梁的强度和刚度计算 1．梁的强度计算 梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。 （1）梁的抗弯强度 作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下： 梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时 f W M nx x x ≤=γσ （5-3） 双向弯曲时 f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ （5-4） 式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）； W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量； y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到； f ——钢材的抗弯强度设计值。 为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。 需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。 （2）梁的抗剪强度 一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。因此，设计的抗剪强度应按下式计算
v w f It ≤=τ （5-5） 式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度； f v ——钢材的抗剪强度设计值。 图5-3 腹板剪应力 当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。 （3）梁的局部承压强度 图5-4局部压应力 当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋，或受有移动的集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。 在集中荷载作用下，翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁。腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4c 的曲线所示。假定集中荷载从作用处以1∶2.5（在h y 高度范围）和1∶1（在h R 高度范围）扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局部承压强度可按下式计算
第十章 蜗杆传动 （一）教学要求 1、 了解蜗杆传动特点、类型及主要参数，了解滑动速度、效率 2、 掌握蜗轮强度计算方法及蜗杆传动，热平衡计算方法 （二）教学的重点与难点 1、 蜗杆传动特点、参数计算、特性系数q 2、 齿面接触疲劳强度、齿根弯曲强度和热平衡计算 （三）教学内容 §10—1 蜗杆传动的类型及特点 用于实现空间交错轴间的运动传递，一般交错角?=∑90（如图10-1）。其特点是结构紧凑、传动比大、传动平稳、易自锁。缺点是摩擦磨损大、发热量大，η低，∴适于中心功 率的传动。 一、蜗杆传动的类型 按蜗杆形式：圆柱蜗杆（常用），图10-1 环面蜗杆 图10-2 锥蜗杆（较少） 图10-3 1、圆柱蜗杆传动： 普通圆柱蜗杆（在车床上用直线刀刀刃车削而得到） 阿基米德蜗杆（ZA ）——最常用，垂直于轴线平面的齿廓为阿基米德螺线，在过轴线的平面内齿廓为直线，在车床上切制时切削刃顶面通过轴线。?=4020α，加工简单，磨削有误差，精度较低，刀子轴线垂直于蜗杆轴线，（图10-4） 单刀：导程用?≤3γ；双刀：导程用?3φγ 法向直廓蜗杆（ZN ）——切削时刀刃垂直于轮齿法面，法面齿廓（延伸渐开线~）——直线，轴面齿形为渐开线，端面齿形为一延伸渐开线，磨削有误差、精度较低。（图10-5） 渐开线蜗杆（ZI ）——刀刃平面与蜗杆基圆柱相切，端面齿莆为渐开线，由渐开线齿轮演化而来（Z 小，β大），在切于基圆的平面内一侧齿形为直线，可滚齿，并进行磨削，精度、η高。适于较高速度和较大的功率。（图10-6） 锥面包络圆柱蜗杆（ZK ）——不能在车床上加工，而只能在特种铣床上用梯形齿圆盘刀具加工，加工时，工件作螺旋运动，刀具绕轴线作回转运动，铣刀或砂轮轴线与蜗杆轴线成Y 角，刀具绕自身轴线作回转运动，刀刃回转曲面的包络面即为蜗杆的螺旋齿面（图10-7），在各剖面内齿形均为曲线，可磨削，精度好，生产率高。蜗轮用齿形尺寸与之啮合的蜗杆相同的滚切滚切，滚切外径略大，滚切时的中心距与啮合时中心距相同。 圆弧圆柱蜗杆（ZC ）（Niemamm 蜗杆）（德国人）（图10-8） ——与普通圆柱蜗杆比，齿廓形状不同，蜗杆的螺旋齿面是用刃边与凸圆弧形刀具切
第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时横截面的正应力 一．纯弯曲试验： 纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。 剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。 为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象： ①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度； ②纵向线（包括轴线）都变成了弧线； ③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。 根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： ①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了 一个微小的角度。
