总结轮轨关系
轮轨关系
轨道车辆和线路的作用问题是铁路轮轨接触式运输的基本问题。发展重载运输必须解决好轮轨之间的动力作用，努力减轻重载列车与线路的动态作用。但由于轮轨关系自身的复杂性，目前的研究理论和模型仍然基于一些假设[1]：
1）法向接触满足Hertz 接触条件；
2）轮轨接触副视为弹性半空间；
3） 接触表面是理想光滑连续的,而接触表面之间的 “第三介质 ,’ 如水、油和其它污染物的影响被忽略；
4) 轮轨接触斑以外边界支撑和约束条件对轮轨接触行为的影响被忽略；
5) 高速轮轨滚动接触时的惯性力被忽略；
6) 不考虑温度的影响。
上述几点假设是不符合实际但是理论的前提。
轮轨关系的主要研究内容为轮轨接触几何的确定和轮轨滚动接触理论的应用。实际接触参数计算和列解微分方程的过程可简述如下：
在某一瞬时位置确定轮轨接触点是关键，之后就可以在确定了接触点的基础上利用几何推导出各个重要的接触几何参数，如左右轮/轨在接触点的接触角L δ、R δ，左右轨在接触点处的钢轨顶面曲率半径RR ρ、RL ρ，左右轮在接触点处的踏面曲率半径WR ρ、WL ρ，左右轮实际滚动半径R r 、L r ，轮轨接触时的侧滚角k θ，轮对中心的上下位移k z ，其中变量为轮对相对轨道的横移量和摇头角w y 、w ψ。利用已求得的接触参数和Hertz 接触理论公式计算出接触椭圆的长短半轴，从而确定轮轨接触斑。然后利用接触椭圆的长短半轴长和查表得到的kalker 系数及材料常数计算得到蠕滑系数，之后再通过实际速度和纯滚动速度计算出蠕滑率，将二者带入蠕滑力公式求得蠕滑力。最后就可以列出含有蠕滑力，悬挂力，惯性力的运动微分方程，利用计算机求解得到位移、速度、加速度和相关模态值。 最初进行轮轨接触几何关系研究并确定接触参数的实用方法有两种：一种是圆弧形截面模型，一种是任意截面模型。前者可直观的用数学解析的方法确定其几何关系，后者是数值方法，需编程实现。前者在综述中提到；现重点论述后者，它是一种通用性很强的求解轮轨接触几何的数值方法。
任意截面轮廓形状轮轨接触几何求法：（以二维模型为例）
假设及准则：1.轮轨为刚性，互不嵌入；2两侧轮轨同时接触；3.轮轨上的接触点具有相同的空间位置，且接触点处轮轨具有公切面。
任何轮轨外形都可以用一系列离散坐标来表示轮轨外形，然后用一条通过各坐标点的拟合曲线来表示其外形的描述函数。如果要求精度高，则离散点可以密集些。下面具体介绍求解任意截面轮廓形状轮轨接触几何的方法和步骤： I.轮轨外形拟合曲线
如图所示，过轮对中心线做一个垂向平面切割轮对，车轮外部轮廓与切割面得交线称为主轮廓线，即车轮踏面外形线。主轮廓线可以通过实测或计算轮廓线上各点坐标用三次样条函数拟合，得到描述外形线的样条函数()R y W 和()L y W 。同理，找到切割面与轨顶交线上的离散点可拟合成()R y R 和()L y R 样条函数。这样就得到了左右轮、轨的四个主轮廓线的样条函数()()()()R y L y R y L y W W R R 、、、。 注：三次样条函数曲线()S χ的性质：
i.在每个子区间[1,k k χχ-] (k=1,2….n) , ()S χ不超过三次；
ii. ()k k S y χ= (k=0,1....,n)
iii. ()S χ在[a,b]区间上两次连续可微。
图 确定轮轨接触点原理 II.确定轮轨接触点的原理和接触参数表达式：（无摇头的二维情况）
已知轮轨轮廓曲线的四条样条函数，就确定了轮轨轮廓上的任一点坐标。在某
