二次根式的运算（基础）知识讲解
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；
2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；
3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.
【要点梳理】
要点一、二次根式的加减
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
要点诠释：
（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
（2）二次根式加减运算的步骤：
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0，≥0，…..≥0）.
(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
2.积的算术平方根:
（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥
0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式
也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号
外面.
要点三、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：
（a ≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质:
（a ≥0，b >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平
方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 要点四、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.
【典型例题】
类型一、二次根式的加减运算
1.计算： (1).+
【答案与解析】(1)+=(2=+=【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.
举一反三：
【变式】计算:011(1)()52
π
--++-
【答案】011(1)()52π--++- 类型二、二次根式的乘除法
2．(1)×； (2)×； (3)； (4)；
【答案与解析】(1)×=；
(2)×==；
(3)===2；
(4)==×2=2.
【总结升华】直接利用
计算即可．
举一反三
【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1).；
(2).×=4××=4×=4=8.
【答案】(1).不正确．
改正：=＝×=2×3=6；
(2).不正确．
改正：×=×===＝4.
3.算：（1）)4323(4819-÷- （2）2
1521)74181(2133÷-⨯
【答案与解析】（1）2
=(9)(3-⨯-原式
（2）原式=1328⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭34-. 【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.
类型三、二次根式的混合运算
4.下列各式计算正确的是（ ）
A.+=
B. 4﹣3=1
C. 2×3=6
D.÷=3
【答案】D. 【解析】解：A.
，无法计算，故此选项错误， B.4﹣3=，故此选项错误，
C.2×3=6×3=18，故此选项错误，
D.=，此选项正确，
故选D ．
【总结升华】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．
5、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.
【答案】1；10.
【解析】22551a b ab ==-∴=-=
【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确. 举一反三：
【变式】已知x=1﹣，y=1+，则x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y 的值为 ．
【答案与解析】 解：∵x=1﹣，y=1+，
∴x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y
=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1﹣3xy ﹣1
=（x+y ﹣1）2﹣3xy ﹣1
=1﹣3×（1﹣）（1+）﹣1
=1+3﹣1
=3．
二次根式的知识点总结 关于二次根式的知识点总结 二次根式的知识点总结篇1 1．二次根式： 一般地，式子a,(a0)叫做二次根式。注意： （1）若a0这个条件不成立，则xx （2）是一个重要的非负数，即；a≥0，a不是二次根式； 2．重要公式： （1）(a)2a(a0), （2）a2aa(a0)；注意使用a()(a0)a(a0) 3．积的算术平方根： abab(a0,b0)，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。 4．二次根式的乘法法则： abab(a0,b0)。 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小。 6．商的算术平方根： 式的算术平方根。 7．二次根式的除法法则： （1）a(a0,b0)；baa(a0,b0)，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除bb； （2）abab(a0,b0)； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。 8．常用分母有理化因式： a与a，b与ab，mnb与manb，它们也叫互为有理化因式。
9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 ①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开的尽的因数或因式。 （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母。 （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式。 （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。 10．二次根式化简题的几种类型： （1）明显条件题； （2）隐含条件题； （3）讨论条件题。 11．同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用。 （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等。形如a,(a0)的式子，叫做二次根式。 （1）二次根式a中，被开方数必须是非负数即a0。 （2）二次根式a是一个非负数，即；≥0。 二次根式的知识点总结篇2 二次根式的概念 形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕 篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足以下条件： 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa 0(a=0); 5.二次根式的运算： a(a0) (1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 单项式和多项式统称为整式。 1.单项式： 1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。 单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。 2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。 3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式： 1)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。 2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 3.多项式的排列： 1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
二次根式的运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；
例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222 ;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a初中数学知识点二次根式：二次根式的运算
初中数学知识点——二次根式：二次根式的运算 二次根式的运算 1.积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）积的算术平方根等于每个因式的算术平方根的积 2.乘法法则：（a≥0，b≥0） 二次根式的乘法运算法则：两个二次根式相乘，等于把被开方数相乘，根指数不变。 3、商的算数平方根的性质=（a≥0，b0） 4、除法法则（a≥0，b0） 二次根式的除法运算法则：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，根指数不变。。 5、有理化因式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。 如：的有理化因式为；的有理化因式也是 的有理化因式为； 6、同类二次根式： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 7、合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。 8、合并同类二次根式方法：二次根式的系数相加减，二次根式的被开放数及指数不变。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，
专题02 二次根式的运算 知识网络 重难突破 知识点一 二次根式乘法法则 二次根式的乘法法则: 【注意】 1、要注意这个条件，只有a ，b 都是非负数时法则成立。 : 3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）： 化简二次根式的步骤（易错点）： 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积； 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式（a ≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。 【典型例题】 1．（2020·静安区期末）已知a b =ab 的值为（ ） A ． B ． C ．x y - D ．x y + 【答案】C 【详解】 解：∵a b = ∴22ab x y ==-=-； 故选择：C. 2．（2019·无锡市期中）下列计算正确的是( ) A ． B ． C = D ．
【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式，所以B 选项错误； C 、原式C 选项正确； D 、原式=3，所以D 选项错误． 故选C ． 3．（2019·广安市期末）下列运算中正确的是（ ） A B C ．26= D 3=- 【答案】A 【详解】 解：A A 选项正确； B B 选项错误； C 、（32＝18，故C 选项错误； D 3，故D 选项错误； 故选：A ． 4．（2020·天桥区期末）计算×的结果是（ ） A ． B ．4 C ． D ．2 【答案】B 【解析】 试题解析：. 故选B. 5．（2020·株洲市期末）下列运算正确的是( ) A ＝﹣2 B ．2＝6 C ． D =【答案】D
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3, ,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2） ； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2 a =（0a ≥）， 如2 2211 22); );)33 x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .
