P184 第八章
3. 一简谐波，振动周期2
1
=
T s ，波长 = 10 m ，振幅A = 0.1 m ．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求：
(1) 此波的表达式； (2) t 1 = T /4时刻，x 1 = /4处质点的位移；
(3) t 2 = T /2时刻，x 1 = /4处质点的振动速度．
解：(1) )1024cos(1.0x t y π-
π=)20
1(4cos 1.0x t -π= (SI) (2) t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = /4 = (10 /4) m 处质点的位移
)80/4/(4cos 1.01λ-π=T y
m 1.0)8
18/1(4cos 1.0=-π= (3) 振速 )20/(4sin 4.0x t t
y
-ππ-=??=v ． )4/1(2
1
2==
T t s ，在 x 1 = /4 = (10 /4) m 处质点的振速 26.1)2
1
sin(4.02-=π-ππ-=v m/s
4. 在弹性媒质中有一沿x 轴正向传播的平面波，其表达式为
)2
1
4cos(01.0π-π-=x t y (SI)．若在x = 5.00 m 处有一媒质分界面，且在分界面处反射
波相位突变，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式．
解：反射波在x 点引起的振动相位为
π+π--+π-=+21
)55(4x t t φω
π-π+π+=102
1
4x t
反射波表达式为
)102
1
4cos(01.0π-π+π+=x t y (SI) 或 )2
1
4cos(01.0π+π+=x t y (SI)
5. 已知一平面简谐波的表达式为 )24(cos x t A y +π= (SI)． (1) 求该波的波长 ，频率和波速u 的值；
(2) 写出t = 4.2 s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；
(3) 求t = 4.2 s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t ． 解：这是一个向x 轴负方向传播的波．
(1) 由波数 k = 2 / 得波长 = 2 / k = 1 m 由 = 2 得频率 = / 2 = 2 Hz
波速 u = = 2 m/s
5 x (m)
O
x
(2) 波峰的位置，即y = A 的位置． 由 1)24(cos =+πx t
有 π=+πk x t 2)24( ( k = 0，±1，±2，…)
解上式，有 t k x 2-=．
当 t = 4.2 s 时， )4.8(-=k x m ．
所谓离坐标原点最近，即| x |最小的波峰．在上式中取k = 8，可得 x = -0.4 的波峰离坐标原点最近． (3) 设该波峰由原点传播到x = -0.4 m 处所需的时间为t ， 则 t = | x | /u = | x | / ( ) = 0.2 s
∴ 该波峰经过原点的时刻 t = 4 s
6. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s ．在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度．
解：设x = 0处质点振动的表达式为 )cos(0φω+=t A y ， 已知 t = 0 时，y 0 = 0，且 v 0 > 0 ∴π-
=2
1
φ ∴ )2cos(0φν+π=t A y )2
1100cos(1022
π-π?=-t (SI)
由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为
)/22cos(0u x t A y νφνπ-+π=)2
1
21100cos(1022
x t π-π-
π?=- (SI)
x = 4 m 处的质点在t 时刻的位移
)2
1
100cos(10
22
π-π?=-t y (SI)
该质点在t = 2 s 时的振动速度为 )2
1200sin(1001022
π-π??-=-πv
= 6.28 m/s
7. 沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时刻的
波形曲线如图所示，设波速u = 0.5 m/s ． 求：原点O 的
振动方程．
解：由图， = 2 m ， 又 ∵u = 0.5 m/s ，∴ = 1 /4 Hz ， 3分
T = 4 s ．题图中t = 2 s =T 2
1
．t = 0时，波形比题图中的波形倒退
λ2
1
，见图． 此时O 点位移y 0 = 0（过平衡位置）且朝y 轴负方向运
动，
∴ π=2
1
φ
x (m)y (m)
O u 0.512t = 2 s
x (m)
y (m)0
u 0.51
2
t = 0-1
∴ )2
1
21cos(5.0π+π=t y (SI)
8. 如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简
谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求