②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受 拉或单向受压状态。 可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z 轴转动一个微小角度。 二．梁横截面上的正应力分布： 图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为： 对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性层的距离成正比。 由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得： 由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴处，y=0，所以正应力也为零。
YY/T 0342--2002 外科植入物接骨板弯曲强度和 刚度的测定 1 范围 本标准规定了直型接骨板弯曲强度和刚度的测定方法。包括术语及定义、仪器设备、试验步骤、结果计算、检验报告。 本标准通用于直型接骨板、有一定角度接骨板的直板部分以及为了在安装时对骨产生预载而有小的初始弯曲的接骨板。 本标准不适用于长度小于50 mm的接骨板，也不适用于设计成和髓内装置一起使用或成为髓内装置一部分的接骨板。 2术语及定义 本标准采用下列定义。 2.1 力矩 moment 力矩是一个力绕一个轴的转动效果，数学表达式为力F与从轴到力的作用线的垂直距离h 的乘积。 单位：N．m。 2.2 弯矩 Mb bending moment 力矩沿着垂直于物体长轴的轴上作用并且通常产生侧向位移，则称为弯矩。 单位：N．m。 2.3 挠度 deflection 由于弯曲而产生的垂直于接骨板初始轴线的线性距离称为挠度。 单位：m。 2.4 弯曲强度 bending strength 在断裂点或某一规定屈服点的弯矩值中，取其较小的作为弯曲强度。
单位：N．m。 2.5 等效弯曲刚度 equivalent bending stiffness 根据试件的外形尺寸和由力学测试法确定的载荷——挠度曲线图线性部分斜率s计算出的接骨板刚度称为等效弯曲刚度。 单位：N．。 3仪器设备 3.1测试装置 依据图1所示构造一个加载系统，其中的四个辊轴（用带阴影线的圆表示）必须固定，且其轴线保持平行。 3.2辊轴 辊轴为等直径圆柱状，直径在8 mm～13 mm范围内，或者具有与被测接骨板横截面相适应的外形，并且平均直径在8 mm～13 mm范围内。要求其中一个辊轴用以固定试样，以限制其纵向移动，并要求所有的辊轴应保持它们的相对位置。 3.3加载方法 可以用一个材料试验机施加载荷。 3.4量具 用于测量相对位移的装置。 4试验步骤 4.1概述 用第3章规定的装置进行弯曲试验。用圆柱形辊轴测试平面接骨板和横截面弯曲接骨板的弯曲强度和刚度，其中横截面弯曲的接骨板距中心平面的偏离量不得超过b/6(b是接骨板的宽度)。用外形适当的辊轴对其他接骨板进行测试。 4.2试样的放置 将试样放置在测试台上，并按如下所述方法确定其位置： a)放置接骨板使两个内侧辊轴与将同骨骼相接触的接骨板表面相接触。 b)如果接骨板是对称的，那么对称地把最靠近对称中心的两个螺孔放在两个内铡辊轴之间。
1、范围 本标准规定了乘用车弯曲刚度分析的要求； 本标准适用于本公司乘用车白车身弯曲刚度分析。 2、输入条件 2.1 BIW 几何模型 数据要求如下： 1）模型完整，数据无明显的穿透或干涉； 2）各个零件的厚度齐全； 3）几何焊点数据齐全； 4）各个零件的明细表完整齐全。 2.2 BIW有限元模型 1）各个零件网格模型完整，数据中无穿透； 2）焊点数据齐全； 3）各个零件厚度数据齐全； 4）各个零件材料数据齐全。 3、输出物 BIW刚度分析输出物为PDF文档格式的分析报告，正对不同车型统一命名为《XX车型BIW 刚度CAE分析报告》 4、分析方法 4.1 分析模型 分析模型包括BIW有限元模型，钣金件均采用壳单元模拟，点焊采用CWELD单元模拟，线焊和螺栓连接采用RBE2模拟，减震胶采用SOLID模拟。 4.2分析模型建立 建立有限元模型，应符合以下要求： 1）BIW网格质量符合求解器要求； 2）BIW材料须与明细表规定的明细表相对应； 3）BIW的厚度须与明细表规定的厚度相对应； 4）焊点几何坐标须与3D焊点坐标一致，焊点连接的层数须明确，点焊采用CWELD模拟，线焊和螺栓采用RBE2模拟，减震胶采用SOLID模拟。 4.3刚度分析 1）定义刚度分析约束条件 2）定义防毒分析求解工况 3）定义刚度分析载荷条件 4）求解器设置 4.4分析工况 约束条件：在前后悬架与车身连接处，约束XYZ移动自由度； 载荷条件：在前排左右座椅质心处各施加1000N的吹响李，后排座椅质心处施加2000N的垂向力。
5分析数据处理 5.1在车身纵梁下部和门槛梁下部分布了一系列考核点，通过考核点的X坐标值和Z向变形量绘制弯曲刚度曲线。 5.2绘制白车身弯曲刚度变形曲线 5.3刚度计算 刚度计算公式k=F/δ（F为加载力，δ为位移）。