（3 a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （4 2 的异同 a 可以取任何实数，而2 中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2 . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0) a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥> 要点诠释： （1 ）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 = （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）. ≠. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：
专题01 二次根式及其运算知识讲义 【相关概念】 二次根式： a≥0）的式子叫做二次根式. a为被开方数，a可以是数字或代数式. 代数式： 含有字母的数学表达式称为代数式. 整式、分式均为代数式. 最简二次根式： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 2、被开方数的因数是整数，因式是整式. 同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【二次根式运算】 乘法 =a≥0，b≥0） 除法 =（a≥0，b ＞0） 加（减）法 先把各根式化成最简根式，再合并同类根式 分母有理化 == ==【二次根式性质】 ，a≥0 非负数：|a|，a 2n () ()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ 2 a = 【二次根式应用】 因式的内移和外移： （1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外. 【题型一】二次根式有意义条件 例1. （2020·m 能取的最小整数值是（ ） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 3 【答案】B.
3m －1≥0， 解得：m≥13 ， 所以，m 能取的最小整数值是1． 故答案为：B ． 例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0. 【解析】解：∵233x x +- ∴x≤0，且x+3≥0， 解得：－3≤x≤0， 故答案为：－3≤x≤0. 例3．（2019·= x 的取值范围是______. 【答案】x≥2. = ∴x≥0，x−2≥0， ∴x≥2. 故答案为：x≥2. 【题型二】同类二次根式 例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________． 【答案】4. 【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意， ，即5m+8=28时，m=4， 是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4， 故答案为：4． 例5. mn =_________． 【答案】10.
二次根式的运算知识点总结 二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以 更好地理解和利用二次根式。下面将总结二次根式运算的基本规则和 常见的运算方法。 一、二次根式的基本规则 1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。 例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。 2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两 个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。 例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。 3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两 个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。 例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。 4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行 同类项相加减，并进行化简。 例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。 二、二次根式的运算方法
1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。 例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。 2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。 有理化的方法有两种： (1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。 例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2) = (1 - 2√2)/(-1) = 2√2 - 1 (2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。 例如：1/(√3 + 2) = 1/(√3 + 2) * (√3 - 2)/(√3 - 2) = (√3 - 2)/(3 - 4) = -(√3 - 2)/1 = 2 - √3
二次根式知识点大全 二次根式是数学中的一个重要概念。它是指形如√a的数，其中a是 非负实数。在二次根式的运算中，有一些重要的知识点需要掌握。本文将 从二次根式的定义、性质、运算，以及在代数方程中的应用等方面，系统 地介绍二次根式的各个知识点。 一、二次根式的定义： 1.如果a是非负实数，那么√a称为实数的非负平方根，记作√a。 2.如果a是非负实数，那么-√a称为实数的负平方根，记作-√a。 二、二次根式的性质： 1.非负实数a的二次根式√a大于等于0。 2.a大于等于0时，有√a乘以自身等于a，即(√a)²=a。 3.a大于等于0时，有(-√a)乘以自身等于a，即(-√a)²=a。 三、二次根式的化简与合并： 1.合并同类项： a)合并同类项时，要求根号内的数相同，然后对系数进行合并。 b)合并同类项中的根号内的数时，可以通过约分的方式，化简成最简 形式。 2.二次根式的化简： a)当根号内含有一个完全平方数时，可以将其分解成两个根号的乘积。 b)当根号内含有两个互质的因数时，可以使用换元法进行分解。
c)当根号内含有一个小数时，可以化为分数形式，并进行计算。 四、二次根式的运算： 1.加减运算： a)加减运算是通过合并同类项的方式进行的，只有根号内的数相同才 可以进行合并。 b)在合并同类项时，可以对根号内的数进行约分，使其达到最简形式。 2.乘法运算： a)二次根式的乘法运算是通过将根号内的数相乘，然后合并同类项进 行化简的。 b)合并同类项时，可以对根号内的数进行约分，使其达到最简形式。 3.除法运算： a)二次根式的除法运算是通过将被除数与除数分别化简后，再进行带 有根号的分数的除法运算得到的。 b)在化简分数时，要求分子分母同除以一个非零实数。 五、二次根式在代数方程中的应用： 1.求解一次方程： a)当一次方程中含有二次根式时，可以将二次根式的运算进行化简， 然后解方程。 b)在建立方程时，要注意将问题中的条件用方程表示出来，并确定二 次根式的范围。
