习 题 8.2 反常积分的收敛判别法
⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；
⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞
+a dx x )(?和
?
∞
+a
dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则
当?∞
+a dx x )(?收敛时?
∞+a
dx x f )(也收敛；
当?
∞
+a
dx x f )(发散时?∞
+a
dx x )(?也发散。
证 当?∞
+a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K
dx x A A ε
?<
?'
)(。
于是
≤
?'
A A
dx x f )(ε?
A A dx x K )(，
所以?
∞+a
dx x f )(也收敛；
当?
∞+a
dx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，
00>?ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：
εK dx x f A A ≥?'
)(。
于是
≥?'A A dx x )(?0)(1
ε≥?'
A A dx x f K ，
所以?∞
+a dx x )(?也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)
()(lim
=+∞→x x f x ?。则当?∞
+a dx x f )(发
散时，?∞
+a dx x )(?也发散；但当?∞
+a dx x f )(收敛时，?∞
+a dx x )(?可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =
，)20(1
)(<<=p x
x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞
+1
)(dx x f 收敛，而对于?∞
+1)(dx x ?，则当21<
发散。
设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且+∞=+∞→)
()(lim
x x f x ?。则当?∞
+a dx x f )(收
敛时，?∞
+a dx x )(?也收敛；但当?∞
+a dx x f )(发散时，?∞
+a dx x )(?可能发散，也可能收敛。
例如x
x f 1)(=
，)21
(1)(>=
p x
x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?。显然有 ?∞
+1
)(dx x f 发散，而对于?∞
+1)(dx x ?，则当
12
1
≤
p 时收敛。 ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）。
证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数。
⑴ 若f x K
x
p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛；
⑵ 若f x K
x
p ()≥，且p ≤1，则?∞+a dx x f )(发散。
推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，且
lim ()x p x f x l →+∞
=，
则
⑴ 若0≤<+∞l ，且p >1，则?∞
+a dx x f )(收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≤1，则?
∞
+a
dx x f )(发散。
证 直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x ?取为
p x
1
。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性：
⑴
1
1
3
21
x e
x dx x
-++-+∞
?ln ; ⑵
?
∞
++1
3
1tan arc dx x x
;
⑶
1
10
++∞
?x x dx |sin |
;
⑷
x x dx
q p
11
++∞
?（+
∈R q p ,）. 解 （1）当+∞→x 时，
1
ln 1
23++--x e
x x
～
2
31
x ，
所以积分1
1
321
x e x dx x -++-+∞
?ln 收敛。
（2）当+∞→x 时，
3
1arctan x
x +～32x π， 所以积分?
∞
++13
1tan arc dx x x
收敛。
（3）因为当0≥x 时有
x
x x +≥+11
sin 11，
而积分dx x
?∞
++0
11
发散，所以积分110
++∞?x x dx |sin |发散。 （4）当+∞→x 时，
p
q
x
x +1～q p x -1， 所以在1>-q p 时，积分x x dx q
p
11
++∞
?收敛，在其余情况下积分 x x dx q
p
11
++∞
?发散。 ⒋ 证明：对非负函数f x ()，)cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛与f x dx ()-∞+∞
?收敛是等价的。 证 显然，由f x dx ()-∞+∞
?收敛可推出)
cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛，现证明当0)(≥x f 时
可由)cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛推出f x dx ()-∞+∞
?收敛。
由于)cpv (f x dx ()-∞+∞
?收敛，可知极限
+∞
→A lim =)(A F +∞
→A lim
?-A
A dx x f )( 存在而且有限，由Cauchy 收敛原理，
0>?ε，00A ?>，0,A A A ≥'?：ε<-)'()(A F A F ，
于是0,A A A ≥'?与0',A B B ≥?，成立
≤?'
