【学习课题】第1课时 分式的概念
【学习目标】1、能判断一个代数式是否为分式
2、能说出一个分式有意义的条件
3、会求分式值为零时，字母的取值
【学习重点】会求分式有意义时，字母的取值范围
【学习难点】求分式值为零时，字母的取值
【学习过程】
一、学习准备： 1、用六种运算符号连接数或表示数的字母的式子叫 。
2、在加、减、乘、除运算中，只有除数不能为 。
二、新知探究
1、 完成下面的填空：
1)
小明家离学校路程有2000米，他以每分钟V 米的速度步行上学需要 分钟。 2)
王亮为家里买回a 千克苹果用去15元钱，苹果单价为 。 3) 甲每小时做x 个零件，乙每小时比甲少做5个零件，则乙做100个零件需要 小时。
上述代数式的共同特征是 ；
它们与整式的区别是 。
一般的，整式A 除以整式B ，可以写成____的形式。如果B 中含有____，式子
B A 就叫____，其中A 叫___ _，B 叫__ __。
即时练习：下列哪些代数式是整式，哪些代数式是分式？ 错误！未找到引用源。a b 2，错误！未找到引用源。2a+b,错误！未找到引用源。-x 32,错误！未找到引用源。32x ,错误！未找到引用源。πa ,错误！未找到引用源。x -32,错误！未找到引用源。5x -y z
整式有： ；分式有：
三、挖掘教材
1、在整式中，由于字母表示的数只作加法，减法，乘法，乘方运算，所以字母的取值可以是____；而在分式中，含字母表达的数作为除数，因为除数为零时，式子没有意义。因此，分式的____取值不能为____。
3、分式的值为零所需要的条件为___________ _。
例1：已知：分式
432+-x x 1)
当x 取何值时，分式没有意义？ 2) 当x 取何值时，分式有意义？
解： 错误！未找到引用源。当________时，分式没有意义。
由3x+4=0，得x=____，∴当x=_____时，分式没有意义。
错误！未找到引用源。当x ≠______时，______不等于0，此时分式有意义。
即时练习：
1、 当x 取什么值时，下列分式有意义？
（1）x 1 ；（2）x 2 ；（3）32-x x ；（4）2
1+-x x ； （4）
12-x x ；（5）152+x x 。 2、 当x 取什么值时，下列分式无意义？
（1）12+x x ；（2）4
12-x 。 例2：当x 取何值时，分式3
92+-x x 的值为0？ 解：，由???=-≠+090
32x x ，得x=_____，∴x=_____时，分式的值为0。
即时练习：
3、 当x 取什么值时，下列分式的值为零？
（1）x
x 12- ；（2）1212+-x x ；（3）33++x x 。 反思小结：
1、能判断一个代数式是否为分式
2、能说出一个分式有意义的条件
3、会求分式值为零时，字母的取值
【达标检测】
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）a b 2 ；（2）2a+b ；（3）x x -+-41 ；（4）xy 21 。
2、
11+x 有意义，则x_______。3、如果)2)(1(1---x x x 有意义，则x_______。 4、如果6
5-+x x 的值为0，则x=____。5、当x______时，分式32122+--x x x 的值为0。 【资源链接】
1、今天学习的分式与分数有什么共同点？
2、分式与整式有什么区别？分式与整式中，字母取值范围有什么区别？
3、若3
6 x 的值为正整数，求x 的值。
分式的意义和性质 一、分式的概念 1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做 分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不 一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有 意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。 3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。 （2）分式：，当B≠0时，分式有意义。 （3）分式：，当时，分式的值为零。 （4）分式：，当时，分式的值为1。 （5）分式：，当时，即或时，为正数。 （6）分式：，当时，即或时，为负数。 （7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质： 1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点： （1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零； （2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子； （3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。 5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子： ，。 四、约分： 1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。 2、约分的理论依据是分式的基本性质。 3、约分的方法： （1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。 例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3） （4）
1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果 的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块， 这六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48，即：3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？
分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 334n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二 合作交流，探究新知 1 分式的概念 填空： （1 ）如果小王用a 元人民币买了b 袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2m ，如果梯形上底是am ，下底是bm ，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a 亩，b 亩的稻田m kg ，n kg ，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式：12a m n b a b a b +++、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母） 一般地，如果f 、g 分别表示两个整式，并且g 中含有字母，那么代数式 f g 叫分式。
