九年级数学上册期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ） A ．平均数
B ．方差
C ．中位数
D ．极差
2．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）
A ．40
B ．50
C ．60
D ．70
3．抛物线2
23y x x =++与y 轴的交点为（ ） A ．(0,2)
B ．(2,0)
C ．(0,3)
D ．(3,0)
4．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A ．100°
B ．72°
C ．64°
D ．36°
5．如图，已知正五边形ABCDE 内接于
O ，连结,BD CE 相交于点F ，则BFC ∠的度
数是（ ）
A ．60?
B ．70?
C ．72?
D ．90?
6．对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是（ ） A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线. B ．其最小值为1. C ．其图象与x 轴没有交点.
D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大.
7．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）
A ．3.6
B ．4.8
C ．5
D ．5.2
8．如图，⊙O 的直径BA 的延长线与弦DC 的延长线交于点E ，且CE ＝OB ，已知∠DOB ＝72°，则∠E 等于（ ）
A ．18°
B ．24°
C ．30°
D ．26°
9．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10 B ．10，9
C ．8，9
D ．9，10
10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的
长为（ ）
A ．9 cm
B ．10 cm
C ．11 cm
D ．12 cm
11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
12．“一般的，如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P 21”参考上述教材中的话，判断方程x 2﹣2x =1
x
﹣2实数根的情况是 （ ） A ．有三个实数根
B ．有两个实数根
C ．有一个实数根
D ．无实数根
二、填空题
13．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．
14．在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽为________cm ．(结果保留根号)
15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D 是以点A 为圆心2为半径的圆上一点，连接BD ，M 为BD 的中点，则线段CM 长度的最小值为__________．
16．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与
BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.
17．若
32x y =，则x y y
+的值为_____． 18．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=?，则O 的半
径是______.
19．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，
，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的1
2
，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.
20．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB ＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．
21．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．
22．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．
23．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为2125
1233
y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
24．若把一根长200cm 的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．
三、解答题
25．如图，已知矩形ABCD 的边6AB =，4BC =，点P 、Q 分别是AB 、BC 边上的动点.
（1）连接AQ 、PQ ，以PQ 为直径的
O 交AQ 于点E .
①若点E 恰好是AQ 的中点，则QPB ∠与AQP ∠的数量关系是______； ②若3BE BQ ==，求BP 的长； （2）已知3AP =，1BQ =，
O 是以PQ 为弦的圆.
①若圆心O 恰好在CB 边的延长线上，求O 的半径：
②若
O 与矩形ABCD 的一边相切，求O 的半径.
26．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ．
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CE ＝
16
3
，AB ＝6，求⊙O 的半径．
27．如图1，矩形OABC的顶点A的坐标为（4,0），O为坐标原点，点B在第一象限，连接AC， tan∠ACO=2，D是BC的中点，
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=2
3
OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、
D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时点P的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M 时，点G也随之运动，请直接写出点G运动的路径的长.
28．为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y 与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
29．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
30．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ?沿直线AE 翻折得AFE ?．
（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ?∽FCE ?；
（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ?的面积； （3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ． 31．如图，OA l ⊥于点,A B 是OA 上一点，O 是以O 为圆心，OB 为半径的圆．C 是
O 上的点，连结CB 并延长，交l 于点D ，且AC AD =．
（1）求证：AC 是O 的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标
注后用数字表示）；
（2）若
O 的半径为5，6BC =，求线段AC 的长．
32．如图，抛物线2
65y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为
()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .
（1）求抛物线的函数表达式；
?面积S的最大值并求出此时点P （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求BCP
的坐标；
（3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的一个夹角等∠的3倍时，请直接写出点M的坐标.
于ACB
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】
由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，
第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、极差、方差的意义，掌握相关知识点是解答此题的关键．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.
【详解】
解：∵∠ADC=110°,即优弧ABC的度数是220°,
∴劣弧ADC的度数是140°,∴∠AOC=140°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=1
2
∠AOC=70°,
故选D.
【点睛】
本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
令x=0，则y=3，抛物线与y轴的交点为（0，3）．
【详解】
解：令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C．
5．C
解析：C
【解析】 【分析】
连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD 和∠BOE 的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC 和∠BCF 的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可. 【详解】
解：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则∠COD =∠AOB =∠AOE =360725
?
