Early metrics for object oriented information systems
Marcela Genero 1, Ma Esperanza Manso2, Mario Piattini 1, Francisco García3
1 Department of Computer Science- University of Castilla-La Mancha
Tel. (+34) 926 29 53 00 Ext. 3715 – Fax (+34) 926 29 53 54
Ciudad Real – Spain
{mgenero, mpiattin}@inf-cr.uclm.es
2 Department of Computer Science - University of Valladolid
Tel. (+34) 983 42 30 00 – Fax 983 42 36 71
Valladolid – Spain
manso@infor.uva.es
3 Department of Computer Science and Automatic - University of Salamanca
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Salamanca – Spain
fgarcia@https://www.doczj.com/doc/b19992081.html,al.es
ABSTRACT. The quality of an object oriented information systems (OOIS) depends greatly on the decisions taken at the initial phases of their development. In a typical object oriented information systems development a class diagram is first built. Class diagrams lay the foundation for all later design work. So, their quality heavily affects on the product that will be ultimately implemented. Even though the appearance of the Unified Modelling Language (UML) as a standard of modelling OOIS have provided a great contribution towards building quality OOIS, it is not enough. Early availability of metrics is a key factor in the successful management of OOIS development. The goal of this work is to propose a set of metrics in order to assess the complexity of UML class diagrams. We also put the proposed metrics under empirical validation in order to provide empirical support to their practical significance and usefulness. Keywords. quality in object oriented information systems, object oriented metrics, class diagrams complexity, UML class diagrams
1.Introduction
A widely accepted principle in software engineering is that quality of a software product should be assured in the early phases of its life cycle. In a typical OOIS design at the early phases, a class diagram is first built. Class diagrams lay the foundation for all later design work. So, their quality can have a significant impact on the quality of the system which is ultimately implemented. Improving the quality of class, will therefore be a major step towards the quality improvement of the system development.
The appearance of UML (Object Management Group, 1999), as standard OO modelling language, should contribute to this. Even though, we have to be aware that a standard modelling language, can only give us a syntax and semantics to work with, but it cannot tell us whether a “good” model has been produced. Naturally, even when language is mastered, there is no guarantee that the models produced will be good. Therefore, it is necessary to assess their quality.
Quality is a multidimensional concept, composed of different characteristics such as functionality, reliability, usability, efficiency, maintainability and portability (ISO 9126, 1999). However, the definition of the different characteristics that compose the concept of “quality” is not enough on its own in order to ensure quality in practice as people will generally make different interpretations of the same concept. Software measurement plays and important role in this sense because metrics provide a valuable and objective insight into specific ways of enhancing each of the software quality characteristics. Measurement data can be gathered and analysed using various quality models to assess current product quality, to predict future quality, and to drive quality improvement initiatives (Tian, 1999).
Most the external quality attributes proposed in the ISO 9126 (1999), such as maintainability, reliability, etc. can only be measured late in the OOIS life cycle. So it is necessary to find early indicators of such qualities based, for example, on the structural properties of class diagrams (Briand, 1999b).
Early availability of measures is a key factor in the successful management of software development, since it allows for (Briand et al., 1999a):
1.the early detection of problems in the artifacts produced in the initial phases of the life cycle
(specification and design documents) and, therefore, reduction of the cost of change-late identification and correction of the problems are much more costly than early ones;
2.better software quality monitoring from the early phases of the life cycle;
3.quantitative comparison of techniques and empirical refinement of the processes to which there are
applied;
4.more accurate planning of resource allocation, based upon the predicted quality of the system and its
constitutent parts.
Within the field of software engineering a plethora of metrics have been proposed for measuring OO software products, even though most of them are related on products obtained from advanced design and implementation phases (Chidamber and Kemerer, 1994, Lorenz and Kidd, 1994; Brito e Abreu and Melo, 1996; Henderson-Sellers, 1996). Genero et al. (1999) have proposed some metrics for measuring OMT class diagrams. Few works have been done specifically about measures applied to UML class diagrams (Marchesi, 1998; Genero et al., 2000).
The goal of this work is to propose a set of metrics in order to measure the complexity of UML class diagrams (section 2) focusing specially in the different UML relationships, such as associations, aggregations, generalisations and dependencies. We also put the proposed metrics under empirical validation in order to provide empirical support to their practical significance and usefulness (section 3). Lastly, section 4 summarises the paper, draws our conclusions, and presents future trends in metrics for object modelling using UML.
2. A proposal of metrics for UML class diagrams
In this section we will propose a set of closed-ended metrics (Lethbridge, 1998) for assessing the complexity of UML class diagrams at the initial phase of the OOIS life cycle. A closed-ended metric is where measurements can only fall within a particular range, and where it is impossible for them to fall outside that range (most of our metrics fall in the range [0,1]). As the aim of this work is simplify class diagrams as much as possible, our goal will be minimise the metric values. We consider the worth case value when the metric value tends to 1, and the best case when the metric value tends to 0.
All of the proposed metrics measure the complexity of class diagrams due to relationships. UML allows to define the following kinds of relationships: associations, aggregations, generalisations and dependencies.
2.1 ASvsC metric
The Associations vs. Classes metric measures the relation that exists between the number of associations and the number of classes in an UML class diagram. It is based on M RPROP metric proposed by Lethbridge (1998). We define this metric as follows:
2.2 AGvsC metric
The Aggregations vs. Classes metric measures the relation that exists between the number of aggregations and the number of classes in an UML class diagram. We define this metric as follows:
the class diagram.