第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算 目的要求: 掌握弯曲梁正应力的讣算和正应力分布规律。 教学重点: 弯曲梁正应力的汁算和正应力分布规律。 教学难点: 平行移轴定理及瓦应用。 学时分配: 7学时 §8-1纯弯曲时梁的正应力 一、纯弯曲概念： 1、纯弯曲：平而弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。 2、剪切弯曲：平而弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。 二、纯弯曲时梁的正应力： 1、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 z （中性轴） 2.纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性 规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。 3、纯弯曲时梁的正应力的计算公式: （1）、任一点正应力的计算公式：
（2 ）、最大正应力的计算公式: 0皿一------ 一— lz必 其中：M-一截面上的弯矩；I二-一截而对中性轴（z轴）的惯性矩：厂一所求应力的点到中性轴的距离。 说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。 §8-2常用截而的二次矩平行移轴龙理 一、常用截而的二次矩和弯曲截面系数: b 严■ y dy h y I z = \ydA= \ybdy=^-\ =等< ± 3 12 2 — ”7 Iz bh， 亿=—=— % 6 2、圆形截面和圆环形截而:
圆环形截而 A = /v =詈0 -a") W：=W y=唱(l-a) 其中： d a =—— D 3、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。 二、组合截而的二次矩平行移轴左理 1、平行移轴定理： 截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截而而积与两轴之间的距离平方的乘积。 I 二1=1 二+￡A 2、例题： 例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。 解：1、求T形截而的形心座标yc
第9章 弯曲刚度问题 9.1 基本概念 9.1.1 梁弯曲后的挠曲线 吊车梁若变形过大，将使小车行走困难，还会引起梁的严重振动。因此，必须对梁的变形加以限制。 若梁的变形在弹性范围内，梁的轴线在梁弯曲后变为一条连续光滑曲 线，该曲线称为弹性曲线或挠度曲线，简称弹性线或挠曲线。 挠曲线：梁变形后的轴线。 性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。 9.1.2 梁的挠度与转角 设有一具有纵向对称面的悬臂梁，在自由端处作用一集中力P F 。P F 力作用在梁的纵向对称面内，使梁发生平面弯曲。 一、挠度与转角 梁的变形可用以下两个基本量来度量。
⑴ 挠度 挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。 梁轴线上各点（各截面）的挠度 w 随着点（截面）的位置x 的不同而 改变 ，即各截面的挠度是截面位置坐标x 的函数。 挠曲线方程 单位： mm 挠度w 符号规定：向下为正，向上为负。 ⑵ 转角 转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“θ” 表示。 梁不同横截面其转角是不相同的，θ是横截面位置坐标x 的函数 转角方程 单位： rad θ 的符号规定：由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为 负。 ⑶ 水平位移：横截面形心沿水平方向的位移，用u 表示。 因小变形时，u 与w 相比为高阶无穷小，故忽略不计。 二、挠度 w 于转角θ间的关系 tan ()dw w x w dx θ''=== tan θθ≈
9.2 小挠度微分方程及其积分 9.2.1 小挠度微分方程 梁发生平面弯曲时，其轴线由直线变成一条曲率为1 ρ的平面曲线。 纯弯曲 1 M EI ρ= 细长梁横力弯曲 1() ()M x x EI ρ= 由高数知 2 21()d w x dx ρ=± 22() d w M x dx EI =± 在 w 向下为正的坐标系中 ()M x 与w ''的符号总是相反的。
第十章 组合变形时杆件的强度计算 教学目标：了解组合变形的特点，掌握组合变形的强度计算。 重点、难点：组合变形的强度计算。 学时分配：4学时。 一、拉伸(压缩)与弯曲的组合 拉伸或压缩与弯曲的组合变形是工程中常见的情况。如图1(a)所示的起重机横梁AB ，其受力简图如图1(b)所示。轴向力x F 和Ax F 引起压缩，横向力Ay F ，W ，y F 引起弯曲，所以杆件产生压缩与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度EI 较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。于是，可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得横截面上的正应力。下面我们举一简单例子来说明。 图1 悬臂梁AB (如图2(a)所示)，在它的自由端A 作用一与铅直方向成?角的力F (在纵向对称面xy 平面内)。将F 力分别沿x 轴y 轴分解，可得 sin cos x y F F F F ?? == x F 为轴向力，对梁引起拉伸变形(如图2(b)所示)；y F 为横向力，引起梁的平面弯曲(如
