2015长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷
数学（一）参考答案及评分标准
13 14．(1)(1)x x x +- 15．1
2
16．4 17．17 cm 18．
（-2，1）或（2，1）或（0，-
1） 三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21
、22小题每小题8分，
第
23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）
19．解：原式1
2
.
20
．解：原式=22a a --，将22a
a -=代入得，原式=2-2=0. 21．解：（1）72； （2）如图1；
（3）乙校的平均分为8.3分，中位数为8分；由于两校平
均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好；
（4）选甲校．因为选8名学生参加省级团体赛，甲校得10分
的有8人，而乙校得10分的只有
5人，所以应选甲校.
22．解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，∴△ABC 为直角三角形
.
∵AB =30 km ，AC
=km ，
∴BC
=km ）.
∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，
∴60
80
=(千米/小时）；
（2）作线段BR ⊥x 轴于R ，作线段CS ⊥x 轴于S ，延长BC 交l 于T ，
∵∠2=60°，∴∠4=90°-60°=30°，
∵AC =（km ），
∴CS =×sin30°=km ），
∴AS =×cos30°==9（km ）.
又∵∠1=30°，∴∠3=90°-30°=60°. ∵AB =30，∴BR =30×sin60°=km ），
∴AR =30×cos60°=30×1
2
=15（km ），
图1
易得，△STC ∽△RTB ，所以
ST CS
RT BR
=
，159ST ST =++ 解得：ST =6（km ），所以AT =9+6=15（km ）.
又因为AM =14.5 km ，MN 长为1 km ，∴AN =15.5 km ， ∵14.5＜AT ＜15.5，故轮船能够正好行至码头MN 靠岸.
23．解：（1）设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件.
根据题意，得5101000120x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：40
80x y =⎧⎨=⎩
.
答：甲种商品购进40件，乙种商品购进80件.
（2）设甲种商品购进a 件，则乙种商品购进(120－a )件.
根据题意，得
1535(120)4000
510(120)1135a a a a +-<⎧⎨
+->⎩
，解不等式组，得10＜a ＜13. ∵a 为非负整数，∴a 取11，12．∴120-a 相应取109，108．
答：有两种购货方案，方案一：甲种商品购进11件，乙种商品购进109件；
方案二：甲种商品购进12件，乙种商品购进108件．其中获利最大的是方案一.
24．（1）证明：连接OD 、DB ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠CDB =90°， ∵E 为BC 边上的中点，∴CE =EB =DE ，∴∠1=∠2， ∵OB =OD ，∴∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3， ∵在Rt △ABC 中，∠ABC =∠2+∠3=90°， ∴∠EDO =∠1+∠4=90°，
∵D 为⊙O 上的点，∴DE 是⊙O 的切线． （2）解：∠CAB =45°．
理由是：∵OA =OD ，∴∠A =∠ODA =45°， ∴∠DOA =180°-45°-45°=90°=∠EDO ，∴DE ∥AO ， ∵E 为BC 的中点，OA =OB ，∴EO ∥AD ， ∴四边形AOED 是平行四边形，即当∠A =45°时，四边形AOED 是平行四边形． （3）解：OBED 的形状是正方形．
理由是：∵∠EDO =∠DOB =∠EBA =90°，OB =OD ， ∴四边形OBED 是正方形，即OBED 的形状是正方形． 25．解：（1）在Rt △ABC 中，522=+=AC BC AB ，
由题意知：AP = 5-t ，AQ = 2t ，若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，
∴=AC AQ AB AP
，∴2545t t -=， ∴10t 7
=．（3分）
（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．
∵△APH ∽△ABC ，∴=BC
PH AB AP
， 图①
B
∴
535PH t -=，∴3
35
PH t =-， ∴t t t t PH AQ y 35
3
)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=
．（6分） （3）若PQ 把△ABC 的周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ ．
∴)24(32)5(t t t t -++=+-，解得：1=t ．
若PQ 把△ABC 的面积平分，则S △APQ =1
2S △ABC ，即-235
t ＋3t =3．
∵t =1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分．（8分） （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，
若四边形PQP ′C 是菱形，那么PQ ＝PC ．
∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM ． ∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ．
∴AB
BP
AC PN =，∴54t PN =， ∴54t
PN =，∴45t QM CM ==，
∴442455
t t t ++=，解得：910=t ．
∴当9
10
=t 时，四边形PQP ′C 是菱形． 此时37353PM t =-=，48
59
CM t ==，
在Rt △PMC
中，PC ==
， ∴菱形PQP ′C
（10分） 26．解：（1）依题意得21010a b m a mb --=⎧⎨+-=⎩，解得：11a m
m b m ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
.（2分）
∴抛物线的解析式为：2111m
y x x m m -=+
-. （2）0x =∵时，1y =-，∴01C （，-）.
