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X
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:h e
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p
h
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5
1
2
2
3
2v
1
1
9
D
e
c
2
5
Higgs Boson Search at e +e ?and Photon Linear Colliders ?M.M.M ¨u hlleitner Laboratoire d’Annecy-Le-Vieux de Physique Th′e orique,LAPTH,Annecy-Le-Vieux,France The various search modes for the Higgs bosons of the Standard Model (SM)and its Minimal Supersymmetric Extension (MSSM)at the Inter-national Linear Collider (ILC)will be summarized brie?y.In particular,as a unique discovery mode the production of heavy neutral MSSM Higgs bosons for medium values of tan βin photon collisions will be presented.Furthermore,τ+τ?fusion into MSSM Higgs bosons in the photon mode will be shown to give access to the mixing parameter tan βwith a precision of better than 10%for large values of this parameter.PACS numbers:12.15.-y,12.60.-i LAPTH-CONF-1134/05hep–ph/05122321.Introduction One of the major endeavours of high energy physics at future colliders is the experimental test of the Higgs mechanism which allows to introduce standard particle masses without violating gauge symmetries.Four steps
have to be taken [1]:First of all the Higgs boson(s)must be discovered.Next,the spin zero nature of the Higgs ?eld can be veri?ed through the determination of the Higgs boson quantum numbers.In the third step,by measuring its couplings to gauge bosons and fermions the proportionality to the masses of the respective particles as predicted by the Higgs mechanism can be checked.Finally,the triple and quartic Higgs self-couplings have to be determined in order to reconstruct the Higgs potential itself,responsible for the non-zero vacuum expectation value due to its speci?c form.In the following,the ?rst step in this program will be summarized brie?y.The discovery modes at the ILC and the Photon Linear Collider (PLC)will be discussed,complemented by a brief note on the extraction of tan βin τ+τ?fusion at the PLC.
2
2.Higgs boson search at the ILC
2.1.The SM Higgs boson
The main SM Higgs boson production mechanisms are Higgs-strahlung, e+e?→ZH[2]at lower energies and W W fusion,e+e?→Hˉνν[3]at higher energies,cf.Fig.1.The full electroweak(EW)corrections at one loop have been calculated for both the Higgs-strahlung[4,5]and the fusion process [5,6].They are of O(10%).Since the recoiling Z boson in Higgs-strahlung is monoenergetic at leading order the Higgs mass can be reconstructed in-dependent of the Higgs boson https://www.doczj.com/doc/b89202289.html,bining recoil mass techniques and reconstruction of the Higgs decay products,the expected accuracy on M H is40-80MeV for intermediate mass Higgs bosons[7].
Fig.1.SM Higgs boson production processes as a function of the Higgs boson mass
√
for two typical collider energies,
3
be discovered,its production cross section being large enough.All Higgs
√
particles can be discovered at
s/2[14].The heavy H,A appear as resonances inγγcollisions[15].Thereforeγγ→H,A o?ers a unique
4
possibility to search for heavy Higgs bosons not accessible elsewhere.The photons are generated by Compton back-scattering of laser light so that
almost the entire energy of the electrons/positrons at a Linear Collider can
be transferred to the photons[16],with luminosities of about one third of
the e+e?luminosity in the high-energy regime[17].
In Ref.[15]the search for H,A inγγcollisions with subsequent decay
into bˉb was analysed taking into account the NLO corrections to the signal
[18],background[19]and interference process.To enhance the signal to
background ratio slim two-jet con?gurations have been selected in the?nal state,the incoming e±e?beams have been chosen polarized and a cut on
the scattering angle of the b-quark,θ,has been applied.The maximum of
theγγluminosity has been tuned to M A.The bˉb?nal states have been
collected with a resolution in the invariant mass M A±?,?=3GeV.(For more details see also[20].)Inγγfusion the mass reach can thus be extended
to～80%of the total e+e?energy,i.e.in the?rst phase of the ILC H,A
bosons can be discovered up to masses of about400GeV,and up to800 GeV in the second phase,for medium values of tanβ,as can be inferred from Fig.3.A detailed study taking into account all relevant theoretical and experimental issues has shown that the cross section can be determined with a statistical precision of10%and better[21].
<σ(γγ→ bb_)>[fb]
tgβ = 7
? = ±3 GeV
|cosθ| < 0.5
w/o SUSY
M
2
/μ = 200/200200/?200 GeV
background
M
A [GeV]
10-2
10-1
1
200250300350400450500550600650700
Fig.3.H,A production cross sections inγγcollisions as a function of M A with ?nal decays into bˉb and the corresponding background cross section.The MSSM parameters have been chosen as tanβ=7,M2=±μ=200GeV;the limit of vanishing SUSY-particle contributions is shown for comparison[15].
The analogous analysis[22]for the SM Higgs boson production inγγfusion[23]concludes that the partial widthΓ(H→γγ)can be extracted with2%accuracy for M H=120GeV.This provides a sensitivity to new charged particles running in the loop-induced Hγγcoupling.
5
3.2.Determination of tanβinτ+τ?fusion
Since the measurement of the important mixing parameter tanβis a di?cult task and expected accuracies at the LHC and the ILC are at the order of10%,any additional method for its determination is valuable.The ττfusion to h,H,A at a PLC[24],provides a promising channel and is based on the two-step process,cf.Fig.4a,
γγ→(τ+τ?)+(τ+τ?)→τ+τ?+h/H/A(1) For the large tanβcase studied in[24],80to90%of the Higgs bosons decay
γ
γ
τ?
τ+
ˉb
b
Fig.4.(a)The signal processττfusion into h,H,A.(b)The annihilation and(c) the di?ractive background process.
into a b quark pair so that the?nal state consists of a pair ofτ’s and resonant b quark jets.The couplings of h,H,A toτpairs being of the order of tanβ
σ(γγ→τ+τ?H/A+X) [fb]
√s = 600 GeV
tgβ = 30
signal
background
H
A
M
H/A
[GeV]
10
-3
10
-2
10
-1
1
10
100150200250300350400450500550
σ(γγ→τ+τ?h+X) [fb]
√s = 400 GeV
tgβ = 30
signal
background
h
M
h
[GeV]
10
-2
10
-1
1
10
80859095100105110115120125130 Fig.5.Theττfusion into H/A(left)and h(right)for tanβ=30compared to the background process.Cuts as speci?ed in[24].
