (2)氧气的密度; (3)分子的平均平动动能; (4)分子间的平均距离。 6.氧气瓶的容积为3.2×10-2m3，其中氧气的压强为1.30×107Pa，氧气厂规定压强降低到 1.00×106Pa时，就应重新充气，以免经常洗瓶。若平均每天用去0.40m3，压强为1.01×105Pa的氧气，问一瓶氧气能用几天？（设温度不变）
1.1mol刚性双原子分子理想气体，当温度为T时，其内能为( )
3.2g氢气(刚性双原子)与2g氦气分别装在两个容积相等的封闭容器中内，温度相同，则氢气分子与氦气分子的平均平动动能之比压强之比；内能之比。 4.现有两条气体分子速率分布曲线(1)和(2)，如图所示。若两条曲线分别表示同一种气体处于不同温度下的速率分布，则曲线表示气体的温度较高。若两条曲线分别表示同一温度下的氢气和氧气的速率分布，则曲线表示的是氧气。
一．选择题 1、(基础训练1)［ C ］温度、压强相同的氦气与氧气,它们分子的平均动能ε与平均平动动能w 有如下关系: (A) ε与w 都相等. (B) ε相等,而w 不相等. (C) w 相等,而ε不相等. (D) ε与w 都不相等. 【解】:分子的平均动能kT i 2 = ε,与分子的自由度及理想气体的温度有关,由于氦气为单原子分子,自由度为3;氧气为双原子分子,其自由度为5,所以温度、压强相同的氦气与氧气,它们分子的平均动能ε不相等;分子的平均平动动能kT w 2 3 = ,仅与温度有关,所以温度、压强相同的氦气与氧气,它们分子的平均平动动能w 相等。 2、(基础训练3)［ C ］三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体,其分子数密度n 相同, 而方均根速率之比为( )()()2 /122 /122 /12::C B A v v v ＝1∶2∶4,则其压强之比A p ∶B p ∶ C p 为: (A) 1∶2∶4. (B) 1∶4∶8. (C) 1∶4∶16. (D) 4∶2∶1. 【解】:气体分子的方均根速率:M RT v 32 = ,同种理想气体,摩尔质量相同,因方均根速率之比为1∶2∶4,则温度之比应为:1:4:16,又因为理想气体压强nkT p =,分子数密度n 相同, 则其压强之比等于温度之比,即:1:4:16。 3、(基础训练8)［ C ］设某种气体的分子速率分布函数为f (v ),则速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率为 (A) ? 2 1d )(v v v v v f . (B) 2 1 ()d v v v vf v v ?. (C) ? 2 1 d )(v v v v v f /?2 1 d )(v v v v f . (D) ? 2 1 d )(v v v v v f /0()d f v v ∞ ? . 【解】:因为速率分布函数f (v )表示速率分布在v 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分率,所以 ? 2 1 d )(v v v v v f N 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的速率总与,而 2 1 ()d v v Nf v v ? 表示速率分布在v 1~v 2区间内的分子数总与,因此?2 1 d )(v v v v v f /?2 1 d )(v v v v f 表 示速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率。 4、(基础训练10)［ B ］一固定容器内,储有一定量的理想气体,温度为T ,分子的平均碰撞次数为 1Z ,若温度升高为2T ,则分子的平均碰撞次数2Z 为 (A) 21Z . (B) 12Z . (C) 1Z . (D) 12 1Z . 【解】:分子平均碰撞频率n v d Z 2 2π,因就是固定容器内一定量的理想气体,分子数密 度n 不变,而平均速率: v = 温度升高为2T ,则平均速率变为v 2,所以2Z =12Z 5、(自测提高3)［ B ］若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃,而室内气压不变,则此时室内的分子数减少了:(A)0、500. (B) 400. (C) 900. (D) 2100.