图2(c)所示)。 距A 端x 的截面上的内力为 轴力 N sin x F F F ?== 弯矩 cos z y M F x F x ?=-=-? 在轴向力x F 作用下，杆各个横截面上有相同的轴力N x F F =。而在横向力作用下，固定端横截面上的弯矩最大，max cos M F l ?=-?，故危险截面是在固定端。 图2 与轴力N F 对应的拉伸正应力t σ在该截面上各点处均相等，其值为 N t sin x F F F A A A ? σ= == 而与max M 对应的最大弯曲正应力b σ，出现在该截面的上、下边缘处，其绝对值为 max b cos z z M Fl W W ? σ= = 在危险截面上与N F ，max M 对应的正应力沿截面高度变化的情况分别如图3(a)和图3(b)所示。将弯曲正应力与拉伸正应力叠加后，正应力沿截面高度的变化情况如 图3(c)所示。 若t σ＞b σ，则min σ为拉应力；若t σ＜b σ，则min σ为压应力。 所以min σ之值须视轴向力和横向力分别引起的应力而定。如图3(c)所示的应力分布图
编号：QQ-PD-PK-066白车身弯曲刚度分析报告 项目名称：QQ458321486 编制：日期： 校对：日期： 审核：日期： 批准：日期： XX汽车有限公司 2013年03月
目录 1分析目的 (1) 2使用软件说明 (1) 3有限元模型建立 (1) 4白车身弯曲刚度分析边界条件 (1) 5分析结果 (3) 6结论 (10)
1分析目的 车身是轿车的关键总成，除了保证外形美观以外，汽车设计工程师们更注重车身结构的设计。车身应有足够的刚度，刚度不足，会导致车身局部区域出现大的变形，从而影响了车的正常使用。低的刚度必然伴随有低的固有频率，易发生结构共振和声响。 本报告以QQ白车身为分析对象，利用有限元法，对其进行了弯曲刚度分析。 2使用软件说明 本次分析采用Hypermesh作前处理，Altair optistruct求解。HyperMesh是世界领先的、功能强大的CAE应用软件包，也是一个创新、开放的企业级CAE平台，它集成了设计与分析所需的各种工具，具有无与伦比的性能以及高度的开放性、灵活性和友好的用户界面，与多种CAD和CAE软件有良好的接口并具有高效的网格划分功能；Altair Optistruct是一个综和隐式和显示求解器于一体的大规模有限元计算软件，几乎所有的线性和非线性问题都可以通过其进行求解。Altair Optistruct最强大的功能是其友好的CAO接口，通过Altair Optistruct可以进行任何形状、尺寸、拓扑结构的优化，采用固定的内存分配技术，具有很高的计算精度和效率。 3有限元模型建立 根据设计部门提供的白车身的工艺数模建立QQ的计算模型，对模型进行了有限元离散处理：白车身所有零部件都采用板壳单元进行离散，并尽量采用四边形板壳单元模拟，少量三角形单元以满足高质量网格的过渡需要；粘胶用实体单元模拟，焊点采用CWELD 和RBE2单元模拟。其中四边形单元469700个，三角形单元15543个，三角形单元比例3.4%。 QQ数模及有限元模型见下图： 图1QQ数模及有限元模型 4白车身弯曲刚度分析边界条件 对设计车QQ施加边界条件：在前悬架与车身连接处约束X、Y、Z移动自由度，三个子工况分别约束后悬架板簧前吊耳铰接处、两吊耳中间限位支架处、板簧后吊耳铰接处Y、Z移动自由度，与前悬架的约束组成整个白车身的约束；在每个子工况中，找到纵梁上位于前后约束X方向的中心位置，施加左右各4000N，共8000N的集中载荷。
第八章梁的强度与刚度 第二十四讲梁的正应力截面的二次矩 第二十五讲弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲弯曲切应力简介 第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度
第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩 目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学难点：平行移轴定理及其应用。 教学内容： 第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时梁的正应力 一、纯弯曲概念： １、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。 ２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。 二、纯弯曲时梁的正应力： １、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 ２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。
３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式： （１）、任一点正应力的计算公式： （２）、最大正应力的计算公式： 其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。 说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。
§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理 一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数： １、矩形截面： ２、圆形截面和圆环形截面： 圆形截面 圆环形截面 其中：