√
6
numerical analysis taking into account the full set of signal and background diagrams are shown in Fig.5.Assuming standard design parameters of a PLC an error?tanβ～1,uniformly for tanβ>～10,may be expected, improving on complementary measurements at the LHC and ILC.
4.Summary
At a future ILC the SM and MSSM Higgs bosons are accessible up to the kinematical limit independent of their decay properties.The precision on the masses is O(1%)and better.The PLC provides the unique possibility to discover heavy MSSM H,A bosons in a wedge centered around medium tanβvalues,not accessible elsewhere,and complements the Higgs boson search at the ILC.Furthermore,the important mixing parameter tanβcan be extracted in photon collisions with a statistical accuracy of10%and better for large values of this parameter.The PLC can thus be considered a valuable complement to the e±e?mode of a future ILC.
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-! 1 2 □ 4 D fi 1 8 9 A 8 1 3 B 7 6 1 Ei 9 A C 9 1 8 7 5 D 1 7 8 4 3 9 E 3 8 9 1 4 F 5 4 9 i 6 8 1 G 9 3 H 1 L 3 8 1 如左图，观察行 B ,我们发现除了 B3 单元格以外其余的八个单元格已经填入了 1、2、4、5、6、7、8、9,还有3没有填写， 所以3就应该填入B3单元格。这是行唯一 解法。 1 2 3 4 S 6 ? S 如左图，观察D7-F9这个九宫格， 我 们发现除了 E7单元格以外其余的八 个单元格已经填入了 1、2、3、4、6、7、 & 9，还有5没有填写，所以5就应该 填入E7单元格。这是九宫格唯一解法。 A 1 J R c D E F G E T fl 3 1. 5 B 2 41 1 3 1 ti 1 7 8 5 S 2 3 9 3 8 g 1 4 T 5 4 g T 2 3 0 a 1 2 3 1 6 1 3 e 1
! -单元唯一法在解题初期应用的几率并不高，而在解题后期，随着越来越多的单元格填上了数字, 使得应用这一方法的条件也逐渐得以满足。 △基础摒除法 基础摒除法是直观法中最常用的方法，也是在平常解决数独谜题时使用最频繁的方法。单元排除法使用得当的话，甚至可以单独处理中等难度的谜题。 使用单元排除法的目的就是要在某一单元（即行，列或区块）中找到能填入某一数字的唯一位置， 换句话说，就是把单元中其他的空白位置都排除掉。 那么要如何排除其余的空格呢？当然还是不能忘了游戏规则，由于1-9的数字在每一行、每一列、每一个九宫格都要出现且只能出现一次，所以： 如果某行中已经有了某一数字，则该行中的其他位置不可能再出现这一数字；如果某列中已经有了某一数字，则该列中的其他位置不可能再出现这一数字；如果某区块中已经有了某一数字，则该区块中的其他位置不可能再出现这一数字。 基础摒除法可以分为行摒除、列摒除和九宫格摒除。 如左图，观察D1-F3这个九宫格。由于11 格有数字9, 所以第1列其它所有单元格都不能填入9;由于B2格有数字 9,所以第2列其它所有单元格都不能填入9 ；由于D8格有 数字 9，所以行D其它所有单元格都不能填入9。这 样，D1-F3这个九宫格内只有E3单元格能够填入数字9。所 以E3单元格的答案就是9。 如左图，观察行H。由于C3格有数字4, 所以第3列其他 所有单元格不能填入数字4; 由于E8格有数字4，所以第8列其他所有单元格不能填入数 字4;由于I4格有数字4，所以G4-I6这个九宫格内其他所有 单元格不能填入数字4。这样行H中能够填入数字4的单元 格只有H9。所以H9单元格的答案就是4。
函数大全一、数据库函数（13条） 二、日期与时间函数（20条） 三、外部函数（2条） 四、工程函数（39条） 五、财务函数（52条）
六、信息函数（9条） 七、逻辑运算符（6条） 八、查找和引用函数（17条） 九、数学和三角函数（60条）
十、统计函数（80条）
十一、文本和数据函数（28条）
一、数据库函数（13条） 1.DAVERAGE 【用途】返回数据库或数据清单中满足指定条件的列中数值的平均值。 【语法】DAVERAGE(database，field，criteria) 【参数】Database构成列表或数据库的单元格区域。Field指定函数所使用的数据列。Criteria为一组包含给定条件的单元格区域。 2.DCOUNT 【用途】返回数据库或数据清单的指定字段中，满足给定条件并且包含数字的单元格数目。 【语法】DCOUNT(database，field，criteria) 【参数】Database构成列表或数据库的单元格区域。Field指定函数所使用的数据列。Criteria为一组包含给定条件的单元格区域。 3.DCOUNTA 【用途】返回数据库或数据清单指定字段中满足给定条件的非空单元格数目。 【语法】DCOUNTA(database，field，criteria) 【参数】Database构成列表或数据库的单元格区域。