2016年福建省高中数学竞赛
暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．若函数()3cos()sin()63
f x x x ππ
ωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间
02π??
????
，上的最大值为
。 【答案】 【解答】∵ ()3cos()sin()3cos()sin()63662
f x x x x x πππππ
ωωωω=+--=+-+-
3cos()cos()4cos()666
x x x πππ
ωωω=+++=+，且()f x 的最小正周期为π。
∴ 2ω=，()4cos(2)6f x x π=+。又02x π??
∈????
，时，72666x πππ≤+≤，
∴ 26
6x π
π
+
=
，即0x =时，()
f x 在区间02π??
????
，上取最大值 2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x
a x ??
=
，若A B ?，则实数a 的取值范围为 。
【答案】 1
()2
-+∞，
【解答】{}12A x x =≤≤。由13a x <-，得3103
ax a x -++<-。 ∴ 0a =时，{}3
B x x =<。满足A B ?。
0a >时，由3103ax a x -++<-，得1(3)
03x a x -+>-，133B x x x a ??=<>+??
??或。满足A B ?。 0a <时，由3103ax a x -++<-，得1
(3)
03x a x -+<-，133B x x a ??=+<
??。由满足A B ?，得131a +
<，1
02
a -<<。
综合得，12a >-。a 的取值范围为1
()2
-+∞，。
3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为 。 【答案】 1
【解答】 ∵ ()2ln 2(2ln 3)f x x x x x x x '=++=+。
3
2
0x e
-<<时，()0f x '<；32
x e
-
>时，()0f x '>。
∴ ()f x 在区间32
(0)e -，上为减函数，在区间32
()e -+∞，上为增函数。
又32
0x e
-
<<时，31
ln 11022
x +<-+=-<，2()(ln 1)20f x x x =+-<；
3
32
3
()(1)202
f e
e --=-+-<，2()220
f e e =->。
∴ 函数()f x 的零点个数为1。 或：作图考察函数ln y x =与22
1y x
=
-图像交点的个数。 4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B A C D --的大小为 。 【答案】 120?
【解答】设正方体棱长为1。作1BE A C ⊥于E ，连结DE 。 由正方体的性质知，11A DC A BC △≌△。
∴ 1DE A C ⊥， BED ∠为二面角1B A C D --的平面角，
且BE DE ==
BD = ∴
222
1cos 2BED +-∠=
=-。 ∴ 二面角1B A C D --的大小为120?。
或：设AC 、BD 交于点O ，由60BEO ∠=?，得120BED ∠=?。 5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，
5DA =，则AC BD ?=uuu r uu u r
。
【答案】 7
【解答】 以AB uu u r
，BC uu u r ，CD uuu r 为基底向量。则AD AB BC CD =++uuu r uu u r uu u r uu u r 。
C 1
B 1
D 1
C
A
B D A 1
E
C 1
B 1
D 1
C
A
B D A 1
（第4题）
∴ 22
()AD AB BC CD =++uuu r uu u r uu u r uu u r ，
即 2222222AD AB BC CD AB BC AB CD BC CD =+++?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 。
∴ 2549162()AB BC AB CD BC CD =+++?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∴ 2AB BC AB CD BC CD ?+?+?=-uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r
。
∴ ()()AC BD AB BC BC CD ?=+?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
297AB BC AB CD BC CD BC BC =?+?+?+?=-+=uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r
。
6．已知直线l 过椭圆C ：2
212
x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。O 为坐标原
点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为 。
【答案】
3
【解答】 (10)F -，。显然x 轴不符合要求。设直线AB 方程为1x ty =-。
由22
112
x ty x y =-???+=??，得22
(2)210t y ty +--= ………… ① ①的判别式大于0。设11()A x y ，
，22()B x y ，，则12222t y y t +=+，12
21
2
y y t -=+。 由OA OB ⊥，得
22
12121212121222(1)2(1)(1)(1)()11022
t t
x x y y ty ty y y t y y t y y t t t -++=--+=+-++=-?+=++。
∴ 222(1)220t t t -+-++=，21
2
t =
。 ∴ 点O 到直线AB
3
=
=
。 7．已知z C ∈，若关于x 的方程23
204
x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的
模z 的最小值为 。
【答案】 1
【解答】设z a bi =+（a ，b R ∈），0x x =是方程23
204x zx i -++=的一个实数根。
则2
032()04
x a bi x i -+++=。 B
D
C
A
∴ 2
0003204
210
x ax bx ?-+=???-+=?L L L L L L ①②。 由②得，012x b =，代入①，得211320424
a b b -?+=，2
3410b ab -+=，2314b a b +=。
∴ 22
2
2
222231251353
()141616888
b z a b b b b b +=+=+=++≥+=，
当且仅当b =成立。
∴ z 的最小值为1。
（a =
，b =
或a =
，b =
，即)z =±）。
8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。（用数字作答）
【答案】 216
【解答】 ∵ 将16分解成4个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：
1612310=+++，161249=+++，161258=+++，161267=+++，161348=+++，161357=+++，161456=+++，162347=+++，162356=+++。
∴ 符合条件的不同分配方法有4
49216A =种。
9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1)f x f x x +-≤+，
(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则
(2016)
2016
f = 。 【答案】 504
【解答】 ∵ 对任意x R ∈，(4)()2(1)f x f x x +-≤+，
∴ [][][](12)()(12)(8)(8)(4)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++- 又 (12)()6(5)f x f x x +-≥+， ∴ (12)()6(5)f x f x x +-=+。
∴ [][][](2016)(2016)(2004)(2004)(1992)(12)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+L
(20095)168
620096199765100861008100810082
+?=?+?++?+=?
