《理论力学》重庆大学出版社第四版 第三章

FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
FAy
l
l
FAy F FC sin 45 F 10 kN
A FAx
45 C
FC
B
若将力FAx和FAy合成，得
F
FRA FA2x FA2y 22.36 kN 25
静力学
例题3-5
第三章 平面任意力系
外 伸 梁 的 尺 寸 及 载 荷 如 图 所 示 ， F1=2 kN ， F2=1.5 kN，M =1.2 kN·m，l1=1.5 m，l2=2.5 m，试 求铰支座A及支座B的约束力。
F4
FRy Fy
C 30° x F1 F2 sin 60 F4 sin 30
0.768 kN
2m
所以，主矢的大小
FR FRx2 FRy2 0.794 kN
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静力学
第三章 平面任意力系
例题3-1
主矢的方向：
y
cosFR
,i
FRx FR
0.614,
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
q A
dx x
h l
q
q x q
l
B x 因此分布载荷的合力大小
F l qdx 1ql
0
2
17
静力学
例题3-2
F
q
A dx
x h l
第三章 平面任意力系
设合力F 的作用线距A端的 距离为h，根据合力矩定理，有
q Bx
l
Fh 0 qxdx
明力系是对于哪一点的主矩。
结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化。 可得一个作用线通过简化中心的与主矢相等的力和 一个相对于简化中心的主矩。该主矩等于原力系对 简化中心的矩。它们的解析表达式为
7
静力学
第三章 平面任意力系
FR FRx FRy Fxi Fy j
大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2
例题3-4
支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，
并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图所示。已
知杆AC=CB；杆DC与水平线成45o角；载荷F=10
kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰
链A的约束力和杆DC所受的力。
F
A
B
C
D
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静力学
例题3-4
解：
A C
第三章 平面任意力系
取AB 杆为研究对象，受力分析如图。
2 355 670.1x 232.9 y
或
670.1x 232.9 y 2 355 0
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静力学
第三章 平面任意力系
§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1. 平面任意力系平衡的平衡条件和平衡方程
对于平面任意力系平衡的情形，显然有
FR 0, MO 0
于是，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢 和对于任一点的主矩都等于零。
则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即 FR = FRˊ
但合力作用线不通过简化中心O，而到点O的距离d为
d MO FR12Fra bibliotek静力学
第三章 平面任意力系
至于作用线在点O 哪一侧，需根据主矢方向和主矩转 向确定。如下图所示
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力 系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点 的矩的代数和。即
n
M O M O (Fi ) i 1
此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即
n
M M O M O (Fi )
i 1
11
静力学
第三章 平面任意力系
⑵ 简化为一个合力 当 FRˊ≠ 0， MO = 0
则原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心O，即
FR = FRˊ 当 FRˊ≠ 0，MO≠ 0
将q' 和 F 的值代入上式，得
h 2l 3
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静力学
第三章 平面任意力系
例题3-3 重 力 坝 受 力 情 况 如 图 所 示 。 设 P1=450kN ， P2=200kN ， F1=300 kN，F2=70 kN。求力系的合力FR的大小和方向余弦,合 力与基线OA的交点到O点的距离x，以及合力作用线方程。
M
F
q
45
B
A
l
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静力学
第三章 平面任意力系
例题3-6
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
A
y
FAx
A
MA FAy
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物 体既不能移动也不能转动。其力学模型如下图所示。
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静力学
第三章 平面任意力系
约束给约束物体的约束力实际上是一个分布力，在平面 问题中，它是一个平面任意力系，如图（a）所示。
无论它们是如何分布，根据 力系简化理论，可将它们向 A点简化得一力FA及一力MA， 如图（b）所示，也可表示 成两个分力FAx，FAy的形式， 如图（c），共有三个未知 数。
成结果是一个合力FR。如右图所示。
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
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静力学
第三章 平面任意力系
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
最后合成结果。
y
F2
A 60°
B
F3
2m
F1
O
3m
F4 C 30° x
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静力学
第三章 平面任意力系
例题3-1 解： 求向O点简化结果
y
F2
A 60°
F1
O
3m
1.求主矢 FR 。建立如图坐标系Oxy。
FRx Fx
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598 kN
1
静力学
第三章 平面任意力系
第三章 平面任意力系
若所有力的作用线都在同一平面 内，且它们既不相交于一点，又不平 行，此力系称为平面任意力系，简称 平面力系。本章将研究该力系的简化 与平衡问题，这是静力学的重点之一。 本章还介绍平面简单桁架的内力计算。