OA OC =∵，45OAC ∠=∴，290BMC OAC ∠=∠=∴．
又BC =∵，222
11(1)4428
BC m πS πMC π+=⋅=⋅=
∴．（5分） （3）如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶
点的三角形与△ABC 相似，则P 关于对称轴的对称点P '也符合题意，即P 、P '对应的m 值相同．下面以点P 在对称轴右侧进行分析：（6分） 情形一：如图，△ABC ∽△APB ，
B
N
则45PAB BAC ∠=∠=︒，
AB AC
AP AB
=
. 过P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，连接PA 、PB ． 在Rt △PDA 中，45PAB BAC ∠=∠=︒∵， PD AD =∴，∴可令(1)P x x +的坐标为，. 若P 在抛物线上，
则有21111m
x x x m m
-+=+-，
即2(12)20x m x m +--=，解得11x =-，22x m =． ∴P 1（2m ,2m +1），P 2（-1,0）. 显然2P 不合题意，舍去．
此时(2AP m ==+
又由AB AC
AP AB =
，得22AB AP AC ==②
由①、②有：2
(2m +=．整理得：2210m m --=.
解得：1m =，0m >∵
，1m =∴
即若抛物线上存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，
则1m =+（8分）
情形二：△ABC ∽△P AB ，
则PAB ABC ∠=∠，AB BC AP AB
=. 同于情形一：PAB ABC ∠=∠∵， 1PD OC AD OB m
==∴， ∴可令1(1)P x x m ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭的坐标为，. 若P 在抛物线上则有2111(1)
m
x x m m m
-+=+整理得：210x mx m ---=，解得：11x =-，21x m =+.
311(2)P m m m ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
∴，或P 4(-1,0)．显然P 4(-1,0)不合题意，舍去！
此时AP =，①
又由AB BC
AP AB =
得：22AB AP BC == 2
. 整理得22=+1m m ，显然无解！
综合情形一、二得：若抛物线上存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与 △ABC 相似，则=1m +（10分）
数学（二）参考答案及评分标准
13．8.64×104 14．50 15．＜
16．
17．7 18．2 三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，
第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）
19．解：1
1272cos3032π-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
（-）=2-+1=2+1=3
20．解：原式=x 2＋2x +1- (x 2-4)=2x +5
x x 是整数， ∴x =3，∴原式=2×3＋5=11
21．解：（1）设D 地车票有x 张，
则x ＝(x +20+40+30)×10% 解得x ＝10.
即D 地车票有10张. 统计图见右图.
（2）张老师抽到去A 地的概率为
2020403010+++＝1
5
.
李老师掷得数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4）， （2，3），（2，4），（3，4）.
∴王老师掷得数字比李老师掷得数字小的概率为616＝3
8
.
则王老师掷得数字不小于李老师掷得数字的概率为318-＝5
8
.所以这个规则对
双方不公平.
22．（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ，
∴∠F AC ＝∠B ＋∠BCA ＝2∠B ， ∵AD 平分∠F AC ，∴∠F AD ＝∠B ， ∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DCE ，
∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACD ＝∠DCE ， ∴∠D ＝∠ACD ，∴AC ＝AD .