Field指定函数所使用的数据列。Criteria为一组包含给定条件的单元格区域。 4.DGET 【用途】从数据清单或数据库中提取符合指定条件的单个值。 【语法】DGET(database，field，criteria) 【参数】Database构成列表或数据库的单元格区域。Field指定函数所使用的数据列。Criteria为一组包含给定条件的单元格区域。 5.DMAX 【用途】返回数据清单或数据库的指定列中，满足给定条件单元格中的最大数值。 【语法】DMAX(database，field，criteria) 【参数】Database构成列表或数据库的单元格区域。Field指定函数所使用的数据列。Criteria为一组包含给定条件的单元格区域。 6.DMIN 【用途】返回数据清单或数据库的指定列中满足给定条件的单元格中的最小数字。 【语法】DMIN(database，field，criteria) 【参数】Database构成列表或数据库的单元格区域。Field指定函数所使用的数据列。Criteria为一组包含给定条件的单元格区域。 7.DPRODUCT 【用途】返回数据清单或数据库的指定列中，满足给定条件单元格中数值乘积。 【语法】DPRODUCT(database，field，criteria) 【参数】同上
excel常用函数及使用方法 一、数字处理 （一）取绝对值：=ABS(数字) （二）数字取整：=INT(数字) （三）数字四舍五入：=ROUND(数字,小数位数) 二、判断公式 （一）把公式返回的错误值显示为空： 1、公式：C2=IFERROR(A2/B2,"") 2、说明：如果是错误值则显示为空，否则正常显示。 （二）IF的多条件判断 1、公式：C2=IF(AND(A2<500,B2="未到期"),"补款","") 2、说明：两个条件同时成立用AND,任一个成立用OR函数。 三、统计公式 （一）统计两表重复 1、公式:B2=COUNTIF(Sheet15!A:A,A2) 2、说明：如果返回值大于0说明在另一个表中存在，0则不存在。 （二）统计年龄在30~40之间的员工个数 公式=FREQUENCY(D2:D8,{40,29} （三）统计不重复的总人数 1、公式：C2=SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A2:A8,A2:A8)) 2、说明：用COUNTIF统计出每人的出现次数，用1除的方式把出现次数变成分母，然后相加。
（四）按多条件统计平均值 =AVERAGEIFS(D:D,B:B,"财务",C:C,"大专") （五）中国式排名公式 =SUMPRODUCT(($D$4:$D$9>=D4)*(1/COUNTIF(D$4:D$9,D$4:D$9))) 四、求和公式 （一）隔列求和 1、公式：H3=SUMIF($A$2:$G$2,H$2,A3:G3) 或=SUMPRODUCT((MOD(COLUMN(B3:G3),2)=0)*B3:G3) 2、说明：如果标题行没有规则用第2个公式 （二）单条件求和 1、公式：F2=SUMIF(A:A,E2,C:C) 2、说明：SUMIF函数的基本用法 （三）单条件模糊求和 说明：如果需要进行模糊求和，就需要掌握通配符的使用，其中星号是表示任意多个字符，如"*A*"就表示a前和后有任意多个字符，即包含A。 （四）多条求模糊求和 1、公式：=SUMIFS(C2:C7,A2:A7,A11&"*",B2:B7,B11) 2、说明：在sumifs中可以使用通配符* （五）多表相同位置求和 1、公式：=SUM(Sheet1:Sheet19!B2) 2、说明：在表中间删除或添加表后，公式结果会自动更新。
数独入门：你必须掌握的那些规则和技巧 数独的规则 在空格内填入数字1-9，使得每行、每列和每个宫内数字都不重复。 注意：数独题目满足条件的答案是唯一的。
数独的元素 数独的元素主要包括行、列和宫。这三者划分出数独有三种不同形态的区域，而数独规则就是要求在这些区域内出现的数字都为1~9。 元素坐标图： 行：数独盘面内横向一组九格的区域，用字母表示其位置； 列：数独盘面内纵向一组九格的区域，用数字表示其位置； 宫：数独盘面内3×3格被粗线划分的区域，用中文数字表示其位置。 格的坐标：利用表示行位置的字母和表示列位置的数字定位数独盘面内每个格子的具体位置，如A3格，F8格等。 数独技巧 1.?宫内排除法 排除法就是利用数独中行、列和宫内不能填入相同数字的规则，利用已出现的数字对同行、同列和同宫内其他格进行排斥相同数字的方法。 宫内排除法就是将一个宫作为目标，用某个数字对它进行排除，最终得到这个宫内只有一格出现该数字的方法。技巧示意图：
宫内排除法 如上图所示，A2、B4和F7三格内的1都对三宫进行排除，这时三宫内只有C9格可以填入1，本图例就是对三宫运用的排除法。 2.?行列排除法 行列排除法就是将一行或一列作为目标，用某个数字对它进行排除，最终得到这个行列内只有一格出现该数字的方法。技巧示意图：
行列排除法 如上图所示，D2和B8两格内的6都对F行进行排除，这时F行内只有F5格可以填入6，本图例就是对F行运用的排除法。 3.?区块排除法 区块排除法就是先利用宫内排除法在某个宫内形成一个区块，利用该区块的排除再结合其他已知数共同确定某宫内只有一格出现该数字的方法。技巧示意图： 区块排除法 如上图所示，B4格的7对五宫进行排除，在五宫内形成了一个含数字7的区块。无论该区块中F5格是7还是F6格是7，都可以对F行其他格的7进行排除。再结合H7格的7同时对六宫进行排除，得到六宫内只有D8格可以填7。 4.?宫内数对占位法 数对占位法指的是在某个区域中使得某两数只能出现在某两格内，这时虽然无法判断这两个数字的位置，但可以利用两数的占位排斥掉其他数字出现在这两格，再结合排除法就可以间接填出下个数字。技巧示意图：