A A
dx x f )(ε<-)'()(A F A F
与
≤?--B
B dx x f ')(ε<-)'()(B F B F ，
这说明积分?∞
+0)(dx x f 与?∞-0
)(dx x f 都收敛，所以积分f x dx ()-∞+∞
?收敛。
⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：
⑴ ln ln ln sin x x xdx 2+∞?; ⑵ sin x x dx
p 1+∞?（+
∈R p ）; ⑶ ?∞+1tan arc sin dx x
x x p
（+
∈R p ）; ⑷ sin()x dx 20+∞?; ⑸ ?∞+a
n m
xdx x q x p sin )
()( （p x m ()和q x n ()分别是m 和n 次多项式， q x n ()在),[+∞∈a x 范围无零点。） 解 （1）因为?=A
xdx A F 2sin )(有界，x x ln ln ln 在),2[+∞单调，且0ln ln ln lim =+∞→x
x
x ，
由Dirichlet 判别法，积分ln ln ln sin x
x
xdx 2
+∞
?收敛； 由于
≥x x x sin ln ln ln x x x 2sin ln ln ln )2cos 1(ln ln ln 21x x
x
-=，而积分 ?∞
+2
ln ln ln dx x x 发散，?∞+22cos ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分?∞+2sin ln ln ln dx x x
x 发散，即积分ln ln ln sin x
x
xdx 2
+∞
?条件收敛。 （2）当1>p 时，
p
p
x x x 1sin ≤
，而?∞+11dx x p 收敛，所以当1>p 时积分 sin x
x dx p
1
+∞
?绝对收敛； 当10≤
xdx A F 1sin )(有界，
p x
1
在),1[+∞单调，且01
lim
=+∞→p
x x ，由Dirichlet 判别法，积分sin x x dx p 1+∞?收敛；但因为当10≤
|
sin |dx x x p
发散，所以当10≤
x dx p
1
+∞
?条件收敛。 （3）当1>p 时，
≤
p
x x
x arctan sin p
x 2π
，而?∞
+1
1
dx x p
收敛，所以当1>p 时积分?
∞
+1
tan arc sin dx x x
x p
绝对收敛；
当10≤
xdx A F 1sin )(有界，
p
x
x
arctan 在),1[+∞单调，且
0arctan lim
=+∞→p x x x ，由Dirichlet 判别法，积分?∞+1arctan sin dx x x
x p 收敛；但因为当10≤
+1
sin arctan dx x x
x
p
发散，所以当10≤
arctan sin
dx x
x
x p
条件收敛。 （4）令2x t =，=
?∞
+02)sin(dx x ?∞
+0
2sin dt t
t ，由于?∞
+0
2sin dt t
t 条件收敛，可知积分
sin()x dx 20+∞
?条件收敛。
（5）当1+>m n 且x 充分大时，有
x x q x p n m sin )()(2x
K
≤，可知当1+>m n 时积分?
∞
+a
n m xdx x q x p sin )
()
(绝对收敛。 当1+=m n 时，因为?=A
xdx A F 1sin )(有界，且当x 充分大时，
)
()
(x q x p n m 单调且0)()(lim =+∞→x q x p n m x ，由Dirichlet 判别法可知?∞+a n
m
xdx x q x p sin )()(收敛；但由于当
+∞→x 时，
)
()(x q x p n m ～x a ，易知?∞+1sin )()
(dx x x q x p n m 发散，所以当1+=m n 时，积分?