+=?L 。
∴
(2016)1008
50420162
f ==。 10．当x ，y ，z 为正数时，
222
4xz yz
x y z +++的最大值为 。
【答案】
2
【解答】 ∵
221617x z +
≥
，当且仅当x z =时等号成立，
22117y z +
≥
，当且仅当y z =时等号成立。 ∴
2222222161()())1716x y z x z y z xz yz ++=+++≥+=+。 ∴
222
42xz yz x y z +≤++
，当且仅当x z =
，y z =
，即41x y z =：：立。
∴
222
4xz yz
x y z +++
的最大值为2。
注：本题利用待定系数法。将2z 拆成两项2z λ和2(1)z λ-。
由22x z λ+≥
，
22(1)y z λ+-≥
4
1
=，得1617λ=。由此得到本题的解法。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）。 （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）设11
(1)
n n b a n n =-+，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n T T ≥；
（3）设1
1(1)(1)
n n n n a c a a ++=
++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意*n N ∈均有n R λ<成
立，求λ的最小值。
【解答】（1）由22n n S a =-，得1122n n S a ++=-。两式相减，得1122n n n a a a ++=-。 ∴ 12n n a a +=，数列{}n a 为等比数列，公比2q =。 由又1122S a =-，得1122a a =-，12a =。
∴ 2n n a =。 ……………………………… 5分 （2）111(1)12(1)(1)2n n n n n b n n n n +??
=
-=-??++??
。 由计算可知，10b =，20b >，30b >，40b >。 当5n ≥时，由
11(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=>，得当5n ≥时，数列(1)2n
n n +??
????
为
递减数列。于是，5n ≥时，
5
(1)5(51)
122n n n +?+≤<。 ∴ 5n ≥时，1(1)10(1)2n n n n b n n +??
=
-
。 因此，1234T T T T <<<，456T T T >>>L 。
∴ 对任意*n N ∈均有4n T T ≥。故4k =。 ……………………………… 10分
（3）∵ 11
111211
2()(1)(1)(12)(12)2121
n n n n n n n n n a c a a +++++===-++++++ ……… 15分
∴ 11111
111111222()()()2()35
592121321321n n
n n n R +++??
=-+-++-=-=-??++++??
L 。 ∵ 对任意*n N ∈均有n R λ<成立， ∴ 23λ≥
。λ的最小值为2
3
。 …………………… 20分 12．已知2()ln()f x ax b x =++（0a ≠）。
（1）若曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程为y x =，求a ，b 的值； （2）若2()f x x x ≤+恒成立，求ab 的最大值。 【解答】（1）()2a
f x x ax b
'=
++。 依题意，有(1)21(1)ln()11
a f a b
f a b ?'
=
+=?+??=++=?。解得，1a =-，2b =。 ∴ 1a =-，2b =。 …………………………………… 5分 （2）设2()()()g x f x x x =-+，则()ln()g x ax b x =+-，()0g x ≤。
① 0a <时，()g x 定义域()b
a -∞-，，
取0x 使得0ln()1b
ax b a
+=-+，得10b a
e b
b x a
a
-+-=
<-
。 则0000()ln()ln()()(1)10b b b
g x ax b x ax b a a a
=+->+--=-++=>与()0g x ≤矛盾。
∴ 0a <时，()0g x ≤不恒成立，即0a <不符合要求。 ……………… 10分
② 0a >时，()
()1a b
a x a
a g x ax b
ax b
---
'=
-=++（0ax b +>）。
当b a b x a a --
<<
时，()0g x '>；当a b
x a
->时，()0g x '<。 ∴ ()g x 在区间()b a b a a --，上为增函数，在区间()a b a -+∞，上为减函数。
∴ ()g x 在其定义域()b a -+∞，上有最大值，最大值为()a b
g a
-。
由()0g x ≤，得(
)ln 0a b a b g a a a
--=-≤。 ∴ ln b a a a ≤-。 ………………………………… 15分 ∴ 22ln ab a a a ≤-。
设22()ln h a a a a =-，则()2(2ln )(12ln )h a a a a a a a '=-+=-。 ∴
0a <<()0h a '>
；a >()0h a '<。
∴ ()h a
在区间(0
上为增函数，在区间)+∞上为减函数。 ∴ ()h a
的最大值为22
e e
h e =-
=。 ∴
当a =
b =
时，ab 取最大值为2
e 。 综合①，②得，ab 的最大值为
2
e
