常微分方程平衡点及稳定性研究
摘要
本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型
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的平衡点1
x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性
Abstract
In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1
x= of the following delay single population model
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is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.
Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity
目录
摘要................................................................................................................................I Abstract ......................................................................................................................... II 目录................................................................................................................................I 第1章引言. (1)
第2章微分方程平衡点及稳定性分析 (3)
2.1 平衡点及稳定性定义 (3)
2.2 自治系统零解的稳定性 (4)
2.2.1 V函数 (4)
2.2.2 Liapunov稳定性定理 (5)
2.3 非自治系统的稳定性 (8)
2.3.1 V函数和k类函数 (8)
2.3.2 零解的稳定性 (10)
2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 (14)
2.4.1 相关定义 (14)
2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 (14)
2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 (15)
2.5.1 相关定义 (15)
2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 (15)
第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 (17)
3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 (17)
3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 (19)
第4章常微分方程稳定性的一个应用 (23)
第5章结论 (25)
参考文献 (27)
致谢 (29)
第1章引言
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理化学生物天文）和社会科学（如工程经济军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R．Bellman)、莱夫谢茨(S．Lefschetz)及拉萨尔(J．P．LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。
叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。
对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。
关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如dv dt定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。
李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。
早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70年代以来，不变性
原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。
70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了50～60年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等
继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。
李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。吉泽太郎(T．Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。
李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、泛函微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起着重要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。
第2章 微分方程平衡点及稳定性分析
2.1 平衡点及稳定性定义
初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题
dx ax dt
= 0(0)x x = 0t ≥，00x ≥ (2-1) 的解为0()at x t x e =.0x =是(2-1)的一个解，我们称它为零解。当0a >时，无论0x 多小，只要0x 0≠，当t →+∞时，总有()x t →∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当0a <时，0()at x t x e =与零解的误差不会超过初始误差0x ，且随着t 的增加很快就会消失，所以当0x 很小时，()x t 与零解的误差也很小。这个例子表明0a >时(2-1)的零解是“不稳定的”，而当0a <时(2-1)的零解是“稳定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。
设微分方程
(,)d t dt
=x f x ，00()t =x x ，n R ∈x (2-2) 满足解的存在惟一性定理的条件，其解00()(,,)t t t =x x x 的存在区间是(,)-∞+∞，(,)t f x 还满足条件
(,)t =00f (2-3)
(2-3)保证()x t =0是(2-2)的解，我们称它为零解。
定义2.1 若对任意给定的0ε>，都能找到0(,)t δδε=，使得当0δ 则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2)的零解是不稳定的。 注1 (2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径ε，总能在n R 中找到一个以原点为中心、半径为δ的开球B δ，使得(2-2)在0t t =时刻从B δ出发的解曲线当0t t >时总停留在半径为ε的开球B ε内。 注2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个00ε>，使得对任意的0δ>，在开球B δ内至少有一个点0x 和一个时刻10t t >，使得00(,,)t t ε≥x x ．
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