∞
+a
n m xdx x q x p sin )
()
(条件收敛。 当1+ →) () (lim ，A 为非零常数、∞+或∞-，易知积分? ∞ +a n m xdx x q x p sin ) () (发散。 ⒍ 设f x ()在[,]a b 只有一个奇点x b =，证明定理8.2.'3和定理8.2.'5。 定理8.2.'3（Cauchy 判别法） 设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，若当x 属于b 的某个左邻域[,)b b -η0时，存在正常数K ，使得 ⑴ f x K b x p ()()≤-，且p <1，则f x dx a b ()?收敛； ⑵ f x K b x p ()()≥ -，且p ≥1，则f x dx a b ()?发散。 证 （1）当p <1时，积分?-b a p dx x b ) (1 收敛，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε，0>?δ，),0(',δηη∈?： K dx x b b b p ε ηη <-?--' ) (1。 由于 ≤ ?--' )(ηη b b dx x f εηη <-?--' ) (b b p dx x b K ，所以f x dx a b ()?收敛。 （2）当1≥p 时，积分?-b a p dx x b ) (1 发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理， 00>?ε，0>?δ，),0(',δηη∈?： K dx x b b b p 0' ) (1 εηη ≥-?--。 由于 ≥ ?--' )(ηη b b dx x f 0' ) (εηη ≥-?--b b p dx x b K ，所以f x dx a b ()?发散。 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[,)a b 上恒有f x ()≥0，且 lim()()x b p b x f x l →- -=， 则 ⑴ 若0≤<+∞l ，且p <1，则f x dx a b ()?收敛； ⑵ 若0<≤+∞l ，且p ≥1，则f x dx a b ()?发散。 证 （1）由lim()()x b p b x f x l →- -= （+∞<≤ 0>?δ，),(b b x δ-∈?：p x b l x f ) (1 )(-+< ， 再应用定理8.2.'3的（1）。 （2）由lim()()x b p b x f x l →- -= （+∞≤<≥l p 0,1），可知 0>?δ，),(b b x δ-∈?：p x b l x f ) (2)(-> ， 再应用定理8.2.'3的（2）。 定理8.2.'5 若下列两个条件之一满足，则f x g x dx a b ()()?收敛： ⑴（Abel 判别法） f x dx a b ()?收敛，g x ()在[,)a b 上单调有界； ⑵（Dirichlet 判别法）? -=η ηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，g x ()在[,) a b 上单调且0)(lim =- →x g b x 。 证 （1）设G x g ≤|)(|，因为f x dx a b ()?收敛，由Cauchy 收敛原理， 0>?ε，0>?δ，),(,b b A A δ-∈'?： G dx x f A A 2)(ε < ? ' 。 由积分第二中值定理， ? ' A A dx x g x f )()(??' ?'+?≤A A dx x f A g dx x f A g ξ ξ )()()()( ??'+≤A A dx x f G dx x f G ξξ)()(εε ε=+<2 2。 （2）设M F ≤|)(|η，于是),[,b a A A ∈'?，有 M dx x f A A 2)( ' 。因为0)(lim =- →x g b x ， 0>?ε，0>?δ，),(b b x δ-∈?，有M x g 4)(ε <。由积分第 二中值定理， ? ' A A dx x g x f )()(??' ?'+?≤A A dx x f A g dx x f A g ξ ξ )()()()( |)(|2|)(|2A g M A g M '+≤εε ε=+<2 2。 所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy 收敛原理，都有?∞ +a dx x g x f )()(收 敛的结论。 ⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 12301 x x dx () -?; ⑵ ln x x dx 201 1 -?; ⑶ 1 2202 cos sin x x dx π?; ⑷ 10 2 -?cos x x dx p π; ⑸ |ln |x dx p 0 1 ?; ⑹ x x dx p q ---?1101 1(); ⑺ ?---1 011 |ln |)1(dx x x x q p . 解 （1）因为 3 2 ) 1(1x x -～ 3 21 x )0(+→x ， 3 2 ) 1(1 x x -～ 3 1)1(1x - )1(-→x ，所以 积分 1 12 3 01 x x dx () -?收敛。 （2）因为1ln lim 21--→x x x 21 =，且对任意10<<δ，01 ln lim 2 0=-+→x x x x δ，即当0>x 充分小时，有δ x x x 1 1ln 2<-，所以积分ln x x dx 2011-?收敛。 （3）因为 x x 22sin cos 1～21x )0(+→x ，x x 22sin cos 1～2 )2 (1x -π)2(-→πx ，所以积分1 220 2 cos sin x x dx π ?发散。 （4）因为p x x cos 1-～2 21-p x )0(+→x ，所以当3 -?cos x x dx p π 收敛，当3≥p 时积分10 2 -?cos x x dx p π 发散。 （5）首先对任意的10<<δ与任意的p ，有0]|ln |[lim 0=+ →p x x x δ，即当0>x 充分小时，有δ x x p 1ln < ；且 p x ln ～p x --)1(1)1(-→x 。所以当1->p 时，积分|ln |x dx p 0 1 ?收敛，当1-≤p 时，积分|ln |x dx p 01 ?发散。 （6）11)1(---q p x x ～ p x -11)0(+→x ，11)1(---q p x x ～ q x --1) 1(1 )1(-→x ，所以在0,0>>q p 时积分x x dx p q ---?1101 1()收敛，在其余情况下积分 x x dx p q ---?1101 1()发散。 （7）|ln |)1(11x x x q p ---～ q x --) 1(1 )1(-→x ，且 0|)]ln |)1(([lim 112 10=---- + →x x x x q p p x ，即当0>x 充分小时，有 2 1111 ln )1(p q p x x x x ---< -，所以当1,0->>q p 时积分?---1 011|ln |)1(dx x x x q p 收 敛，在其余情况下积分?---1 011|ln |)1(dx x x x q p 发散。 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21< =p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤ p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； 目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14) §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛； 2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6. 