第一章 集合与简易逻辑——第1课时：集合的概念 1 集合的概念 一．课题：集合的概念 二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规 处理方法． 三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法； 3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （二）主要方法： 1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析： 例1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+， {|1}G x x =≥，则 （ D ） ()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G = 解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简． 例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{} 2222 ,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈． （1）若0x y +=或0x y -=，则22 0x y -=，从而{} 22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性 矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =． 当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-， 由P Q =得22 0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或220 y y y y y -=-??=?≠?? ② 由①得1y =-，由②得1y =， ∴{01x y ==-或{ 01 x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-． 例3．设集合1{|,}24k M x x k Z == +∈， 1 {|,}42 k N x x k Z ==+∈，则 （ B ） ()A M N = ()B M N ?≠ ()C M N ? ()D M N φ= 解法一：通分；
分式的概念及性质 定义 示例剖析 分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式，其中A 叫分子，B 叫分母且0B ≠． 例如211 a ax +， 分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等 于零即0B ≠． 使1x 有意义的条件是0x ≠ 分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零． 即当0A =且0B ≠时，0A B =． 使1 1x x -+值为0的x 值为1 知识互联网 模块一 分式的基本概念 知识导航
【例1】 ⑴下列式子：2 124233a x y a x x x a b x +---π，，，， ，1 x x y +其中是分式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ⑵当x 时，分式 2x x +有意义；当x 时，分式21 1 x +有意义； ⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？ ① 213x x -+ ②6(6)(1)x x x --+ ③ 216(4)(1)x x x -+- ④ 288 x x + ⑤ 2225(5)x x -- 【例2】 ⑴当x 时，分式 233x x --的值为1；如果分式1 21x x -+的值为1-，则x 的值是_____. ⑵当x 时，分式48x -的值为正数；当x 时，分式48x x --的值为负数；当 x 时，分式6 1x +的值为正整数. ⑶当3x =-时，分式x b x a --无意义，当5x =时，分式x b x a --的值为0，则a b +=_____. 能力提升 夯实基础 模块二 分式的基本性质
课题：1.1集合－集合的概念（1） 教学目的： （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在 教具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪 内容分析：当时的数学家S．K．泊松为了理 1．集合是中学数已证明的一个结果可以表明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于刘维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程： 一、复习引入： 1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数； 2．教材中的章头引言； 3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；
1、下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？ －3x ＋52，1＋x 3，21++x x ,m m 3-,53b a +,x 234-,4 n m -,123+x －132-y , x x 22,π 1(x ＋y), 整式｛ …｝ 分式｛ …｝ 2、当分子等于0时，分式的值为0 （ ） 3、分式1 12+x 一定有意义 （ ） 4、当x 时，分式21++x x 无意义；当x 时，分式2 31-+x x 无意义；当x 时，分式3 54-+x x 有意义；当x 时，分式x ＋12-x －2 3+x 有意义； 5、要使式子33-+x x ÷4 2-+x x 有意义，x 的取值应为 。 6、当x 时，分式33 +-x x 的值为0。 7、使分式1 122+-a a 有意义的a 的取值是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠±1 C 、a ≠－1 D 、a 为任意实数 8、当x = －3时，下列分式中有意义的是（ ） A 、33-+x x B 、33+-x x C 、)2)(3()2)(3(--++x x x x D 、) 2)(3()2)(3(-++-x x x x 9、分式5 12++x x 的值为负，则x 应满足 （ ） A 、x ＜－5 B 、x ＜5 C 、x ＜0 D 、x ≤0 10、当x 取什么值时，下列分式无意义？ （1）123+x （2）2 1-x
11、当x 取什么值时，分式 )2)(3(2+-+x x x 无意义？ 12、当x 取什么值时，分式 )2)(1(5+-+x x x 有意义？ 13、当x 取什么值时，分式 )3)(2(2+-+x x x 值为0？ 14、当x 取什么值时，分式 25x x -值为正？ 15、若1 3+a 表示一个整数，则整数a 可以取哪些值？ 16、观察下面一列有规律的数： 31，82，153，244，35 5，486，…… 根据规律可知第n 个数应是 （n 为正整数）
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理： 1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 做分式。A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0. 2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变. 3.分式的约分 (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式 1 22 x x -+（1）当________时，分式的值为0 ； （2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义. 2．填充分子，使等式成立； ()2 22(2)a a a -= ++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：() 22 23434254x x x x -+-=- -- ； ()2 1a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；22 4488a b a b -=- ；