EXCEL的文本函数REPLACE、FIND和SEARCH 文本中的LEFT、MID、RIGHT、LEN、LENB、SUBSTITUTE有印象不？最后一个类似于替换，你也用过替换命令的，很多时候需要对某个文本中的部分内容进行替换,除了EXCEL原本具有的查找替换功能以外还可以用文本替换函数，而SUBSTITUTE 就是替换函数之一，如果你知道要替换的字符是什么但不知道该字符在文本中的具体位置就可以使用该函数，比如:你好你们好你好，要把你好替换成你不好，条件是被替换的字符串是你好，要替换成你不好，文本中我不确定具体位置就用SUBSTITUTE公式=SUBSTITUTE(A1,"你好","你不好")，字符串:你好你们好你好中,我要把第二个你好替换成你不好呢?也就是说第一个你好我不替换，只替换第二个出现的你好，还是使用SUBSTITUTE,因为我不知道第二个你好的位置在哪 =SUBSTITUTE(A1,"你好","你不好",2)后面的数字2是该函数的第四个参数,代 表替换位置，也就是替换第二个你好，通过组合我们可以完成一些小应用，所以SUBSTITUTE的替换作用还是挺实用的，但我们如何知道一个文本中有几个指定 的字符?这是一个小应用 比如这一串文本中有几个好字?如果知道这个文本中有几个好字? 比如里面有三个好,如果用公式算出来?如何用公式来 整出来?比如原来的字符宽是多少?再判断替换掉好字的文本的宽度，再相减,不就是结果了?不用替换成空格，替换成空 第一步替换好为无=SUBSTITUTE(A1,"好",)，第二步判断已替换的字符长 =len(SUBSTITUTE(A1,"好",))第三步用原来的字符长去减 =len(a1)-len(SUBSTITUTE(A1,"好",))得到最后的答案，len是判断字符长度的，这上次已讲过了,赫赫。=len("abc")结果为3代表abc文本中有三个字符len("中华人民共和国")结果是7代表有7个字符，上次讲了LEFT、MID、RIGHT、LEN、LENB、SUBSTITUTE，len是判断字符长度的,一个字母,一个数字,一个汉字都是 一个字符，lenb是判断字节长的,一个半角字母或数字为一个字节,一个汉字是 两个字节，这个可以看上次的聊天记录吧。现在我来讲一个REPLACE，REPLACE 也是替换函数，他的参数描述是replace(原文本,第几个字符,宽度,替换成的新文本)比如A1="abcde"我要把A1的第2和第3个字符变成x，也就是我要把abcde 变成axde，用replace函数就是=replace(a1,2,2,"x")从a1的第2个位置开始,向右截2个字符宽度,以x来替换，replace一般用在已知道具体的替换位置的 应用
SUMIF 函数的公式语法和用法。 说明 使用SUMIF函数可以对区域中符合指定条件的值求和。例如，假设在含有数字的某一列中，需要让大于5 的数值相加，请使用以下公式： =SUMIF(B2:B25,">5") 在本例中，应用条件的值即要求和的值。如果需要，可以将条件应用于某个单元格区域，但却对另一个单元格区域中的对应值求和。例如，使用公式=SUMIF(B2:B5, "John", C2:C5)时，该函数仅对单元格区域C2:C5 中与单元格区域B2:B5 中等于“John”的单元格对应的单元格中的值求和。注释若要根据多个条件对若干单元格求和，请参阅SUMIFS 函数。 语法 SUMIF(range, criteria, [sum_range]) SUMIF函数语法具有以下参数： range必需。用于条件计算的单元格区域。每个区域中的单元格都必须是数字或名称、数组或包含数字的引用。空值和文本值将被忽略。 criteria必需。用于确定对哪些单元格求和的条件，其形式可以为数字、表达式、单元格 引用、文本或函数。例如，条件可以表示为32、">32"、B5、32、"32"、"苹果" 或TODAY()。 要点任何文本条件或任何含有逻辑或数学符号的条件都必须使用双引号(") 括起来。如果条件为数字，则无需使用双引号。
sum_range可选。要求和的实际单元格（如果要对未在range 参数中指定的单元格求和）。 如果sum_range参数被省略，Excel 会对在range参数中指定的单元格（即应用条件的单元格）求和。 注释 sum_range 参数与range参数的大小和形状可以不同。求和的实际单元格通过以下方法确定：使用sum_range参数中左上角的单元格作为起始单元格，然后包括与range参数大小和形状相对应的单元格。例如： 如果区域是并且sum_range 是则需要求和的实际单元格是 A1:A5 B1:B5 B1:B5 A1:A5 B1:B3 B1:B5 A1:B4 C1:D4 C1:D4 A1:B4 C1:C2 C1:D4 可以在criteria参数中使用通配符（包括问号(?) 和星号(*)）。问号匹配任意单个字符； 星号匹配任意一串字符。如果要查找实际的问号或星号，请在该字符前键入波形符(~)。示例 示例1 如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。 如何复制示例？ 1.选择本文中的示例。
数独教案 基本项目 课程名称：感受数独魅力 授课对象：三到六年级学生 课程类型：逻辑思维课，选修课 教学材料：自编纲要 教学时间：一学期，每周1课时，共18课时 具体教学方案 一、指导思想 数学是神奇的世界，肯定有不少学生产生了浓厚的兴趣。为此，训练学生的思维活动是重中之重。数学思维活动在数学教学课堂中探求问题的思考、推理、论证的过程等一系列数学活动都是数学教学中实施思维训练的理论依据之一。因此，开展校本数独课程，一是能更好的促进学生数学思维能力的发展，符合课改的要求；二是填补了我们课改中的弱项。 二、教学目标 1、尊重学生的主体地位和主体人格，培养学生自主性、主动性，引导学生在掌握数学思维成果的过程中学会学习、学会创造。 2、将数学知识寓于游戏之中，教师适当穿针引线，把单调的数
学过程变为艺术性的游戏活动，让学生在游戏中学习在玩中收获。 3、课堂上围绕“趣”字，把数学知识容于活动中，使学生在好奇中，在追求答案的过程中提高自己的观察能力，想象能力，分析能力和逻辑推理能力。力求体现我们的智慧秘诀：“做数学，玩数学，学数学”。 三、教学措施 1、结合教材，精选小学数学的教学内容，以适应社会发展和进一步学习的需要。力求题材内容生活化，形式多样化，解题思路方程化，教学活动实践化。 2、教学内容的选编体现教与学的辨证统一。教学内容呈现以心理学的知识为基础，符合儿童认知性和连续性的统一，使数学知识和技能的掌握与儿童思维发展能力相一致。 3、教学内容形式生动活泼，符合学生年龄特点，赋予启发性，趣味性和全面性，可以扩大学生的学习数学的积极性。 4、每次数学思维训练课都有中心，有讨论有交流有准备。有阶段性总结和反思。 四、教学内容