无穷限反常积分敛散性及审敛法则 一、教学目标分析 在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。 二、学情/学习者特征分析 学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。 三、学习内容分析 1.本节的作用和地位 通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。 2．本节主要内容 1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则 4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析 教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。 4.课时要求：2课时 四、教学理念 学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。 五、教学策略 在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。 六.教学环境 网络环境下的多媒体教室与课堂互动。 七、教学过程 一、无穷限反常积分的定义 定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 J dx x f u a u =? +∞→)(lim 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 dx x f J a ?+∞ =)(，并称 dx x f a ?+∞ )(收敛．如果极限J dx x f u a u =? +∞→)(lim 不存在，亦称 dx x f a ?+∞ )(发散． 类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f b u u b ? ?-∞→∞-= 对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义： ,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ???+∞ ∞ -∞-+∞ +=其中a 为任一实数， 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 注： dx x f a ? +∞ )(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线 )(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ． 例1 讨论无穷积分.1) 10 2? +∞ +x dx ，.1)22 ?∞+∞-+x dx ，.)302 ?+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：? +∞ 1 ) 1p x dx ， ;)(ln )22?+∞p x x dx 二、无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ?+∞ a dx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数= )(u F ? u a dx x f )(在 +∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分 ? +∞a dx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要 G u u >21,，便有 ε<= -? ? ?2 1 2 1 )()()(u u u a u a dx x f dx x f dx x f ． 目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14) 判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< 无穷积分的敛散判别法 摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结． 关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散 The convergence and divergence method of infinite integral Abstract ：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method ，and the method for some regularity analysis ,summary. Key Words ：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence 前言 我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是 被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法． 1 无穷积分的定义 定义：设函数f 定义在无穷积分区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积．如果存在极限 l i m ()u u a f x d x J →∞=? 则称此极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 ()a f x dx J +∞ =? 并称()a f x dx +∞? 收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称()a f x dx +∞? 发散． 类似地，可定义f 在(,]b -∞上的无穷积分： ()()lim b u b u f x dx f x dx →∞-∞=?? 对于在(,)-∞+∞上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义： ()()()b a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ -∞-∞ =+??? ， 其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分 目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10. 无穷积分敛散性的判别法 郑汉彬 摘 要：无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的—个先决条件。由于判别方法比较多,学生不易掌握,从而是数学分析的一个难点,也一直是一个重要的研究课题。本文就一些常见和不常见的判定方法做一个归纳,这样将有助于我们灵活地运用各种判别法判定无穷积分的敛散性。 关键词：无穷积分；瑕积分；收敛性；判别法 无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题,是求解无穷积分近似值的一个先决条件。由于判断方法比较多,不易掌握,从而是数学分析和高等数学的一个难点。最原始的判别方法是对积分区间无穷型的反常积分先将积分限视为有限的积分区间,按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,再用极限去判定原积分是否收敛。 本文以文献中相关定理为基础,并对相关的文献资料中给出的无穷积分敛散性判定方法的相关理论进行总结及一定的改进和补充,使之能够更广泛地应用于无穷积分敛散性判定中,对比了各种类型的无穷积分敛散性判定方法的应用以及在应用过程中应注意的一些巧妙方法,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误。 