六、关于方程根的个数和根的唯一性的讨论
解题思路：将方程变形为一边为零，即0=)(x f 的形式；
1、讨论要的存在性通常有二条途径：
（1）若存在b a ,，使0<)()(b f a f ，利用零点定理；
（2）构造函数)(x F ，使)()(x f x F ='，且存在b a ,，使)()(b F a F =，利用罗尔中值定理。（这一部分可结合本章四）
2、讨论根的个数通常由0=')(x f 或不存在的点将区间分成若干个单调区间，若区间左右两端的函数值异号，则区间内必有一根，从而找到根的个数；（有时需借且于草图）；
3、讨论根的唯一性通常利用函数的单调性，若区间两端函数异号，且函数在区间内连续且单调，则该区间内有且仅有一根。 题型二十、根的存在性的讨论
例100、设)(x f 是),(∞+-∞上以2T 为周期的连续函数，证明：在每一个长度为T 的闭区间上，方程0=--)()(T x f x f 至少有一实根； 证明：设],[T x x +00是任意长度为T 的闭区间，令)()()(T x f x f x F --=，则)()()()()(,)()()(00000000x f T x f x f T x f T x F T x f x f x F --=-+=+--=，
（1）若000=+-)()(T x f x f ，则T x x +00,均为方程在],[T x x +00的实根；
（2）若000=/+-)()(T x f x f ，
则()()020000<+--=+)()()(T x f x f T x F x F ，于是由零点定理，必存在),(T x x x +∈00，使0=)(x F ，得证。
例101、设n a a a ,,, 21为满足01
213121=--++-
-n a a a n n )( 的实数，证明：方程012321=-+++x n a x a x a n )cos(cos cos 在),(2
0π内有根； 证明：令x n a x a x a x f n )cos(cos cos )(12321-+++= ，)(x f 在区间],[2
0π的两端点处的符号不易确定，改令)()(x f x F ='，则
x n n a x a x a x F n )s i n (s i n s i n )(12123321--+++= 在区间],[20π上连续，在),(2
0π内可导，且01213200121=--++-=π=-n a a a F F n n )()(,)( ，故)(x F 在区间
],[2
0π满足罗尔中值定理的条件，由罗尔中值定理得证。 例102、设)(,)(x Q x P 在),(b a 内可导，),(,b a x x ∈21且021==)()(x P x P ，证明存在),(21x x ∈ξ，使0=ξ'ξ+ξ')()()(Q P P ；
分析：令)()()()(x Q x P x P x f '+'=显然无法判断)(,)(21x f x f 的符号，若令)()(x f x F ='，由于)(x f 不是一个全微分式，不容易求出)(x F ，变形方程为C x Q x P x Q x P x P =+?='+')()(ln )()
()(0或C e x P x Q =)()(，故可令)()()(x Q e x P x F =，则021==)()(x F x F ，利用罗尔中值定理。
题型二十一、方程仅有一根的证明
解题程序：（1）利用零点定理或罗尔定理证明方程至少有一根；
（2）利用函数的单调性，证明方程最多有一实根（或用反证法，由中值定理导出矛盾）。
例103、设在),[+∞0上函数)(x f 有连续导数，且000<>≥')(,)(f k x f ，证明：)(x f 在),(+∞0内有且仅有一根；
证明：在),[+∞0上，由000<>≥')(,)(f k x f ，得??≥'x
x kdx dx x f 00)(，即)()(0f kx x f +≥，取001>->k f x )(，有0001=+->)())(()(f k
f k x f ，因0001<>)(,)(f x f ，故存在),(100x x ∈，使00=)(x f ，又由于0>≥'k x f )(，故)(x f 在),[+∞0严格单调增加，所以)(x f 在),(+∞0内有且仅有一根。
例104、设函数)(x f 在],[10上可导，且110-≠'<<)(,)(x f x f ，证明：x x f -=1)(在（0，1）内有唯一的实根；
证明：先证存在性，令1-+=x x f x F )()(，则)(x F 在],[10上连续，且0110100>=<-=)()(,)()(f F f F ，由零点定理存在),(10∈ξ，使0=ξ)(F ，即ξ为方程x x f -=1)(在（0，1）内的实根；
再证唯一性：若存在),(1021∈ 例105、设在区间],[b a 上)(x f 0≥，且)(x f ''0≥，又在],[b a 的任意子区间],[],[b a b a ?11，0≡/')(x f ， 证明方程0=)(x f 在],[b a 上至多有一个根； 证明：（反证法）假设方程0=)(x f 在],[b a 上有两个不同的实根21x x <，显然)(x f 在],[21x x 上连续，)(x f 0≥，由闭区间上连续函数的性质，存 在),(21x x ∈η，使02 1=η'=η)(,)(max )(],[f x f f x x ，将)(x f 在η=x 点展开成一阶泰勒公式，22 )()())(()()(η-ξ''+η-η'+η=x f x f f x f ，ξ介于η,x 之间，由于)(x f ''0≥，0=η')(f ，知对任意],[21x x x ∈，)()(η≥f x f ； 若对任意],[21x x x ∈，)()(η≡f x f 0≡'?)(x f 与题设条件矛盾；若存在一点],[210x x x ∈，使得)()(η>f x f 0，则与η是)(x f 在],[21x x 上的最大值点矛盾，故方程0=)(x f 在],[b a 上至多有一个根。 例106、设当0>x 时，方程112=+ x kx 有且仅有一个解，求k 的取值范围； 解：设06211432>=''-='-+=x x f x k x f x kx x f )(,)(,)( （1）当00<'≤)(,x f k ，故)(x f 在),[+∞0严格单调减少，又+∞=+→)(lim x f x 0，当0 （2）当0>k 时，令0=')(x f 得唯一驻点32k x =，又由于0>'')(x f 知有极小值点且函数)(x f y =的图象在),(+∞0内是凹的，所以当极小值023=???? ??k f 即01212323=-?? ? ??+k k k 时原方程有且仅有一个解，由上式得392=k ，而当39 2≠k 时，方程无解或有两个解； 综上所述，当39 2=k 或0≤k 时原方程在),(+∞0有且仅有一个解。 例107、设x x x x F m m cos cos cos )(+++= 2，求证（1）任给自然数m ，方程1=)(x F m 在),[30π 之间有且仅有一个根；（2）设),[3 0π∈m x 是方程1=)(x F m 的根，则3π=∞ →m m x lim ； 证明：（1）当1=m 时，01=x 有100111===cos )()(F x F ，当1>m 时，12112121213102<-=?? ? ??