线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学 ： 学号：
线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业， 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。 定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明：
○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。 设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 (i)σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0}
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。 在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。 对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）：feasp，mincx和gevp。 每个求解器针对不同的问题： feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)
线性方程组的矩阵求解算法 摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的 增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现. 关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法 1 矩阵求解算法 设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤; 第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =; 第三步:构造矩阵() 1m n r D H F ?-+?? = ? ??,其中 ()()1100 001 0000 10n r n r F -?-+-?? ?- ? = ? ? -??L L L L L L L L 第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解. 2 算法证明 先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为
总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
华北水利水电大学 总结求线性方程组的方法 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2014年12月31日
摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。 关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则； Summary for the method of liner equations Abstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.
一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP ） 1、可行性问题描述 系统状态方程： []11223301000210-4014x x x x u x x ????????????????=-+????????????????-???????? &&& 在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得： T A P+PA=Q - 成立，其中Q 为正定矩阵。 那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题： T A P+PA<0 这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。 2、仿真所需要用到的命令 setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量； lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的容； LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的部表示向量LMISYS ；
X = dec2mat(LMISYS,DECV ARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。 [tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin大于0时，表明LMI系统不可行，P阵无解，系统不稳定，tmin小于0时，便可以用dec2mat函数求解出P矩阵。 3、仿真结果 可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。进一步用dec2mat函数求解出P矩阵。得：
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ 的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上 的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个 向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个 线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它 扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ???+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
线性方程组的矩阵求法 摘要： 关键词： 第一章引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。 第二章用矩阵消元法解线性方程组 第一节预备知识 定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。 定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件： （1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的 一个主元）为1； （2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。 则称矩阵为行最简形矩阵。 第二节 1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩
阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。 下面以一般的线性方程组为例，给出其解法： （1） 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++= L L L L L L L L L L L L L L L 根据方程组可知其系数矩阵为： （2） 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L 其增广矩阵为： （3） 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L L L L 根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。 定理2：设A是一个m行n列矩阵
第七章线性变换 计划课时：24 学时.（P 307—334） §7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1 （P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1 ，2， 3. §7.2 线性变换的运算（ 4 学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义 1 （P310） 注意：+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义 2 （P311） 显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 （1）. 乘法运算 定义 3 （P311-312）
注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂 四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读 内容). 作业：P330 习题七4， 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一.线性变换关于基的矩阵 定义 ( P316) 。 注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与 它对应. 例 1 ( P316 ) 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构 定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求 逆变换的方法。 四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）. 作业：P331 习题七6，9，12，17.
第七章线性变换与相似矩阵 习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有， ，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，， 则有 ，
。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定数； 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有， ，即。 （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，， 。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的 变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：，，；， ，；，， ，即，故。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。 （2）因，都是上的可逆线性变换，则有 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，， 都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故；同理有：，得， 即得；依次类推可得，即得，进而得 。
线性方程组AX=B的数值计算方法实验 【摘要】在自然科学与工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组的问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。 关键字高斯消元法、三角分解法、高斯-赛德尔迭代、稀疏矩阵 一、实验目的 1.掌握高斯消元法、三角分解法、高斯—赛德尔迭代发的编程技巧。 2.掌握线性方程组AX=B的数值计算方法。 3.掌握矩阵的基本编程技巧。 二、实验原理 1.高斯消元法
数学上，高斯消元法是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。高斯（Gauss ）夏鸥按法其实是将一般的线性方程组变换为三角形（上三角）方程组求解问题（消元法），只是步骤规，便于编写计算机程序。 一般高斯消元法包括两过程：先把方程组化为同解的上三角形方程组，再按相反顺序求解上三角方程组。前者称为消去或消元过程，后者称回代过程。消去过程实际上是对增广矩阵作行初等变换。 对一般的n 阶方程组，消去过程分n-1步：第一步消去11a 下方元素。第二步消去22a 下方元素，......，第n-1步消去1-n 1-n a ，下方元素。即第k 步将第k 行的适当倍数加于其后各行，或可说是从k+1~n 行减去第k 行的适当倍数，使它们第k 列元素变为零，而其余列元素减去第k 行对应列元素的倍数。 2.三角分解法 三角分解法是将原正方 (square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU 分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.