二次根式（基础） 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（ a ≥0），（a≥ 0），（a≥0），并利用它们 进行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)? 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2. 代数式：形如 5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号( 基本运算包括加、 减、乘、除、乘方、开方) 把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1. a ≥0，（ a ≥0）； 2.（ a ≥0）； 3.. 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0) 的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2 ( a )(a≥0） . 2.a2与(a) 2要注意区别与联系：1). a的取值范围不同，(a )2中 a ≥0，a2中 a 为任意值。2). a≥ 0 时，( a )2 =a2 = a；a <0 时，( a )2无意义，a2= a . 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1（ 2015 春 ?潍坊期中）下列各式中，一定是二次根式的有（）个． A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 1 一定是二次根式，故选： B ． 【解析】解： 2 ，- 3 ， x 2 【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0．
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（） . （ 1）1 ；（2）3；（3）x21；（ 4）38；（ 5）( 1 )2；（6） 1x （x1）33 A． 2 B.3 C.4 D.5 【答案】 B. 2.x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （ 1）y x 1 ；（2）y=x 2 － 3 2x ；【答案与解析】（1）Q x1≥0，所以x≥1. （ 2）Q x2≥0, 3 2x ≥0,所以 2 ≤x≤3 ； 2 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（） . A. 32 B.0.32 C.2 D.x 【答案】 B. 类型二、二次根式的性质 3.计算下列各式： (1)2(3)2(2)(3.14) 2 4 【答案与解析】 (1)原式 =-23=-3. 42 (2)原式 = 3.14-=-3.14. 【总结升华】二次根式性质的运用 . 举一反三： 【变式】（ 1）( 2 5 ) 2=_____________. 2 （ 2）a 2( 2 a) 2=_____________. 【答案】 (1) 10;(2)0.
二次根式的运算第1课时 1．二次根式的乘法法则 (1)二次根式的乘法法则(性质3)： a · b ＝ab (a ≥0，b ≥0)． 观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数． (2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点： ①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况． ④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内． 当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0， b ≥0)． 【例1】计算： (1)0.4× 3.6；(2)545×3223 . 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝152 30. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)． 用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积． (2)注意事项： ①a ≥0，b ≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可． ②公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的． (3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的． (4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)可以推广为abc ＝a ·b ·c (a ≥0，b ≥0，c ≥0)． 计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化 简． 【例2】化简： (1)300；(2)21×63； (3)(－50)×(－8)； (4)96a 3b 6(a ＞0，b ＞0)． 分析：根据积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)进行化简． 解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3. (2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3. (3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20. (4)96a 3b 6＝42·6·a 2·a ·(b 3)2＝4ab 36a .
【知识回顾】 1。二次根式:式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。3。同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a)2=a（a≥0）；（2） 5。二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式,•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3)二次根式的乘除法：二次根式相乘（除),将被开方数相乘(除),所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ≥0，b≥0）; =(b≥0，a〉0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x - - + 3 1 5 ;(2） 2 2) - (x 例3、在根式1）） A．1）2）B．3）4) C．1）3）D．1) 4) 例4、已知： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y a（a＞0） = =a a2 a -（a＜0） 0 （a=0）；
二次根式的运算知识点及经典试题 知识点一： 二次根式的乘法法则：ab b a = ⋅（0≥a ，0≥b ），即两个二次根式相乘，根指数不变，只 把被开方数相乘. 要点诠释： （1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数； （2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： （3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=. 知识点二、 积的算术平方根的性质：b a ab ⋅= （0≥a ，0≥b ），即积的算术平方根等于积中各因式的 算术平方根的积. 要点诠释： （1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a ， 0≥b 才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； （2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2 a 形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简 （4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()⨯2 ②利用积的算术平方根的性质b a ab ⋅=（0≥a ，0≥b ）； ③利用⎩ ⎨ ⎧<-≥==)0() 0(2a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些 因式移到根号外； （5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点三、 二次根式的除法法则： b a b a = （0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点诠释： （1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ， 0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 知识点四、 商的算术平方根的性质b a b a =（0≥a ，0> b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根 除以除式的算术平方根.