2.3DEPvsC Metric
The Dependencies vs. Classes metric measures the relation that exists between the number of dependencies and the number of classes in an UML class diagram. We define this metric as follows:
2.4GEvsC metric
The Generalisations vs. Classes metric measures the relation that exists between the number of
generalisations and the number of classes in an UML class diagram. We define this metric as follows:
2.5 M GH metric
The goal of Generalisation Hierarchy metric is to evaluate the complexity of class diagrams due to generalisation hierarchies. For this we take into account some of the factors that influence in the hierarchy structure (number of classes, number of levels and the use of multiple inheritance).
We define this metric as follow:
1. If the class diagram has no generalisation hierarchies: M GH = 0
2. If the class diagram has generalisation hierarchies, M GH is defined as: , where CJ ∑==n
1i i GH CJ M i is the complexity of the ith generalisation hierarchy and n is the number of generalisation hierarchy within a class diagram
In order to calculate CJ i we combine two factors: The first factor is the number of classes that are leaves of the hierarchy. This factor called FLEAF i, is calculated thus: C i LEAF
i i N N FLEAF =, where LEAF i N is the number
of leaf classes in the i th generalisation hierarchy and is the number of classes in the i C i N th hierarchy.
Figure 1 shows different generalisation hierarchies with their values of FLEAF i . FLEAF i approaches to 0.5 when the generalisation hierarchy is a binary tree (figure 1, parts c and d). It approaches zero in the ridiculous case of a unary “tree” with just a single superclass-subclass chain (figure 1, part b). And it approaches one if every superclass is an immediate subclass of the root class (part a).
On its own, FLEAF i has the undesirable property that for a very shallow hierarchy (e.g. just two or three levels) with a high branching factor it gives a measurement that is unreasonably high, from a subjective standpoint (part a of fig. 1 illustrate this). To correct this problem with FLEAF i , an additional factor is used in the calculation of CJ i , : the average number of direct and indirect superclasses per non-root class ALLSUP i (the root class of the generalisation hierarchy is not counted since it cannot have parents). This second factor is related to hierarchy depth but depends to some extent on the amount of multiple inheritance. CJ i is thus calculated using the following formula: i
i i ALLSUP FLEAF FLEAF ?= CJ i
Figure 1. Examples of generalisation hierarchies
2.6 M MI metric
Multiple Inheritance metric measures the complexity of generalisation hierarchies due to multiple inheritance.
M MI is defined thus:
1. If the class diagram has no generalisation hierarchies M MI = 0
2. If the class diagram has generalisation hierarchies M MI is defined as follows: , where CMI ∑==n
1i i MI CMI M i is the complexity of multiple inheritance of the ith generalisation hierarchy, and n is the number of generalisation hierarchies within a class diagram.
CJHM i measures the ratio of extra parents (more than one) of each class. It is defined thus: C i EX
i i N N CMI =,
where is the number of extra parents of the ith class, and is the number of classes in such generalisation hierarchy.
EX i N C i N
2.7 AvsC metric
The Attributes vs. Classes metric measures the relation that exists between the number of attributes and the number of classes in an UML class diagram.
We define this metric as follows:
2.8 MEvsC metric
The Methods vs. Classes metric measures the relation that exists between the number of methods and the number of classes in an UML class diagram.
We define this metric as follows:
3.Our metrics in practice
The software measures have an important role on management and qualification of OOIS, at the initial phase of their life cycle. Nevertheless, it is well known that the definition of new metrics is not enough to cover this purpose. Another fundamental aspect in this aim rests on the empirical validation and correct interpretation of the observed measures (Fenton, 1994; Zuse, 1998). According to this purpose we have studied the behaviour of the proposed metrics in a set of assets (reusable software elements) stored in the GIRO repository.
The GIRO repository was founding as part of a research work on reuse, and it includes assets coming from different stages of software development and from various software paradigms, basically object oriented and classical (García, 2000).
3.1 Data collection and analysis
For the moment, the supplier of GIRO repository is the membership of GIRO and students from the University of Valladolid, who are developing their final project in Computer Technical Engineering. The asset measured belong to three product lines: 7 of Image (I), 7 of Disabled (D) and 13 of Optic (O). All of them were developed following the OO paradigm and UML, using the RATIONAL ROSE case tool; DELPHY was the implementation language.
To each asset we calculate the proposed metrics. Each asset has those values as part of its quality documentation.
The methodology followed in this research is thus:
1.Extract relevant information from a summary of data.
2.Analyse the data in order to find differences between product lines.
The null hypotheses to test is: H1o: there is no difference between metric X in line1 and metric X in line2
Where X is each of the eight selected metrics, and line1 and line2 are each of the three product lines.
As result, we have 24 test.
3.Analyse this data in order to study relations between metrics.
The null hypotheses to test are H2o and H3o:
H2o: metric X is no correlated with Y in the product line1.
Where X and Y are each of the eight selected metrics, and line1 is each of the three product lines.
As result we have 84 test.
H3o: metric X is no correlated with Y in all product lines.
Where X and Y are each of the eight selected metrics, as result we have 28 test.