线性方程组的几种解法 线性方程组形式如下： 常记为矩阵形式 其中 一、高斯消元法 高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下： （一）消元过程 第一步：将(1)/3使x 1的系数化为1 得 再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1) 得 )1(32)2( (03) 4 32=+x x )1(321)1(......23132=++ x x x
由(3)-4×(1)(1) 得 第二步：将(2)(1) 除以2/3，使x 2系数化为1，得 再将(3)(1) 式中x 2系数化为零，即 由(3)(1) -(-14/3)*(2)(2) ，得 第三步：将(3)(2) 除以18/3，使x 3系数化为1，得 经消元后，得到如下三角代数方程组： （二）回代过程 由(3)(3) 得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2) 得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1) 得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T （三）、用矩阵演示进行消元过程 第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式 第二步：然后对矩阵进行初等行变换 初等行变换包含如下操作 （1） 将某行同乘或同除一个非零实数 ) 3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63) 18-=x ) 2(32) 2(......02=+x x ) 1(32)3( (63) 10 314-=-- x x
（2）将某行加入到另一行 （3）将任意两行互换 第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下： 示例： （四）高斯消元的公式 综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为 1．消元 （1）令 a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n） b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n） （2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行 l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n） a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n） b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n） 2．回代 若a nn(n) ≠0 x n = b n(n) / a nn(n) x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n ) （五）高斯消元法的条件 消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。 注意A的顺序主子式D i（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(a ii(i) ≠0,i 第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 y x T =)( 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。 若变化T 还满足 )()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈?,, 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点反时针方向旋转θ 角的操作即 ??? ? ?????? ??-=???? ??2121cos sin sin cos ξξθθ θθ ηη就是一个线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为 {}2 1,,,,n x x x ，微分算子d D dx = 是n P 上的一个线性变换。 [例3] 取定矩阵n n K C B A ?∈,,，定义n n K ?的变换C XB AX X T ++= )( n n K X ?∈,是否是线 性变换 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。但 （4） 如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2） 零变换0T ：0,0x V T x ?∈= （3） 变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T （4） 线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5） 线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()()kT x k Tx = 负变换：()()T x Tx -=- §1 消元法 引例 求解线性方程组 ?????=++=++=++288338 219432321321321x x x x x x x x x （1.1） 解: 用i r 表示方程组中的第i 个方程，采用消元法求解此线性方程组： 方程组（1.1）???→??21r r ?????=++=++=++2883319 43282321321321x x x x x x x x x ?? ???