2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)
一、选择题
1.A 本题考查集合的并集.
A∪B={1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.故选A. 2.B 本题考查复数的基本运算. (1+i)(2+i)=2+i+2i+i 2
=1+3i.故选B. 3.C 本题考查三角函数的性质.
由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin (2x +π3)的最小正周期T=2π
ω=π.故选C.
4.A 本题考查向量的有关概念.
由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a 、b 为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故选A.
5.C 本题考查双曲线的方程和性质. 由题意知e=c a =√1+1
a 2, 因为a>1,所以e<√2, 又e>1,所以1 6.B 本题考查三视图和空间几何体的体积. 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所以该几何体的体积V=1 2×32 ×π×14=63π.故选B. 7.A 本题考查简单的线性规划问题. 根据线性约束条件画出可行域,如图. 作出直线l 0:y=-2x.平移直线l 0,当经过点A 时,目标函数取得最小值. 由{2x -3y +3=0, y +3=0 得点A 的坐标为(-6,-3). ∴z min =2×(-6)+(-3)=-15.故选A. 8.D 本题主要考查复合函数的单调性. 由x 2 -2x-8>0可得x>4或x<-2, 所以x ∈(-∞,-2)∪(4,+∞), 令u=x 2-2x-8, 则其在x ∈(-∞,-2)上单调递减, 在x ∈(4,+∞)上单调递增. 又因为y=ln u 在u ∈(0,+∞)上单调递增, 所以y=ln(x 2 -2x-8)在x ∈(4,+∞)上单调递增.故选D. 9.D 本题主要考查逻辑推理能力. 由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D. 10.B 本题主要考查程序框图. 由程序框图可得S=0,a=-1,K=1≤6; S=0+(-1)×1=-1,a=1,K=2≤6; S=-1+1×2=1,a=-1,K=3≤6; S=1+(-1)×3=-2,a=1,K=4≤6; S=-2+1×4=2,a=-1,K=5≤6; S=2+(-1)×5=-3,a=1,K=6≤6; S=-3+1×6=3,a=-1,K=7>6,退出循环,输出S=3.故选B. 11.D 本题考查古典概型. 画出树状图如图: 可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P=1025=2 5.故选D. 12.C 本题考查抛物线的方程和性质. 因为直线MF的斜率为√3,所以直线MF的倾斜角为60°,则∠FMN=60°.由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以△MNF为等边三角形.过F作FH⊥MN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1, +2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=|MF| 2 =2√3.故选C. 60°=4×√3 2 二、填空题 13.答案√5 解析本题主要考查三角函数的最值. 由题意可知f(x)=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(tan φ=2), ∴f(x)的最大值为√5. 14.答案12 解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值. 由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12. 15.答案14π 解析 本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式. 由题意知长方体的体对角线为球O 的直径,设球O 的半径为R,则(2R)2 =32 +22 +12 =14,得R 2 =7 2,所以球O 的表面积为4πR 2 =14π. 16.答案 60° 解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin C·cos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180°-B),可得B=60°. 解法二:由余弦定理得2b· a 2+c 2- b 2 2ac =a· a 2+ b 2- c 2 2ab +c· b 2+ c 2-a 2 2bc ,即b· a 2+c 2- b 2 ac =b,所以 a 2 +c 2 -b 2 =ac,所以cos B=1 2,又0° 三、解答题 17.解析 本题考查了等差、等比数列. 设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则a n =-1+(n-1)d,b n =q n-1 . 由a 2+b 2=2得d+q=3.① (1)由a 3+b 3=5得2d+q 2 =6.② 联立①和②解得{d =3,q =0(舍去),或{d =1, q =2. 因此{b n }的通项公式为b n =2n-1 . (2)由b 1=1,T 3=21得q 2 +q-20=0. 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由①得d=8,则S 3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S 3=-6. 18.解析 本题考查线面平行的判定和体积的计算. (1)证明:在平面ABCD 内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC ∥AD.又BC ?平面PAD,AD ?平面PAD,故BC ∥平面PAD. (2)取AD 的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=1 2AD 及BC ∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形,则CM ⊥AD. 因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM ⊥AD,PM ⊥底面ABCD. 因为CM ?底面ABCD, 所以PM ⊥CM. 设BC=x,则CM=x,CD=√2x,PM=√3x,PC=PD=2x. 取CD 的中点N,连接PN, 则PN ⊥CD,所以PN= √14 2 x. 因为△PCD 的面积为2√7, 所以1 2×√2x× √14 2 x=2√7, 解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2√3. 所以四棱锥P-ABCD 的体积V=1 3× 2×(2+4) 2 ×2√3=4√3. 19.解析 本题考查了频率分布直方图及独立性检验. (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62. 因此,事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表: 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 K 2 = 200×(62×66-34×38)2 100×100×96×104 ≈15.705. 由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 20.解析 本题考查求轨迹方程的基本方法和过定点问题. (1)设P(x,y),M(x 0,y 0),则N(x 0,0),NP ?????? =(x-x 0,y),NM ??????? =(0,y 0). 由NP ?????? =√2NM ??????? 得x 0=x,y 0=√22 y. 因为M(x 0,y 0)在C 上,所以x 22+y 2 2=1. 因此点P 的轨迹方程为x 2 +y 2 =2. (2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ ?????? =(-3,t),PF ????? =(-1-m,-n), OQ ?????? ·PF ????? =3+3m-tn,OP ????? =(m,n),PQ ????? =(-3-m,t-n). 由OP ????? ·PQ ????? =1得-3m-m 2+tn-n 2=1,又由(1)知m 2+n 2=2,故3+3m-tn=0. 所以OQ ?????? ·PF ????? =0,即OQ ?????? ⊥PF ????? . 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解析本题考查函数的单调性,恒成立问题. (1)f '(x)=(1-2x-x2)e x. 令f '(x)=0,得x=-1-√2或x=-1+√2. 当x∈(-∞,-1-√2)时, f '(x)<0; 当x∈(-1-√2,-1+√2)时, f '(x)>0; 当x∈(-1+√2,+∞)时, f '(x)<0. 所以f(x)在(-∞,-1-√2),(-1+√2,+∞)单调递减, 在(-1-√2,-1+√2)单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1-x)e x. 当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-xe x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1, 故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1. 当0 , 当0 2 则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1. 当a≤0时,取x0=√5-1 , 2 则x0∈(0,1), f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1. 综上,a的取值范围是[1,+∞). 22.解析本题考查极坐标方程及其应用. (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知 |OP|=ρ,|OM|=ρ1=4 cosθ . 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积 S=1 2 |OA|·ρB·sin∠AOB =4cos α·|sin(α-π 3 )| =2|sin(2α-π 3)-√3 2 |≤2+√3. 当α=-π 12 时,S取得最大值2+√3. 所以△OAB面积的最大值为2+√3. 23.证明本题考查不等式的证明. (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)2 4 ·(a+b) =2+3(a+b)3 4 , 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
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