第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时横截面的正应力 一．纯弯曲试验： 纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。 剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。
为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：
①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度； ②纵向线（包括轴线）都变成了弧线； ③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。 根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： ①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。 ②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。
可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。 二．梁横截面上的正应力分布： 图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线 应变ε为： 对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此上式说明同
一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性层的距离成正比。由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得： 由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴处，y=0，所以正应力也为零。
台湾丰原高中礼堂坍塌事故原因分析 建筑物坍毁是工程事故发展的最终阶段，因此所有坍塌事故均属于恶性事故。按照《建筑结构设计统一标准》(GB 68—84、GB 50068—2001)和结构抗震设计“小震不坏，中震可修，大震不倒”三准则的要求，所有坍塌事故，包括地震灾后的坍塌事故，都属于责任事故，应该追究当事人责任。只有经过分析鉴定，确认事故原因存在设计安全水准以外的意外因素时，才能界定为天灾，豁免当事人责仟。下面列举的坍塌事故都是近年来发生在国内外的引起全社会关注的恶性事故，并且都是人为过失事故。说明在所有工程事故中，人为过失事故占了很大比例，值得警惕! 1．案例背景 该礼堂位于一栋19．5m×49．5m的两层长方形建筑的第2层(底层为教室)，层高6m，平面如图1所示。屋顶结构由跨度19．5m、中心间距4．5m的钢桁架承重。桁架端部高125cm，跨中高135cm，次桁架起纵向支撑的作用，并与主桁架相连接构成整体，由40cm×60cm的钢筋混凝土柱与纵向连系梁组成纵向排架支承，并在⑤～⑧轴处从联系梁则面悬挑出一很大的钢筋混凝土雨篷。屋盖系统如图2所示。 图1 中学礼堂平面图图2 礼堂顶层结构简图 施工过程中，由于某种原因，在底层教室完工后，曾有10个月的停工间隙期，因而在第2层楼面以上的钢筋混凝土立柱中，存在施工缝的处理问题。 该建筑于1975年1月竣工。由于出现严重的屋面渗漏现象，在1983年6月对屋面进行返修。返修时，为了改善屋面的保温隔热性能，在屋顶上增加了一个蓄水保温系统。 1983年8月24日，该礼堂屋顶结构发生坍塌。虽然事故的前一天曾经下过雨，但在事故发生的时候，并未在结构上施加任何临时额外荷载，坍毁前也没有出现异兆。 2．可用于事故原因分析的线索 （1）节点连接的施工质量问题 台湾技术学院的C．Y．林教授经过现场考察认为，结构系统的坍毁很可能是始于下弦拉杆的某一焊接头断裂，或者是由于垂直杆与斜撑杆的螺栓接头松
第10 章梁的强度和刚度10-1选择题 1 弯曲变形时，弯曲剪应力在横截面上（D）分布。 A.均匀 B.线性 C.假设均匀 D.抛物线 2 弯曲变形时，弯曲正应力在横截面上（B）分布。 A.均匀 B.线性 C.假设均匀 D.抛物线 3 构件抵抗变形的能力称（A）。 A.刚度 B.强度 C.稳定性 D.极限强度
4 构件抵抗破坏的能力（B）。 A.刚度 B.强度 C.稳定性 D.极限强度 5 梁的一端固定另一端自由的梁称（D ）。 A.简支 B.外伸 C.多跨 D.悬臂 6 梁的一端用固定铰，另一端用可动铰支座支承的梁称（A）梁。 A.简支 B.外伸 C.多跨 D.悬臂
7 简支梁的一端或二端伸出支座外的梁称（B ）梁。 A.简支 B.外伸 C.多跨 D.悬臂 8 图示梁的最大挠度为（C ）qa4/EI。 9 图示梁的最大转角为（C）qa3/EI。
10 梁的剪切弯曲变形时，梁横截面在上下边缘处的弯曲应力为( A)。 Ａ.剪应力为零、正应力最大Ｂ.剪应力最大、正应力最大 Ｃ.剪应力为零、正应力为零Ｄ.剪应力最大、正应力为零 11 等强度梁的截面尺寸(C ) A.与载荷和许用应力均无关 B.与载荷无关，而与许用应力有关 C.与载荷和许用应力均有关 D.与载荷有关，而与许用应力无关
12 在材料和荷载确定的情况下，提高梁的强度和刚度的最好办法是增大（C ）。 A.截面面积 B.截面静矩 C.截面惯性矩 D.都不对 13 矩形截面梁的横截面高度增加到原来的两倍，截面的抗弯能力将增大到原来的（C）。 A 2倍 B 3倍 C 4倍 D.8倍