Really, the number of test analysed was smaller, because there were a set of metrics without enough observed values. We have used the Mann-Whitney test to compare medians and Spearman correlation test to study relationships (Siegel, 1985), which are suitable statistical analysis techniques to study ordinal metrics
3.2 Metric summary
Table 1 shows the observed percentiles by product line and globally. The legends D, I, O, G mean Disabled, Image, Optic and Globally, and each cell shows the 25, 50 and 75 percentiles. The metrics with higher Percentiles are AvsC and MEvsC, so attributes and methods can introduce the biggest complexity in the design. Considering the box-and-whisker plots, only AvsC could have a symmetric distribution in Optic line. The N-ary metric has not observed values.
asset
count
ASvsC N-ary AGvsC GEvsC DEPvsC AvsC MEvsC M GH
D 7 0.0513
0.1600
0.1805 0
0.0400
0.0865
0.1029
0.2430
0.4440
0.5070
0.6277
0.6766
0.7212
I 7 0.0073
0.0076
0.1738 0
0.0004
0.0021
0.0323
0.0598
0.0625
0.0625
0.4970
0.5710
0.6860
0.6488
0.6877
0.7606
0.1925
0.385
0.385
O 13 0.0400
0.0625
0.1111 0
0.0083
0.1185
0.1503
0.1600
0.5870
0.6400
0.7380
0.6400
0.6655
0.6694
G27 0.0083
0.0494
0.1111 0
0.0052
0.0587
0.0625
0.1503
0.0400
0.4970
0.5710
0.6690
0.6463
0.6694
0.7137
0.0550
0.3850
Table 1. Percentiles
3.3 Set of metrics which can differentiate between products lines
We test H1o hypothesis to study the behaviour of the metrics by product lines in order to find significative differences. If a metric have different behaviour in two product lines then, it must be considered in future researches.
The sample is small (7 D products, 7 I products and 13 O products), but even so can detect some tracks. The hypothesis is that there is no difference between each pair of medians:
H 1o: Median X(line1) = Median X(line2)
“-“ There are few observations
ASvsC AGvsC GEvsC DEPvsC AvsC MEvsC M GH
I/D 0.0087 -
0.9350 - 0.2013 0.7983 - I/O 0.0383 0.0066 - - 0.0383 0.4273 - D/O 0.1303 - - - 0.0015 0.5253 - Table 2. P-Value (p) of Mann-Whitney Test
Considering Table 2, we can conclude that:
? The ASvsC can differentiate between product lines I and D. ? Furthermore I is different of O, when ASvsC, AGvsC and AvsC are considered.
? The AvsC can differentiate between product lines D and O.
3.4 Relationships among metrics
Every metric considered should quantify a distinct feature of the software products. To achieve this goal they need to be independent from each other, we can express the hypothesis H 2o and H 3o as: r xy = 0
Tables 3, 4 and 5 summarise the results achieved applying the Spearman correlation test. The cells contain the p-value and the Spearman correlation coefficient. If there are insufficient observations the cell contains "-".
From table 3, we can conclude that MEvsC could have positive correlation with AGvsC(p= 0.0326) and DEPvsC(p=0.0663) in product line I.
From table 4, we have not observed any correlation in product line D, (p > 0.1 in all cases).
From table 5, we can conclude that GEvsC could have negative correlation with MEvsC(p= 0.0154) in the product line O.
When we studied the metric dependency in all the sample (n = 27) we only observed positive correlation between ASvsC and DEPvsC (p =0.0598), the relationships detected into product lines disappeared.
Image
ASvsC AGvsC GEvsC DEPvsC AvsC MEvsC ASvsC 0.7875 -0.1101 0.95815 -0.0263 - 0.75757
-01261
0.40187
-0.3424 AGvsC 0.1945 -0.6489 - 0.1089 0.6547 0.0326
0.8729
GEvsC - 0.4727 0.3591 0.8375
-0.1026
DEPvsC - -
AvsC 0.0663
0.7500
Table 3. Matrix of Spearman correlation in product line Image
Disabled ASvsC AGvsC
GEvsC DEPvsC AvsC MEvsC ASvsC - - 0.6274 0.1982 0.1154
0.6429
0.7931 0.1071 AGvsC - - - - GEvsC - - - DEPvsC 0.3316
0.3964
0.7575 0.1261 AvsC 0.7931 -0.1071
Table 4. Matrix of Spearman correlation in product line Disabled
Optic
ASvsC AGvsC GEvsC DEPvsC AvsC MEvsC ASvsC 0.2413 0.3354 0.8493 -0.0633 - 0.2156 0.3574 0.1507 0.4148
AGvsC 0.8067 -0.0815 - 0.16193 -0.4038 0.9068 -0.0338
GEvsC - 0.5828 0.1831 0.0154 -0.8074
DEPvsC - -
AvsC 0.7366 -0.0971
Table 5. Matrix of Spearman correlation in product line Optic
In conclusion, the complexity metrics ASvsC, AGvsC and AvsC could have different behaviour by product lines, so if we ignore it we can have confounding (Kleinbaum, 1987). Furthermore, some metrics, such as MEvsC wtih AGvsC, AvsC and GEvsC could be correlated in different product lines, and so we must consider this relationship in future models. We cannot forget that the sample is small, so the conclusions must be corroborated with other larger samples.
4. Conclusions and future work
Due to the growing complexity of OOIS, continuous attention to and assessment of object models are necessary to produce quality software systems. The fact that UML has emerged is a great step forward in object modelling. Even though this does not guarantee the quality of the models produced through the IS life cycle. Therefore, it is necessary to have metrics in order to evaluate their quality from the early phases in the OOIS development process.