数独入门：你必须掌握的那 些规则和技巧 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
数独入门：你必须掌握的那些规则和技巧 数独的规则 在空格内填入数字1-9，使得每行、每列和每个宫内数字都不重复。 注意：数独题目满足条件的答案是唯一的。
数独的元素 数独的元素主要包括行、列和宫。这三者划分出数独有三种不同形态的区域，而数独规则就是要求在这些区域内出现的数字都为1~9。 元素坐标图： 行：数独盘面内横向一组九格的区域，用字母表示其位置； 列：数独盘面内纵向一组九格的区域，用数字表示其位置； 宫：数独盘面内3×3格被粗线划分的区域，用中文数字表示其位置。 格的坐标：利用表示行位置的字母和表示列位置的数字定位数独盘面内每个格子的具体位置，如A3格，F8格等。 数独技巧 1. 宫内排除法 排除法就是利用数独中行、列和宫内不能填入相同数字的规则，利用已出现的数字对同行、同列和同宫内其他格进行排斥相同数字的方法。 宫内排除法就是将一个宫作为目标，用某个数字对它进行排除，最终得到这个宫内只有一格出现该数字的方法。技巧示意图：
宫内排除法 如上图所示，A2、B4和F7三格内的1都对三宫进行排除，这时三宫内只有C9格可以填入1，本图例就是对三宫运用的排除法。 2. 行列排除法 行列排除法就是将一行或一列作为目标，用某个数字对它进行排除，最终得到这个行列内只有一格出现该数字的方法。技巧示意图：
行列排除法 如上图所示，D2和B8两格内的6都对F行进行排除，这时F行内只有F5格可以填入6，本图例就是对F行运用的排除法。 3. 区块排除法 区块排除法就是先利用宫内排除法在某个宫内形成一个区块，利用该区块的排除再结合其他已知数共同确定某宫内只有一格出现该数字的方法。技巧示意图： 区块排除法 如上图所示，B4格的7对五宫进行排除，在五宫内形成了一个含数字7的区块。无论该区块中F5格是7还是F6格是7，都可以对F行其他格的7进行排除。再结合H7格的7同时对六宫进行排除，得到六宫内只有D8格可以填7。 4. 宫内数对占位法 数对占位法指的是在某个区域中使得某两数只能出现在某两格内，这时虽然无法判断这两个数字的位置，但可以利用两数的占位排斥掉其他数字出现在这两格，再结合排除法就可以间接填出下个数字。技巧示意图：
[数独高级技巧入门]链的逻辑及AIC 这个帖子主要想阐述链是什么，怎么使用链，以及链的逻辑过程，帮助大家首先了解原理，那么以后关于chain、wing之类的按照这个思路都非常容易理解。首先我想说明下什么是“强”关系，什么是“弱”关系强关系是说A与B两个事件，假如A不成立，则B一定成立。弱关系是说A与B两个事件，假如A成立，则B 一定不成立。举一个简单的例子帮助大家体会： （图中被划短横线的格表示不含候选数1）这是一个数独的宫，根据数独规则一个宫内出现数字1-9各一次，可以做出以下两点推断：1.左上格不是1，则右中格一定是1；2.左上格是1，则右中格一定不是1。第一种推断得到这两格的1是强关系，所以可以说两格之间形成一条强链，强链我们通常以双横线表示（==）；第二种推断得到这两格的1是弱关系，所以可以说两格之间形成一条弱链，弱链我们通常以单横线表示（——）。再举一个例子：（图中被划短横线的格表示不含候选数1）上图可以做出三大点推断：1.左上格是1，则中上格及右中格一定不是1；2.中上格是1，则左上格及右中格一定不是1；3.右中格是1，则左上格及中上格一定不是1。这个例子里，存在着3条弱链，分别是（左上--中上）、（左上--右中）、（中上--右中）。 上面说的是同一数字的强弱关系，当然强弱关系可以不局限于一个数字，下面用例子来说明：（图中被短横线划掉的格说明未知其候选数情况）根据右上格的候选数仅有1与2可以做出以下推断：1.如果该格不能是1，则一定为2；2.如果该格是1，则一定不是2。推断一说明数字1与2之间是强关系，形成强链；推断二说明其为弱关系，形成弱链。（图中被短横线划掉的格说明未知其候选数情况）右上格有3个候选数，我们可以做出以下推断：1.如果这格为1，则不能为2或3；2.如果这格为2，则不能为1或3；3.如果这格为3，则不能为1或2。数字1与2、2与3、1与3之间分别为一条弱链。 像第二张图这样的关系推断，大家可能会不以为意，但是这是理解强弱关系的一个很好的例子，对于后面将要叙述的内容也会有所帮助。 相信通过上面的说明大家已经了解了强弱链是什么，接下来我们将强弱链连接起来。第一种情况：A==B--C==D由A的真假情况可以做出以下BCD关系的枚举。再次请大家注意本文开头所提到的强弱关系本质1.强关系是说A与B 两个事件，假如A不成立，则B一定成立。2.弱关系是说A与B两个事件，假如A成立，则B一定不成立。（图中红色部分表示根据上一个的真假情况必然是这样的推导）可见A与D不全为假，即A与D一定有一个为真。当A 与D有等位群格位的交集时，即可做出相应删减。 （图示技巧名为Skyscraper）根据强弱关系，我们找到了一条符合 A==B--C==D的强弱链组：r3c1(2)==r3c7(2)--r9c7(2)==r9c2(2)。根据上文提到的逻辑关系，可以得到r3c1=2与r9c2=2至少有一个成立，所以可以删去它们等位群格位的交集（即橙色区域）的候选数2。补充说明：发现很多人对于第七列的画法存在疑问，为什么不标双线（强链），因为这里运用的是“是A非B”的弱关系，所以只能是标单线（弱链）的，关于“强强强” 的链接我们在后文提到是无法得到任何结论的。我们可以从强弱关系的逻辑把上述这条链走一遍，共有以下两种情形：1）r3c1=2；2）r3c1<>2->r3c7=2
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1-
s u m i f s函数多条件求和实 例 Prepared on 22 November 2020
