第十讲 代数式恒等变形（二）
【例题解析】
1、已知不为零的三个数a,b,c 满足：a+b+c=0，求
2221a c b -++2221b a c -++2221c b a -+的值。
2、若x 1-y 21=31，求y
xy x y xy x 23432---+的值。
3、若b 2=ac ，求)111(3
33333222c b a c b a c b a ++?++的值。
4、已知xy-x-y=4，求（xy-1)2-2x 2y-2xy 2+x 2+y 2+6xy-2x-2y 的值。
5、已知a 2+4a+1=0，a
m a a m a a
2212324++++=3，求m 的值。
6、已知实数x,y,z 满足y x z x z y z y x +++++=1，求y
x z x z y z y x +++++222的值。
7、已知正整数a,b ，满足(a+b)2=a 3+b 3，求a+b 的值。
8、已知a 、b 、c 满足c
b a
c b a ++=+
+1111。求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数。
9、已知：互不相等且均不为零的三个数a 、b 、c 满足：1222222=+++++ab
c ab ca b ca bc a bc ，求a+b+c 的值。 （提示：a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)）
10、已知：a 、b 、c 满足1222222222222=-++-++-+ab c b a ac b a c bc a c b ，求证：bc
a c
b 2222-+、a
c b a c 22
22-+、ab
c b a 2222-+的值有两个为1，一个为-1。
【自主练习】
1、已知
x y z t y z t z t x t x y x y z ===++++++++求 x y y z z t t x z t
t x x y y z +++++++++++的值。
2、已知：121,1a b b c +
=+=求2c a +的值。
3、已知：
232548
x xy y x xy y +-=--，求11x y -的值。
4、已知：xyz=1,x+y+z=2, 22216x y z ++=，求111222xy z yz x xz y
+++++的值。
5、已知：1x y z y z z x x y ++=+++，求222
x y z y z x z x y
+++++的值。
6、求证：
222()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a ---++=++---------。
代数式恒等变形 A 卷 1、若3265122-+ -+=+--x b x a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C 解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴?? ???-=--=++-=1 236051b a M b a M M ，解得：??? ??=-==831 b a M 提示：利用待定系数法解决问题。 2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+- x x ，则=+441 x x （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、4 27 答案：C 解答：∵0≠x ∴2191= + x x ，411 122=+x x ∴16892112 2244 =-??? ? ?+=+x x x x 提示：本题的关键是利用2112 22 -??? ? ?+=+x x x x 进行化简。 3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D 解答：∵143=-x x ∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。
初中奥数恒等变形知识点及习题2019 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个. 反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r 例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立
设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6 再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得出
初中奥数恒等变形知识点归纳整理 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数 值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种 形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立 设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6
再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有 22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得 由②得b=5 将b=5代入③得 1-5+c=2 c=6 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.
一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5 ≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 34522+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ．
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但 x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。 代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是 (0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时， 定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222 (4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤ ???? ≥??+-≤≥?? ? 222(4)8(2) 44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44 048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是4 03p ≤≤ 。这时，原方程有惟一实根x =。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。
代数式的恒等变形 一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求2 211 11b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得 22 11 11b a +++ =22 b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b ++ + =1 例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同． 同理 练习：1 111,1=++++++++=c ca c b b c b a ab a abc 证明：若 二、配方法 例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b + 之值。 [解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1 =(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0 ∴?? ?==-.1,0ab b a 解得?? ?==;1,1b a ?? ?-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，b a a b + =1+1=2 当a=-1，b=-1时， b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、 c 、 d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数 的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2