第十一章气体动理论习题详细答案 一、选择题 1、答案：B 解：根据速率分布函数() f v的统计意义即可得出。() f v表示速率以v为中心的单位速率区间内的气体分子数占总分子数的比例，而dv v Nf) (表示速率以v为中心的dv速率区间内的气体分子数，故本题答案为B。 2、答案：A 解：根据() f v的统计意义和 p v的定义知，后面三个选项的说法都是对的，而只有 A不正确，气体分子可能具有的最大速率不是 p v，而可能是趋于无穷大，所以答案A正确。 3、答案：A rms v=据题意得2222 2222 1 , 16 H O H H H O O O T T T M M M T M ===，所以答案A正确。 4、由理想气体分子的压强公式 2 3k p nε =可得压强之比为： A p∶ B p∶ C p＝n A kA ε∶n B kB ε∶n C kC ε＝1∶1∶1 5、氧气和氦气均在标准状态下，二者温度和压强都相同，而氧气的自由度数为5，氦气的自由度数为3，将物态方程pV RT ν=代入内能公式 2 i E RT ν =可得2 i E pV =，所以氧气和氦气的内能之比为5 : 6，故答案选C。 6、解：理想气体状态方程PV RT ν =，内能 2 i U RT ν =(0 m M ν=)。由两式得 2 U i P V =，A、B两种容积两种气体的压强相同，A中，3 i=；B中，5 i=，所以答案A正确。 7、由理想气体物态方程 'm pV RT M =可知正确答案选D。 8、由理想气体物态方程pV NkT =可得气体的分子总数可以表示为 PV N kT =，故答案选C。 9、理想气体温度公式2 13 22 k m kT ευ ==给出了温度与分子平均平动动能的关系，表明温度是气体分子的平均平动动能的量度。温度越高，分子的平均平动动能越大，分子热运动越剧烈。因此，温度反映的是气体分子无规则热运动的剧烈程度。
习题 8-1设想太阳是由氢原子组成的理想气体，其密度可当成是均匀的。若此理想气体的压强为1.35×1014Pa 。 解：（1） J 1014.41054001038.12 3)(233232321?=?????=+=-∑N N kT t ε（2）Pa kT n p i 323231076.21054001038.1?=????==-∑
2 8-4储有1mol 氧气、容积为1 m 3的容器以v =10 m/s 的速率运动。设容器突然停止，其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能。问气体的温度及 体的温度需多高？ 解：（1）J 1065.515.2731038.12 323212311--?=???==kT t ε （2）kT 23 J 101.6ev 1t 19-==?=ε
8-7一容积为10 cm 3的电子管，当温度为300K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为5×10-4mmHg 的高真空，问此时（1）管内有多少空气分子？（2）这些空气 量。 解：RT i E ν2= ，mol 1=ν 若水蒸气温度是100℃时
4 8-9已知在273K 、1.0×10-2atm 时，容器内装有一理想气体，其密度为1.24×10-2 kg/m 3。求：（1）方均根速率；（2）气体的摩尔质量，并确定它是什么气体；（3） 分子间均匀等距排列） 解：（1）325/m 1044.2?==kT p n
（2）32kg/m 297.1333====RT P RT p v p μμρ （3）J 1021.62 3 21-?==kT t ε （4）m 1045.3193-?=?=d n d （2）K 3.36210 38.1104.51021035.12322=??????==-Nk pV T 8-13已知)(v f 是速率分布函数，说明以下各式的物理意义：
第12章 气体动理论 一、填空题： 1、一打足气的自行车内胎，若在7℃时轮胎中空气压强为4.0×5 10pa .则在温度变为37℃， 轮胎内空气的压强是 。（设内胎容积不变） 2、在湖面下50.0m 深处（温度为4.0℃），有一个体积为531.010m -?的空气泡升到水面上 来，若湖面的温度为17.0℃，则气泡到达湖面的体积是 。（取大气压强为50 1.01310p pa =?） 3、一容器内储有氧气，其压强为50 1.0110p pa =?，温度为27.0℃，则气体分子的数密度 为 ；氧气的密度为 ；分子的平均平动动能为 ； 分子间的平均距离为 。（设分子均匀等距排列） 4、星际空间温度可达2.7k ，则氢分子的平均速率为 ，方均根速率为 ， 最概然速率为 。 5、在压强为5 1.0110pa ?下，氮气分子的平均自由程为66.010cm -?，当温度不变时，压强为 ，则其平均自由程为1.0mm 。 6、若氖气分子的有效直径为82.5910cm -?，则在温度为600k ，压强为2 1.3310pa ?时，氖分子1s 内的平均碰撞次数为 。 7、如图12-1所示两条曲线(1)和(2),分别定性的表示一定量的 某种理想气体不同温度下的速率分布曲线,对应温度高的曲线 是 .若图中两条曲线定性的表示相同温 度下的氢气和氧气的速率分布曲线,则表示氧气速率分布曲线的 是 . 图12-1
