分式函数的图像与性质
1、分式函数的概念
形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221
x y x x +=+，
212x y x +=-，41
3
x y x +=+等。
2、分式复合函数
形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221
12x x
y +=-，sin 2
3sin 3x y x +=
-
，y =
等。
※学习探究 探究任务一：函数(0)b
y ax ab x
=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21
1
x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数21
1
x y x -=
-的图像可以经由函数1
y x
=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：
12111211
y y y x x x =??→=??→=+--右上
由此可以画出函数21
1
x y x -=
-的图像，如下：
单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；
值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？
【小结】(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d
x x c ≠-；
（2）值域：{|}a
y y c
≠；
（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d
c c
-∞--∞；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a
c c
-；
（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；
（6）图象：如图所示
问题2：(0)b
y ax ab x
=+
≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1
y x x
=+的图像，并结合函数图像指出函
数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1
y x x
=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-
函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：,y x =0x =
x O
y
x
O y
函数的图像如下：
【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数(,0)b
y ax a b x
=+
>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；
（2）值域：{|2,2}y y ab y ab ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,[,+)b b
a a
-∞∞上是增函数， 在区间,0)b b
a a
上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；
（6）图象：如右图所示
例3、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1
y x x
=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1
y x x
=-的图像 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以判断出1
y x x
=-
的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞x
O
y
y x =x
O
y
y x
=1y x
=
y ax
=b a
b a
-
2ab
2ab
-x
O
y
函数的值域为：R 函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：
【反思】结合刚才的两个例子，1y x x =--
与1
y x x
=-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的图像呢？
函数1
y x x
=--的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。
【注】()y x x x x =--
=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x =+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。同样的道理1
y x x =-的图像
与1
y x x
=-的图像关于x 轴对称，所以图像如下：
x
O y
x
O
y
y x
=1y x
=
x
O
y
y x
=-x O
y
y x
=-1y x
=-
【小结】(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠
的图像如下： （i ）(0,0)b
y
ax a b x
=+
>>
(ii) (0,0)b
y ax a b x
=+
>< (iii) (0,0)b
y ax a b x
=+
<>
(iv) (0,0)b
y ax a b x
=+
<<[来源:学+科+网Z+X+X+K] (,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数22
(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++的图像与性质 问题3：函数221
1
x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？
【分析】22212(1)3(1)22
2(1)3111
x x x x y x x x x +++-++=
==++-+++ 22y x x =+122(1)1
y x x ??→=++
+左23
211x x y x ++??→=+下 所以2211x x y x ++=+的图像与2
2y x x
=+的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：(1,3)--
单调增区间为：(,2][0,)-∞-+∞ 单调减区间为：[2,1),(1,0]--- 值域：(,7][1,)-∞-+∞
图像如下：
y ax
=x
O
y x
O
y
y ax
=