（2）证明：∵∠B ＝60°，∴∠ACB ＝60°，∠F AC ＝∠ACE ＝120°，
∴∠DCE ＝∠B ＝60°，∴DC ∥AB ,
∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形， 又由（1）知AC ＝AD ，∴AB ＝AD ， ∴四边形ABCD 是菱形．
23．解：（1）设每支水性笔x 元，每本笔记本y 元．
463212856x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2
4x y =⎧⎨=⎩．
答：每支水性笔2元，每本笔记本4元.
（2）设买水性笔a 支，则买笔记本(30－a )本．
24(30)100
30a a a a +-≤⎧⎨≤-⎩
，解得：10≤a ≤15．
所以，一共有6种方案，即购买水性笔、笔记本的数量分别为：10,20；11,19；12,18；13,17；14,16；15,15.
24．（1）证明：连接OC ．
∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°． ∴∠OCA+∠ACD =90°． ∵OA =OC ，∴∠OCA =∠OAC ． ∵∠DAC =∠ACD ，∴∠OAC +∠CA D=90°． ∴∠OAD =90°．∴AD 是⊙O 的切线． （2）解：连接BG 、OC .
∵OC =3 cm ，EC =4 cm ，
∴在Rt △CEO 中，OE ．∴AE =OE +OA =5+3=8． ∵AF ⊥ED ，∴∠AFE =∠OCE =90°，∠E =∠E ．∴Rt △AEF ∽Rt △OEC ． ∴AF OC = AE OE ．即：583=AF ．∴AF =4.8． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AGB =90°．∴∠AGB =∠AFE ． ∵∠BAG =∠EAF ，∴Rt △ABG ∽Rt △AEF ． ∴AG AF = AB AE ，即：64.88AG =. ∴AG =3.6．∴GF =AF -AG =4.8-3.6=1.2(cm)．
25．解：（1）当a =1时，y =x 2-2x +1=(x -1)2， ∴顶点：(1，0)，对称轴：x =1．
（2）2(1)1(1)(1)0y ax a x x ax =-++=--=，
∴121
1x x a ==，，∴恒过(1，0)点.
（3）∵2
(1)1(1)(1)0y ax a x x ax =-++=--＞， ∴1010x ax ⎧⎨⎩
-＞-＞或10
10x ax ⎧⎨⎩-＜-＜.
①当1
a
≤1时，即a ≥1时，
图1
不等式10
10x ax ⎧⎨⎩-＞-＞的解集为：
x ＜1
a
或x ＞1；
如图1，此时，当x ＜1
a
时，
函数y 随x 的增大而减小.
②当1
a
≥1时，即0＜a ＜1时，
不等式1010
x ax ⎧⎨⎩-＜-＜的解集为：x ＜1或x ＞1
a ；
如图2，此时，当x ＜1时，
函数y 随x 的增大而减小.
26．解：（1）设抛物线的函数关系式为y ＝a (x ＋1)(x -2)，
∵经过C(0, -2)，代入得，-2=a (0+1)(0-2)，∴a =1．
∴抛物线的函数关系式为y ＝(x ＋1)(x -2)或y =x 2-x -2 . 设直线AC 的解析式为y =kx +b. 把A (-1，0)、C (0，-2)两点代入， 解得：k =-2，b =-2.
∴直线AC 解析式为: y =-2x -2 （2）∵AC ∥PQ ,
∴直线PQ 解析式的k =-2. 设：PQ 的解析式为：y =-2x +m
∴2
22y x m
y x x =-+⎧⎨=--⎩
. 消去y ，得： x 2+x -m -2=0 ∵ PQ 与抛物线相切， ∴∆=12-4×(-m -2)=0.
∴ 9
4
m =-.
此时，1112x x ==-，5
4y =-，
∴切点15
(,)24
P --.
（3）设PQ 切⊙M 于优弧D 点，D 点为所求， 此时，△ACD 面积最大.
过D 作DH ⊥x 轴于点H ，连接MD ，
∴MD ⊥PQ ，MD =12AB =3
2
.
∵AC ∥PQ ，∴DE ⊥AC ，∴∠AED =∠AOC =90︒，
又∵∠EAM =∠CAO ，∴∠AME =∠ACO ， 又∵∠AME =∠DMH ，
∴∠DMH =∠ACO ，∠DHM =∠AOC =90︒.
