2020年慈溪中学保送生招生考试数学模拟卷（一）
（考试时间90分钟，满分130分）
一、选择题（每小题6分，共30分）
1、下列图中阴影部分面积与算式
2
1
31
2
42
-
??
-++
?
??
的结果相同的是（）
2、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙
O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆
心O移动的水平距离为（）
A、2π
B、π
C、3
2D、4
3、如果多项式212
x px
++可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取（）个
A、4
B、5
C、6
D、8
4、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果
将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出
的题叫做容易题，那么难题比容易题多（ ）道 A 、15 B 、20 C 、25 D 、30
5、已知BD 是ABC V 的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（ ） A 、6 B 、32 C 、32 D 、6
二、填空题（每小题6分，共36分）
6、满足方程532=-++x x 的x 的取值范围是 。
7、已知三个非负实数c b a ,,满足：523=++c b a 和132=-+c b a ，若
c b a m 73-+=，则m 的最小值为 。
8、如图所示：设M 是ABC ?的重心（即M 是中线AD 上一点，且AM=2MD ），
过M 的直线分别交边AB 、AC 于P 、Q 两点，且
n QC
AQ
m PB AP ==,，则=+n
m 1
1 。
第8题图
第11题图
第10题图
9、在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（y x ,）称为整点，如
果将二次函数4
39
82-+-=x x y 的图像与x 轴所围成的封闭图形染成红色，
则此红色区域内部及其边界上的整点个数有 个。
10、如图所示：在平面直角坐标系中，OCB ?的外接圆与y 轴交于)2,0(A ，
,60?=∠OCB ?=∠45COB ，则=OC 。
11、如图所示：两个同心圆，半径分别是3462和，矩形ABCD 边AB 、CD
分别为两圆的弦，当矩形ABCD 面积取最大值时，矩形ABCD 的周长是 。
三、解答题（每小题16分，共64分）
12、九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分。统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分。
13、设二次函数c
=2的图像开口向下，顶点落在第二象限。
y+
+
ax
bx
（1）确定ac
,,2-的符号，简述理由。
a4
b
b
（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线0=
x上，顶点与原点
+y
3，求抛物线的解析式。
的距离为2
14、如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE，求证：
（1）AB=AF
（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）
15、在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、
x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当
A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转．旋转过程中，A
B 边交直线y x =于点M ，B
C 边交x 轴于点N （如图1). （1）求边AB 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论；
（3）设MN=m ，当m 为何值时△OMN 的面积最小，最小值是多少？并直
接写出此时△BMN 内切圆的半径.
图1
y=x
x
y O
C
B
A
2020年慈溪中学保送生数学模拟考答题卷
一、选择题（每小题6分，共30分）
二、填空题（每小题6分，共36分）
6、 7、 8、 9、 10、 11、 三、解答题（每小题16分，共64分） 12、
理由是：
学校 班级 姓名 学号 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
13、
14、 15、
y=x
x
y
O C
B
A
参考答案：
一、选择题：BCCBC 3、p 值可取±7，±8，±13； 4、如图，设a 是容易题；
b ，
c ，
d 是中档题；m ，n ，p 是难题。
则由题意可得：
6060322218060a b c m a b d n a b c d m n p a c d p +++=??
+++=?++++++=??+++=?
又100a b c d m n p ++++++= 所以280a b c d +++= 设所求x m n p a =++-
则28020a b c d m n p a x x ++++++-=+?= 5、
二、填空题：
d
c
b
a
p
n
m
6、23x -≤≤；
7、5
7
-；37730,7110,327
11a c b c c m c =-≥=-≥?≤≤=-
8、1；过B 、C 分别作PQ 的平行线即可
9、25；0y =时，12313,22x x ==；225
(4)4
y x =--+；当x=2时，满足条件的
点有3个，当x=3时，满足条件的点有6个，当x=4时，满足条件的点有7个，当x=5时，满足条件的点有6个，当x=6时，满足条件的点有3个 10、3 11、16+
如图，设AB=CD=a ，AD=BC=b ， DE=CF=c ，则有
222
2
22()96
24()192
a b c bc a b c ?+-==??=?++==??所以，
22
24()96a b b
+-
=，又S ab = 可得：4221445760b b S -++= 由204608S S ≥?≤?≤V 当S =8b a == 三、解答题：
12、填表如下：每空1分，共9分
理由如下：可设t 枪脱靶，x 枪射中内环，y 枪射中中环，则有(8)x y t ---枪射中外环
，所以503525(8)255x y x y t ++---=
化简得1
52()(1)2
y t x t x =+-++-
对于（1）班，1
0,52(1)2t y x x ==-+-，x 为奇数，只能取x=1，得y=3；
对于（2）班，1
1,72(2)2t y x x ==-+-，x 为偶数，只能取x=2，得y=3；
对于（3）班，1
2,92(3)2
t y x x ==-+-，
x 为奇数，只能取x=3，得y=3；-------7分（视情况给分）
13、解：（1）开口向下，所以0a <；-------------2分
顶点在第二象限，所以22
020,40404b
a
b b a
c ac b a
?-?-?>??--------------4分 （2）由题意可得c=0，-----------------------------------8分
此时顶点坐标为2
(,)24b b a a --，因顶点在直线0x y +=上，
所以2
0224b b b a a
--
=?=----------------------------11分 此时顶点坐标为11(,)a a -，由2211
183a a a
+=?=-----------------------14分
抛物线的解析式为232y x x =------------------------------16分
14、证明：
（1）∠ABF=∠ADC=120°-∠ACD=120°-∠DEC
=120°-（60°+∠ADE ）=60°-∠ADE---------4分
而∠F=60°-∠ACF-------6分 因为∠ACF=∠ADE---------7分
所以∠ABF=∠F ，所以AB=AF--------8分 （2）
四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABD=∠ACD ，
--------------------------------------------------------------------10分 又DE=DC ，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB ，------------12分 所以∠ABD=∠AEB ，
所以AB=AE ；--------------------------------------------------14分 所以AB=AF=AE ，即A 是三角形BEF 的外心-----------16分
15、解：（1）如图，
OAB OAA OBB OAA S S S S S '''=+--V V 阴扇形扇形
=224545(2)13603608
OBB OAA S S π
ππ''-=
-?=扇形扇形
---------------------------------6分
（2）p 值无变化----------------------------7分 证明：延长BA 交y 轴于E 点，
在OAE OCN V
V 与中， 9090AOE CON AON OAE OCN OA OC ∠=∠=?-∠??
∠=∠=?
??=?
所以，OAE V ≌OCN V
所以，OE=ON ，AE=CN--------------------------8分
在OME OMN V
V 与中 45OE ON MOE MON OM OM =??
∠=∠=???=?
所以，OME V ≌OMN V
所以，MN==ME=AM+AE=AM+CN------------------------9分 所
以
，
P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2--------------------10分 （3）设,1,,1AM n BM n CN m n BN m n ==-=-=-+则， 因为，OME V ≌OMN V ，
所以，11
22
MON MOE S S OA EM m ==?=V V -----------------------11分
在Rt BMN V 中，222BM BN MN +=
所以，2222(1)(1)20n m n m n mn m -+-+=?-+-=
所以，
24(2)022m m m m =--≥?≥≤-V 或---------------13分 所以，当2m =时，OMN V 的面积最小-------------------14分
Rt BMN V 的内切圆半径为32
BM BN MN
+-=-分