。 ………………………………… 20分 13．如图，O ⊙为ABC △的外接圆，DA 是O ⊙的切线，且DBA ABC ∠=∠，E 是直线DB 与O ⊙的另一交点。点F 在O ⊙上，且BF EC ∥，G 是CF 的延长线与切线DA 的交点。求证：
AG AD =。
【解答】在ABC △和ABD △中，由DA 是O ⊙的切线知，
BAD BCA ∠=∠。又DBA ABC ∠=∠。 ∴
ADB CAB ∠=∠。 ………………………………… 5分
∵ A 、B 、E 、C 四点共圆， ∴ 180CAB CEB ∠+∠=?。 ∴ 180ADE DEC ∠+∠=?。
∴ EC DA ∥。 ……………………………… 10分 又BF EC ∥， ∴ EC BF DG ∥∥。
F
D
O
A
B
C
E
G
（第13题）
由EC ，BF 是O ⊙的两条平行弦知CF EB =。
∴ GC DE =，GF DB =。 ………………………………… 15分 又2GA GF GC =?，2DA DB DE =?。
∴ 22GA DA =，AG AD =。 ………………………………… 20分
14．如图，1F 、2F 为双曲线C ：2
214
x y -=的左、右焦点，动点00()P x y ，
（01y ≥）在双曲线C 上的右支上。设12F PF ∠的角平分线交x 轴于点(0)M m ，，交y 轴于点N 。
（1）求m 的取值范围；
（2）设过1F ，N 的直线l 交双曲线C 于点D ，E 两点，求2F DE △面积的最大值。
【解答】（1）依题意，1(50)F -，，2(50)F ，。 直线1PF 方程为00(5)5
y x x =++；直线2PF 方
程为00(5)5
y x x =
--。
即直线1PF 方程为000(5)50y x x y y -++=； 直线2PF 方程为000(5)50y x x y y ---=。 由点(0)M m ，在12F PF ∠的平分线上，得
00002
2
22
00
055(5)
(5)
y m y y m y y x y x +-=
+++-。
由55m -<<，01y ≥，以及2
2
00114
y x =
-，得022x ≥。 ∴ 2
2220
000055(5)254(2)42y x x x x ++=++=+，2
220005(5)(2)2
y x x +-=-。 ∴
005555
22m m
x x +-=
+-。04m x =。 …………………………… 5分 结合022x ≥，得0
4
02x <
≤。 ∴ m 的取值范围为(
02??，。 …………………………………… 10分 （2）由（1）知，直线PM 方程为00
00
04
()4y y x x x x -=
--
。 （第14题）
令0x =，得02
00414y y x y =-
=--。故，点N 坐标为01(0)y -，
。1
0()l k --
==。 ∴ 直线l
方程为y x =+。
由2
214
y x x y ?
=+????-=??，消x 得2
20
0(54)1010y y y y -++= …………… ① ① 的判别式222
001004(54)80160y y y =--=+>△。 设11()D x y ，
，22()E x y ，，则012201054y y y y +=--，122
01
54
y y y =-。 ………… 15分 ∴
12
y y -===。 由01y ≥，得0122010054y y y y +=-
<-，122
01
054
y y y =>-。 ∴ 10y <，20y <，
21212011
22F DE
S F F y y =?-=?△ 设2
54y t -=，则1t ≥，
2F DE S ===△ ∴ 1t =，即点P
为1)P 时，2F DE △
面积取最大值。 ∴ 2F DE △
面积的最大值为 ………………………… 20分 15．求满足下列条件的最小正整数n ：若将集合{}123A n =L ，，，，任意划分为63个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合A ）1A ，2A ，3A ，…，63A ，则总存在两个正整数x ，y 属于同一个子集i A （163i ≤≤）且x y >，3132x y ≤。
【解答】考虑模63的剩余类，即将集合A 划分为如下63个两两不相交的子集：
{}63i A a a k i k N ==+∈，，1i =，2，3，…，63。 ……………………… 5分 则对每一个i A （163i ≤≤）及任意的x ，i y A ∈（x y >）都有63x y -≥。 于是，63y x ≤-，x n ≤。
∴ 323132(63)3132632016y x x x x n -≤--=-?≤-。
若2016n <，则323120160y x n -≤-<，3132x y >，与3132x y ≤矛盾。
∴ 2016n <时，不满足题设条件。 …………………………… 10分
另一方面，当2016n =时，由20163263=?知，下列64个数：3163?，31631?+，
31632?+，…，316363?+都在集合A 中。
因此，对将{}123A n =L ，，，，任意划分为63个两两不相交的子集1A ，2A ，3A ，…，
63A 的划分方法，由抽屉原则知，3163?，31631?+，31632?+，…，316363?+这64个数
中必有两个数x ，y （x y >）属于同一个i A 。 …………………………… 15分
设13163x x =?+，13163y y =?+，11630x y ≥>≥。
于是，1111313231(3163)32(3163)(3132)3163(3132)x y x y x y -=?+-?+=-+?-
1313163316331630x ≤-?≤?-?=。
∴ 2016n =，满足题设的条件。
综上可知，满足题设条件的n 的最小值为2016。 …………………… 20分