++??? ??+=π>=m m m m F m F )(,)(，由连续函数的介值定理知存在),[3 0π∈m x ，使1=)(m m x F ，存在性得证； 下证唯一性，由于0211<+++-='-)cos cos (sin )(x m x x x F m m ，),[30π∈x ，即)(x F m 在),[30π上严格单调减少，因此1=)(x F m 在),[30π之间有且仅有一个根； （2）先证明序列}{m x 单调递增，由于)()(x F x F m m >+1，有 )()()(m m m m m m x F x F x F 1111+++<==及)(x F m 1+在),[3 0π上严格单调减少，即得1+ π 00211→<<++x x m m m cos cos ，知01=+∞ →m m m x c o s lim ，在12=+++=m m m m m m x x x x F c o s c o s c o s )( 两边同乘m x cos -1得 m m m m m m x x x x F cos cos cos )(--==+111，令∞→m ，有a a cos cos -=11，解之得3π=a ，故有3π=∞→m m x lim 。 一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 9 元二次方程ax + bx + C = 0根的分布情况 设方程ax 2 +bx +c =O （a H O ）的不等两根为X |, X 2且X 1 < X 2，相应的二次函数为 f （x ）=ax 2 +bx + c = 0，方程的 根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于 0 (X j <0, X 2 <0 ) 两个正根即两根都大于 0 (为 >0,X 2 A O ) 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0(X i V Oc X 2 ) 大致图象（> a 得出的结论 A >0 f (0 )>0 A >0 存0 f (0 )>0 f (0)v 0 O 大致图象（V a 得出的结论 △ >0 A >0 舌。 l f (0)<0 占。 ”（0）<0 f (0)A 0 综合结论（不讨论 a o < b a 计(0)< 0 表二：（两根与k 的大小比 较） 分布情况 两根都小于k 即 ( >0 ) yJ \ / / ■ k K a 得 出的结论 o > A - 两根都大于k 即 X i A k, X 2 A k o > A - 一个根小于k ，一个大于k 即 x , < k < X 2 y l I \ k 八 J “ f (k )v 0 o 大致图象（< a 得出的结论 O > A - I A>0 t^>k 2a f (k )<0 f (k )>0 综合 结论（不讨论 a △ >0 」 方程的根与函数的零点 教学重点：确定方程实数根的个数 教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法 教学过程： 引入问题 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）： 1．函数零点的定义： 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有 2．一般结论 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点 3．函数变号零点具有的性质 对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。 （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 4．注意点 （1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。 （2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。 5．勘根定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点， 即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 例1．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数。 分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是： 二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 表二：（两根与k 的大小比较） 分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 《方程的根与函数的零点》教学案例 肃南一中程斌斌 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。 函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。 就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。 总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。 二学生学习情况分析 地理位置：学生大多来自基层，学生接触面较窄，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。 知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。 三、设计思想 教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣 教学原则：注重各个层面的学生 教学方法：启发诱导式 四、教学目标 中考数学 一元二次方程根的分布问题-数形结合的方法 若y =()f x 与x 轴有交点0x ?f (0x )=0。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。 【定理1】：01>x ，02>x ? ????? ??<>=>≥-=?00)0(0042b c f a ac b 或???????><=<≥-=?0 0)0(0 42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。 【定理2】：01 数形结合处理二次方程根的分布问题的一般方法 设f(x)=a x 2 +bx+c(a ≠0),则f(x)=0即一元二次方程的实根分布问题，可依照三个二次间的关系按下述步骤解决： ⑴画出符合题设要求（即f(x)=0的实根分布情形）的所有不同类型的抛物线； ⑵分析概括上述抛物线的图形特征并将它转化为相应的不等式组（分别从开口方向， 与x 轴的交点，对称轴，端点与特殊点位置等角度综合考虑）； ⑶简化上述不等式组并求解，以得到原问题的解答。 