==+=++??????→?--423 0823,23323211312x x x x x x r r r r （1.2） ?????===???????→?÷+-23 12),(3213321x x x r r r r （1.3） 由于方程组(1.1)与(1.3)同解，从而得到(1.1)的解T x x x x ),,(321=T )2,3,1(= 定义 以下变换1，2，3称为线性方程组的初等变换。 1． 将某一方程乘以一个非零的倍数； 2． 将某一方程的某个倍数加到另外一方程上去； 3． 对调两方程的位置。 命题 初等变换总是把方程组变成同解的方程组。 用消元法求解线性方程组的过程：首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的恒等式“0=0”（如果出现的话）去掉。如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解。在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组有无穷多个解。 定理 在齐次线性方程组 111122121122221122000 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????+++=?L L L L L L L L L L L L L L 中，如果s 甘肃政法学院 本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法 学号： 姓名： 指导教师： 成绩：__________________ 完成时间： 2012 年 11 月 目录 第一章引言 (1) 第二章线性方程组的几种解法 (1) 2.1 斯消元法 (1) 2.1.1 消元过程 (1) 2.1.2 回代过程 (2) 2.1.3 解的判断 (2) 2.2 克莱姆法则 (3) 2.3 LU分解法 (4) 2.4 追赶法 (6) 第三章结束语 (8) 致谢 (8) 参考文献 (9) 摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。 关键词:线性方程组;解法;应用 Several methods of solving linear equation group Abstract:The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union. Key word: Linear equations; Solution ; Example 华北水利水电大学 线性方程组地求解方法 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 年月日 线性方程组地求解方法 摘要：线性方程组地求解方法在代数学中有着极其重要地作用，线性代数地主要研究对象是线性方程组，线性代数地基本工具是矩阵及其基本理论，线性方程组求解地地实质可以理解为矩阵地初等变换，不管是线性方程组还是矩阵，它们都来源于生产和生活实践.大量地科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组地问题，但对于十分复杂地问题，精确地求解往往是困难地，因此在线性方程组解地结构等理论性工作取得令人满意地进展地同时，线性方程组地数值解法也得到快速发展，现在，线性方程组地数值解法在计算数学中占有重要地位.个人收集整理勿做商业用途 关键字：线性方程组，增广矩阵求解，高斯消元法求解 ：，，, , , . , , , , , , , .个人收集整理勿做商业用途 ；，，;个人收集整理勿做商业用途 引言： 线性方程组分为其次线性方程组和非齐次线性方程组，其解得实质又是何时有解，何时无解，有解又有多少个解.解又分为一般解（通解），零解和非零解.无论是讨论线性方程组解地结构，还是线性方程组地求解，又需要首先讨论向量组地线性相关性，即向量组地线性相关和线性无关.本节主要对线性方程组解地情况进行讨论，给出当解不唯一时通解地表示形式．另外还介绍了几种特殊地线性方程组地求解方法．线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程地个数相等，另一类是未知量个数与方程地个数不等个人收集整理勿做商业用途 线性方程组求解 线性方程组地概念 线性方程组地一般表示方式方法如下： …, …, …… …, 其中（，...，：，...，）是方程组未知元地系数，（，...，：）为常数项，如果，则方程组为齐次线性方程组，≠，线性方程组为非齐次先行性方程组.如果线性方程组有解，则称线性方程组相容，否则，称线性方程组不相容.个人收集整理勿做商业用途 线性方程组地求解 对于，如果，即方程个数等于未知元个数地情形，有法则，齐次线性方程组有非零解地充分必要条件是系数矩阵地行列式，如果<，即方程个数小于未知元个数我们可以按照…,地形式添加个方程，使其满足“方程个数等于未知元个数”而得到新地齐次线性方程组根据行列式知识，显然，因此得到如下定理：如果齐次线性方程组中地方程是 博客首页 注册 建议与交流 排行榜 加入友情链接 推荐 投诉 搜索： 帮助 https://www.doczj.com/doc/b86642752.html, 管理博客 发表文章留言收藏夹博客圈音乐相册文章首页 项（Terms）：项是常量或者变量（Terms are either constant or variable）。 常项（Constant Terms）是确定的矩阵。可变项（Variable Terms)是哪些含有矩阵变 量的项，例如：X*A, X*C'。如果是X*A + X*C'，那么记得要把它当成两项来处理。 好了废话不说了，让我们来看个例子吧（下面是一线性时滞系统）。 针对这个式子，如果存在满足如下LMI的正矩阵(positive-define)的Q，S1，S2和矩阵M，那么我们就称作 该系统为H-inf渐进稳定的，并且gammar是上限。 