In this work we have presented a set of metrics for assessing the complexity of UML class diagrams, obtained at early phases of the OOIS life cycle. It is widely accepted that the greater complex an UML class diagram, the greater complex the OOIS which is finally implemented, and therefore more effort is needed to develop and maintain it. So that the proposed metrics could be very fruitful, because they will allow OOIS designers to assess the complexity of their designs, and compare between design alternatives, from the early phases of OOIS life cycle.
As in other aspects of Software and Knowledge Engineering, proposing techniques and metrics is not enough, validation is critical to the success of software measurement (Kitchenham et al., 1995; Fenton and Pflegeer, 1997; Schneidewind, 1992; Basili et al.,1999). It is also necessary for them under theoretical and empirical validation, in order to assure their utility. Furthermore it is important understand their behaviour in order to define suitable models and appropriate design of the experiments (Montgomery, 1991,
Kleinbaum et al., 1987), i.e. the quality model changes if we need consider blocks (product lines in this case), or if we have variables which are not independent (MEvsC and AGvsC).
With regard to empirical validation, we are carrying out some experimentation not only with controlled experiments but also with “real” cases taken from some enterprises, with the objective of assessing these metrics as predictors of maintenance efforts, and therefore, determine whether they can be used as early quality indicators.
In future work, we will focus our research on measuring other quality factors like those proposed in the ISO 9126 (1999), which not only tackle class diagrams, but also evaluate other UML diagrams, such as use-case diagrams, state diagrams, etc. To our knowledge, few works have been done towards measuring dynamic and functional models (Derr, 1995; Poels, 1999; Poels 2000). As is quoted in (Brito e Abreu et al., 1999) this is an area which lacks in depth investigation. In addition further empirical validation of the proposed metrics is needed to research their usefulness in the development software process. Furthermore we need a sample bigger to confirm the tracks find in this study and a quality model which includes a set of interest variables.
We will extend our metric, called MANTICA (created to measures data models), in order to provide support for collecting, analysing and visualising metric values applied to UML class diagrams. Acknowledgements
This research is part of the MANTICA project, partially supported by CICYT and the European Union (1FD97-0168), and MENHIR project, supported by CICYT TIC97-0593-C05-05.
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(Zuse, 1998): H. Zuse. A Framework of Software Measurement. Berlin, Walter de Gruyter, 1998.
最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）
曲线拟合及其应用综述 摘要：本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域中的应用，然后详细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线拟合方法在柴油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并对曲线拟合方法的发展进行了思考和展望。 关键词：曲线拟合最小二乘法故障模式识别柴油机故障诊断 1背景及应用 在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关系。理论上讲，可以根据插值原则构造n 次多项式Pn(x)，使得Pn(x)在各测试点的数据正好通过实测点。可是, 在一般情况下，我们为了尽量反映实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式Pn(x)的次数很高，这不仅增大了计算量，而且影响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经过每一实测样点，这样就会保留测量误差，从而影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关系。因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被测试量之间的函数关系，使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。 曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用。 