课题：教学目标：集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的 常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 教学过程： （一）主要知识：1.集合、子集、空集的概念；两个集合相等的概念. 2.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法； 3.若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个， 非空真子集有22n -个． 4.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 5.若A B B C ??，，则A C ? 6.,,.A A B A B A A B A B ??? 7.A B A B B ??= ;A B A B A ??= . （二）主要方法： 1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析法的掌握． 2.弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3.抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验； 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）典例分析： 问题1：已知集合{}3,M x x n n Z ==∈，{}31,N x x n n Z ==+∈， {}31,P x x n n Z ==-∈，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则 .A d M ∈ .B d N ∈ .C d P ∈ .D d M N ∈ 问题2：设集合{}2 24A x x a a ==++，{}2 47B y y b b ==-+. ()1若a R ∈，b R ∈，试确定集合A 与集合B 的关系； ()2若a N ∈，b R ∈，试确定集合A 与集合B 的关系.
17.1.1 分式的概念 教学目标 1.知识目标：使学生经历分式概念的形成过程,了解分式、整式、有理式的概念 以及它们区别与联系. 2.能力目标：使学生掌握分式有意义的条件,认识事物的联系与制约关系. 3.情感目标：培养学生对事物用类比的思想方法进行探索分析. 教学重点与难点 重点：了解分式的形式B A （A 、 B 是整式）并理解分式概念中的“一个特点”：分母含有字母；“一个要求”：字母的取值要使分母的值不能为零； 难点：理解分式中的分母含有字母以及字母的取值要使分母的值不能为零. 教学过程 一、问题情境 创设情境：做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为_____米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是_____元； 二、学生活动、建构数学 形如B A (A 、 B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 注意：在分式中，分母的值不能是零。 整式和分式统称有理式。 例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n.一般的，对分式B A 都有： 分式有意义 B ≠0.分式没有意义 B=0. 分式的值为0A=0且B ≠0. 理解分式这个概念，应注意以下两点： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线可以理解为除号，同时分数线还含有括号的作用，例如d c b a -+表示（a ＋b ）÷(c － d ). (2)分式的分子和分母都是整式，但是分子可以含字母．也可以不含字母，而分母中必须含有字母．下列式子5 ,32,4012 22y x x x ++-中，它们的分母中都不含有字母，所以都不是分式，而是整式. 三、例题讲解 例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）3 3y x -.
一．课题：集合的概念 二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题 的常规处理方法． 三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法； 3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （二）主要方法： 1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析： 例1．已知集合2 {1}P y x ==+，2 {|1}Q y y x ==+，2 {|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ D ） ()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G = 解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简． 例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{} 2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ． 解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈． （1）若0x y +=或0x y -=，则2 2 0x y -=，从而{} 22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =． 当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，2 2 {,,0}Q y y =-， 由P Q =得22 0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或220 y y y y y -=-??=?≠?? ② 由①得1y =-，由②得1y =， ∴{01x y ==-或{ 01 x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-． 例3．设集合1{|,}24k M x x k Z == +∈， 1 {|,}42 k N x x k Z ==+∈，则 （ B ） ()A M N = ()B M N ?≠ ()C M N ? ()D M N φ=I 解法一：通分；
授课班级：汽修9班 时间：2018年1月5日（星期5）早上第三节课 分式的概念 教学目标 1、知识与技能 1.能用分式表示现实情景中的数量，体会分式的模型思想，进一步发展符号感； 2.了解分式和有理式的概念； 3.理解分式有意义和分式的值为零的条件。 2、过程与方法 能通过回忆分数的基本结构，类比地总结分式的概念。 3、情感态度与价值观 通过探索问题、发现问题、解决问题提高学习数学的兴趣，获得轻松愉快成功的学习体验。 教学重点、难点 1.教学重点：分式的概念、用分式表示生活中的数量 2.教学难点：分式有意义及分式的值为零的条件 教学过程 一、创境引入 师：大家对分数并不陌生，请你说几个分数，我帮你记下来。 生：举例 师：板书写以下问题： （1）长方形的长为3,面积为2,则它的宽为多少？ （2）长方形的长为t，长增加1后面积达到10，则它的宽为多少？ （3）小明步行上学的速度为a m/s，放学回家的速度比上学时快 b 家校 m/s.间的距离为s米，回家需要多长时间?