附:有关二次方程a x 2 +bx+c=0(a ≠0)实根分布问题的数与形对应结论（设f(x)=a x 2 +bx+c) 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为 ()2 0f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下 面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象 a>0 a<0 得 出的结论 ()00200 b a a f ?>?? ? -?? ()00200 b a a f ?>?? ? ->???>?? ()00 表二：（两根与k 的大小比较） 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（0>a ） 得 出的结论 ()020 b k a f k ?>???- ?? ()020 b k a f k ?>???- >??>?? ()0 方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有 一元二次方程实根的分布 学习目的： 掌握一元二次方程的零分布和k 分布)0(≠k . 学习过程： 提出问题 我们在二次函数和不等式的基础上讨论一元二次方程根的分布问题. 结合图象易于理解. 引入新课 知识点1 零分布 设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为x 1, x 2，且21x x ≤ 定理1：01>x ，?>02x 000 2121>?>+≥?x x x x 推论：01>x ，?>02x 00)0(00<>>≥?b f a 或 0 00 ><<≥?b c a . 定理2：01 二次函数方程根的分布 典型示范 （例1）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程062)1(22 =++-+m x m x (1) 有两个正根（负根）； (2) 有两个大于1的根； (3) 有两个实根，一个比2大，一个比2小； (4) 两根都在（0，1）内； (5) 有两个实根βα,，且满足014αβ<<<<； (6) 至少有一个正根； (7) 恰有一解在（0，1）内； (8) 在（0，1）内有解。 巩固练习： 1．方程2()f x ax bx c =++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是( ) A ．△≥0且f (1)>0 B ．f (1)>0且－a b >2 C ．△≥0且－ a b >2，c a >1 D ．△≥0且f (1)>0，－a b >2 2、如果方程22(1)20x m x m +-+-=的两个实根一个小于1-，另一个大于1，那么实数m 的 取值范围是 （ ） A ．( B ．(20)-， C ．(21)-， D ． (01)， 3、不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_______。 4 若二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 5 函数2 ()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞， 则满足条件的实数a 组成的范围是 6．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m = ． 7．若关于x 的方程mx 2+(m -3)x+1=0至少有一个正根，求实数m 的范围． 8 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围. 课题： 3.1.1 《方程的根与函数的零点》 教材：人教A 版教材必修1 一、教材分析 （一）内容 《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》 A 版必修 1 第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课． （二）地位函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而 函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础． 因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要． （三）教学目标1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． 2. 通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比T归纳T应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法． 3. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用． （四）重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点． 二、学情分析 高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特 别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位． 三、教法、学法与教学手段 在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“ 设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。 在学法上，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台. 在教学手段上，我一是采取多媒体课件、多媒体投影仪、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣?二是配以我校特色的导学案，它能带动学生激活思 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n 专题四 函数的零点及方程的根的问题 一、 函数的零点及方程的根的个数问题（图像法） 1．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定 2.若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是（ ） A 、(1,)+∞ B 、（0，1） C 、(0,)+∞ D 、φ 3．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________． 4．