图2
∴△MDH ∽△CAO
∴DH MH MD
OA OC AC
==
即，3
12DH MH
== ∴ DH
，MH
. ∴ OH
=12+.
∴切点D 的坐标
(12延长DM 交AC 于点E ，∴DE ⊥AC.
∵ △DMH ≌△AEM ，∴ ME =MH
．∴DE =32
.
∴S △
ACD 1133
(2222
AC DE =⨯⨯=+
=+.
数学（三）参考答案及评分标准
13．AB =CD （或者BC ∥AD ，或者180A B ∠+∠=︒等等） 14．5
3
15．21
8
y x =- 16．1.5米（m ） 17．m >-2且1m ≠- 18．5
三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，
第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分） 19．解：原式=4142-+-=7 20．解：原式y xy y x 1-+=
=xy x y x -+=x
xy y 1
= 将1=x 代入得原式=1
21．解： （1）
D （2）因为样本化学实验操作优秀率为
225
100550
⨯％， 用样本估计总体，总体中化学实验操作优秀率也为
225
100550
⨯％， 225
6600010027000550
⨯
⨯=％人．
（6分） （3）因为样本物理实验操作不合格率为15
100450
⨯％，
用样本估计总体，总体中物理实验操作不合格率也为
15
100450
⨯％. 15
660001002200450
⨯
⨯=％人．
（8分） 22．（1）证明：如图，连接OB 、OP .
在△OBP 和△OAP 中PB PA PO PO BO AO
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
∴△OBP ≌△OAP (SSS)（2分） ∴PBO PAO ∠=∠
∵PA CA ⊥，∴90PAC ∠=︒∴90PBO PAO ∠=∠=︒.（3分） ∴OB PB ⊥，∴直线PB 是⊙O 的切线．（4分）
（2）解：由（1）可知△OBP ≌△OAP ，∴POB POA ∠=∠.
∴1
2
BCA AOB POB POA ∠=∠=∠=∠，∴BC ∥PO.
∴2DB DC BP CO
==. 设BP =a
，BD =2a ，∴P
A =a .
由勾股定理得：DA
．
（6分）
∴=
DC AO CO
=，. 由勾股定理得：PO
==．（7
分）
cos cos BCA POA ∠=∠==.（8分）
23．解：（1）情况1：若学校同时购进A 型、B 型的电脑共40部，并将180 000元恰好
用完.
设A 型电脑x 部，则B 型为(40)x -部， 依题意：54003600(40)180000x x +-=，
解出：20x =，则A 型电脑为20部、B 型为20部．（2分）
情况2：若学校同时购进A 型、C 型的电脑共40部，并将180 000元恰好
用完.
设A 型电脑x 部，则C 型为(40)x -部，
依题意：54001800(40)180000x x +-=
， 解出：30x =，则A 型电脑为30部、C 型为10部．（4分）
情况3：若学校同时购进B 型、C 型的电脑共40部，并将180 000元恰好
用完.
设B 型电脑x 部、则C 型为(40)x -部，
依题意：36001800(40)180000x x +-=
， 解出：60x =，则B 型电脑为60部、C 型为20-部（舍）．（5分）
综合上述：可以购买A 型电脑20部、B 型20部或者A 型电脑30部、C 型10部.
（2）若学校同时购进A 型、B 型、C 型号的电脑共40部，并将180 000元恰好用完.
设C 型电脑为x 部，B 型电脑为y 部，则A 型电脑为(40)x y --部 依题意：5400(40)3600180018000068x y y x x --++=⎧⎨≤≤⎩
，解得220
68x y x +=⎧⎨≤≤⎩.（7分）
方案1：C 型电脑为6部，则B 型电脑为8部，A 型电脑26部； 方案2：C 型电脑为7部，则B 型电脑为6部，A 型电脑27部；（9分） 方案3：C 型电脑为8部，则B 型电脑为4部，A 型电脑28部．
24．（1）证明：∵平行四边形ABCD ，∴AB ∥CD ，BO=OD .