(4) 两块棉花地，第一块地面积为 a 公顷，产棉花m 千克，第二块地面积 为b 公顷，产棉花n 千克，两块地平均每公顷产多少棉花？ 学生独立思考，并说出列式依据。 试一试： (1) 一箱苹果，总售价a 元，箱子与苹果总重量为 m 千克，箱子质量为n 千克，每千克苹果的售价为多少元？ (2) 小明用身上的钱购买单价为a 元的笔记本，冈収子买了 b 本，现在笔记 本价格下降了 1元，如果用一样多的钱购买，现在能买几本？ 二、共同探究 师：大家从上面的分数和分式这两大类式子中发现有什么共同点？两大类之 间有什么不同点? 生：讨论回答 总结概念：用a 、b 表示两个整式，a * b 就可以表示成 含有字母，式子a 就叫做分式。其中，a 叫做分式的分子, b 整式和分式统称有理式。 分式的两大特征：1、分子分母都是整式 三、深入探究 师：两数相除，什么不能为零? 两式相除，什么不能为零? 生：除数、除式不能为零。 师：归纳为分母不能为零，这就是分式有意义的条件 师：板书写出例题1，分析并板书解题格式。 例3、求下列分式有意义的条件： a 的形式。如果 b 中 b 叫做分式的分母。 2 、分母中含有字母 师：板书写一些式子，学生判断哪些是整式，哪些是分式。 例1、在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 ，-(x 2)， t 3 2 例2、代数式—1 3 A.1个 2 x —2x+1 2x+4 x -1 x x 1 x 2 -1 a -b ? ? ? ? 2x x 1 2 B.1个 C.1个 3 , 2 3 —x a +a 冗'3a 5a 2m = 2 3x -2x-1 ，吐'，m ■ n ，xy 中分式有（ ） 2 3 D.1个
分式及其基本性质(1) 知识技能目标 1.使学生理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式，分清分式和整式的区别，了解有理式的概念； 2.理解并掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零的方法； 3.使学生理解分式的基本性质．通过对比分数和分式基本性质的异同点，渗透类比的思想方法，学会用运动、变化的观点分析问题． 过程性目标 1.让学生在判断和识别整式与分式的实践过程中，理解并掌握分式的概念． 2.让学生体会从分数变化到分式的运动过程，从中感悟类比的思想方法． 情感态度目标 通过学生比较熟悉的分数入手进行教学，降低教学难度，提高学生的学习兴趣，培养学生类比与比较的思维能力． 重点和难点 重点：分式的概念． 难点：一个代数式不是不分式的判断． 教学过程 一、创设情境 做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为米； (2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为米； (3)已知正方形的周长是a cm，则一边的长是____cm，面积是____cm2； (4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克．则每千克苹果的售价是元． 想一想 两个数相除，不能整除时结果可用分数表示．当两个整式不能整除时，它们的商怎样表示呢？ 二、探究归纳 1.分式的概念 问在上面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？ 同于前面学过的整式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的，我们需要学习新的式子，以满足解决实际问题的需求．我们称这两个代数式为分式．
其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分式的分母(denominator)． 从分式的意义中，应注意以下三点： (1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并含有括号的作用； (2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母； (3)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零，那么分式就无意义． 整式和分式统称为有理式(rational expression)，即 分式是有理式的一部分．在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算， 但在整式中除式不能含有字母． 