下列说法正确的有________： ①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点． ②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点． ③若奇函数、偶函数有零点，其和为0. ④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点． 二、 函数的零点及方程的根的区间（二分法） 1.设函数y ＝x 3与y ＝(12 )x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 2.下列方程在区间（0，1）存在实数解的是（ ） A 、230x x +-= B 、1102+= C 、1ln 02 x x += D 、2lg 0x x -= 三、函数有零点及方程有解的问题（分离参数，转化成值域问题） ★若函数a x g x f -=)()(在区间D 上存在零点，即是方程)(x g a =在区间D 上有解，则a 的取值范围就是函数)(x g 的值域。 1.若方程1cos 2sin +==a x a x 与都有解，则a 的取值范围为 。 2.已知函数)1lg()1lg()(x x x f +--= （1）求)(x f 的定义域，并用定义判断)(x f 的奇偶性； （2）若)1,1(,-∈b a ，求)1( )()(ab b a f b f a f ++-+的值； （3）若函数m x f x g x x -+--=1212)()(在]21,0[上恒有零点，求实数m 的取值范围。 四种方法解根的分布问题 根的分布问题作为高考的一个重要题型，也是学生学习的难点之一，本文就一道题介绍一下根的分布问题的几种解法，并加以分析： 问题：方程0422 =+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围。 设x x 21,为方程0422=+-ax x 的两根，根据题意，则有 ?????>?>-->-+-0 0)1)(1(0)1()1(2121x x x x 解得：252<≤a 方程0422=+-ax x 的两根为42164222-±=-±= a a a a x 要使两根均大于1，只需小根142>-- a a 即可 解之得：2 52<≤a 点评：因为无理不等式的解法考纲中已不做要求，加上学生计算普遍易错，所以这种解法在教学中一般不提倡。 解法三：使用二次函数图象 设 ,42)(2+-=ax x x f 要使方程 2则图象如下图所示 由图知???????>-->≥?12 20)1(0a f 解之得：2 52<≤a 点评：此解法需要准确画出函数的图象，然后从四个方面（开口方向、判 别式、对称轴、区间端点函数值的符号）并列出与之等价的不等式组，即本命题的充要条件。 解法四：分离参数法 由0422=+-ax x 知0≠x x x a 42+=∴ 由方程0422 =+-ax x 的两根均大于1，求实数a 的取值范围即转换为求 对号函数x x y 4+ =在),1(+∞∈x 时的值域。利用函数x x y 4+=的单调性可得出)5,4[2∈a 即)2 5,2[∈a 点评：这种解法将根的分布问题转化为利用单调性求值域，在教学中学生比较容易理解，并且计算量较小，比较受学生欢迎。 方程的根与函数零点综合练习题答案 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 2．设函数f (x )＝1 3 x －lnx (x ＞0)则y ＝f (x )( ) A ．在区间????1e ，1，(1，e )内均有零点 B ．在区间??? ?1 e ，1， (1，e )内均无零点 C ．在区间????1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间????1 e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点 3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 4．函数y ＝3 x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0) 5．若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．不确定 6．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根 D ．有惟一实数根 7．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()(0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有 9．函数f (x )＝2x －log 12 x 的零点所在的区间为( ) A.??? ?0，1 4 B.????14，12 C.??? ?1 2，1 D ．(1,2) 10．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( ) A.(－1,0) B 11．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) 《方程的根与函数的零点》说课稿 1 教材分析 1.1 地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课． 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础． 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台． 1.2 教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理． 2 学情分析 2.1 学生具备必要的知识与心理基础． 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础． 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点． 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位． 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务． 2.3直观体验与准确理解定理的矛盾． 从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证． 函数专题七——方程根的分布及相关不等式问题解法总结 根的分布指的是探讨方程在指定区间内根的存在性、个数的问题，高中数学常见于一元二次函数或与一元二次函数有关的问题中。 一、一次方程根的分布 例1、已知函数4mx 2)x (f +=，若在区间[2-，1]上存在0x ，使0)x (f 0=，则实数m 的取值 范围是_______________。 小结：一次方程根的分布可以直接解得根后满足条件或在区间（a ，b ）上利用()()0b f a f <处理。 二、一元二次方程()0a 0c bx ax 2 ≠=++根的分布 下面讨论当a>0时一元二次方程0c bx ax 2 =++根的分布。 （一）不限制根的区间：（1）无根：Δ<0；（2）一根：Δ=0；（3）两根：Δ>0。 （二）限制根的区间 1、指定区间内有两根 ⑴、两个根在不同区间内 ①21x m x <<；②p x n x m 21<<<<；③21x n m x <<<；④q x p n x m 21<<<<<。 ⑵、两个根在同一个区间内 ①21x x m ≤<；②m x x 21<≤；③n x x m 21<≤<。 ∞+⑴至少有一个根 ①在（m ，∞+）内至少有一根： 分两种情况：①在（m ，∞+）内恰有一根；②在（m ，∞+）内有两根。 ②在（∞-，m ）内至少有一根： 分两种情况：①在（∞-，m ）内恰有一根；②在（∞-，m ）内有两根。 ③在（m ，n ）内至少有一根： 分两种情况：①在（m ，n ）内恰有一根；②在（m ，n ）内有两根。 ⑵至多有一个根 ①在（m ，∞+）内至多有一根： 分三种情况：①在（m ，∞+）内恰有一根；②在（∞-，m]内有两根；③无根。 ②在（∞-，m ）内至多有一根： 分三种情况：①在（∞-，m ）内恰有一根；②在[m ，∞+）内有两根；③无根。 ③在（m ，n ）内至多有一根： 分四种情况：①在（m ，n ）内恰有一根；②在（∞-，m]内有两根；③在[n ，∞+）内有两根；④ 无根。 小结：一元二次方程根的分布关键在于正确地作出符合题意的抛物线．．．．．．．．．．．．．（．实际作图时最容易发生情况遗漏）．．．．．．．．．．．．．．．，．一般要先理解习题要求，再根据需要依次考虑习题中抛物线的四个方面（①开口方向、②判别式、③对称轴与区间的相对位置、④区间端点的函数值的符号）的可能性进行作图。 一、基础题型 例2、已知关于x 的二次方程01222 =+++m mx x ，分别求满足下列条件的m 的范围。 ⑴一根比1小，另一根比1大； ⑵一根比0小，另一根比1大； ⑶两根都大于0； ⑷两根∈1x （-1，0），∈2x （1，2）； ⑸两根都在区间（0，1）内； ⑹恰有一根在（1，+∞）内； ⑺至少有一根在（1，+∞）内。 小结：要正确作图可分以下几个步骤：⑴理解清楚题意：方程有没有根？有几个根？根分布在哪（两）个区域？是否需要分情况讨论？⑵开始作图：依次考虑以下方面：①开口方向有没有确定？②符合题意的“Δ”有哪些情况？③是否需要考虑对称轴相对与根的分布区间的位置关系？④分布区间的端点在图象上对应点位置在x 轴上？上方？下方？ 例3、已知a 3ax x )x (f 2 -++=，若x ∈[2-，2]，2)x (f ≥恒成立，求a 的取值范围。 方程的根与函数的零点 1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ） A 、12-+ B 、12-- C 、12 -± D 、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 4. 求证方程231 x x x -= +在(0,1)内必有一个实数根. 5. （1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 . （2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 . 6. 已知关于x 的方程x 2 ＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围． 7. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围. (1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点. 8. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2,如图所示， 求证:b <0. 1.C 2.D 3.易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数. ∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<， (3)ln366ln30f =+-=>. ∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B. 4. 证明：设函数2()31 x x f x x -=-+. 由函数的单调性定义，可以证出函数()f x 在(1,)-+∞是减函数. 而0(0)3210f =-=-<，115(1)3022 f =- =>，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程231x x x -=+在(0,1)内必有一个实数根. 点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程231x x x -=+的实根个数. 5. 解：（1）设函数2()21f x ax =-，由题意可知，函数()f x 在(0,1)内恰有一个零点. ∴ (0)(1)1(21)0f f a =-?-<， 解得12 a > . （2）∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤， ∴ (64)(4)0m --?-≤，解得23 m ≤-. 所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-. 点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式 6. 解：令 2()223f x x mx m =+++有图像特征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内需满足的条件是 解得3514m - <<-。 7. 因为函数f (x )=|x 2 -2x -3|-a 的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x 2-2x -3|-a =0根的个数来讨论，即转化为方程|x 2-2x -3|=a 的根的个数问题,再转化为函数f (x )=|x 2-2x -3|与函数f (x )=a 交点个数问题. 解：设f (x )=|x 2-2x -3|和f (x )=a 分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它 们交点的个数，即函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 的零点个数. (1)若函数有两个零点，则a =0或a >4. (2)若函数有三个零点，则a =4.二次函数根的分布专题
二次方程根的分布情况归纳完整版
方程的根与函数的零点
经典例题二次函数根的分布
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四种方法解根的分布问题
方程的根与函数的零点练习答案
方程的根与函数的零点说课稿
函数专题七方程根的分布及相关不等式问题解法总结
方程的根与函数的零点课后习题高中数学高考
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