∵AB ∥CD ，∴BEO DGO ∠=∠.（2分）
在△BEO 与△DGO 中BEO DGO BOE DOG BO OD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BEO ≌△DGO.（4分） （2）四边形EFGH 是菱形.
证明：连接AC ．∵△BEO ≌△ODG ， ∴EO OG =.（5分） 在△AHO 与△CFO 中， HAO FCO AOH FOC AO OC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AHO ≌△CFO ，∴HO OF =.（7分） ∵HO OF =，EO OG =，EG HF ⊥， ∴四边形EFGH 是菱形.（9分）
25．解：（1）,(3)
3,(3)x x y x ≥⎧=⎨<⎩
．（3分）
（2）如图所示，由12x
≥，得1
02x <≤；（4分）
由12x +≥，得1x ≥；（5分）
所以，不等式的解集为1
02
x <≤或1x ≥.（6分）
（3）如图所示，
当21max 1,,432y x x a x x ⎧⎫
=-+-+⎨⎬⎩⎭
的最小
值为1时，函数的图象为图象中的AC 、CD 、 DE 、EF 四部分；（8分）
把点C 的纵坐标1代入抛物线243y x x =-+
中，得：12x =舍去)
，22x =（9分）
把点
C (2代入1
2
y x a =+中，
得a =即为所求.（10分）
26．解：（1）把0x =代入22123x
y x m m
=--+，得y =3，∴C 点的坐标为(0，3)（2分）
（2）作,DH AB ET AB ⊥⊥，∴90DHB ETB ∠=∠=︒. ∵AB 平分∠DBE ，∴EBT D BH ∠=∠, ∴△DHB ∽△ETB .（3分） 依题意可得：
2(30)(0)031(23)(3)()E A m B m C D m E x x m x m m -⎡⎤--+-⎢⎥
⎣⎦
,，,，（），
,，,,
∴2331(3)()E E E DH HB m
ET BT m x x m x m m
==-+-，即.
整理得：()(3)(3)E E E m m x x m x m -=+-，
4E x m =-．（5分） ∴
33
(4)5
BD m BE m m ==--.（6分） （3）以GF BD BE 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形．（7分）
证明：由22123x
y x m m
=--+可得：顶点(4)F m -,，(03)C ,.
则FC 所在直线方程为：1
3y x m
=-+.
∵(0)(23)B m D m -，，,,则BD 所在直线方程为：1
1y x m
=-+.（8分）
∴BD ∥FC ，∴FGH EBT DBH ∠=∠=∠， 又∵(45)E m --,，
∴435
sin sin sin GF BD BE FGH DBH EBT
===
∠∠∠,,，（9分） ∵sin sin sin FGH EBT DBH ∠=∠=∠， ∴222BE GF BD =+，
∴以GF BD BE 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形.（10分）
数学（四）参考答案及评分标准
13．2
3x y
-14．54.5 15．1︰3
16．80°17．
2
5
18．()7-
三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，
第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）
19．解：原式=
111
1
222
+-=-
20．解：原式=
()
()
2
21211
2
x x x
x x x x x x
---
+
=+=
-
.
当
1
2
x=时，原式=-1.
21
（2
（3）利用（2）中条形图或频数分布表可得出，全体参赛学生中，竞赛成绩落在
80.5～90.5组范围内的人数最多．
（4）∵随机抽取的50个人中优秀的频率为0.24，
∴850名学生中优秀人数为：850×0.24=204（人），
答：该校成绩优秀的约为204人．
22．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C，
在△ABD和△CAE中
AB AC
BAD C
AD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△CAE.
（2）解：∵△ABD≌△CAE，∴∠ABD=∠CAE，
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°，
∴∠BPF=∠APD=60°，∴在Rt△BFP中，∠PBF=30°，
∴11
6322
PF BP =
=⨯= 23．解：（1）设这个两位数的十位上的数字是x ，个位上的数字为y ，根据题意，得
3610x y y x y +=⎧⎨=+⎩，解之得3
6x y =⎧⎨
=⎩
. 答：这个两位数是36，即周瑜活到36岁时病逝．
（2）设悟空的速度为每分钟x 里，风速为每分钟y 里，依题意得：
()()41000
4600x y x y ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩，解这个方程组得20050x y =⎧⎨=⎩. 答：风速为每分钟50里．
24．（1）证明：连接AD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴AD ⊥BC ，
又∵AB = AC ，∴BD =CD . （2）解：DE 与⊙O 相切.