材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横 截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律
8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力，脆性材料，塑性材 料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系 式 16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离r）
18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0/10 ，R0为圆管的平均半 径）扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关 系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同（如阶梯轴）时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料；脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力 计算公式,
27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 28.平面应力状态的三个主应力 , , 29.主平面方位的计算公式 30.面内最大切应力 31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 32.三向应力状态最大与最小正应力 , 33.三向应力状态最大切应力 34.广义胡克定律
弯曲变形、剪切变形：这两个是材料力学和结构力学中的概念，分别指构件中的某一个截面的弯矩、剪力产生的变形，可以由弯矩和抗弯刚度EI、剪力和抗剪刚度GA计算得到。 框架结构,剪力墙结构和框剪结构在侧向力作用下的水平位移曲线的特点： 1、框:抗侧刚度较小，其位移由两部分组成：梁和柱的弯曲变形产生的位移,侧移曲线呈剪切型,自下而上层间位移减小;柱的轴向变形产生的侧移,侧移曲线呈弯曲型,自下而上层间位移增大.第一部分是主要的,第二部分很小可以忽略，所以框架结构在侧向力作用下的侧移曲线以剪切型为主，故称为剪切型变形. 2、剪:抗侧刚度较大，剪力墙的剪切变形产生位移，侧向位移呈弯曲型,即层间位移由下至上逐渐增大，相当于一个悬臂梁; 3、框剪:位移曲线包括剪切型和弯曲型,由于楼板的作用,框架和墙的侧向位移必须协调.在结构的底部,框架的侧移减小;在结构的上部,剪力墙的侧移减小,侧移曲线呈弯剪型,层间位移沿建筑物的高度比较均匀,改善了框架结构及剪力墙结构的抗震性能,也有利于减少小震作用下非结构构件的破坏. 剪切滞后 在受剪力作用的薄壁梁中，距剪力作用点较远的突缘上的正应力（见应力）小于按平截面假设求得值的现象。剪切滞后取决于结构中力的扩散（传播）。力的扩散是指作用在结构某一部分上的非自身平衡的力系，向结构其他部分传递，直至与外力或约束反力相平衡的过程。 图1为一宽突缘工字形悬臂梁,它由上下各五根细长突缘杆、上下各四块突缘板和中间一块薄腹板组成。在剪力Q的作用下，梁中出现剪切滞后现象，这可由下面的力的扩散过程来说明。在杆仅受正应力而板仅受剪应力的简化假设下,当剪力Q作用于腹板的自由端时，整个腹板具有剪应力τ。此剪应力直接作用于与腹板相连的中心杆A1B1上，所以在自由端附近的截面上仅A1B1杆中有正应力和正应变。而A2B2杆和A3B3杆均无正应力和正应变。但A1B1杆的正应变引起突缘板A1B1B2A2的剪应变和剪应力,此剪应力又使突缘杆 A2B2产生正应力。在A2B2杆受力变形的基础上,通过同样方式又使A3B3杆受力。图1中在工字梁的左侧用阴影线表示突缘杆中的正应力，右侧绘出突缘板中的剪应力。由于内力是由受剪腹板经与其相连的突缘杆逐步向远处承力突缘杆传播的，所以在力的扩散过程结束后，远离受剪腹板的杆所受的力在空间上有一定落后，而且受力的值小于按平截面假设求得的值，这就是剪切滞后。而根据平截面假设，各杆的受力情况没有差别，这与实际情况相差较远。因此，在计算薄壁梁的应力时，一般不能采用平截面假设。 剪切滞后造成结构内部受力不均匀，影响结构材料的利用率。例如，由于剪力Q的作用，在图2所示的箱形薄壁结构的上下盖板中就出现剪切滞后现象 (正应力在腹板附近大,中间部分小)。甚至当腹板附近的盖板接近破坏时,盖板的中间部分还处于低应力状态。为了估计剪切滞后对盖板利用率的影响程度，可采用折合宽度概念。即假定宽为 W0的一块板的承载能力恰好相当于一块宽仅为Wb 而充分发挥了承载能力的板，Wb称为折合宽度，而比值嗞＝Wb/W0称为减缩系数。嗞值小说明材料的利用率低。通常盖板越宽嗞值越小。在工程设计中,应考虑减少腹板的间距，以提高材料的利用率。 很常见的四个概念，弯曲变形、剪切变形，弯曲型变形、剪切型变形。注意，一个字之差，意思却大不相同。弯曲变形、剪切变形：这两个是材料力学和结构力学中的概念，分别指构件中的某一个截面的弯矩、剪力产生的变形，可以由
第11章组合变形杆件的强度和刚度 11-1选择题 1. 如图所示的矩形截面柱，受F P1和F P2力作用，将产生（C）的 组合变形。 A. 弯曲和扭转 B. 斜弯曲 C. 压缩和弯曲 D. 压缩和扭转 题1图 2、叠加原理的适用条件构件必须是（C）。 A.线弹性杆件 B.小变形杆件 C.线弹性、小变形杆件 D. 线弹性、小变形直杆
3、同时发生两种或两种以上的基本变形称为（）其强度计算方法的依据是（B ）。 A.复杂变形截面法 B.组合变形叠加原理 C.组合变形平衡条件D都.不对 4 在图示刚架中，( B) 段发生拉弯组合变形。 题4图