8、试说明下列各量的物理物理意义： （1） 12kT ， （2）32 kT ， （3）2i kT ， （4）2 i RT ， （5）32RT ， （6）2M i RT Mmol 。 参考答案： 1、54.4310pa ? 2、536.1110m -? 3、2533 2192.4410 1.30 6.2110 3.4510m kg m J m ----???? 4、2121 121.6910 1.8310 1.5010m s m s m s ---?????? 5、6.06pa 6、613.8110s -? 7、（2） ，（2） 8、略 二、选择题： 教材习题12-1，12-2，12-3，12-4. （见课本p207～208） 参考答案：12-1～12-4 C, C, B, B. 第十三章热力学基础 一、选择题 1、有两个相同的容器，容积不变，一个盛有氦气，另一个盛有氢气（均可看成刚性分 子）它们的压强和温度都相等，现将 5 J 的热量传给氢气，使氢气温度升高，如果使氦气也 升高同样的温度，则应向氦气传递的热量是 （ ） （A ） 6 J （B ） 5 J （C ） 3 J （D ） 2 J 2、一定量理想气体，经历某过程后，它的温度升高了，则根据热力学定理可以断定： （1）该理想气体系统在此过程中作了功； （2）在此过程中外界对该理想气体系统作了正功；
第7章 气体动理论 7.1基本要求 1.理解平衡态、物态参量、温度等概念，掌握理想气体物态方程的物理意义及应用。 2.了解气体分子热运动的统计规律性，理解理想气体的压强公式和温度公式的统计意义及微观本质，并能熟练应用。 3.理解自由度和内能的概念，掌握能量按自由度均分定理。掌握理想气体的内能公式并能熟练应用。 4.理解麦克斯韦气体分子速率分布律、速率分布函数及分子速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率、方均根速率和最概然速率的求法和意义。 5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的物理意义和计算公式。 7.2基本概念 1 平衡态 系统在不受外界的影响下，宏观性质不随时间变化的状态。 2 物态参量 描述一定质量的理想气体在平衡态时的宏观性质的物理量，包括压强p 、体积V 和温度T 3 温度 宏观上反映物体的冷热程度，微观上反映气体分子无规则热运动的剧烈程度。 4 自由度 确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，用字母i 表示。 5 内能 理想气体的内能就是气体内所有分子的动能之和，即2 i E RT ν= 6 最概然速率 速率分布函数取极大值时所对应的速率，用p υ表示，p υ= =≈其物理意义为在一定温度下，分布在速率p υ附近的单位速率区间内的分子在总分子数中所占的百分比最大。 7 平均速率 各个分子速率的统计平均值，用υ表示，υ==≈8 方均根速率 各个分子速率的平方平均值的算术平方根，用rms υ表示，
rms υ= =≈ 9 平均碰撞频率和平均自由程 平均碰撞频率Z 是指单位时间内一个分子和其他分子平均碰撞的次数；平均自由程λ是每两次碰撞之间一个分子自由运动的平均路程，两者的关系式为: Z υ λ= = 或 λ= 7.3基本规律 1 理想气体的物态方程 pV RT ν=或' m pV RT M = pV NkT =或p nkT = 2 理想气体的压强公式 2 3 k p n = 3 理想气体的温度公式 2132 2 k m kT ευ== 4 能量按自由度均分定理 在温度为T 的平衡态下，气体分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为12 kT 5 麦克斯韦气体分子速率分布律 （1）速率分布函数 ()dN f Nd υυ = 表示在速率υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比或任一单个分子在速率υ附近单位速率区间内出现的概率，又称为概率密度。 （2）麦克斯韦速率分布律 2 3/22 2()4()2m kT m f e kT υ υπυπ-= 这一分布函数表明，在气体的种类及温度确定之后，各个速率区间内的分子数占总分子数的百分比是确定的。 麦克斯韦速率分布曲线的特点是：对于同一种气体，温度越高，速率分布曲线越平坦；而在相同温度下的不同气体，分子质量越大的，分布曲线宽度越窄，高度越大，整个曲线比质量