2 基本原理 2.1 曲线拟合的定义 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2 曲线拟合的方法 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2.1 有理论模型的曲线拟合 有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问题。通过实验或者观测得到的数据对（x i,y i）（i=1,2, …,n），可以用与背景资料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)来反映x、y之间的依赖关系，y=f(x,c)称为拟合的理论模型，式中c=c0,c1,…c n是待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的方法是最小二乘法。 2.2.1.1 线性模型的曲线拟合 线性模型中与背景资料相适应的解析表达式为： ε β β+ + =x y 1 （1） 式中，β0，β1未知参数，ε服从N(0，σ2)。 将n个实验点分别带入表达式（1）得到： i i i x yε β β+ + = 1 （2） 式中i=1,2,…n，ε1, ε2,…, εn相互独立并且服从N(0，σ2)。 根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小： 2 1 1 ) ( i i n i i x y Jε β β- - - =∑ = （3） 将试验点数据点入之后，求目标函数的最大值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即： ) ( 2 1 1 = - - - - = ? ?∑ = i i n i i x y J ε β β β （4）
毕业论文文献综述 信息与计算科学 最小二乘法的原理及应用 一、国内外状况 国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。 数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。 二、进展情况 数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。 数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。
最小二乘法综述及算例 一最小二乘法的历史简介 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。 高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。 经过两百余年后，最小二乘法已广泛应用与科学实验和工程技术中，随着现代电子计算机的普及与发展，这个方法更加显示出其强大的生命力。 二最小二乘法原理 最小二乘法的基本原理是：成对等精度测得的一组数据),...,2,1(,n i y x i i =，是找出一条最佳的拟合曲线，似的这条曲线上的个点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。 设物理量y 与1个变量l x x x ,...,2,1间的依赖关系式为:)(,...,1,0;,...,2,1n l a a a x x x f y =。 其中n a a a ,...,1,0是n +l 个待定参数,记()2 1 ∑=- = m i i i y v s 其中 是测量值, 是由己求 得的n a a a ,...,1,0以及实验点),...,2,1)(,...,(;,2,1m i v x x x i il i i =得出的函数值 )(,...,1,0;,...,2,1n il i i a a a x x x f y =。 在设计实验时, 为了减小误差, 常进行多点测量, 使方程式个数大于待定参数的个数, 此时构成的方程组称为矛盾方程组。通过最小二乘法转化后的方程组称为正规方程组(此时方程式的个数与待定参数的个数相等) 。我们可以通过正规方程组求出a 最小二乘法又称曲线拟合, 所谓“ 拟合” 即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点, 只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。 三曲线拟合 曲线拟合的几何解释: 求一条曲线, 使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处。 （1）一元线性拟合 设变量y 与x 成线性关系x a a y 10+=,先已知m 个实验点),...,2,1(,m i v x i i =，求两个未知参数1,0a a 。 令()2 1 10∑ =--=m i i i x a a y s ，则1,0a a 应满足1,0,0==??i a s i 。 即 i v i v
误差理论综述与最小二乘法讨论 摘要：本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。并且针对最小二乘法（LS）的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。同时，将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。 1.误差的有关概念 对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。许多物理量的发现，物理常数的确定，都是通过精密测量得到的。任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具 测量基本概念 一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。按实验数据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。 直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。 间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。 组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。 误差基本概念 误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。若某物理量的测量值为y，真值为Y，则测量误差dy=y-Y。虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质，可分为随机误差，系统误差和粗大误差三类。 随机误差:是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。 系统误差:是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。 粗大误差:指超出在规定条件下预期的误差。 等精度测量的随机误差 当对同一量值进行多次等精度的重复测量，得到一系列的测量值，每个测量
目录 1 工程进度情况描述 (1) 2质量保证体系运行情况 (1) 2.1 本月质量人员配备情况 (1) 2.2 本月主要试验设备配置情况 (1) 2.3 质量管理内容 (1) 2.4质量保证措施 (1) 3 工程质量检验情况 (1) 3.1 原材料检验情况 (1) 3.2 中间产品以及施工质量检验情况 (2) 3.3混凝土施工质量检验情况 (2) 3.4土石方质量检验情况表 (2) 3.5金属结构安装质量检验情况 (3) 3.6机电设备安装质量检验情况 (3) 4 工程质量评定及验收 (3) 4.1 单元工程质量评定情况 (3) 4.2 工程质量验收情况 (3) 5 本月施工质量大事记 (4) 6 工程质量问题及其原因分析、处理过程 (4) 7 影响工程质量的因素分析及针对存在问题拟采取的措施 (4) 8 下月重点控制内容及采取的措施 (4)
质量月报编制提纲 1 工程进度情况描述 对本月各项目进展情况作全面高度概括性的描述，主要介绍本月的施工项目。2质量保证体系运行情况 简要介绍本月的质量管理体系的运行情况。附质量保证体系组织机构图。2.1 本月质量人员配备情况 介绍现场质量人员的到位情况，对其是否满足合同承诺及施工需要作出评价。 2.2 本月主要试验设备配置情况 介绍现场试验设备的到位情况，对其是否满足合同承诺及施工需要作出评价。 2.3 质量管理内容 介绍本月的质量管理内容 2.4质量保证措施 介绍为保证工程质量主要采取的质量保证措施 3 工程质量检验情况 使用图表对主要原材料、混凝土、土石回填等主要项目的质量检验情况进行统计，以便反映质量指标的分布和变异。检测项目应根据合同和发包人的要求确定，没有该项目的不填。 3.1 原材料检验情况