1 无穷积分的敛散性 定义1 设函数)(x f 在 ),[+∞a 上有定义,且对)(,x f a b >?在上],[b a 可积,当 ()lim b a b f x dx J →+∞=? 存在,称此极限J 为函数)(x f 在区间),[+∞a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记为 ()a J f x dx +∞ =? 这时称积分 ? +∞ a dx x f )(是收敛的.如果上述极限不存在,为方便起见,并称无穷积分? +∞a dx x f )(发散. 2 无穷积分敛散性的判别法 如何判断一个无穷积分的敛散性,这是无穷积分理论的重要内容之一。对此,我们首先建立一个收敛准则,然后再介绍几种常有的敛散性判别法。 柯西收敛准则 因为无穷积分 ? +∞ a dx x f )(的收敛问题即是极限? +∞→A a A dx x f )(lim 的存在问题,所以由极限的柯西收敛 第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级 2012级 学号 2 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩 75分 目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言 --------------------------------------------------------------------- -------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9) (5).阿贝尔判别 法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10) 参考文献 (11) 摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性 1 / 1 考研数学（二）真题解析：反常积分敛散性的判定 来源：文都教育 研究生入学考试大纲数学二对反常积分这个知识点的要求是：了解反常积分的概念，会计算反常积分。从大纲要求看出，大纲对反常积分敛散性的判定要求比较低，但是近些年数二经常考敛散性的判定，所以考研的同学对此知识点不可小觑。下面文都老师把数二近三年考到的这个知识点的两道真题帮大家分析一下。 【数二】下列反常积分中收敛的是（ ） （）21d x x +∞? （）2ln d x x x +∞? （）21d ln x x x +∞? （）2d x x x e +∞? 解析： 221d 2x x x +∞+∞==∞?，所以21d x x +∞?发散 ()222ln 1d ln 2 x x x x +∞+∞==∞?，所以2ln d x x x +∞?发散 221d ln ln ln x x x x +∞+∞==∞?，所以21d ln x x x +∞?发散 22222|3,x x x x x dx xde xe e dx e e +∞ +∞+∞--+∞--=-=-+=???收敛. 应选（） 本题主要是应用牛顿—莱布尼兹公式的推广来判定反常积分的敛散性，题目比较简单。 【数二】设函数()111,1,(1)1,.ln x e x x e x x αα-+?< () 20α-<< () 02α<< 解析： 1111()(1)ln e e dx dx f x dx x x x αα+∞+∞-+=+-??? 1111lim(1)1(1)x x x αα--→-=-，因为11(1)e dx x α--?收敛，所以11α-<，即2α< 又因为1111(ln )(ln )|ln ln e e e dx d x x x x x αααα+∞ +∞-+∞++==-?? 因为1ln e dx x x α+∞+?收敛，所以0α>，因此02α<<。 应选（） 本题是用反常积分敛散性的判定定理和牛顿—莱布尼兹公式的推广来判断反常积分的敛散性，属中等难度。 §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 & 定理 无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 2 1 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 无穷积分的性质与收 敛判别法 §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分()dx x f a ? +∞收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞ 时是否存在极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ?+∞收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、 u 2＞G ，便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 2 1 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- XX财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级2012级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75分 目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9) (5).阿贝尔判别法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10) 参考文献 (11) 摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性 无穷积分的性质与收敛 判别法 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分()dx x f a ? +∞收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否 存在极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理 无穷积分()dx x f a ? +∞收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。 性质1 (线性性质) 若()dx x f a ? +∞1与()dx x f a ? +∞ 2都收敛，k 1、k 2为任意常数，则 ()()[]dx x f k x f k a ?+∞+2 2 11 也收敛，且 ()()[]dx x f k x f k a ?+∞ +2211=()()dx x f k dx x f k a a ? ?+∞ +∞ +2211。 （1） 证明: 记()()111lim u a a u J f x dx f x dx +∞ →+∞ ==??, ()()222lim u a a u J f x dx f x dx +∞→+∞ ==? ?, 则()()[]dx x f k x f k a ? +∞+2211=()()1122lim u a u k f x k f x dx →+∞ +????? =1122[()()]lim u u a a u k f x dx k f x dx →+∞ +?? =1122()()lim lim u u a a u u k f x dx k f x dx →+∞ →+∞ +?? =1122k J k J +=1122()().a a k f x dx k f x dx +∞ +∞ +? ? □习题反常积分的收敛判别法
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