(1) 该波的表达式； (2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式． 解：(1) 由P 点的运动方向，可判定该波向左传播． 原点O 处质点，t = 0 时
φcos 2/2A A =, 0sin 0<-=φωA v
所以 4/π=φ
O 处振动方程为 )4
1
500cos(0π+π=t A y (SI)
由图可判定波长 = 200 m ，故波动表达式为
]4
1
)200250(2cos[π++
π=x t A y (SI) (2) 距O 点100 m 处质点的振动方程是
)4
5
500cos(1π+
π=t A y 振动速度表达式是 )4
5
500cos(500π+ππ-=t A v (SI)
9. 如图所示，S 1，S 2为两平面简谐波相干波源．S 2的相位比S 1的相位超前/4 ，波长 = 8.00 m ，r 1 = 12.0 m ，r 2 = 14.0 m ，S 1在P 点引起的振动振幅为0.30 m ，S 2在P 点引起的振动振幅为0.20 m ，求P 点的合振幅．
解：=-π
--=?)(21212r r λ
φφφ422412/r r π-=π+π-
πλλ 464.0)
cos 2(2
/1212221=++=?φA A A A A m
10. 图中A 、B 是两个相干的点波源，它们的振动相位差为（反相）．A 、B 相距 30 cm ，观察点P 和B 点相距 40 cm ，且AB PB ⊥．若
发自A 、B 的两波在P 点处最大限度地互相削弱，求波长最长能是多少．
解：在P 最大限度地减弱，即二振动反相．现二波源是反相的相干波源，故要
求因传播路径不同而引起的相位差等于 2k （k = 1，2，…）．
由图 =AP 50 cm ． ∴ 2 (50－40) / = 2k ，
∴ = 10/k cm ，当k = 1时，max = 10 cm
x (m)
100-A
P O 2
/2A y (m)
P S 1
S r 1
r
2
B
P 30 cm
40 cm
11. 如图所示，一平面简谐波沿Ox 轴正向传播，波速大小为u ，若P 处质点的振动方程为 )cos(φω+=t A y P ，求
(1) O 处质点的振动方程； (2) 该波的波动表达式；
(3) 与P 处质点振动状态相同的那些质点的位置． 解：(1) O 处质点振动方程 ])(cos[0φω++
=u
L
t A y (2) 波动表达式 ])(cos[φω+--=u
L
x t A y
(3) ω
u
k L x L x π±=±=2 (k = 0，1，2，3，…)
12.如图为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，已知波速u = 20 m/s ．试画出P 处质点与Q 处质点的振动曲线，然后写出相应的振动方程．
解：(1)波的周期T = / u =( 40/20) s= 2 s ． P 处Q 处质点振动周期与波的周期相等，故P 处质点的
振动曲线如图(a) 振动方程为：
)21cos(20.0π-π=t y P (SI) 2分
(2) Q 处质点的振动曲线如图(b)，振动 2分 方程为 )cos(20.0π+π=t y Q (SI) 或 )cos(20.0π-π=t y Q (SI)
13.两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为：
)244(31
cos 1000.421t x y -π?=- (SI)
)244(3
1
cos 1000.422t x y +π?=- (SI)
求： (1) 两波的频率、波长、波速； (2) 两波叠加后的节点位置； (3) 叠加后振幅最大的那些点的位置．
解：(1) 与波动的标准表达式 )/(2cos λνx t A y -π= 对比可得：
= 4 Hz ， = 1.50 m ， 波速 u = = 6.00 m/s (2) 节点位置 )2
1
(3/4π+
π±=πn x )2
1(3+±=n x m , n = 0，1，2，3, …
(3) 波腹位置 π±=πn x 3/4
4/3n x ±= m , n = 0，1，2，3, …
x
O
P
L u
x (m)O 0.20
u
Q
y (m)
P 2040
t (s)
10.200(a)y (m)
2t (s)
0.5
-0.20
0(b)y (m)
1.5
14. 一列横波在绳索上传播，其表达式为 )]4
05.0(
2cos[05.01x
t y -π= (SI) (1) 现有另一列横波（振幅也是0.05 m ）与上述已知横波在绳索上形成驻波．设这一横波在x = 0处与已知横波同位相，写出该波的表达式．
(2) 写出绳索上的驻波表达式；求出各波节的位置坐标；并写出离原点最近的四个波节的坐标数值.
解：(1) 由形成驻波的条件．可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为x
轴的负方向．又知 x = 0处待求波与已知波同相位，∴待求波的表达式为
)]4
05.0(2cos[05.02x
t y +π= (2) 驻波表达式 21y y y +=
∴ )40cos()2
1cos(10.0t x y ππ= (SI) 波节位置由下式求出． )12(2
1
2/+π=
πk x k = 0，±1，±2，… ∴ x = 2k + 1 k = 0，±1，±2，… 离原点最近的四个波节的坐标是
x = 1 m 、-1 m 、3 m 、-3 m.