题目:最小二乘法的综述及算例院系：航天学院自动化 班级： 学号： 学生签名： 指导教师签名： 日期：2011年12月6日
目录 1．综述 (3) 2．概念 (3) 3．原理 (4) 4．算例 (6) 5．总结 (10) 参考文献 (10)
1．综述 最小二乘法最早是由高斯提出的，这是数据处理的一种很有效的统计方法。高斯用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。 最小二乘法普遍适用于各个科学领域，它在解决实际问题中发挥了重要的作用。它在生产实践、科学实验及经济活动中均有广泛应用。比如说，我们引入等效时间的概念,根据Arrhenius 函数和指数函数研究水化热化学反应速率随温度的变化,最后采用最小二乘法回归分析试验数据,确定绝热温升和等效时间的关系式。 为了更好地掌握最小二乘法，我们引入以下两个问题： (1)假设已知一组二维数据（i i y x ,），（i=1,2,3···n ），怎样确定它的拟合曲线y=f(x)（假设为多项式形式f(x)=n n x a x a a +++...10）,使得这些点与曲线总体来说尽量接近？ (2)若拟合模型为非多项式形式bx ae y =，怎样根据已知的二维数据用最小二乘线性拟合确定其系数，求出曲线拟合函数？ 怎样从给定的二维数据出发，寻找一个简单合理的函数来拟合给定的一组看上去杂乱无章的数据，正是我们要解决的问题。 2．概念 在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数（i i y x ,）（i=1,2,3···m ）中寻找自变量x 与y 之间的函数关系y=F(x).由于观测数据往往不准确，此时不要求y=F(x)经过所有点（i i y x ,），而只要求在给定i x 上误差i δ=F （i x ）i y -（i=1,2,3···m ）按某种标准最小。 若记δ=( )δδδm T 2 ,1,就是要求向量δ的范数δ 最小。如果用最大范数，计算上困 难较大，通常就采用Euclid 范数2 δ 作为误差度量的标准。 关于最小二乘法的一般提法是：对于给定的一组数据（i i y x ,） (i=0,1,…m)要求在函数空间Φ=span{ n ???,....,,10}中找一个函数S*(x)，使加权的误差平方和22 δ =
文献综述 信息与计算科学 最小二乘法的原理及应用 一、国内外状况 国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。 数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。 二、进展情况 数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。 数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。
开题报告 数学与应用数学 最小二乘法的原理和应用 一、选题的意义 最小二乘法在很多领域都的到了广泛的应用。在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程。简单的说，最小二乘法思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小。这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。从计算角度看，最小二乘法与插值法类似，都是处理数据的算法。但从创设的思想看，二者却有本质的不同，前者寻求一条曲线，使其与观测数据“最接近”，目的是代表观测数据的趋势；后者则是使曲线严格通过给定的观测数据，其目的是通过来自函数模型的数据来接近近似刻画函数。在观测数据带有测量误差的情况下，就会使得这些观测数据偏离函数曲线，结果使得观测数据保持一致的插值法不如最小二乘法得到的曲线更符合客观实际。 最小二乘法能在统计学中得到应用，也是因为测量误差的存在。事实上，在高斯等人创立了测量误差理论，对最小二乘法进行了分析后，这种方法才在统计界获得了合法地位，正式成为了一张统计方法。最小二乘法逐步渗入到统计数据分析领域，对统计学的发展产生了重大影响。 二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最
小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。用最小二乘法估计参数时，要求观测值的偏差的加权平方和为最小。由于直线参数的估计值是根据由误差的观测数据点计算出来的，他们不可避免地存在着偏差。 三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路） 研究（工作）步骤： 1．2010.12.15－2010.12.31 根据选题，广泛查阅资料，填写任务书有关事项，明确任务要求，初步形成研究方向。 2．2011.1.1－2011.3.6利用课余时间、假期仔细研读参考文献，初步拟定论文提纲，收集所要翻译的外文资料，完成两篇外文翻译，以及撰写开题报告和文献综述。 3．2011.3.6－2011.3.12修改开题报告、文献综述和外文翻译，进一步整理论文大纲。 4．2011.3.13－2011.3.16根据论文大纲翻阅相关详细资料。 5．2011.3.17－2011.3.26整理收集的相关材料，开始写论文工作。 6．2011.3.27－2011.4.10撰写论文初稿，上交论文、译文、开题报告、指导记录、中期检查表。 7．2011.4.11－2011.4.25修改论文，上交所有相关材料。 8．2011.4.26－2011.5.18补充必要的内容，论文打印、定稿。 9. 2011.5.19－2011.5.28准备毕业论文答辩。 方法及措施：主要采用举例分析、探讨的方法。 四、毕业论文（设计）提纲 1. 最小二乘法的引入 1.1最小二乘法及其证明 1.2最小二乘法的简单运用
开题报告 信息与计算科学 浅谈最小二乘法的原理及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 最小二乘法（Least Square Method ）是提供“观测组合”主要工具之一, 它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式. 如已知两变量为线性关系, 对其进行次观测而获得对数据. 若将这对数据代入方程求y a bx =+(2)n n >n n 解的值则无确定解, 而最小二乘法提供了一个求解方法, 其基本思想是寻找“最接,a b 近”这个观测点的直线. n 最小二乘法创立与十九世纪初, 是当时最重要的统计方法, 在长期的发展中, 人们一直处于不断的研究中, 在传统最小二乘法的基础上, 出现了许多更为科学先进的方法, 如移动最小二乘法、加权最小二乘法、偏最小二乘法、模糊最小二乘法和全最小二乘法等, 使得最小二乘法在参数估计、系统辨识以及预测、预报等纵多领域都有着广泛的应用. 相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础, 所以最小二乘法被称之为数理统计学的灵魂. 正如美国统计学家斯蒂格勒（S. M. Stigler ）所说, “最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”. 因此对最小二乘法的研究就显得意义重大. 国内外的学者们一直在对传统最小二乘法做进一步的研究. 勒让德（A. M. Legender ）于1805年发表了论著《计算彗星轨道的新方法》, 在书中勒让德描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点, 他认为: 赋予误差的平方和为极小, 则意味着在这些误差间建立了一种均衡性, 它阻止了极端情形所施加的过分影响. 1809年高斯 （C. F. Gauss ）在著作《天体沿圆锥截面围绕太阳运动的理论》中发表有关最小二乘法的理论, 随后在1826年的著作中阐述了最小二乘法的全部内容. 统计学者对最小二乘法做了进一步的研究探讨, 1970年, 由霍尔（A. E. Horel ）和肯纳德（R. W. Kennard ）提出的岭估计（Ridge Estimate ）, 用取代, ()()11?n i i i k S kI x y β -==+∑?β有效的降低了原方法的病态性.
