3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课时演练·促提升
A组
1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.
答案:C
2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()
A.0
B.2i
C.6
D.6-2i
解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.
答案:D
3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()
A.-1-5i
B.-1+5i
C.3-4i
D.3+3i
解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)
=a+4-(1+b)i=6+i,
∴a=2,b=-2,
∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.
答案:D
4.若复平面上的?ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()
A.-1-7i
B.2+14i
C.1+7i
D.2-14i
解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.
答案:A
5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.
答案:B
6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.
解析:原式=-1+2i+(i-1)-
=-2+3i-
=-(2+)+3i.
答案:-(2+)+3i
7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.
解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,
所以解得a=-1.
答案:-1
8.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.
解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]
=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i
=(5x-3y)+(x+4y)i,
又z1-z2=13-2i,
∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.
∴
解得
∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i
=-8-7i.
9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求对应的复数;
(2)判断△ABC的形状;
(3)求△ABC的面积.
解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,
对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,
对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.
(2)∵||=,||=,||==2,
∴||2+||2=||2,
∴△ABC为直角三角形.
(3)S△ABC=×2=2.
B组
1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()
A.2
B.4
C.4
D.16
解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,
∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,
化简得x+2y=3.
∴2x+4y≥2=2=2=4,
当且仅当x=2y=时,等号成立.
答案:C
2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.
答案:A
3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.
解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).
由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.
∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.
∴b=1±2.
答案:(1±2)i
4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.
解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,
∴(x-2)2+y2=3.
由图可知.
答案:
5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.
(1)求复数z;
(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.
解:(1)∵点A,B对应的复数分别是
z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,
∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),
∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ).
∴对应的复数z=-1+(-2si n2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,
得-2sin2θ=-,即sin2θ=,
∴sin θ=±.
又θ∈(0,π),
∴sin θ=,
∴θ=.
6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.
解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.
7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=?,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,
|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,
|z-z2|≤2,
即|z-(a-i)|≤2,
由复数减法及模的几何意义知,集合A是以(1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=?,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.