=?， ∴∠BOE =144°， ∴1362DBC COD ∠=
∠=?，1
722
BCE BOE ∠=∠=?， ∴18072BFC DBC BCF ∠=?-∠-∠=?. 故选：C.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A 、B 、D 三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C 项，进而可得答案. 【详解】
解：()2
261031y x x x =-+=-+，所以抛物线的对称轴是直线：x =3，顶点坐标是（3，1）；
A 、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；
B 、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；
C 、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x 轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；
D 、当3x <时，y 随x 的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
解析：B 【解析】 【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】 解：
////AD BE CF ，
AB DE
BC EF ∴
=，即1 1.23EF =， 3.6EF ∴＝， 3.6 1.2 4.8DF EF DE ∴++＝＝＝，
故选B ． 【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据圆的半径相等可得等腰三角形，根据三角形的外角的性质和等腰三角形等边对等角可得关于∠E 的方程，解方程即可求得答案． 【详解】
解：如图，连接CO,
∵CE ＝OB ＝CO=OD ，
∴∠E ＝∠1，∠2＝∠D ∴∠D=∠2＝∠E +∠1＝2∠E ． ∴∠3＝∠E +∠D ＝∠E +2∠E ＝3∠E ． 由∠3＝72°，得3∠E ＝72°． 解得∠E ＝24°． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质.能利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键．
9．D
【解析】
试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，
最中间的数是9，则中位数是9；
10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；
故选D．
考点：众数；中位数．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．
【详解】
解：连接OD，设⊙O半径OD为R,
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，
∴DM=1
2
CD=4cm，OM=R-2,
在RT△OMD中，
OD2=DM2+OM2即R2=42+(R-2)2,
解得：R=5,
∴直径AB的长为:2×5=10cm．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0,故②错
误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;
由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
12．C
解析：C
【解析】
试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.
因为函数与函数的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.
二、填空题
13．∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还
需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或． 【详解】 解：这个条件
解析：∠P =∠B （答案不唯一） 【解析】 【分析】
要使△APQ ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB =∠QAC 可知∠PAQ=∠BAC ，还需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或AP AQ
AB AC
=． 【详解】
解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB =∠QAC ， ∴∠PAQ=∠BAC ∵∠B=∠P ， ∴△APQ ∽△ABC ，
故答案为：∠B=∠P 或∠C=∠Q 或AP AQ
AB AC
=． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．() 【解析】
设它的宽为xcm ．由题意得 . ∴ .
点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即，近似值约
解析：(10) 【解析】
设它的宽为x cm ．由题意得
1
:202
x =
. ∴10x =
.
点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之
，近似值约为0.618. 15．【解析】
【分析】
作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.
【
解析：3 2
【解析】
【分析】
作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.
【详解】
解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD,
∵E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2，
∴EM为△BAD的中位线，
∴
11
21
22
EM AD ,
在Rt△ACB中，AC=4,BC=3，
由勾股定理得，AB=2222
435
AC BC
+=+=∵CE为Rt△ACB斜边的中线，
∴
115
5
222 CE AB,
在△CEM中，55
11
22
CM ,即
37
22
CM，
∴CM的最大值为3 2 .
故答案为：3 2 .
【点睛】
本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM 为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.
16．【解析】 【分析】
设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a 的值，再利用tanA 即可求解. 【详解】 设BC=EC=a, ∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△ECF ， ∴,即
解得a=（-舍去） ∴
【解析】 【分析】
设BC=EC=a,根据相似三角形得到222
a
a =+，求出a 的值，再利用tan DAE ∠=tanA 即可求解. 【详解】 设BC=EC=a, ∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△ECF ， ∴
AB EC BF CF =,即222
a
a =+
解得1（-1舍去）
∴tan DAE ∠=tanF=
2EC a CF ==1
2
. 【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.
17．． 【解析】 【分析】
根据比例的合比性质变形得： 【详解】
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
解析：5
2
．
【解析】【分析】
根据比例的合比性质变形得：
325
.
22 x y
y
++
==
【详解】
∵
3
2
x
y
=，
∴
325
.
22 x y
y
++
==
故答案为：5 2 .
【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
18．3
【解析】
【分析】
由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA
解析：3
【解析】
【分析】
由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．
【详解】
解：连接OA，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵∠APO=45°，
∴OA=PA=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
19．（1，2）
【解析】
解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．
解析：（1，2）
【解析】
解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的1
2
，∴
点A′的坐标是（2×1
2
，4×1
2
），即（1，2）．故答案为（1，2）．
20．【解析】
【分析】
根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．
【详解】
解：∵AO＝8米，AB＝10米，
∴OB＝6米，
∴圆锥的
解析：60
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方
法S＝1
2
lr，求得答案即可．
解：∵AO＝8米，AB＝10米，
∴OB＝6米，
∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，
∴S扇形＝1
2
lr＝
1
2
×12π×10＝60π米2，
故答案为60π．【点睛】
本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝1
2
lr是解题的关键．
21．4
【解析】
【分析】
先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】
解：两位数一共有99-10+1=90个，
上升数为：
共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．
概率为36÷90=
解析：4
【解析】
【分析】
先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
解：两位数一共有99-10+1=90个，
上升数为：
共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．
概率为36÷90=0.4．
故答案为：0.4．
22．【解析】
利用勾股定理求出AC ，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题． 【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC=90°， ∴，
∵AE 是直径， ∴∠ABE=90°，
【解析】 【分析】
利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出AB AE
AD AC
=，由此即可解决问题． 【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高， ∴∠ADC=90°，
∴AC =
=
∵AE 是直径， ∴∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠ADC ， ∵∠E=∠C ， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AE
AD AC
=， ∴
3AB =
∴AB =
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
23．10 【解析】 【分析】