横移值i y 下，可依据样条函数求得轮轨轮廓的垂直距离i z ；变化i y 的值,增量取决于切割面（图示垂直于纸面）的间距，得到不同的i z （i=1,2,3….m ）。在i z （i=1,2,3….m ）中，找到其中最小的min z 。比较左右轮轨的min L z 和min R z ，若二者相等，车轮垂直平行下落时，两最小距离点min L z 和min R z 即为轮轨接触点。若不等，则要调整车轮侧滚角k θ一个微小的角度i γ重复以上各步，直到min L z =min R z 确定接触点。最终可以通过左轮左轨，右轮右轨是否分别具有公切面验证接触点的真假。
接触点确定，接触点的横坐标min L y 和min R y 就确定了。之后就可以确定出各个接触参数如下：
1.侧滚角k θ，直接由迭代求得0k k i θθγ=+∑；
2.实际车轮滚动圆半径R r 和L r ，可由min L y 和min R y 确定；
3.轮对中心垂向位移量k z ，可由R r 、L r 和k θ确定；
4.钢轨接触角（接触点切面与水平面夹角）L ?, R ?: 左轨：min ()[]L L L y d arctg
R dy ?= 右轨：min ()[]R R R y d arctg R dy ?= 5.车轮接触角（接触点切面与轮对中心线间夹角）L δ，R δ 左轮：min ()[]L L L y k d arctg
W dy δθ=- 右轮：min ()[]R R R y k d arctg W dy δθ=+ 6.车轮接触点处踏面曲率半径L W ρ，R W ρ： 左轮：min min 23/2()2()2{1[]}[]L L L L y W L y d W dy d W dy ρ+=
（） 右轮：min min 23/2()2
()2{1[]}[]R R R R y W R y d W dy d W dy ρ+=（）
7.钢轨在接触点处轨面曲率半径L R ρ,R R ρ 左轨：min min 23/2()2()2{1[]}[]L L L L y R L y d R dy d R dy ρ+=
（） 右轨：min min 23/2()2
()2{1[]}[]R R R R y R R y d R dy d R dy ρ+=（） 轮轨三维几何接触关系参考文献[2]，当轮对有摇头时，轮对上的接触点已不在主轮廓线所在的垂平面内，因此要在车轮的整个踏面的轮廓面上来寻找轮轨接触点。
III .轮轨滚动接触及蠕滑力计算（轮轨动力作用部分）：
为了求得运动微分方程中蠕滑力项，首先必须获知轮轨接触几何关系，在给定的轮轨截面参数下，由轮对横移w y 及摇头角w ψ马可确定接触点位置及接触点处的曲率半径等（上步已经求得）。第二步根据左右两个接触点的位移w y 及速度w y &，车辆实际速度和纯滚动速度等求出蠕滑率，根据Hertz 接触理论求出接触斑尺寸，并结合材料属性利用Carter 滚动接触理论或Kalker 滚动接触理论计算蠕滑系数。最后代入蠕滑力公式求出蠕滑力项。下面具体介绍第二步内容： 车轮在牵引力的作用下要向前运动，如果轮轨间粘着力不足，则车轮在钢轨上滑行，如果粘着力充分，则车轮在钢轨上滚动。滚动的车轮在钢轨上走行的距离要小于没有弹性变形的纯理论滚动所走的距离，也就是车轮的实际表面速度低于理论表面速度，这种现象称为轮轨蠕滑。轮轨间出现蠕滑的三个条件：轮轨为弹性体，车轮和钢轨之间有一定的正压力和切向力使车轮沿钢轨滚动。缺少三者中的任何一个，均不会出现蠕滑。车轮实际走行速度与理论纯滚动速度之差称为蠕滑速度，蠕滑速度与纯滚动速度之比称为蠕滑率；使轮轨产生蠕滑的切向力称为蠕滑力。蠕滑力由蠕滑系数和蠕滑率求得。具体的：
图 蠕滑力F 和蠕滑率ε之间关系
先要依据Hertz 接触理论[3]确定轮轨接触斑的尺寸，即接触椭圆的长短半轴a 和b 的大小。
图 椭圆接触斑示意图
Hertz 推导出的接触椭圆长短半轴公式为：