理由：连接OD ，∵BD =CD ，OA =OB ， ∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ．
在Rt △ABD 中，∵cos ∠ABC =BD AB =1
3
，
∴13
=3BD ，∴CD =BD =1.
∵CE =AC -AE =3-83=13
，∴1
3CE CD =.
∵13BD AB =，∴CE BD CD AB =. ∵AB =AC ，∴C B ∠=∠. ∴△DCE ∽△ABD ，∴90CED BDA ∠=∠=︒， ∴DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 与⊙O 相切．
25．解：（1）∵四边形BFEG 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠EFO =∠BGO ，
∵FG 为BE 的垂直平分线，∴BO =OE ；
∵在△EFO 和△GBO 中，90EFO BGO FOE GOB BO EO ∠=∠⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△EFO ≌△GBO ，∴EF =BG ，
∵AD ∥BC ，∴四边形BFEG 为平行四边形；
∵在△BOF 和△EOF 中，90EO BO EOF BOF FO FO =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△BOF ≌△EOF ，∴EF =BF ，
邻边相等的平行四边形为菱形，故四边形BFEG 为菱形．
（2）当AB =a ，n =3时，AD =2a ，AE =43a ，根据勾股定理可以计算BE =5
3
a ，
∵AF =AE ﹣EF =AE ﹣BF ，在Rt △ABF 中AB 2+AF 2=BF 2
，
计算可得AF =
724a ，EF =25
24
a ， ∵菱形BGEF 面积=12BE •FG =EF •AB ，计算可得FG =5
4a ．
（3）设AB =x ，则DE =2x
n
，
当121730S S =时，1730BG AB AB AD ⋅=⋅，可得BG =1715
x ， 在Rt △ABF 中AB 2+AF 2=BF 2，计算可得AF =8
15
x ，
∴AE =AF +FE =AF +BG =53x ，DE =AD ﹣AE =1
3
x ，
∴n =6．
26．解：（1
）)()13y x x =+-.
（2）连接AC 、BC
，则2
222214AC OA OC =+=+
=
.
2
2222312BC OB OC =+=+
=，22416AB ==.
∴222AB AC BC =+，∴△ABC 为直角三角形且AB 为斜边. ∴点C 在以AB 为直径的圆上.
（3）∵90COB ∠=︒，∴点O 在以BC 为直径的圆上，即点O 在⊙P 上，
∴连接OP ，过点O 作OP 的垂线l 与抛物线的交点即为满足条件的D 点.
∵直线l
的解析式为y
=∴联立方程组y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩
解得1212x x y y ⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨
⎪⎪=⎪⎪⎩⎩
D ⎝⎭⎝⎭
或
数学（五）参考答案及评分标准
13．57 14．2(3)2y x =-+ 15．1
3
16．12 17．14 18．三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题8分，
第23、24小题每小题9分，第25、26小题每小题10分，共66分）
19．解：原式=-1+2+2=2.（6分） 20．解：原式=2222222m mn n m n n -+-+-=2mn -.（4分）
当1m =，2n =时，原式=2mn -=2124-⨯⨯=-.（6分）
21．解：（1）补全频数分布直方图如右图所示：
（2分）
（2）70
2000700200
⨯=（人）.（5分）
（3）该生的成绩等级为“A ”的可能性最大，
因为学生的成绩等级为“A ”的概率最大. （8分）
22．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD =BC ，∠ADC =∠BCD =90°，
∵△CDE 是等边三角形，
∴DE =CE ，∠DCE =∠CDE =60°，
∴∠ADC+∠CDE=∠BCD +∠DCE ，即∠ADE =∠BCE ， 在△ADE 和△BCE 中，AD =BC ，∠ADE =∠BCE ，DE =CE ， ∴△ADE ≌△BCE （SAS ），∴AE =BE .（4分）
（2）解：过点A 作AF ⊥BE 于点F ，易证：AD=ED ，
∴∠ADE =90°+60°=150°，∠DAE =∠AED =15°， 由（1）得，∠BEC =∠AED =15°， ∴∠AEB =30°，