代数变形常用技巧及其应用 摘要 代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用． 关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法
The common skills and application of the algebra distortion Abstract The algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on. Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method
全国初中（初二）数学竞赛辅导 第六讲代数式的求值 代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍． 1．利用因式分解方法求值 因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用． 分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件． 解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以 6x4+15x3+10x2 =(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1 =(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1 =0+1=1． 说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答． 例2 已知a，b，c为实数，且满足下式： a2+b2+c2=1，① 求a+b+c的值．
解将②式因式分解变形如下 即 所以 a+b+c=0或bc+ac+ab=0． 若bc+ac+ab=0，则 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab) =a2+b2+c2=1， 所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形： 即
第8讲整式恒等变形 模块一恒等变形→降幂迭代与换元 基础夯实 题型一降幂迭代法与大除法 【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________． 【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试) 已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．
题型二 整体代入消元法 【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值． 【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值． 题型三 换元法 强化挑战 【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2． 【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()() ()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值． 模块二 恒等变形→因式分解与不定方程 题型一 因式分解 基础夯实 【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________． (2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________． 【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________． (2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y 的值． 强化挑战 【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ． 【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．
代数式的恒等变形 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 一．设参数法 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例1．已知x y z a b b c c a == ---，求x+y+z 的值。 例2．已知 ()() 23a b b c c a a b b c c a +++==---，a ,b ,c 互不相等， 求证：8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例3．已知x+y+z=xyz ，证明： x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．
2006年江苏省数学奥林匹克夏令营讲座 代数变换、代数变形的方法与技巧 蔡玉书 1.将一些结构各异的式子看成一个整体，用一个字母或用另外的式、量来替换表示，易于使复杂问题明朗化、简单化。这种解决问题的方法叫做替换法。 (1) 整式替换 例1 分解因式(x 4+x 2－4)( x 4+x 2+3)+10.(第12届“五羊杯”竞赛题) 例2 已知x ,y 是正整数，并且xy +x +y =23,x 2y +xy 2=120,则x 2+y 2= .(2001年全国初中联赛) 例3已知实数a ,b 满足a 3+b 3+3ab =1,则a +b = .(2004年全国初中联赛) (2) 分式替换 例4已知关于x 的方程(a 2－1)(x x －1)2－(2a +7)(x x －1 )+1=0有实数根. ①求a 的取值范围； ②若原方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 1－1 + x 2x 2－1 = 311,求a 的值. (3) 根式替换 例5 计算9a 9a +a +9 a 29a 2+a +9 a 39a 3+a +…+9 a 89a 8+a = . (第16届“五羊杯”竞赛题) (4) 常值替换 例6 证明1997×1998×1999×2000+1是一个整数的平方，并求出这个整数.(1997年安徽省数学竞赛) 例7 计算(74+64)(154+64)(234+64)(314+64)(394+64)(34+64)(114+64)(194+64)(274+64)(354+64) .(第9届华罗庚金杯赛) 例8 计算1+112+122+1+122+122+1+132+142+…+1+120032+120042 . (第9届华罗庚金杯赛) 2.代数式的恒等变形包括整体代入、因式分解、配方、配对、分母有理化、分子有理化等。 例9 若3x 2－x =1,则9x 4+12x 3－3x 2－7x +2001的值等于 .(2001年武汉市数学竞赛) 例10 设x 3－32x 2+6x －22－8=0,则x 5－41x 2＋1的值为 .(2002年“五羊杯”竞赛题) 例11设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab , 求a + b a －b 的值.(2002年全国初中数学竞赛)
分式的恒等变形（一） （1）已知2202010a a -+=，则代数式2220202403911a a a -+++的值是__________。 【答案】由已知可得12020a a + =，原式()212202012120202019a a a a =-+++=-++= （2）已知2410a a ++=，则代数式42321912192a a a a a ++++的值是__________。 【答案】由已知可得14a a +=-，22114a a +=，原式22119333211219a a a a + +===++ （3）已知4x y +=-，12xy =-，则1111 y x x y +++++的值是__________。 【答案】由已知可得2240x y +=，原式()()()()()()22 11402423411412115y x x y ++++?-+===-++-+-+ （4）已知4ab x a b = +，则2222x a x b x a x b +++--的值是__________。 【答案】由已知可得()4ab a b x =+， 原式()()()()()()()()() 222222222228222224x a x b x b x a x a b x x ab x a x b x a b x ab x a b x +-++--+-====---++-+ （5）已知612ab a b bc b c ?=??-??=?-?，则ac a c -的值是_________。 【答案】取倒数后两式相加得 14a c ac -=，所以4ac a c =- （6）解方程： ()()()()()111333669218 x x x x x x x ++=++++++ 【答案】裂项相消，111339218x x x ??-= ?++??，解得2x =
