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F
C D E A B 虹口区2020学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
初三数学 试卷
（满分150分，考试时间100分钟） 2021.1
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．在△ABC 中，∠C =90°，如果BC =3，AC =4，那么tan A 的值是
A ．34；
B ．43；
C ．35；
D ．45．
2．如果向量a →
和b →
是单位向量，那么下列等式中，成立的是 A ．a b →
→=； B ．a b →
→=； C ．2a b →→+=； D ．0a b →
→-=． 3．下列函数中，属于二次函数的是
A ．21
2y x =-； B ．22y x =-； C ．22y x =-； D ．22 (2)y x x --=．
4．将抛物线2
3y x =-向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是
A ．21y x =-；
B ．25y x =-；
C ．2+23y x =
-（）；D ．2
23y x =--（）． 5．如图1，传送带和地面所成斜坡的坡度1:2.4i =，如果它把某物体从地面送到离地面10米
高的地方，那么该物体所经过的路程是 A ．10米； B ．24米； C ．25米； D ．26米．
6．如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 上一点，过D 作DF ⊥AB 交边BC 于点
E ，交AC 的延长线于点
F ，联结AE ．如果1
tan 3EAC ∠=，1CEF S =△，那么ABC S △的值是
A ．3；
B ．6；
C ．9；
D ．12．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．如果:3:2a b =，那么
+a
a b
= ▲ ． 图2 图1 传送带
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8．计算: 1324)2
a a
b →
→
→--（= ▲ ．
9．如果抛物线2y x a =-经过点()2 0，，那么a 的值是 ▲ ． 10．如果抛物线2
(+1)y k x =有最高点，那么k 的取值范围是 ▲ ．
11．如果抛物线l 经过点A (2-，0)和B (5，0)，那么该抛物线的对称轴是直线 ▲ ．
12．沿着x 轴正方向看，抛物线2
2y x =-在y 轴左侧的部分是 ▲ 的（填“上升”或“下降”）．
13．点P 是线段AB 上的一点，如果2AP BP AB =?，那么AP
AB
的值是 ▲ ．
14．已知△ABC ∽△A'B'C'，顶点A 、B 、C 分别与顶点A'、B'、C'对应，AD 、A'D'分别是BC 、
B'C'边上的中线，如果BC =3，AD =2.4，B'C'=2，那么A'D'的长是 ▲ ．
15．如图3，AB //CD ，AD 、BC 相交于点E ，过E 作EF //CD 交BD 于点F ，如果AB =3，CD=6，
那么EF 的长是 ▲ ．
16．如图4，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A =90°，∠BDC =90°，AD =4，BC =9，那么BD = ▲ ． 17．如图5，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt △ABC ，使∠C=90°，∠ABC =30°，再延长
CB 到点D ，使BD =BA ，联结AD ，即可得∠D =15°．如果设AC =t ，则可得(23)CD t =+，那么cot15°= cot D =
=2+3CD
AC ．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是 ▲ ．
18．如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8．D 是BC 的中点，点E 在边AB 上，将 △BDE 沿直线DE 翻折，使得点B 落在同一平面内的点B'处，线段B'D 交边AB 于点F ，联结AB'．当△AB'F 是直角三角形时，BE 的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：2tan 452sin 60cot 302cos45?
-??-?
．
C B
A
图6 B
C
A
图4
D
D
C
F
E
B A 图3
D A 图5 B
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20．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知二次函数的解析式为2
122
y x x =
-． （1）用配方法把该二次函数的解析式化为2
()y a x m k =++的形式； （2）选取适当的数据填入下表，并在图7所示的平面直角 坐标系xOy 内描点，画出该函数的图像．
21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 如图8，在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，
过点G 作GE //BC 交边AC 于点E ．
（1）如果AB a =，AC b =，用a 、b 表示向量BG ； （2）当AG ⊥BD ，BG =6，∠GAD =45° 时，求AE 的长．
22．（本题满分10分）
图9-1是一款家用落地式取暖器．如图9-2是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD 是取暖器的主体，等腰梯形BEFC 是底座，BE =CF ，烘干架连杆GH 可绕边CD 上一点H 旋转，以调节角度．已知CD =50 cm ，BC =8 cm ，EF =20 cm ，DH =12 cm ，GH =15 cm ，∠CFE =30°．当∠GHD =53°时，求点G 到地面的距离.（精确到0.1 cm ）
（参考数据：sin530.80≈，cos530.60≈，tan53 1.33≈，3 1.73≈）
x … …
y … … E A
C B G D
图8
E F D A H C
图9-2
B
G 图9-1
y
x
O 图7
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23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图10，在△ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB =DC ，EG //AB ，AE 、BD 交于点F ，BF=AG ． （1）求证：△BFE ∽△CGE ；
（2）当∠AEG =∠C 时，求证：2AB AG AC =?．
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图11，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)，抛物线
2y ax bx c =++经过A 、B 两点．
（1）当该抛物线经过点C 时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当∠PBC =∠ACB 时，求点P 的坐标；
（3）如果抛物线2
y ax bx c =++的顶点D 位于△BO C 内 ，求a 的取值范围．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图12，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，过点A 作射线AM //BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），联结BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，∠DBE =∠C ．