2
静力学
第三章 平面任意力系
§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
静力学
第三章 平面任意力系
2．平面任意力系向作用面内一点简化 • 主矢与主矩
设刚体上有一平面任意力系F1，F2，…，Fn，如图（a）。应 用力线平移定理，得一作用在点O的汇交力系F1′，F2′，…， Fn′以及相应的附加平面力偶系M1，M2，…，Mn，如图（b）。再 将平面汇交力系进一步合成过点O的一个力FRˊ，如图（c）,即
MO (FR ) MO (Fi )
⑶ 平衡
当 FRˊ= 0，MO = 0
则原力系平衡。
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静力学
第三章 平面任意力系
例题3-1 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个
力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以 上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的
n
n
FR Fi Fi
i 1
i 1
(c) 6
静力学
第三章 平面任意力系
平面力偶系进一步合成为对点O的一个力偶MO，即
n
n
MO Mi MO (Fi )
i1
i1
FRˊ是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的 主矢。MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的主矩。主 矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指
解： 将力系向O点简化，得主矢和主矩，如右图所示。
y 3m C
ACB arctan AB 16.7
CB
C
9m 1.5m
F1 3m
P1 3.9m
90
F2
B P2 A x
O 5.7
m
O MOFRx
A
FRy
FR
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静力学
第三章 平面任意力系
例题3-3 主矢的投影
FRx Fx F1 F2 cos 232.9 kN
方向余弦
cos(FR , i)
Fx , FR
cos(FR , j)
Fy FR
n
n
主矩 M O M O (Fi ) (xi Fyi yi Fxi )
i 1
i 1
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静力学
第三章 平面任意力系
3．固定端约束及其约束力 在工程实际中，有一种约束称为固定端（或插入端）
A x
因为力系对O点的主矩为
FRy
FR
MO MO F
3F1 1.5P1 3.9P2 2 355 kN m
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静力学
第三章 平面任意力系
例题3-3 所以由合力矩定理得
y
MO MO FR MO FRx MO FRy
其中 MO FRx 0
故
MO MO FRy FRy x
解得 x MO 3.514m
O
FRy
设合力作用线上任一点的坐标为（x，y)，
将合力作用线过此点，则
C
FRx A
70.84
x
x
FRy
FR
MO MO FR xFRy yFRx x Fx y Fy
可得合力作用线方程
解方程。FAx 0.75 kN, FBy 3.56 kN, FAy 0.261 kN
F1 ll
M
A
l2
B
l1
F2
y
F 60 Ax A
FAy
F1 M
B FBy
F2
60
x
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静力学
例题3-6
第三章 平面任意力系
如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度 为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶 M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
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静力学
第三章 平面任意力系
4.平面任意力系的简化结果分析
简化结果可有四种情况：（1）FRˊ= 0，MO≠ 0； （2）FRˊ≠ 0， MO= 0；（3）FRˊ≠ 0， MO≠ 0；（4） FRˊ=0，MO=0。对以上进一步分析有以下三种情形。
（1）简化为一个力偶
当 FR= 0，MO≠ 0 则原力系合成为合力偶，其矩为
要研究一个力系的平衡，首先要研究它的简化。 力系简化的理论基础是力线平移定理。
1．力线平移定理
作用在刚体上点A的力F 可以平行移动（简称 平移）到任一点O上，但必须同时附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原来力F 对新作用点B的矩。
3
静力学
第三章 平面任意力系
请看动画
4
静力学
第三章 平面任意力系
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FRy Fy P1 P2 F2 sin 670.1 kN
所以力系合力FR的大小
y 3m
FR FR C
(Fx )2 (Fy )2 709.4 kN
y C
9m 1.5m
F1 3m
P1 3.9m
90
F2
B P2 A x
O 5.7
m
O MOFRx
它的解析式为
Fxi 0,
Fyi 0,
MO Fi 0
于是，平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任
选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意
一点的矩的代数和也等于零。上式称为平面任意力系的平衡
方程。有三个独立方程，可以求解三个未知数。
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静力学
第三章 平面任意力系
F1
ll
F2
M
60
A
B
l2
l1
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静力学
第三章 平面任意力系
例题3-5
解： 取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程
Fx 0,
FAx F2 cos 60 0
Fy 0, FAy FBy F1 F2 sin 60 0
M A(F) 0, FByl2 M F1l1 F2 (l1 l2 )sin 60 0
A x
20
FRy
FR
静力学
第三章 平面任意力系
例题3-3
则有
方向余弦
cosFR , i
Fx 0.328 FR
cosFR , j
Fy 0.945 FR
FR , i 70.84 FR , j 160.84
y C
O MOFRx
F
Fx 0, FAx FC cos 45 0
B
Fy 0, FAy FC sin 45 F 0
M AF 0, FC cos 45 l F 2l 0
解平衡方程可得
D
FC 2F cos 45 28.28 kN
FAx FC cos 45 2F 20 kN