导数大题方法汇总报告 一总论 一般来说，导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的汇总报告。 二主流题型及其方法 *（）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线 一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若()在时取得极值，试求所给函数中参数的值。或者是()在( , ())处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令，()的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。 注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。别人送分，就不要客气。③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。切线要写成一般式。 *（）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值 一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单，一般是求()的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是： 首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。这种方法我认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。 极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。 最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。 注意:①要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准，不要慌张。③求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下场。 *（）恒成立或在一定条件下成立时求参数范围 这类问题一般都设置在导数题的第三问，也就是最后一问，属于有一定难度的问题。这就需要我们一定的综合能力。不仅要对导数有一定的理解，而且对于一些不等式、函数等的知识要有比较好的掌握。这一类题目不是送分题，属于扣分题，但掌握好了方法，也可以百发百中。方法如下： 做这类恒成立类型题目或者一定范围内成立的题目的核心的四个字就是：分离变量。一定要将所求的参数分离出来，否则后患无穷。有些人总是认为不分离变量也可以做。一些简单的
代数式的恒等变形 1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009= 2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ． 3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab = 6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n= 9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21 c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17 199562x y xy a b ++-+= . 11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111 ()()()3+++++=-a b c b c a c a b ， 则a+b+c= . 12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．
13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a - 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++= 15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++= 16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3 =abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于 17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是 18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y ++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知y x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ． 21.若正数m ，n 满足 43,+=m n = ． 22.已知a+b=8，ab=c 2 +16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。
代数变形中常用的技巧 数学与应用数学专业 摘要：代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。关键词代数变形技巧 两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。 代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。 代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。 一、整式变形 整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。 例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2 分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。 解：设y-z=a, z-x=b, x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2 =b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2 =-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc =-(a+b+c)2 =0 例2：分解因式 ①(1-x2)(1-y2)-4xy ②x4+y4+ x2y2 分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。 解：①原式= 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy =(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2)
代数式的恒等变换方法与技巧 例：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤????≥??+-≤≥??? 222(4)8(2)44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件 24(4)44048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤ 。 这时，原方程有惟一实根x =。 一、分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。 例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立： （a =； （b 1=； （c 2=。 解： (0)m m =≥ 记方程左边为f(x)， 则()f x =