第七章气体动理论 研究对象：由大量分子（原子）组成的系统。分子视为刚性小球，分子间作弹性碰撞。 研究方法：由于分子的数量极其庞大，彼此之间的相互作用又非常频繁，而且还具有偶然性，所以只能用统计的方法进行处理。研究微观量（m,v,p,f）集体表现出来的宏观特征。 §7－1 物质的微观模型统计规律性 1． 分子的数密度和线度：单位体积内的分子数叫分子数密度。气体（n氮=2.47*1019/cm3）、液体（n水=3.3*1022/cm3）、固体（n =7.3*1022/cm3）。不同种类的分子大小不等，小分子约为10-铜 10m的数量级。实验表明：标准状态下，气体分子间距为分子直 径的10倍。 2．分子力：当r
1 一．选择题 1. （基础训练2）［ C ］两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n ，单位体积内的气体分子的总平动动能(E K /V )，单位体积内气体的质量ρ的关系为： (A) n 不同，(E K /V )不同，ρ 不同． (B) n 不同，(E K /V )不同，ρ 相同． (C) n 相同，(E K /V )相同，ρ 不同． (D) n 相同，(E K /V )相同，ρ 相同． 【解】： ∵nkT p =，由题意，T ，p 相同∴n 相同； ∵kT n V kT N V E k 2 3 23 ==，而n ，T 均相同∴V E k 相同 由RT M m pV =得m pM V RT ρ== ，∵不同种类气体M 不同∴ρ不同 2. （基础训练6）［ C ］设v 代表气体分子运动的平均速率，p v 代表气体分子运动的最概然速率，2/12)(v 代表气体分子运动的方均根速率．处于平衡状态下理想气体，三种速 率关系为 (A) p v v v ==2 /12) ( (B) 2 /12)(v v v <=p (C) 2 /12) (v v v <
>p 【解】：最概然速率：p v = = 算术平均速率： 0 ()v vf v dv ∞ ==? 20 ()v f v dv ∞ = =? 3. （基础训练7）［ B ］设图7-3所示的两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线；令() 2 O p v 和() 2 H p v 分别表示氧气和氢气 的最概然速率，则 (A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； ()2 O p v /() 2 H p v =4． (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线；
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第十一章气体动理论 一、基本要求 1.理解平衡态、物态参量、温度等概念，掌握理想气体物态方程的物理意义及应用。 2.了解气体分子热运动的统计规律性，理解理想气体的压强公式和温度公式的统计意义及微观本质，并能熟练应用。 3.理解自由度和内能的概念，掌握能量按自由度均分定理。掌握理想气体的内能公式并能熟练应用。 4.理解麦克斯韦气体分子速率分布律、速率分布函数及分子速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率、方均根速率和最概然速率的求法和意义。 5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的物理意义和计算公式。 二、基本概念 1 平衡态 系统在不受外界的影响下，宏观性质不随时间变化的状态。 2 物态参量 描述一定质量的理想气体在平衡态时的宏观性质的物理量，包括压强、体积和温度3 温度 宏观上反映物体的冷热程度，微观上反映气体分子无规则热运动的剧烈程度。 4 自由度 确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，用字母表示。 5 内能 理想气体的内能就是气体内所有分子的动能之和，即 6 最概然速率 速率分布函数取极大值时所对应的速率，用表示，，其物理意义为在一定温度下，分布在速率附近的单位速率区间内的分子在总分子数中所占的百分比最大。 7 平均速率 各个分子速率的统计平均值，用表示， 8 方均根速率 各个分子速率的平方平均值的算术平方根，用表示， 9 平均碰撞频率和平均自由程