sumifs函数多条件求和实例 内容提要：文章首先介绍sumifs函数基本用法，然后以一个综合的实例来剖析sumifs函数的详细深入使用。 第一部分，sumifs函数用法介绍 excel中sumifs函数是2007以后版本新增的多条件求和函数。 sumifs函数的语法是：SUMIFS(求和区域,条件区域1,条件1,[条件区域2,条件2],...) 说明：[]以内的条件区域2、条件2为可选参数。最多允许127个区域/条件对。 第二部分，sumifs函数实例介绍 项目一：客户A的销售额 =SUMIFS(C2:C10,A2:A10,A2) 项目二：客户A的1月份销售额 =SUMIFS(C2:C10,A2:A10,A2,B2:B10,B2) 项目三：客户A的1月份和3月份销售额 =SUM(SUMIFS(C2:C10,A2:A10,A2,B2:B10,{1,3})) 项目四：客户A和C的销售额 =SUM(SUMIFS(C2:C10,A2:A10,{"A","C"})) 项目五：客户A和C的1月份销售额合计 =SUM(SUMIFS(C2:C10,A2:A10,{"A","C"},B2:B10,B2)) 项目六：客户A的1月份和客户C的3月份销售额合计 =SUM(SUMIFS(C2:C10,A2:A10,{"A","C"},B2:B10,{1,3})) 项目七：客户A和客户C的1月份\3月份\4月份销售额合计 =SUM(SUMIFS(C2:C10,A2:A10,{"A","C"},B2:B10,{1;3;4}))
【优质文档】sumif函数的使用方法word版本 本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！ == 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ == sumif函数的使用方法 sumif函数的使用方法 使用SUMIF函数可以对区域（区域:工作表上的两个或多个单元格。区域中的单元格可以相邻或不相邻。）中符合指定条件的值求和。例如，假设在含有数字 的某一列中，需要让大于5的数值相加，请使用以下公式： =SUMIF(B2:B25,">5") 在本例中，应用条件的值即要求和的值。如果需要，可以将条件应用于某个单 元格区域，但却对另一个单元格区域中的对应值求和。例如，使用公式 =SUMIF(B2:B5,"俊元",C2:C5)时，该函数仅对单元格区域C2:C5中与单元格区 域B2:B5中等于“俊元”的单元格对应的单元格中的值求和。 注释若要根据多个条件对若干单元格求和，请参阅SUMIFS函数。语法 SUMIF(range,criteria,[sum_range]) SUMIF函数语法具有以下参数（参数:为操作、事件、方法、属性、函数或过程 提供信息的值。）：range必需。用于条件计算的单元格区域。每个区域中的 单元格都必须是数字或名称、数组或包含数字的引用。空值和文本值将被忽略。criteria必需。用于确定对哪些单元格求和的条件，其形式可以为数字、表达式、单元格引用、文本或函数。例如，条件可以表示为32、">32"、B5、32、"32"、"苹果"或TODAY()。 要点任何文本条件或任何含有逻辑或数学符号的条件都必须使用双引号(")括起来。如果条件为数字，则无需使用双引号。sum_range可眩要求和的实际单元 格（如果要对未在range参数中指定的单元格求和）。如果sum_range参数被 省略，Excel会对在range参数中指定的单元格（即应用条件的单元格）求和。 注释sum_range参数与range参数的大小和形状可以不同。求和的实际单元格 通过以下方法确定：使用sum_range参数中左上角的单元格作为起始单元格， 然后包括与range参数大小和形状相对应的单元格。例如：如果区域是并且 sum_range是则需要求和的实际单元格是 A1:A5B1:B5B1:B5A1:A5B1:B3B1:B5A1:B4C1:D4C1:D4A1:B4C1:C2C1:D4可以在criteria参数中使用通配符（包括问号(?)和星号(*)）。问号匹配任意单个字符；星号匹配任意一串字符。如果要查找实际的问号或星号，请在该字符前键 入波形符(~)。注解使用SUMIF函数匹配超过255个字符的字符串时，将返回不正确的结果#VALUE!。示例示例1
数独技巧3
X翼删减法、剑鱼删减法 X翼删减法：两列只有 两格可以填入6，且这4 剑鱼删减法与X翼删减 法道理相同，由2列拓 剑鱼删减法除了以上标 准型（3-3-3，3列都有 3个候选数），还由一些
X翼删减法实 例： 剑鱼删减法 实例：
Turbot Fish 删减法 1楼 Turbot Fish介绍之前做个简单的铺垫，简单介绍一下强弱链的关系。单链分为强链和弱链。强链：某行、列或宫只存在2个某候选数，这两个数就构成强链，两数非真即假。这里用红线连接表示。 弱链：某行、列或宫存在3个或3格以上某候选数，这些数就构成弱链，其中一个为真则其余为假；其中一个为假则不能判断其余的真假。这里用蓝线连接表示。 根据强链两端数字，一个为真另一个为假的特性可以引申出某些三条连续单链组有排除候选数的情况。 “强-强-强链”和“强-弱-强”链都可以导致“长链”两端数字交叉处格中的该数被删除。
下边给出两种“三连链”的图:（两图中“长链”形状可以互换） 说明： “强-强-强链”由于链两端数非真即假的特性，标成红蓝两组，红为真则蓝为假，反之亦然。“长链”两端也为一红一蓝，肯定有一个是真，所以排除掉共同区域格（橙色格）中的x。 “强-弱-强链”虽然不像“三强”中数字真假那么分明，但注意弱链的两端，弱链一端为真另一端也为假，这两端的数字分别连接强链，所以导致“长链”两端数同样是一真一假。如果弱链两端均为假，则长链两端数都为真。综上：同样排除掉共同区域格（橙色格）中的x。 所以，可以看出“强-强-强链”与“强-弱-强链”在排除两端数字交叉区域数字的效果上是“等价”的。
Excel中sumif和sumifs函数进行条件求和的用法 sumif和sumifs函数是Excel2007版本以后新增的函数，功能十分强大，实用性很强，本文介绍下Excel中通过用sumif和sumifs函数的条件求和应用，并对函数进行解释，希望大家能够掌握使用技巧。 工具/原料 Excel 2007 sumif函数单条件求和 1. 1 以下表为例，求数学成绩大于（包含等于）80分的同学的总分之和 2. 2 在J2单元格输入=SUMIF(C2:C22,">=80",I2:I22)