在Rt △AEF 中，∠AEB =30°，AE =BE=10，
∴AF =152AE =，∴S △ABE 11
1052522
BE AF =⋅=⨯⨯=.（8分）
23．解：（1）设平均每次下调的百分率为x ，由题意可得：
210(1) 6.4x -=，（3分）
解得1 1.8x =（不合题意，舍去），20.220%x ==. 答：平均每次下调的百分率为20%.（5分）
（2）按方案一购买，需金额：6.480%2100010240⨯⨯⨯=（元）
按方案二购买，需金额：6.4210002100010800⨯⨯-⨯= （元）
∵10
240100 80<，∴选择方案一更优惠. 答：选择方案一更优惠.（9分）
24．（1）证明：∵DE ∥BC ，
∴∠ADE =∠ABC ，∠AED =∠ACB =90°，
∵⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切于点D ， ∴∠BDF =90°，∴△ADE ∽△FBD ．（4分） （2）解：过点O 作OH ⊥DE 于点H ，
由已知，⊙O 的半径为，AE=AC=，
易证△ABC ∽△DOH ，易求1
3
HD BC =，
∴HD AC OD AB =
1BC
= 又在Rt △ABC 中，222AB AC BC =+
，即222AB BC =+，②
∴由①、②可得，222()18812120BC BC +-⨯⨯=，
解得BC 2=36，∴BC =6（舍去负值）．（9分）
25．解：（1）设第一个月日销量与时间之间的函数关系式为111b t k m +=，
当1≤t ≤30时，将t =10，m =80；t =20，m =60代入111b t k m +=，
得到：10021+-=t m （1≤t ≤30），
设第二个月日销量与时间之间的函数关系式为222b t k m +=，
当31≤t ≤60时，将t =40，m =80；t =60，m =100代入222b t k m +=；
得到：240m t =+（31≤t ≤60）．（3分）
（2）当1≤t ≤30时，11(8040)(2100)4
W t t =+-⨯-+21
5540002t t =--+，
当t =30时，日销售利润最小，最小利润为1 900元；
当31≤t ≤60时，21
(9040)(40)3W t t =-+-⨯+21110200033
t t =-++，
当t =55时，日销售利润最大，最大利润为9025
3元．（7分）
（3）第二个月有了政府补贴后每件产品利润为1
(9040)3
t a -++-，
产品日销量为(40)t +， 产品日销售利润为：
W 3=1
(9040)(40)3
t a t -++-⨯+21110()40200033t a t a =-++++
依题意有：110312()3
a
--⨯-≥60，得到a ≥103，a 的最小值为103．（10分）
26．解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y =a (x +1)2+k ，
∵点A (1，0)，B (0，3)在抛物线上， ∴403a k a k +=⎧⎨+=⎩
， 解得：a =-1，k =4， ∴抛物线的解析式为：y =-(x +1)2+4．
（2）①∵四边形OMPQ 为矩形，
∴OM =PQ ，即3t =-(t +1)2+4， 整理得：t 2+5t -3=0，
解得t
t
0，故舍去，
∴当t=375
-
秒时，四边形OMPQ为矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tan A=3．
若△AON为等腰三角形，有三种情况：
答图1 答图2 答图3 （I）若ON=AN，如答图1所示：
过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=1
2
OA=
1
2
，
∴t=1
2
；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
过点N作ND⊥OA于点D，
设AD=x，则ND=AD•tan A=3x，OD=OA-AD=1-x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，
即(1-x)2+(3x)2=12，解得x1=1
5
，x2=0（舍去），
∴x=1
5
，OD=1-x=
4
5
，
∴t=4
5
；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tan A=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，
即x2+(3x)2=12，解得x110
，x2=-
10
（舍去），
∴OD=1-x=1-10
，
∴t=1-10
．
综上所述，当t为1
2
秒、
4
5
秒，（1
10
）秒时，△AON为等腰三角形．。