平均碰撞频率是指单位时间内一个分子和其他分子平均碰撞的次数；平均自由程是每两次碰撞之间一个分子自由运动的平均路程，两者的关系式为:或 三、基本规律 1 理想气体的物态方程 pV RT ν=或'm pV RT M = pV NkT =或p nkT = 2 理想气体的压强公式 3 理想气体的温度公式 4 能量按自由度均分定理 在温度为T 的平衡态下，气体分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为1 2kT 5 麦克斯韦气体分子速率分布律 （1）速率分布函数 ()dN f Nd υυ = 表示在速率υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比或任一单个分子在速率υ附近单位速率区间内出现的概率，又称为概率密度。 （2）麦克斯韦速率分布律 2 3/222()4()2m kT m f e kT υ υπυπ-= 这一分布函数表明，在气体的种类及温度确定之后，各个速率区间内的分子数占总分子数的百分比是确定的。 麦克斯韦速率分布曲线的特点是：对于同一种气体，温度越高，速率分布曲线越平坦；而在相同温度下的不同气体，分子质量越大的，分布曲线宽度越窄，高度越大，整个曲线比质量小的显得陡。 第十一章 气体动理论习题 一、选择题 1、用分子质量m ，总分子数N ，分子速率v 和速率分布函数()f v 表示的分子平动动能平均值为 [ ] （A ）0()Nf v dv ∞ ?； （B ）20 1 ()2 mv f v dv ∞? ； （C ） 20 1 ()2 mv Nf v dv ∞? ； （D ） 1 ()2 mvf v dv ∞? 。 2、下列对最概然速率p v 的表述中，不正确的是 [ ]
第七章气体动理论 一. 选择题 1、(基础训练1) [ C ]温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能S 和平均 平动动能W 有如下关系： (A) g 和▽都相等. (B) g 相等，而灰不相等. (C) W 相等，而g 不相等. (D) 5和W 都不相等. ? 【解】：分子的平均动能f = 与分子的自由度及理想气体的温度有关，由于氦气为单 2 原子分子，自由度为3;氧气为双原子分子，其自由度为5,所以温度、压强相同的氦气和 氧气，它们分子的平均动能不相等；分子的平均平动动能w = 仅与温度有关，所 2 以温度、压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均平动动能W 相等。 2、(基础训练3) [ C ]三个容器/I 、反C 屮装有同种理想气体，其分子数密度A2相同， 而方均 根速率之比为记)1 ’2 :它)1 ’2 :(荀’2=1 ：2：4,则其压强之比:心：p c 为: (C) 1 ： 4 ： 16. (D) 4 : 2 : 1. —,同种理想气体，摩尔质量相同，因方均 M 根速率之比为1:2:4,则温度之比应为：1: 4: 16,又因为理想气体压强p = 分子 数密度n 相同，则其压强之比等于温度之比，即：h 4: 16。 3、(基础训练8) [ C ]设某种气体的分子速率分布函数为/(V)，则速率分布在v^v 2 区间内的分子 的平均速率为 (A) \V2 vf(v)dv . (B) vpv/(v)dv. Ju { J V, (C) ￡vf(v)dv/￡f(v)dv . (D) ⑻dz?/J:/(v)dv . 【解】：因为速率分布函数表示速率分布在v 附近单位速率间隔内的分子数占总分子数 的百分率，所以p/Vl/(P)dp 表示速率分布在区间内的分子的速率总和，而 p/V/(v)dv 表示速率分布在区间內的分子数总和，因此 Jv } Jy, Jy, 示速率分布在仏?122区.间内的分子的平均速率。 4、(基础训练10) [ B ] 一固定容器内，储有一定量的理想气体，温度为r,分子的平 均碰撞次 数为若温度升高为27,则分子的平均碰撞次数€为 【解】：分子平均碰撞频率Z 因是固定容器lAl —定量的理想气体，分子数密 度。不变，而平均速率：^器，温度升高为2r ，则平均速率麟▲，所以心厄 (A) 1 ： 2 : 4. (B) 1:4:8. 【解】：气体分子的方均根速率：v^= (A) 2Z,. ⑻ V2Z^. ⑹ Z, ?