该论文的地址为：论文原文地址 该论文的算例为： 我们要实现的就利用LMI进行求解，验证论文结果。 首先我们要用setlmis([])命令初始化一个LMI系统。 接下来，我们就要设定矩阵变量了。采用函数为lmivar 语法：X = lmivar(type,struct) type=1: 定义块对角的对称矩阵。 每一个对角块或者是全矩阵<任意对称矩阵>，标量<单位矩阵的乘积>，或者是零阵。 如果X有R个对角块，那么后面这个struct就应该是一个Rx2阶的的矩阵，在此矩阵中，struct(r,1)表示第r个块的大小，struct(r,2) 表示第r个块的类型<1--全矩阵，0--标量，-1--零阵）。 比如一个矩阵有两个对角块，其中一个是2x2的全对称矩阵，第二个是1x1的一个标量，那么该矩阵变量应该表示为X = lmivar(1, [2 1; 1 0]) 。 type=2: mxn阶的矩阵，只需要写作struct = [m,n]即可。 type=3: 其它类型。针对类型3，X的每一个条目（each entry of X）被定义为0或者是+(-)xn，此处xn代表了第n个决策变量。 那么针对我们的例子，我们如此定义变量： % Q is a symmetric matrix, has a block size of 2 and this block is symmetric Q = lmivar(1, [2 1]); % S1 a symmeric matrix, size 2 S1 = lmivar(1, [2 1]); % S2 is 1 by 1 matrix S2 = lmivar(1, [1 0]); % Type of 2, size 1 by 2 M = lmivar(2, [1 2]); 定义完成变量之后，我们就该用lmiterm来描述LMI中的每一个项了。Matlab的官方文档提示我们，如果要描述一个LMI只需要描述上三角或者下三角元素就可以了，否则会描述成另一个LMI。 When describing an LMI with several blocks, remember to specify only the terms in the blocks on or below the diagonal (or equivalently, only the terms in blocks on or above the diagonal). 语法为：lmiterm(termID,A,B,flag) termID是一个四维整数向量，来表示该项的位置和包含了哪些矩阵变量。 termID(1)可以为+p或者-p，+p代表了这个项位于第p个线性矩阵不等式的左边，-p代表了这个项位于第p个线性矩阵不等式的右边。注意：按照惯例来讲，左边通常指较小的那边。 termID(2:3): 1、对于外部变量来说，取值为[0,0]; 2、对于左边或者右边的内部变量来说，如果该项在(i,j)位置，取值[i,j] termID(4): 1、对于外部变量，取值为0 2、对于A*X*B，取值X 3、对于A*X'*B，取值-X flag(可选，值为s）: 因为：(A*X*B) + (A*X*B)T = A*X*B + B'*X'*A'，所以采用s来进行简写。 比如：针对A*X + X'*A' 我们采用笨方法： lmiterm([1 1 1 X],A,1) lmiterm([1 1 1 -X],1,A') 那么简写就是lmiterm([1 1 1 X],A,1,'s') 第二章 线性变换与矩阵 代数学最基本的研究对象是代数系统本身的结构和不同代数系统之间的联系.上一章,对线性空间这种最重要和最基本的代数系统作了比较深入的研究.本章讨论线性空间之间的联系,即线性空间之间的映射,而很多时候这种映射被称为变换. 一、教学目标与基本要求 线性变换和矩阵 掌握线性变换的概念及性质，以及逆变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示方法，掌握矩阵线性空间的概念以及矩阵的乘法，了解矩阵的转置及分块，掌握方阵的逆的概念及其求法，了解矩阵的初等变换及初等方阵的概念 （一）重要内容及定理 1．线性变换概念及其性质 设V ,W 是两个线性空间.一个V 至W 的线性映射T ,就被称为V 至W 的线性变换. 定义2.1.1集合})(|{θx x x =∈T V 且被称为线性变换T 的零空间(或称为T 的核),记为)(T N . 定理2.1.1T 的值域W V T ?)(是W 的一个子空间.T 映V 的零元素为W 的零元素. 定理2.1.2若V 是有限维的,则)(V T 也是有限维的,且有 dim N (T )+dim )(V T =dim V 即一个线性变换的零维与秩之和等于其定义域的维数. 定义2.1.2设S ,T 是任意的V 至W 的线性变换,c 是任意实数.按如下方式定义线性变换的加法和数乘: )()())((x x x T S T S +=+. )())((x x cT cT =. 这里x 是V 中任意元素. 容易验证,按此定义的线性变换的加法和数乘,使全体V 至W 的线性变换构成之集成为一个线性空间,将其记为)(W V L ,. 定义2.1.3设U ,V ,W 是任意三个集合.T :U →V ,S :V →W 是两个映射,复合映射ST :U →W 按如下方式定义: )]([))((x T S x ST =,任意U ∈x . 映射的复合显然不满足交换律.但满足结合律,即若T :U →V ,S :V →W , R :W →X ,则有 T RS ST R )()(=. 定义2.1.4对映射T :V →V 按如下方式定义其幂:线性变换及其矩阵
求解线性方程组的几种方法
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线性代数教案-第二章 线性变换与矩阵
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