（1）当AD =1时，求FB 的长；
（2）设AD =x ，FG =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果△DBH 是等腰三角形，请直接写出AD 的长．
F G
E D A B C 图10 x
O A B C 图11 y C F G E D A B 图12 C
A B 备用图 M M
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初三数学试卷评分参考建议
2021.1
说明：
1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；
2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；
3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；
4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．A ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．D ； 6．C ． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．3
5
； 8．22a b →→+； 9． 4；
10．k <1-； 11．3
2
x =； 12．下降；
13
； 14．1.6； 15．2；
16．6； 17
1； 18．2或40
17
．
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式
2- …………………………………………………………（8分）
…………………………………………………………………………（2分） 20．解：（1）2
122y x x =
- 21
(4)2x x =- …………………………………………………………（1分） 21
(444)2x x =-+- ……………………………………………………（1分） 21
(2)22
x =-- ……………………………………………………………（2分）
（2）
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填表正确得4分，画图正确得2分．
21．解：（1）∵点G 是△ABC 的重心，
∴BD 是AC 边上的中线，即12
AD AC =…………………………………（1分）
∴1
1
22
AD AC b =
=， ……………………………………………………（1分） ∴1
2
BD AD AB b a ==--． ……………………………………………（1分）
∵点G 是△ABC 的重心，
∴BG =2GD ，即2
3
BG BD =． ……………………………………………（1分）
∴1(22212
)3333BG BD b a b a ==-=-．……………………………………（1分）
（2）由上可知∵BG =2GD =6， ∴GD =3． ……………………………（1分） 在Rt △AGD 中，sin ∠GAD
=
2
GD
AD =
，
∴AD
= ………………………………………………………………（1分） ∵BD 是AC 边上的中线，
∴DC =AD
=1分） ∵GE //BC ，
∴13
DG DE DB
==， ∴DE ………………………………………………………………（1
分） ∴AE =AD +DE
=
…………………………………………（1分）
22．解：分别延长AB 、DC 交EF 于点M 、N ，则有BM ⊥EF ，CN ⊥EF ．
过点G 作GP ⊥CD 于点P ，则点G 到地面的距离等于PN 的长． ……（1分） 根据题意，可知BC =MN =8 cm ，EM =NF =(208)26-÷=cm ． …………（2分）
在Rt △
CNF 中， tan ∠CFE =
3
CN
NF =
，
∴CN =cm ． ……………………………………………………（2分）
在Rt △GPH 中，cos ∠GHD =0.60PH
GH
≈， ∴PH =9.0 cm ． ………………………………………………………………（2分） ∴PN =
PH +HC +CN =()950-12++≈50.5 cm …………………（2分） 答：点G 到地面的距离约为50.5cm ． ……………………………………（1分）
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（2）∵△BFE ∽△CGE ，
∴∠BEF =∠CEG ． …………………………………………………………（1分）
又∵EG //AB ，
∴∠ABE =∠CEG
． ∴∠ABE =∠BEF ．
∴AB =AE ． ……………………………………………………………（1分） ∴AE AG AC =?．
∴2AB AG AC =?．……………………………………………………………（1分）
24．解：（1）∵2
y ax bx c =++过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)，
∴0=0933.a b c a b c c -+??=++??=?；； 解得：1=23.a b c =-????=?
；
； ……………………………………（3分） ∴2
23y x x =-++．…………………………………………………………（1分） （2）∵∠PBC =∠ACB ，∠OBC =∠OCB =45°，
∴∠PBO =∠ACO ， ……………………………………………………（1分）
∴tan ∠PBO =tan ∠ACO =1
3
．
设点P 的坐标为2
( 23)x x x -++，
，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ． ∵点P 在第三象限，∴2(23)1
tan 33
PQ x x PBO BQ x --++∠===-． …………（1分）
解得x =3（舍）或x =4
3-
． ……………………………………………………（1分） ∴点P 的坐标为413
()39
--，． ……………………………………………………（1分） （3）∵2
y ax bx c =++过A (－1，0)、B (3，0)，
∴0=093.a b c a b c -+??=++?； 解得：=23.b a c a -??=-?
；
∴2
23y ax ax a =--．…………………………………………………………（1分）
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∴抛物线2(1)4y a x a =--的顶点D 坐标是(1，-4a )．………………………（1分） ∴即抛物线的顶点D (1，-4a )在对称轴直线x =1上
设直线x =1交边CB 、OB 于点M 、N ，可得M (1，2)、N (1，0) ．
又∵顶点D 位于△BO C 内 ，即顶点D 在线段MN 上（除点M 、N 外）
∴042a <-<，即1
20a -<<． ……………………………………………（2分）
∴a 的取值范围是1
2
0a -<<
25．解：（1）∵AD //BC ，
∴AD DF BC FB
=． ……………………………………………………………（1分）
∴ ……………………………………………………………（1分） （2）∵∠ABC =90°，AB =3，BC =4，∴AC=5． ∵∠BAD =90°
，AB =3，AD x =，∴． ∵AD //BC ，∴4
FA FD AD x FC
FB
BC
=
=
=
．
∴可得 204
FC x =
+
，4FB x =+． ……………………………（2分）
∵∠DBE =∠C ，∠BFG =∠CFB ，
∴△FBG ∽△FCB ．………………………………………………………（1分） ∴2
FB FG FC =?． ∴220(
4
4
y x x =?
++．
即2436520
x y x +=+（04x <<）．………………………………………… （3分）
（3）AD 的长为7
8
或32或94．………………………………………… （4分）