5 图示槽型截面梁，C点为截面形心，若该梁横力弯曲时外力的作用面为纵向 平面a-a，则该梁的变形状态为( C ) 。 A.平面弯曲 B.斜弯曲 C.平面弯曲+扭转 D.斜弯曲+扭转 6.截面核心的形状与（C）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 7．下列构件中，属于拉（压）弯组合变形的是（B）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．工作中的带传动轴
8．如图所示，AB杆产生的变形是（B）。 A．拉伸与扭转的组合B．拉伸与弯曲的组合 C．扭转与弯曲的组合D．压缩与弯曲的组合 题8图 9．如图所示结构，其中AD杆发生的变形为（C）。 A．弯曲变形B．压缩变形 C．弯曲与压缩的组合变形D．弯曲与拉伸的组合变形
题9图 10.下列构件中，属于“扭弯”组合变形的是（D）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．镗削中的刀杆 11-2 矩形截面悬臂梁受力如图所示，P1作用在梁的竖向对称平面内，P2作 用在梁的水平对称平面内，F1、F2的作用线均与梁的轴线垂直，已知F 1 =2kN、 F 2=lkN，l 1 =lm，l 2 =2m，b=12cm，h=18cm，材料的容许正应力[σ]=10MPa，试校
分别指构件弯曲变形、剪切变形：这两个是材料力学和结构力学中的概念，、剪力和中的某一个截面的弯矩、剪力产生的变形，可以由弯矩和抗弯刚度EI 计算得到。抗剪刚度GA ,框架结构剪力墙结构和框剪结构在侧向力作用下的水平位 移曲线的特点：,1、框:抗侧刚度较小，其位移由两部分组成：梁和柱的弯曲变形产生的位移侧移曲线侧移曲线呈剪切型,自下而上层间位移减小柱的轴向变形产 生的侧移,;所第二部分很小可以忽略，.自下而上层间位移增大第一部分是主要的,呈弯曲型,. 以框架结构在侧向力作用下的侧移曲线以剪切型为主，故称为剪切型变形即层剪力墙的剪切变形产生位移，侧向位移呈弯曲型,:2、剪抗侧刚度较大，; 间位移由下至上逐渐增大，相当于一个悬臂梁框架和墙的侧向位由于楼板的作用,:3、框剪位移曲线包括剪切型和弯曲型,侧;.移必须协调在结构的底部,框架的侧移减小在结构的上部,剪力墙的侧移减小,改善了框架结构及剪力墙结移曲线呈弯剪型,,层间位移沿建筑物的高度比较均匀. 也有利于减少小震作用下非结构构件的破坏构的抗震性能, 剪切滞后在受剪力 作用的薄壁梁中，距剪力作用点较远的突缘上的正应力（见应力）。力小于按平截面假设求得值的现象。剪切滞后取决于结构中力的扩散（传播）的扩散是指作用在结构某一部分上的非自身平衡的力系，向结构其他部分传递，直至与外力或约束反力相平衡的过程。它由上下各五根细长突缘杆、上下各四块突1图为一宽突缘工字形悬臂梁,的作用下，梁中出现剪切滞后现象，这在剪力Q 缘板和中间一块薄腹板组成。,在杆仅受正应力而板仅受剪应力的简化假设下可由下面的 力的扩散过程来说明。专业文档供参考，如有帮助请下载。． 此剪应力直接作用于τ。当剪力Q作用于腹板的自由端时，整个腹板具有剪应 力杆中有正应A1B1所以在自由端附近的截面上仅与腹板相连的中心杆A1B1上，杆的正应变A1B1力和正应变。而A2B2杆和A3B3杆均无正应力和正应变。但产生正应此剪应力又使突缘杆引起突缘板A1B1B2A2的剪应变和剪应力, A2B2 中在工,通过同样方式又使A3B3图1杆受力。杆受力变形的基础上力。在A2B2由于字梁的左侧用阴影线表示突缘杆中的正应力，右侧绘出突缘板中的剪应力。所以在力内力是由受剪腹板经与其相连的突缘杆逐步向远处承力突缘杆传播的，而且受力的扩散过程结束后，远离受剪腹板的杆所受的力在空间上有一定落后，各杆的的值小于按平截面假设求得的值，这就是剪切滞后。而根据平截面假设，受力情况没有差别，这与实际情况相差较远。因此，在计算薄壁梁的应力时，一般不能采用平截面假设。由于剪例如，剪切滞后造成结构内部受力不均匀，影响结构材料的利用率。正所示的箱形薄壁结构的上下盖板中就出现剪切滞后现象在图2 (Q力的作用，盖板的中间。甚至当腹板附近的盖板接近破坏时,)应力在腹板附近大,中间部分小可采用折部分还处于低应力状态。为了估计剪切滞后对盖板 利用率的影响程度，Wb W0的一块板的承载能力恰好相当于一块宽仅为合宽度 概念。即假定宽为称为减缩Wb/W0＝而充分发挥了承载能力的板，Wb称为折 合宽度，而比值嗞应值越小。在工程设计中系数。嗞值小说明材料的利用率低。通常盖板越宽嗞,考虑减少腹板的间距，以提高材料的利用率。注意，弯曲变形、很常见的四个概念，剪切变形，弯曲型变形、剪切型变形。弯曲变形、剪切变形：这两个是材料力学和结一个字之差，意思却大不相同。 可以由剪力产生的变形，构力学中的概念，分别指构件中的某一个截面的弯矩、
强度与刚度有什么区别？ 1.强度时金属材料在外力作用下抵抗永久变形和断裂的能力。按外力作用的性质不同， 主要有屈服强度、抗拉强度、抗压强度、抗弯强度等，工程常用的是屈服强度和抗拉强度，这两个强度指标可通过拉伸试验测出。强度是指零件承受载荷后抵抗发生断裂或超过容许限度的残余变形的能力。也就是说，强度是衡量零件本身承载能力（即抵抗失效能力）的重要指标。而刚度是一个机构的刚度（k）是指弹性体抵抗变形（弯曲、拉伸、压缩等）的能力。 2.刚度和模量差不多！弹性模量是物质组分的性质；而刚度是固体的性质。也就是说， 弹性模量是物质微观的性质，而刚度是物质宏观的性质。在工程应用中，结构的刚度是十分重要的，因此在选择材料时弹性模量是一个重要指标。当有不可预测的大挠度时，高的弹性模量是十分必要的。当结构需要有好的柔韧性时，就要求弹性模量不要 太高。 3.