例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 解属于整式的有：(2)、(4)；属于分式的有：(1)、(3)． 想一想识别一个有理式是分式还是整式的关键是什么？ 关键是观察分母是否含有字母．如果分母不含字母，就是整式；如果分母含有字母，就是分式，与分子是否含字母无关． 2.分式的基本性质 回忆分数的基本性质是什么？ 分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变． 分式和分数也有类似的性质． 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 想一想分数的基本性质与分式的基本性质有什么区别？ 在分数的基本性质中，分子与分母是都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数 的值不变，这个“数”是一个具体的、唯一确定的值；而在分式的基本性质中，分式的 分子与分母则是都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，“整式”的 值是随整式中字母的取值不同而变化的，所以它的值是变化的． 从分数到分式是把“数”引伸到“式”．分数是分式的特殊情形，即当分式的分子和分母均为数，并且分母是不等于零的数，就成为分数． 三、实践应用 例2当x取什么值时，下列分式有意义？ 分析分式有意义的条件是分母的值不能等于零，从此条件出发可以考虑分式何时无意义，从而确定x的值． 解(1)当分式的分母x-2＝0时，这个分式无意义，
16.1.1 分式的概念学案（１） 青神县初级中学校数学组班级：组名：姓名： 学习过程： 一、自主学习，新知探究：（预习：看书Ｐ2－3） 请阅读教材P2，填空： （1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为米； （2）面积为S平方米的长方形一边长为a米，则它的另一边长为米； （3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的住售价是元； （4）根据下列数据的规律填空：1，111 4916 ，，，…（用n表示）. 观察（2）（3）（4）你列出的代数式，与以前学过的分数有什么不同？.像这样的式子叫分式. 请你概括出分式的概念：. 若A B 是分式，则其中分子A与分母B应满足什么条件？. 注意：在分式中，分母的值不能为. 若分母的值为零，则分式没有意义. 和统称为有理式. 即有理式??? 二、边学边导，基础过关： 1、下列各式：①1 2 ；② 2 x ；③ 2 x ；④ 21 2 x- ；⑤ 2 2x x ；⑥ 2xy x y - ；⑦ 2 3 1 x y x - + ；⑧ v π . 其中是分式的序号是，是整式的序号是. 2、当x取何值时，下列分式有意义？ （1） 3 2 x- ；（2） 2 32 x x - + . 结论1：分式A B 有意义的条件是. 3、当x＝时，分式 (2) 2 x x x - + 无意义. 结论2：分式A B 无意义的条件是.
4、若分式 2 21x x -+的值是零，则x ＝ . 结论3：分式A B 的值为0的条件是 且 . 三、精讲点拨，巩固提升： 1、下列说法中正确的是（ ） A 、如果A 、B 是整式，那么 A B 就叫做分式 B 、分式都是有理式，有理式都是分式 C 、只要分式的分子为零，分式的值就为零 D 、只要分式的分母为零，分式就无意义 2、当m 时，分式 7214m m +-没有意义；当m 时，分式72 14m m +-有意义. 3、①若分式32 23 x x +-＝0，则x ＝ ； ②若分式211x x -+＝0，则x ＝ ； ③若分式32 23 x x +-＝1，则x ＝ . 结论4：分式A B ＝k （k ≠0）的条件是 . 4、下列各式中，不论字母x 取何值时分式都有意义的是（ ） A 、 121x + B 、10.51x + C 、213x x - D 、253 21 x x ++ 5、若分式23 x x +的值为正，则x 的取值范围是（ ） A 、x ≠0 B 、x ＞-3 C 、x ＜-3 D 、x ＞-3且x ≠0 结论5：分式 A B ＞0的条件是 ； 分式A B ＜0的条件是 . 四、达标检测，当堂过关： 1、在代数式1 m ，14 ，22x y xy ，2x y +，23a a +中，分式有 个. 2、①当x ＝ 时，分式 23x x +无意义； ②当x 时，分式23x x +有意义； ③当x ＝ 时，分式23x x +＝0； ④当x ＝ 时，分式23x x +＝－1； ⑤当x ＝ 时，2||2 44 x x x --+＝0. 3、若分式21 4 x x -+的值为负，则x 的取值范围是 .