3. 3 回车后得到结果为2114，我们验证一下看到表中标注的总分之和与结果一致 4. 4 那么该函数什么意思呢？SUMIF(C2:C22,">=80",I2:I22)中的C2:C22表示条件数据列，">=80"表示筛选的条件是大于等于80，那么最后面的I2：I22就是我们要求的总分之和
END sumifs函数多条件求和 1. 1 还是以此表为例，求数学与英语同时大于等于80分的同学的总分之和 2. 2 在J5单元格中输入函数=SUMIFS(I2:I22,C2:C22,">=80",D2:D22,">=80")
3. 3 回车后得到结果1299，经过验证我们看到其余标注的总分之和一致 4. 4 该函数SUMIFS(I2:I22,C2:C22,">=80",D2:D22,">=80")表示的意思是，I2：I22是求和列，C2：C22表示数学列，D2：D22表示英语列，两者后面的">=80"都表示是大于等于80
END 注意 1. 1 sumif和sumifs函数中的数据列和条件列是相反的，这点非常重要，千万不要记错咯
数独的直观式解题技巧 直观法概说 前言 数独这个数字解谜游戏，完全不必要用到算术！会用到的只是推理与逻辑。刚开始接触数独时，即使是只须用到"基础摒除法"及"唯一解法"技巧的简易级谜题，就已可让我们焦头烂额了，但是随着我们深陷数独的迷人世界之后，这类简易级的数独谜题必定在短时间内难再使我们获得征服的满足。于是，当我们逐步深入、进阶到更难的游戏后，我们将会需要发展出更多的解谜技巧。虽然最好的技巧便是我们自己发现的窍门，这样我们很容易就能记住它们，运用自如，不需要别人来耳提面命。但是如果完全不去观摩学习他人发展出来的技巧，而全靠自己摸索，那将是一个非常坚苦的挑战，也不是正确的学习之道！所以让我们一齐来探讨数独的解谜方法吧！ 数独的解谜技巧，刚开始发展时，以直观法为主，对于初入门的玩家来说，这也是一般人较容易理解、接受的方法，对于一般报章杂志及大众化网站上的数独谜题而言，如果能灵活直观法的各项法则，通常已游刃有余。 直观法详说 直观法的特性： 1.不需任何辅助工具就可应用。所以要玩报章杂志上的数独谜题时，只要有一枝 笔就可以开始了，有人会说：可能需要橡皮擦吧答案是：不用！只要你把握数 独游戏的填制原则：绝不猜测。灵活运用本站所介绍的直观填制法，确实可以 不必使用橡皮擦。
2.从接到数独谜题的那一刻起就可以立即开始解题。 3.初学者或没有计算机辅助时的首要解题方法。 4.相对而言，能解出的谜题较简单。 直观法的主要的技巧： 1.基础摒除法。 2.唯一解法。 3.区块摒除法。 4.唯余解法。 5.单元摒除法。 6.矩形摒除法。 7.余数测试法。 基础摒除法 前言 对第一次接触数独游戏，接受了 1 ～ 9 的数字在每一行、每一列、每一个九宫格都只能出现一次的规则后，开始要解题的玩家来说，基础摒除法绝对是他第一个想到及使用的方法，十分的自然、也十分的简易。 如果能够细心、系统化的运用基础摒除法，一般报章杂志或较大众化的数独网站上的数独谜题几乎全部可解出来。只不过大部分的玩家都不知如何系统化的运用基础摒除法罢了！ 基础摒除法虽然简单，但在实际应用时，仍然可分成三个部分：
AutoLisp函数 一、数学运算功能函数 1．l（十数值数值…）返回：累计实数或整数数值 1．2（一数值数值…）返回：差值 1．3（* 数值数值…）返回：所有数值乘积 1．4（/ 数值数值…）返回：第一个数值除以第二个以后数值的商 1．5（l十数值）返回：数值十l l. 6（1—数值）返回：数值一l l．7（abs 数值）返回：数值的绝对值 1．8（atan 数值）返回：反正切值 1．9（cos 角度）返回：角度的余弦值，角度值为弧度 1．10（exp 数值）返回：数值的指数 1．11（expt 底数指数）返回：底数的指数值 1．12（fix 数值）返回：将数值转换为整数值 1．14（gcd 数值1 数值2）返回：两数值的最大公因数 1．15（log 数值）返回：数值的自然对数值 1．16（max 数值数值…）返回：数值中的最大值 1．17（min 数值数值…）返回：数值中的最小值 1．18 pi 常数∏，其值约为3．1415926 1．19（rem 数值 1数值 2）返回：M数值的相除的余数 l．20（sin 角度）返回：角度的正旋值，角度值为弧度 1．21（sqrt 数值）返回：数值的平方根 二、检验与逻辑运算功能函数 2．l（= 表达式1 表达式2）比较表达式1是否等于式2，适用数值及字符串 2．2 （／= 表达式1 表达式2）比较表达式1是否大于等于表达式2 2．3（＜表达式1 表达式2) 比较表达式1是否＜小于表达式2 2．4（＜= 表达式1 表达式2）比较表达式1是否＜一小于等于表达式2 2．5（＞表达式1 表达式2）比较表达式1是否＞大于表达式2 2．6（＞= 表达式1 表达式2）比较表达式1是否大于等于表达式2 2．7 (～数值）返回：数值的位 not值，（1的补码） 2．8 （and 表达式1 表达式2…）返回：逻辑and的结果 2．9（boole 函数整数整数…）返回：位式布尔运算AutoLisp函数2/8 2．10(eq 表达式1 表达式2）比较表达式1与表达式2是否相同，适用列表比较（实际相同） 2．11（equal 表达式 1表达式 2［差量］）比较表达式 1与表达式 2是否相同，差量可省略（内容相同） 三、转换运算功能函数 3．l（angtof 字符串［模式］）返回：角度值的字符串转成实数 3．2（angtos 角度［模式［精度］］）返回：角度转成的字符串值 3．3（atof 字符串）返回：字符串转成实数值 3．4 （atoi 字符串）返回：字符串转成整数值