强度强调的是原始物性，即在一定受载模式下材料对力的本征抗性，也就是说材料的 内部结构的键合性对外力的抗性；刚度强调的是服役物性，即在一定受载模式下材料对力的形态抗性，也就是说材料的宏观形态对外力的抗性 4.材料强度是材料抵抗外力的能力，刚度（或模量也能体现抵抗外力的能力）例如对于 钢铁来说，它在压缩变形的过程中由于存在应变硬化，其强度会不断的增加，其变形也会不断的增加。但是对于陶瓷来说，其模量比较大，在承受相同的载荷的时候其变形是很小的。所以说一个材料可以有很大变形时候也可以有很大的强度，但是另外一种材料其变形能力小的时候同样也有可能又很大的强度。 5.强度是材料固有性能，有不同指标如屈服强度、抗拉强度、抗压强度、抗弯强度等。 而刚度是EI，I为惯性矩，考虑材料的结构设计，多用于材料的结构设计。 6.从工程力学的角度上讲： 1）强度是指某种材料抵抗破坏的能力，即材料破坏时所需要的应力。一般只是针对材料而言的。它的大小与材料本身的性质及受力形式有关。如某种材料的抗拉强度、抗剪强度是指这种材料在单位面积上能承受的最大拉力、剪力，与材料的形状无关。 2）刚度指某种构件或结构抵抗变形的能力，即引起单位变形时所需要的应力。 一般是针对构件或结构而言的。它的大小不仅与材料本身的性质有关，而且与构件或结构的截面和形状有关。 强度是抵抗塑性变形的能力,刚度是表示材料发生弹性变形的难易程度 7.强度是材料抵抗破坏的能力，与材料的性质和应力状态有关。而刚度是构件抵抗变形 的能力。与材料的本身属性和构件的形状都有关系的。
工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书） (第8章) 2006-12-18
第8章 弯曲刚度 8—1 与小挠度微分方程 EI M x w -=2 2d d 对应的坐标系有图a 、b 、c 、d 所示的四种形式。试判断哪几种是正确的： (A) 图b 和c ； (B) 图b 和a ； (C) 图b 和d ； (D) 图c 和d 。 解：根据弯矩的正负号和曲线的凸凹性，可以判断图c 和d 两种情形下2 2 d d w x 和M 都是 异号的，所以，正确答案是D 。 8—2简支梁承受间断性分布荷载，如图所示。试说明需要分几段建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答） 解： 1. 分4段积分，共有8个积分常数 2. 确定积分常数的条件是： x =0,w 1=0; x =l ,w 1= w 2; θ1=θ2; x =2l ,w 2= w 3; θ2=θ3; x =3l ,w 3= w 4; θ3=θ4; x =4l ,w 4=0. 习题8－1图 习题8－2图
8—3 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答） 解： 1。分3段积分，共有6个积分常数 2。确定积分常数的条件是： x =0,w 1=0; θ1=0 x =l ,w 1= w 2; x =2l , w 2=0;w 2= w 3; θ2=θ3; x =4l ,w 4=0. 8—4 试用叠加法求下列各梁中截面A 的挠度和截面B 的转角。图中q 、l 、a 、EI 等为已知。 解： (a)题 1. 12A A A w w w =+ 2 22 4 16422 21724384A l l l q l l ql w EI EI ??? ?????+-?? ? ? ??? ????????= = 习题8－3图 习题 8－4a 解图 习题 8－4图
抗弯刚度概念 是指物体抵抗其弯曲变形的能力。 早期用于纺织。抗弯刚度大的织物，悬垂性较差；纱支粗，重量大的织物，悬垂性亦较差，影响因素很多，有纤维的弯曲性能、纱线的结构、还有织物的组织特性及后整理等。 抗弯刚度现多用于材料力学和混凝土理论中，其英文名称为：bending rigidity。 以材料的弹性模量与被弯构件横截面绕其中性轴的惯性矩的乘积来表示材料抵抗弯曲变形的能力。 编辑本段抗弯刚度计算公式EI中EI的取值 E是弹性模量，即产生单位应变时所需的应力，不同材料弹性模量不同，可以从材料手册上查得 I是材料横截面对弯曲中性轴的惯性矩，各常规型钢惯性矩也可以从材料手册上查得，<石油化工设备设计便查手册>中也可查到。 工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1．面积矩的定义 图2-2.1任意截 面的几何图形 如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。 定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1) (2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。 2．面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)
(2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3) (2—2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3．组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4) 式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1．极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O 点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6) (2—2.6)