一．选择题 1、(基础训练1)［C］温度、压强相同得氦气与氧气,它们分子得平均动能与平均平动 动能有如下关系: (A) 与都相等. (B) 相等,而不相等. (C) 相等,而不相等. (D) 与都不相等. 【解】:分子得平均动能,与分子得自由度及理想气体得温度有关,由于氦气为单原子分子,自 由度为3;氧气为双原子分子,其自由度为5,所以温度、压强相同得氦气与氧气,它们分子得平 均动能不相等;分子得平均平动动能,仅与温度有关,所以温度、压强相同得氦气与氧气,它们分 子得平均平动动能相等。 2、(基础训练3)［C］三个容器A、B、C中装有同种理想气体,其分子数密度n相同, 而方均根速率之比为＝1∶2∶4,则其压强之比∶∶为: (A) 1∶2∶4. (B) 1∶4∶8. (C) 1∶4∶16. (D) 4∶2∶1. 【解】:气体分子得方均根速率:,同种理想气体,摩尔质量相同,因方均根速率之比为1∶2∶ 4,则温度之比应为:1:4:16,又因为理想气体压强,分子数密度n相同,则其压强之比等于温度 之比,即:1:4:16。 3、(基础训练8)［C］设某种气体得分子速率分布函数为f(v),则速率分布在v1~v2区间 内得分子得平均速率为 (A) . (B) . (C) / . (D) / . 【解】:因为速率分布函数f(v)表示速率分布在附近单位速率间隔内得分子数占总分子数得 百分率,所以表示速率分布在v1~v2区间内得分子得速率总与,而表示速率分布在v1~v2区间 内得分子数总与,因此/表示速率分布在v1~v2区间内得分子得平均速率。 4、(基础训练10)［B］一固定容器内,储有一定量得理想气体,温度为T,分子得平均碰 撞次数为 ,若温度升高为2T,则分子得平均碰撞次数为 (A) 2. (B) . (C) . (D) . 【解】:分子平均碰撞频率,因就是固定容器内一定量得理想气体,分子数密度n不变,而平均 速率: ,温度升高为2T,则平均速率变为,所以= 5、(自测提高3)［B］若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃,而室内气压不变,则此 时室内得分子数减少了:(A)0、5. (B) 4. (C) 9. (D) 21. 【解】:根据=,== 6、(自测提高7)［C］一容器内盛有1 mol氢气与1 mol氦气,经混合后,温度为127℃, 该混合气体分子得平均速率为 (A) . (B) . (C) . (D) . 【解】:根据算术平均速率:,其中,,,,再根据平均速率得定义,混合气体分子得平均速率为: 二．填空题 1、(基础训练11)A、B、C三个容器中皆装有理想气体,它们得分子数密度之比为n A∶n B∶ n C＝4∶2∶1,而分子得平均平动动能之比为∶∶＝1∶2∶4,则它们得压强之比∶∶＝ _1:1:1_. 【解】:根据理想气体得压强公式:,得∶∶＝1:1:1。 2、(基础训练15)用总分子数N、气体分子速率v与速率分布函数f(v)表示下列各量:(1) 速
气体动理论 一、填空题 1. (本题3分)某气体在温度为T = 273 K时，压强为p=1.0×10-2atm，密度ρ= 1.24×10-2 kg/m3，则该气体分子的方均根速率为____________。(1 atm = 1.013×105 Pa) 答案：495m/s 2. (本题5分)某容器内分子密度为1026m-3，每个分子的质量为3×10-27kg，设其中1/6分子数以速率v=200m/s垂直向容器的一壁运动，而其余5/6分子或者离开此壁、或者平行此壁方向运动，且分子与容器壁的碰撞为完全弹性的。则 (1)每个分子作用于器壁的冲量ΔP=_____________； (2)每秒碰在器壁单位面积上的分子数n0=___________； (3)作用在器壁上的压强p=_____________； 答案：1.2×10-24kgm/s ×1028m-2s-1 4×103Pa 3. (本题4分)储有氢气的容器以某速度v作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升0.7K，则容器作定向运动的速度v=____________m/s，容器中气体分子的平均动能增加了_____________J。
(普适气体常量R=8.31J·mol-1·K-1，波尔兹曼常k=1.38×10-23J·K-1，氢气分子可视为刚性分子。) 答案：：121 2.4×10-23 4. (本题3分)体积和压强都相同的氦气和氢气(均视为刚性分子理想气体)，在某一温度T下混合，所有氢分子所具有的热运动动能在系统总热运动动能中所占的百分比为________。 答案：62.5% 5. (本题4分)根据能量按自由度均分原理，设气体分子为刚性分子，分子自由度为i，则当温度为T时， (1)一个分子的平均动能为_______。 (2)一个摩尔氧气分子的转动动能总和为________。 答案：ikT RT 6. (本题5分)图示的两条曲线分别表示氦、氢两种气体在相同温度T时分子按速率的分布，其中