1 |1|1|1 1 2 x x ≥ == ≤≤ 由此可知， 当m=时，原方程的解集为 1 [,1] 2 ； 当m∈时，解集为?； 当) m∈+∞ m =，解得2 1 (2) 4 x m =+。 即当) m∈+∞时，原方程的解集为2 1 {(2)} 4 m+。 例2：在复数范围内解方程组222 555 3, 3, 3. x y z x y z x y z ++= ? ? ++= ? ?++= ? 解：考虑数列* , n n n n a x y z n =++∈N。不难证明此数列满足递推式321 ()() n n n n a x y z a xy yz zx a xyza +++ =++-+++，其中 125 3,3 a a a ===。 利用基本恒等式，得2 12 1 ()3 2 xy yz zx a a ++=-=， 3123 11 [()] 33 xyz a a a xy yz zx a =--++=， ∴{} n a的递推式化为* 3213 1 33, 3 n n n n a a a a a n +++ =-+?∈N 由此得 432313543323 11 3349,331027 33 a a a a a a a a a a a a =-+?=---+?=- 由 5 3 a=，得 3 10273 a-=，∴ 3 3 a=。∴ 3 1 1 3 xyz a ==。 综上所述知，原方程组等价于 3, 3, 1. x y z xy yz zx xyz ++= ? ? ++= ? ?= ? 由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程33 3310 t t t -+-=的三根， 此三次方程即3 123 (1)0,1 t t t t -=∴===， 这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。 注：此题还可以利用三次单位根 1 2 ω=-+的性质来解。 二、利用对称性 对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，x2y+y2z+z2x是轮换 式，但不是对称式。由轮换的特点，在解题中，为方便起见，可指定变元中x 1最大（或最小）。
一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确 (1)若c a c b b a ===则,,； (2)两向量b a 、相等的充要条件是b a =且共线、b a ； (3)b a =是向量b a =的必要不充分条件； (1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (2)D C B A =的充要条件是A 与C 重合，D B 与重合。 二、向量运算及数乘运算的求解方法 两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差 是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则b a b a -+与是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐 标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2211y x B y x A ，则 =-=A O B O B A ),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-。 例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a --== 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1(=-=-==c c b a 则 b a D b a C b a B b a A 2 123.2123.2321.2321.+---+- 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点 满足C B O A O C O βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹为（ ） 52. 02.0)2()1.( 01123.22=-+=-=-+-=-+y x D y x C y x B y x A 例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 )(C A C A B A B A A O P O ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定过ABC ?的（） .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心 例5 设G 是ABC ?内的一点，试证明: (1)若G 是为ABC ?重心，则0 =++C B B G A G ；
第四讲 代数式的恒等变形 姓名 基础知识呈现 1、 恒等式与条件等式： 如果一个等式中字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式就叫做恒等式。如：()a b b a a a b ab a b a +=+-=+-=-,,2222 等都是恒等式。而12=x 不是恒等式， 因为只有当2 1 = x 时，等式才成立。因此称为条件等式。 2、 恒等变形 把一个式子变形为与原式恒等的另外不同形式的式子，这种变形叫恒等变形，例如y z z x y x -+-=-就是恒等变形。 两个多项式恒等的充要条件是它们的对应项系数相等，即： ?++++=++++----01110111b x b x b x b a x a x a x a n n n n n n n 001111,,,b a b a b a b a n n n n ====--。 实际上，待定系数法的依据就是多项式的恒等的性质。 3、 代数式恒等变形是解决初等数学乃至高等数学问题的一种重要方法，是研究函数和方程的重要 工具。代数式的恒等变形包括：代数式化简，求代数式的值，证明恒等式或条件等式等等。 例题讲解 例1、 证明恒等式()()()() 22222 2 y x b a ay bx by ax ++=++-。 例2、 证明恒等式()() bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2 2 2 3 3 3 3。 例3、 证明恒等式() () ()2 2 2 2 111 1 1 1 ?? ? ??-+-+-=-+ -+ -a c c b b a a c c b b a 例4、 证明恒等式()()()()()a c c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+ -+-=---+---+---2 22)( 例5、 已知11 ,11=+=+ z y y x ，求证：11=+x z 。
代数式的恒等变形 模块一 基本代数式变形 知识导航 若已知x +y =5,xy =3,以此为基本量，可以求出一系列齐次式的值： ()2222x +y x y xy =+- ()()224x y x y xy -=+- ()24422222x y x y x y +=+- ||x y -= ()()()()233223x y x y x xy y x y x y xy ??+=+-+=++-?? 若已知x 2－5x +1=0，可得x ＋ 1x =5，由此可以求出一些典型代数式的值： x 2＋21x =212x x ??+- ?? ? 22114x x x x ????-=+- ? ????? 24242112x =x x x ??++- ??? 1x x -= 刻意练习 1．若x ﹣y ＝﹣4，xy =12,求22x y +，()2 x y +，x y +，22x y -，22x xy y -+，44x y +的值． 2．已知14x =x -，求221x x +，1x x +，221x x -，441x x +的值．
（2016—2017六中八上月考） 若0＜x ＜1，1 3x =x +，则221 x =x -________． 练习 （2016—2017汉阳区八上期末） 已知a ＋b ＝5，ab ＝3，则11b a a b +++的值为（ ） A ．2 B ．8 3 C ．4 D ．349 例2 （1）已知13x x +=，求2 42________1x x x =++ （2）已知2410a a ++=，且42321 33a ma a ma a ++++＝5，求m ． 练习 已知2421x x x ++＝14，则4225155 _________3x x x -+=．