数独入门教程 数独是一种填数的小游戏，从出现到现在已有几十年的历史了，从最初刊登到报纸和书籍上，现在搬到电脑上，玩起来更加方便了。这篇数独游戏的入门篇，对于初学者有很大帮助。 一、数独（SuDoku）介绍 数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格。在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。 数独的玩法逻辑简单，数字排列方式千变万化，数独是锻炼脑筋的好方法。 历史 如今数独的雏型首先于1970年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为Number Place。现今流行的数独于1984年由日本游戏杂志《パズル通信ニコリ》发表并得了现时的名称。数独本是“独立的数字”的省略，因为每一个方格都填上一个个位数。 数独冲出日本成为英国当下的流行游戏，多得曾任香港高等法院法官的高乐德（Wayne Gould）。2004年，他在日本旅行的时候，发现杂志的这款游戏，便带回伦敦向《泰晤士报》推介并获得接纳。英国《每日邮报》也于三日后开始连载，使数独在英国正式掀起热潮。其他国家和地区受其影响也开始连载数独。 数独术语 要理解如何对一个数独题求解，我们先来介绍一些在本网站中使用的术语。 单元格和值 一个数独谜题通常包含有9x9=81个单元格，每 个单元格仅能填写一个值。对一个未完成的数 独题，有些单元格中已经填入了值，另外的单 元格则为空，等待解题者来完成。 行和列 习惯上，横为行，纵为列，在这里也不例外。 行由横向的9个单元格组成，而列由纵向的9 个单元格组成。很明显，整个谜题由9行和9列组成。为了避免混淆，这里用大写英文字母和数字分别表示行和列。例如，单元格[G6]指的是行G和第6列交界处的单元格，它已填入了值7。
EXCEL中每个函数代表的含义 第2章日期和时间函数25 日期和时间函数基础26 TODAY返回当前日期30 NOW返回当前的日期和时间33 DATB返回特定日期的年、月、日35 DATEVALU返回文本字符串所代表的日期序列号39 Y EAR返回某日期对应的年份42 MONT返回某日期对应的月份44 DAY返回某日期对应当月的天数46 TIME返回某一特定时间的小数值49 TIMEVALU返回文本字符串所代表的时间小数值52 HOU返回时间值的小时数55 MINUTE返回时间值中的分钟58 SECOND回时间值的秒数61 WEEKDA返回某日期为星期几63 WEEKNU返回代表一年中第几周的一个数字66 EDAT返回指定月数之前或之后的日期69 EOMONTH回指定日期之前或之后月份的最后一天的日期71 WORKDAY回某日期之前或之后相隔指定工作日的某一日期的日期值 73
NETWORKDA返回开始日期和结束日期之间完整的工作日数值76 DAYS360按照一年360天计算，返回两日期间相差的天数79 Y EARFRA返回开始日期和结束日期之间的天数占全年天数的百分比81 第3章逻辑函数84 IF根据指定的条件返回不同的结果85 AND判定指定的多个条件是否全部成立87 OR判定指定的任一条件是为真，即返回真90 NOT对其参数的逻辑值求反93 TRUE返回逻辑值TRUE 95 FALSE返回逻辑值FALSE 96 IFERRO捕获和处理公式中的错误97 第4章信息函数99 CELL返回引用单元格信息100 ERROR.T YP返回对应错误类型数值103 INFO返回与当前操作环境有关的信息106 N返回转换为数字后的值109 NA返回错误值110 TYPE返回表示值的数据类型的数字112 ISERR判断# N/A以外的错误值114 ISERRO判断错误值115
1.Sumif函数的基础用法和注意事项 Excel中，单条件求和使用比较广泛，但大部分人习惯用透视表。如果只是求有限的条件，且原始数据比较庞大，这时用透视表，透视过程占用内存，速度缓慢，最后还要筛选，显得繁杂。所以，掌握sumif函数显得很有必要。很多人对这个函数还是比较陌生的，毕竟有三个参数。今天简要介绍下，相信大家看完后，一定会惊呼：原来这么简单啊，是的，就这么简单。
需要注意的是，函数虽然简单，但实际上，容易出现这个现象：用这个公式计算，公式确实没错，但结果和原数据中手工筛选出来的数据核对，结果不一样。主要原因有：一是没搞清楚绝对引用和相对引用，导致下拉公式时，需要固定的数据区域发生了变化；二是原始表格的条件区域表格不规范，如上述城市中，部分城市后面或者前面有空格，这样公式得出的结果肯定不一样，因此可以用trim函数去掉空格，这个在vlookup函数中也会存在类似现象，需要引起大家的注意 2.Sumifs函数的基础用法和注意事项 sumifs函数功能十分强大，可以通过不同范围的条件求规定范围的和，且可以用来进行多条件求和，本文在解释语法以后再展示两个实例，以便大家更好理解sumifs函数。 sumifs函数语法 sumifs(sum_range,criteria_range1,criteria1,[riteria_range2,criteria2]...) sum_range是我们要求和的范围 criteria_range1是条件的范围 criteria1是条件 后面的条件范围和条件可以增加。 详细用法请看实例 下面这张成绩单为例，演示sumifs函数用法， 先求男生的语文成绩之和 在G2单元格输入公式=SUMIFS(C2:C8,B2:B8,"男") 得到结果是228，我们看图中男生成绩得分之和与公式得到的结果一致。 再求语文和数学得分都大于等于90分的学生总分之和 在G4单元格输入公式=SUMIFS(F2:F8,C2:C8,">=90",D2:D8,">=90") 7 看到图中语文和数学都大于等于90分的学生只有一个同学，他的总分就是247分，与公式求得的结果完全一致。 补充知识点：offset函数问题。这个函数相对有点难度。完整的说一共有五个参数。函数速成宝典第88课：Offset函数实现动态查询功能。OFFSET(reference,rows,cols,height,width). OFFSET(起始单元格或区域，向下偏移几行，向右偏移几列，返回几行，返回几列)。在这里，大家要特别注意的是：第2和第3个参数如果都是0，起始点包含本行或本列；如果第2和第3个参数为1，起始点不包含本行或本列，就往下偏移一行；第4和第5个参数如果是1，起始点是包含本行和本列。大家改动下第88课素材文件中的SUM(OFFSET(K11,1,1,4,2))公式中的参数看看，就什么都明白了。 二、column函数和columns函数的问题，两者是有区别的。大家看下第27课：Average与