1233()a 4N k k m k π+= 123
3()4N k k b n k π+=参数1k 、2k 、3k 、4k ，β定义为：
211w w k E σπ-= , 221R R
k E σπ-= , 311111[]2w w R R k r r ρρ=+++, 224111111111[()()2()()cos 2]2w w R R w w R R
k r r r r ψρρρρ=++++-- β=arccos （4k /3k ）;
其中：N 为轮轨接触斑处法向力，w r 车轮实际滚动圆半径，w ρ车轮踏面轮廓在接触点处的曲率半径，R r 钢轨在接触点处的滚动滚动圆半径，R ρ钢轨轮廓面在接触点处曲率半径，w σ、R σ车轮和钢轨材料的泊松比，w E 、R E 车轮和钢轨材料的杨氏弹性模量；m 、n 是Hertz 理论给出的系数，可由β查表知，ψ为w r 、R r 法平面夹角即轮对摇头角（实际中cos2ψ约等于1）。
以上求得了接触椭圆长短半轴a,b 。为以后求蠕滑系数奠定了基础。在最后的蠕滑力计算中将详列蠕滑系数的表达式。
求解蠕滑力的另外一个参数项蠕滑率可用下图表达，坐标C-123是以接触中心C 在接触斑上建立的坐标系，如图所示。车轮上接触斑沿C1,C2轴的平动速度为1w v 、2w v ，绕C3轴的转动速度为3w Ω；钢轨上接触斑沿C1,C2轴的平动速度为1R v 、2R v ，绕C3轴的转动速度为3R Ω。定义蠕滑率：车轮实际前进速度与车轮纯滚动前进速度差与车轮实际前进速度（有的书用纯滚动速度[5]）的比值。具体的：
沿C1轴纵向蠕滑率 11111
2()R w R w v v v v ξ-=+ 沿C2轴横向蠕滑率 22211
2()R w R w v v v v ξ-=+ 沿C3轴自旋蠕滑率 333112()w R R w v v ξΩ-Ω=
+ 其中，
112
R w v v +为车轮沿钢轨运行的平均速度，实用时用运行速度代替纯滚动速度。
图 蠕滑率计算示意图
有Kalker 线性蠕滑理论知，蠕滑力（力矩）与蠕滑率成正比且反向： 纵向蠕滑力 1F = 111f ξ-
横向蠕滑力 2F = 222233f f ξξ--
自旋蠕滑力矩 3322333M f f ξξ=-
公式中的蠕滑系数ij f 的确定： 111122223/223
3223233
33()()f EabC f EabC f f E ab C f E ab C =??=??==??=?， 其中a 、b 为接触斑长短半轴长，E 杨氏模量，ij C 是查表得到的Kalker 系数，与材料泊松比和a/b 的值有关。
大量实验证明，轮轨蠕滑力和蠕滑率之间只有在蠕滑率不大情况下二者才成线性关系。确定轮轨非线性蠕滑力和蠕滑率的关系最简便实用的方法为经验修正
法。它是利用线性Kalker 理论计算出1F 和2F 求二者的合力2
212R
F F F '=+,修正R F '得到：
2311[(/)(/)(/)]........,3327.........................................................................,3R R R R R R
fN F fN F fN F fN F fN F fN F fN ?''''-+≤?=??'>? 其中，N 轮轨法向力， f 摩擦系数。
求出修正后的合成蠕滑力再分线性情况、全滑动情况和处于二者之间的第三种情况确定沿C1、C2的各分量1N F 和2N F [4]。
以上就是轮轨关系计算的大体步骤和实用中的一些简单方法，从中能对铁道车辆的轮轨关系有个系统连续的认识。这为以后的货车车辆仿真和结果的分析提供理论基础。