第 7 章 气体动理论基础 习题 一、选择题： 1. 若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻尔兹曼常量，R 为普适气体常量，则该理想气体的分子数为： (A) pV / m ． (B) pV / (kT )． (C) pV / (RT )． (D) pV / (mT )． ［ ］ 2. 一定量某理想气体按pV 2 ＝恒量 的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度 (A) 将升高． (B) 将降低． (C) 不变． (D)升高还是降低，不能确定． ［ ］ 3. 若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了 (A)00． (B) 400． (C) 900． (D) 2100． ［ ］ 4. 已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确 (A) 氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强． (B) 氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的密度一定大于氢气的密度． (C) 氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子的速率大. (D) 氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定比氧分子的方均根速率大． ［ ］ 5. 关于温度的意义，有下列几种说法： (1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度． (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义． (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同． (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度． 这些说法中正确的是 (A) (1)、(2) 、(4)． (B) (1)、(2) 、(3)． (C) (2)、(3) 、(4)． (D) (1)、(3) 、(4)． ［ ］ 6. 1 mol 刚性双原子分子理想气体，当温度为T 时，其内能为 (A) RT 23 ． (B)kT 23 ． (C)RT 2 5 ． (D)kT 2 5 ． ［ ］ （式中R 为普适气体常量，k 为玻尔兹曼常量） 7. 压强为p 、体积为V 的氢气（视为刚性分子理想气体）的内能为： (A) 25pV ． (B) 2 3 pV ． (C) pV ． (D) 2 1 pV ． ［ ］ 8. 设v 代表气体分子运动的平均速率，p v 代表气体分子运动的最概然 速率，2/12)(v 代表气体分子运动的方均根速率．处于平衡状态下理想气体，三种速率关系为 (A) p v v v ==2/12)( (B) 2/12)(v v v <=p
第七章 气体动理论 7 －1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们( ) (A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强 分析与解 理想气体分子的平均平动动能23k /kT =ε，仅与温度有关．因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同．又由物态方程nkT p =，当两者分子数密度n 相同时，它们压强也相同．故选(C)． 7－2 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比 ()()() 4:2:1::2/12C 2/12B 2/12A =v v v ，则其压强之比C B A ::p p p 为( ) (A) 1∶2∶4 (B) 1∶4∶8 (C) 1∶4∶16 (D) 4∶2∶1 分析与解 分子的方均根速率为 M RT /3=2v ，因此对同种理想气体有 3212C 2B 2A ::::T T T =v v v ，又由物态方程nkT ρ，当三个容器中分子数密度n 相 同时，得16:4:1::::321321==T T T p p p .故选(C)． 7 －3 在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为0T 时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ ，当气体温度升高为04T 时，气体分子的平均速率v 、平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为( ) (A) 004,4,4λλZ Z ===0v v (B) 0022λλ===,,Z Z 0v v (C) 00422λλ===,,Z Z 0v v (D) 00,2,4λλ===Z Z 0v v 分析与解 理想气体分子的平均速率M RT π/8=v ，温度由0T 升至04T ，则平均速率变为0v 2；又平均碰撞频率v n d Z 2π2= ，由于容器体积不变，即分子数密度n 不变，则平 均碰撞频率变为0Z 2；而平均自由程n d 2 π21 = λ，n 不变，则λ也不变．因此正确答案为(B)．