P208 第九章
3. 在双缝干涉实验中，波长＝550 nm 的单色平行光垂直入射到缝间距a ＝2×10-4 m 的双缝上，屏到双缝的距离D ＝2 m ．求：
(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；
(2) 用一厚度为e ＝6.6×10-5 m 、折射率为n ＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？(1 nm = 10-9 m)
解：(1) x ＝20 D / a
＝0.11 m (2) 覆盖云玻璃后，零级明纹应满足
(n －1)e ＋r 1＝r 2
设不盖玻璃片时，此点为第k 级明纹，则应有
r 2－r 1＝k 所以 (n －1)e = k k ＝(n －1) e / ＝6.96≈7
零级明纹移到原第7级明纹处
4. 在双缝干涉实验中，用波长＝546.1nm (1 nm=10-9 m)的单色光照射，双缝与屏的距离D ＝300 mm ．测得中央明条纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2 mm ，求双缝间的距离．
解：由题给数据可得相邻明条纹之间的距离为
?x ＝12.2 / (2×5)mm ＝1.22 mm 由公式 ?x ＝D / d ，得d ＝D / ?x ＝0.134 mm
5. 在图示的双缝干涉实验中，若用薄玻璃片(折射率n 1＝1.4)
覆盖缝S 1，用同样厚度的玻璃片(但折射率n 2＝1.7)覆盖缝S 2，将
使原来未放玻璃时屏上的中央明条纹处O 变为第五级明纹．设单
色光波长＝480 nm(1nm=10-9m)，求玻璃片的厚度d (可认为光线
垂直穿过玻璃片)．
解：原来， = r 2－r 1= 0
覆盖玻璃后， ＝( r 2 + n 2d – d )－(r 1 + n 1d －d )＝5 ∴ (n 2－n 1)d ＝5
1
25n n d -=
λ
= 8.0×10-6 m
6. 在双缝干涉实验中，单色光源S 0到两缝S 1和S 2的距离分
别为l 1和l 2，并且l 1－l 2＝3，为入射光的波长，双缝之间的距离为d ，双缝到屏幕的距离为D (D >>d )，如图．求： (1) 零级明纹到屏幕中央O 点的距离． (2) 相邻明条纹间的距离．
S 1 S 2 n 2 n 1 r 1 r 2 d
屏 d
S 2 S 1 l 1 S 0 l 2
D
解：(1) 如图，设P 0为零级明纹中心
则 D O P d r r /012≈-
(l 2 +r 2) (l 1 +r 1) = 0
∴ r 2 – r 1 = l 1 – l 2 = 3 ∴
()d D d r r D O P /3/120λ=-=
(2) 在屏上距O 点为x 处, 光程差
λδ3)/(-≈D dx
明纹条件
λδk ±= (k ＝1，2，....) ()d D k x k /3λλ+±=
在此处令k ＝0，即为(1)的结果．相邻明条纹间距
d D x x x k k /1λ=-=+?
7. 用波长为1的单色光垂直照射牛顿环装置时，测得中央暗斑外第1和第4暗环半径之差为l 1，而用未知单色光垂直照射时，测得第1和第4暗环半径之差为l 2，求未知单色光的波长2．
解：由牛顿环暗环半径公式 λkR r k =，
根据题意可得 11114λλλR R R l =-=
22224λλλR R R l =-=
2
12
212//l l =λλ
2
112
22/l l λλ=
8. 折射率为1.60的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈形膜(劈尖角很小)．用波长＝600 nm (1 nm =10-9 m)的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．假如在劈形膜内充满n =1.40的液体时的相邻明纹间距比劈形膜内是空气时的间距缩小l ＝0.5 mm ，那么劈尖角
应是多少？
解：空气劈形膜时，间距 θλθλ
2sin 21≈
=
n l
液体劈形膜时，间距 θ
λ
θλn l 2sin 22≈
= ()()θλ2//1121n l l l -=-=?
∴ = ( 1 – 1 / n ) / ( 2l )＝1.7×10-4 rad
9. 用波长＝500 nm (1 nm ＝10-9 m)的单色光垂直照射在由两块玻璃板(一端刚好接触成为劈棱)构成的空气劈形膜上．劈尖角＝2×10-4 rad ．如果劈形膜内充满折射率为n ＝1.40的液体．求从劈棱数起第五个明条纹在充入液体前后移动的距离．
解：设第五个明纹处膜厚为e ，则有2ne ＋ / 2＝5 设该处至劈棱的距离为l ，则有近似关系e ＝l ，
由上两式得 2nl ＝9 / 2，l ＝9 / 4n 充入液体前第五个明纹位置 l 1＝9 4
充入液体后第五个明纹位置 l 2＝9 4n 充入液体前后第五个明纹移动的距离 l ＝l 1 – l 2＝9n 4
＝1.61 mm
O
P 0 r 1 r 2
D
l 2
s 1 s 2
d l 1 0
x