基于最小二乘法的数据处理问题研究综述 摘要：对基于最小二乘法的数据处理方法进行了介绍。首先对传统最小二乘法基本原理进行了介绍，然后根据例子来说明怎样运用传统最小二乘法来解决实际辨识问题。而且本文针对传统最小二乘存在的缺陷进一步阐述了一些改进型最小二乘法，综述了最小二乘法的研究现状，最后对最小二乘的发展趋势做了预测。 关键字：最小二乘法数据处理改进型最小二乘法发展趋势 1引言 在科学实验中经常要把离散的测量数据转化为直观的便于研究的曲线方程，即曲线拟合[1]。由于在实验室或实际应用中，误差是不可避免的，所以为了不把原有离散数据中的误差引入，人们经常用拟合来确定模拟函数。拟合方法不要求模拟函数通过已知离散的点，而追求的是所有点到模拟函数达到某种误差指标的最小化，是一种整体上的逼近性质。最小二乘法是解决这类曲线拟合中一种较为常用的方法，根据最小二乘法的定义[2]：“最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。”最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识，因此最小二乘在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域中得到极为广泛的应用。 本文在阐述最小二乘法理论的基础上对于其在实际问题中的辨识应用做了简单介绍，并指出实际应用中存在的不足，列举了几种改
进型的最小二乘算法来进行优化比较，最后给出了最小二乘法的发展趋势。 2 最小二乘法的理论基础及应用 2.1最小二乘法的理论基础 最小二乘法作为一种传统的参数估计方法，早已经被大家所了 解。 然而大多同学对最小二乘法的认识都比较模糊，仅仅把最小二乘法理解为简单的线性参数估计。 事实上，最小二乘法在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域都有着广泛的应用[3]。特别是针对动态系统辨识的方法有很多[4]，但其中应用最广泛，辨识效果良好的就是最小二乘辨识方法，研究最小二乘法的应用在就要对其基本原理有较为深刻的理解。 下面是一般的最小二乘法问题：求实系数线性方程组 11112211211222221122 .........00......0n n n n m m mn n m b b b a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++-++-++-?+=?+=????+=? （1） 方程组可能无解。即很可能不存在一组实数x 1,x 2,……,x n 使 2112120()i i in n i m i a x a x a x b =++?+-=∑ （2） 恒成立。因此我们转而求其次，设法找到实数组 x 1，x 2，…，x n 使误差的平方和最小，这样的 x 1，x 2，…，x n 称为方程组的最小二乘解，这样问题就叫最小二乘法问题[5]。
题目:最小二乘法的综述及算例 院系：航天学院自动化 班级： 学号： 学生签名： 指导教师签名： 日期：2011年12月6日 目录 1．综述 (3) 2．概念 (3) 3．原理 (4) 4．算例 (6) 5．总结 (10) 参考文献 (10) 1．综述 最小二乘法最早是由高斯提出的，这是数据处理的一种很有效的统计方法。高斯用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。但由
于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。 最小二乘法普遍适用于各个科学领域，它在解决实际问题中发挥了重要的作用。它在生产实践、科学实验及经济活动中均有广泛应用。比如说，我们引入等效时间的概念,根据Arrhenius 函数和指数函数研究水化热化学反应速率随温度的变化,最后采用最小二乘法回归分析试验数据,确定绝热温升和等效时间的关系式。 为了更好地掌握最小二乘法，我们引入以下两个问题： (1)假设已知一组二维数据（i i y x ,），（i=1,2,3···n ），怎样确定它的拟合曲线y=f(x)（假 设为多项式形式f(x)=n n x a x a a +++...10）,使得这些点与曲线总体来说尽量接近？ (2)若拟合模型为非多项式形式bx ae y =，怎样根据已知的二维数据用最小二乘线性拟合确定其系数，求出曲线拟合函数？ 怎样从给定的二维数据出发，寻找一个简单合理的函数来拟合给定的一组看上去杂乱无章的数据，正是我们要解决的问题。 2．概念 在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数（i i y x ,）（i=1,2,3···m ）中寻找自变量x 与y 之间的函数关系y=F(x).由于观测数据往往不准确，此时不要求y=F(x)经过所有点（i i y x ,），而只要求在给定i x 上误差i δ=F （i x ）i y -（i=1,2,3···m ）按某种标准最小。 若记δ=()δδδm T 2,1,就是要求向量δ的范数δ最小。如果用最大范数，计算上困难较大，通常就采用Euclid 范数2δ作为误差度量的标准。 关于最小二乘法的一般提法是：对于给定的一组数据（i i y x ,） (i=0,1,…m)要求在函数空间Φ=span{ n ???,....,,10}中找一个函数S*(x)，使加权的误差平方和22δ=2 0))()((i i m i i y x S x -∑=ω最小，其中，0)(>=i x ω是[a,b]上的权函数，它表示反应数据（i i y x ,） 在实验中所占数据的比重。 我们说，S(x)=)()()(1100x a x a x a n n ???+++ (n 文献综述 数学与应用数学 最小二乘法的原理和应用 一、国内外状况 天文学自古代至18世纪是应用数学中最发达的领域。观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子，在此种意义下，天文学家就是最初的数理统计学家。天文学的问题逐渐引导到算术平均，以及参数模型中的种种估计方法，以最小二乘法为顶峰。 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。 高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。 勒让德是法国军事学校的教授，曾任多界政府委员，后来成了多科工艺学校的总监，直至1833年逝世。有记载最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。他在该书中描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点。勒让德的成功在于它从一个新的角度来看待这个问题，不像其前辈那样致力于找出几个方程（个数等于未知数的个数）再去求解，而是考虑误差在整体上的平衡。从某种意义讲，最小二乘法是一个处理观测值的纯粹代数方法。要将其应用于统计推断问题就需要考虑观测值的误差，确定误差分布的函数形式。 勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。 1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。 最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。如已知两变量为线性关系 y=a+dx,对其进行n（n>2）次观测而获得n对数据，若将这n对数据代入方程求 曲线拟合的最小二乘法 学院：光电信息学院 姓名：赵海峰 学号：200820501001 一、曲线拟合的最小二乘法原理： 由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线 )(...)()()(1100x a x a x a x S n n ???+++= 称为曲线拟合的最小二乘法。 若记 ),()()(),(0 i k i j m i i k j x x x ??ω??∑== k i k i m i i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0 ?ω? 上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j n o j j k -=∑=??这个方程成为法方程，可写成距阵 形式 d Ga = 其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a == ???? ????????