二维变系数抛物型方程的一个高阶ADI 差分格式
马小霞1，颜晓琳2，陈汝栋2
（1.焦作大学基础部，河南焦作
454003；2.天津工业大学理学院，天津
300387）
摘要：针对二维变系数抛物型方程，构造出了一个高精度、恒稳定的交替方向隐式（ADI ）差分格式，格式的截断误
差阶达O （τ2+h 4）.通过数值实验，验证了理论分析的正确性和差分格式的精确性与有效性.
关键词：抛物型方程；ADI 格式；截断误差；恒稳定中图分类号：O241.82
文献标志码：A
文章编号：１６７１－０２４Ｘ（２０14）０1－００77－０4
A high accuracy ADI difference scheme for solving
two-dimension variable coefficients parabolic equation
MA Xiao-xia 1，YAN Xiao-lin 2，CHEN Ru-dong 2
（1.Department of Basic Course ，Jiaozuo University ，Jiaozuo 454003，China ；2.School of Science ，Tianjin Polytechnic
University ，Tianjin 300387，China ）
Abstract ：A high accuracy alternation direction implicit scheme （ADI ）for solving the two-dimensional parabolic equations
is presented ，and the scheme is absolutely stable and the truncation error is O （τ2+h 4）.The experiments show the scheme is effective and advantage ，and the theory is right by a numerical example.
Key words ：parabolic equation ；ADI difference scheme ；truncation error ；absolutely stable
收稿日期：2013-05-31
基金项目：国家自然科学基金（11071279）；河南省教育厅自然科学基础研究基金（2008B110016）
第一作者：马小霞（1969—），女，硕士，讲师.
通信作者：陈汝栋（1956—），男，教授，硕士生导师.E-mail ：chenrd@https://www.doczj.com/doc/b813540507.html,
天津工业大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＩＡＮＪＩＮＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
第33卷第1期２０14年2月
Vol.33No.1February 2014
抛物型方程在处理废料污染、渗透、驱动、海水入侵以及半导体等工程实际问题中有着广泛的应用，因此研究其高精度、高稳定和计算量较小的数值解法具有重要的意义.用有限差分方法研究这类问题的数值方法目前已做了许多工作[1-5].但这些工作大多是对常系数而言的.文献[4]中对二维变系数抛物型方程数值方法仅对系数依赖于一个变量的情况进行了研究，本文的研究是对系数依赖于两个变量的情形进行的.应用Taylor 展开、算子方法[6]以及粘结系数法[7]得到了一个高精度（截断误差阶达O （τ2+h 4））、恒稳定的ADI 格式.格式的建立和稳定性分析都比文献[4]简单得多，文末的数值实验证明了本文理论分析的正确性和所得格式的精确性与有效性.
1差分格式的建立
考虑如下的二维变系数非齐次抛物型方程初边
值问题
鄣u 鄣t =a （x ，y ）鄣2u 鄣x 2+b （x ，y ）鄣2
u 鄣y 2
+f （x ，y ，t ）（x ，y ，t ）∈Ω×（0，T ]（1）u （x ，y ，0）=φ（x ，y ）
（x ，y ）∈Ω軍（2）
u （x ，y ，t ）=Ψ（x ，y ，t ）
（
x ，y ）∈Γ，0，0＜t ≤T （3≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤
）其中：0＜c 1≤a （x ，y ）≤c 2；Γ为Ω的边界.
设τ=Δt =T/N 为时间步长，h =Δx =Δy =1/M 为空间步长，N 、M 均为正整数.u n
j ，k 表示在节点（jh ，kh ，n τ）处的网函数值，微分方程问题（1）—（3）的解函数为u （x ，y ，t ），并记u （jh ，kh ，n τ）=u （j ，k ，n ），f n+12
j ，k =
12
（f n +1j ，k +f n
j ，k ）.由Taylor 展开式u （j ，k ，n +1）=u （j ，k ，n ）+τ鄣u
（j ，k ，n ）+τ22鄣2u （j ，k ，n ）鄣t 2+…=exp （τ鄣鄣t
）u （j ，k ，n ）（4）