=),(),(),()(),(),(),(),(),(10 1110101000n n n n n n G ?????????????????? 。 它的平方误差为：.)]()([)(||||20 22i i m i i x f x S x -= ∑=ωδ 二、数值实例： 下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7:00左右(新疆时间)的天气预报所得 到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。 下面应用Matlab编程对上述数据进行最小二乘拟合 三、Matlab程序代码： x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合% a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合% b1=polyval(a1,x) b2=polyval(a2,x) b3=polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% hold on plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像% hold on plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像% 四、数值结果： 不同次数多项式拟和误差平方和为： r1 = 67.6659 r2 = 20.1060 r3 = 3.7952 r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。 拟和曲线如下图： 我给你个最小二乘拟合的例子自己体会一下： 下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7:00左右(新疆时间)的天气预报所得到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。 (2008年10月26~11月26) 天数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温度9 10 11 12 13 14 13 12 11 9 天数11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 温度10 11 12 13 14 12 11 10 9 8 天数21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 温度7 8 9 11 9 7 6 5 3 1 下面应用Matlab编程对上述数据进行最小二乘拟合 Matlab程序代码： x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合% a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合% b1= polyval(a1,x) b2= polyval(a2,x) b3= polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% hold on plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像% hold on plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像% 大学2013～2014 学年第－学期期末考试 －系统辨识 (小论文) 题目：最小二乘法综述 学院：电气与信息工程学院系：自动化系 专业：自动化 班级：自动化*班 学生姓名： 学号： 日期：2016/12/27_____________________________ 最小二乘法综述 摘要：最小二乘法是一种最基本的辨识方法，本文首先对系统辨识概念以及最小二乘法原理进行了介绍，针对最小二乘存在的缺陷：一是随着数据的增长，最小二乘法将出现所谓的“数据饱和”现象；二是存在有色噪声时不能获得无偏一致估计。进行了分析并阐述了几种能有效解决上述问题的改进型最小二乘法，分别称为遗忘因子法、限定记忆法和广义最小二乘法，并且在Matlab上进行了仿真分析。最后对最小二乘法在系统辨识中的发展趋势做了预测。 关键词：最小二乘法改进型最小二乘法Matlab 发展趋势 引言 系统辨识归根到底是一种数学建模的过程，而建模过程中运用的方法并不唯一，最小二乘法是较早被应用于系统辨识中的一类方法。1962年，L. A. Zadeh 最先提出了系统辨识的定义：“辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。”简单的来说，就是在现有数据的基础上，按照一个准则在一组模型类中选择一个与提供的数据拟合得最好的模型。而根据最小二乘法的定义：“最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。”其基本思想就是让实测数据和估计数据之间的平方和最小，这恰恰是系统辨识所需要解决的问题，所以最小二乘法很早就被用来求解辨识中需要的拟合数学模型。 本文在阐述最小二乘法理论的基础上对于其在系统辨识中的应用做了介绍，并指出实际应用中存在的不足，列举了几种改进型的最小二乘算法限定记忆法和遗忘因子法，并通过Matlab进行仿真分析，最后给出了系统辨识的发展趋势。 基于最小二乘法的系统辨识问题研究综述 摘要：对基于最小二乘法的系统辨识方法进行了介绍。首先对系统辨识概念以及最小二乘法原理进行了介绍，然后根据例子来说明怎样运用最小二乘法来解决实际辨识问题。而且本文针对最小二乘存在的缺陷进一步阐述了一些改进型最小二乘法在系统辨识中的应用，最后对系统辨识的发展趋势做了预测。 关键字：系统辨识最小二乘法改进型最小二乘法发展趋势 1引言 系统辨识归根到底是一种数学建模的过程，而建模过程中运用的方法并不唯一，最小二乘法是较早被应用于系统辨识中的一类方法。1962年，L. A. Zadeh 最先提出了系统辨识的定义[1]：“辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。”简单的来说，就是在现有数据的基础上，按照一个准则在一组模型类中选择一个与提供的数据拟合得最好的模型。而根据最小二乘法的定义[2]：“最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。”其基本思想就是让实测数据和估计数据之间的平方和最小，这恰恰是系统辨识所需要解决的问题，所以最小二乘法很早就被用来求解辨识中需要的拟合数学模型。 本文在阐述最小二乘法理论的基础上对于其在系统辨识中的应 用做了介绍，并指出实际应用中存在的不足，列举了几种改进型的最小二乘算法来改进系统辨识能力，最后给出了系统辨识的发展趋势。 2 基于最小二乘法的系统辨识的理论基础及应用 2.1 系统辨识的理论基础 从字面上讲，系统辨识( System Identification) 就是识别一个系统、辨识一个系统[3]。系统通常是由表征系统输入输出关系的数学模型描述的，这个模型有其特定的结构和参数。因此，系统辨识包含系统结构辨识 ( System Structure Identification) 和参数估计( Parameter Estimation) ． 系统结构(或模型结构) 就是系统数学表达式的形式。对单输入单输出线性系统而言，模型结构就是系统的阶次(Order) ；对多变量线性系统而言，模型结构就是系统的能控性结构指数(Controllability Structure Index) 或能观测性结构指数(Observability Structure Index) ，系统阶次等于系统的能控性结构指数或能观测性结构指数之和。对传递函数而言，系统参数就是传递函数分子分母多项式的系数(Coeffi-cient) ，系统阶次就是传递函数分母多项式的次数(Degree) ; 对状态空间模型而言，系统参数就是状态空间模型的 A，B，C，D 矩阵，就是状态向量的维数或矩阵的维数，它等于系统的能控性结构指数系统阶次或能观测性结构指数之和。【文献综述】最小二乘法的原理和应用
曲线拟合的最小二乘法matlab举例
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基于最小二乘法的系统辨识问题研究综述
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