新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习 重难点突破 课外机构补习优秀资料 分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着
课题：集合的概念 教学目标：集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 教学过程： （一）主要知识：1.集合、子集、空集的概念；两个集合相等的概念. 2.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法； 3.若有限集A 有n 个元素， 则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． 4.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 5.若A B B C ??，，则A C ? 6.,,.A A B A B A A B A B ??? 7.A B A B B ??=;A B A B A ??=. （二）主要方法： 1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析法的掌握． 2.弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3.抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验； 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）典例分析： 问题1：已知集合{}3,M x x n n Z ==∈，{} 31,N x x n n Z ==+∈， {}31,P x x n n Z ==-∈，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则 .A d M ∈ .B d N ∈ .C d P ∈ .D d M N ∈ 问题2：设集合{} 224A x x a a ==++，{} 247B y y b b ==-+. ()1若a R ∈，b R ∈，试确定集合A 与集合B 的关系； ()2若a N ∈，b R ∈，试确定集合A 与集合B 的关系. 问题3：2008年第29届奥运会将在北京召开，现有三个实数的集合，既可以表示 为{},,1 b a a ，也可以表示为{} 2 ,,0a a b +，则2008 2008a b +=
分式 第 1 节 分式的基本概念和性质 【知识梳理】 1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B A 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．5．约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：有约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 6．通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．7．最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8．最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
1．1集合的概念 第1课时集合的概念 问题导学 预习教材P2－P3，并思考以下问题： 1．集合和元素的概念是什么？ 2．如何用字母表示集合和元素？ 3．元素和集合之间有哪两种关系？ 4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？ 1．元素与集合的概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． (4)元素的特性：确定性、无序性、互异性． ■名师点拨 在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．
2．元素与集合的关系 对元素和集合之间关系的两点说明 (1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ?A ”这两种结果． (2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 3．常用的数集及其记法 集合? ????有限集（含有有限个元素的集合）无限集（含有无限个元素的集合） 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．( ) (2)高一四班的全体同学组成一个集合．( ) (3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (5)集合N 中的最小元素为0.( ) (6)若a ∈Q ，则一定有a ∈R .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ 由“title ”中的字母构成的集合中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ，i ，l ，e ，共4个． 下列关系①0.21∈Q ；②10 5?N *；③－4∈N *；④4∈N .其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1
例1（1）若分式1 1x x --的值为0，则x 的值等于 （2）使分式200520062005 200620052004x z y x x +--有意义的x 的取值范围是（ ） A.0x ≠ B. 0x ≠，且50x ≠ C. 0x ≠，且50x ≠- D. 0x ≠，且50x ≠± 变式题组1.（1）当x= 时，分式321 x -无意义. （2）要使分式241312a a a -++没有意义，则a 的值为 2.已知212606 a a +-是正整数，则正整数a = . 3.若分式 22 2x x x ---的值为0，则x= 例2已知分式 32 x x -+的值为负数，求x 的取值范围. 变式题组4.（1）当x 取何值时，分式12 x +的值为正？ （2）当x 取何值时，分式211 x x -+的值为负？ （3）当x 取何值时，分式11x x -+的值为正? 例3（1）下列运算中，错误的是（ ） Ａ．()0a ac c b bc =≠Ｂ．1a b a b --=-+ Ｃ． 0.55100.20.323a b a b a b a b ++=--Ｄ．x y y x x y y x --=++ （２）若 23a b b -=，则a b 等于（ ） Ａ．13Ｂ．23 Ｃ．43Ｄ．53 变式题组５．（１）如果2a b =，则2222a ab b a b -++＝（ ） Ａ．45Ｂ．１Ｃ．35 Ｄ．２ （２）化简22 2m n m mn -+的结果是（ ）
A.2m n m - B. 2m n m - C. D.m n m n -+ 6.如果53x -<<，求 5 3 53x x x x x x +-+-+-的值. 7.将分式2a a b +中的a 扩大到2倍，b 扩到到4倍，而分式的值不变则（ ） A.a=0 B.b=0C.a=0且b=0D.a=0或b=0 例4计算：（1）2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? （2）221111 a a a a a a -÷---- （3）()()()()()()() 11113366999102x x x x x x x x +++++++++++L 变式题组：8（1）化简 2244 xy y x x --+的结果是（ ） A.2x x + B. 2x x - C. 2y x + D. 2y x - （2）化简2422a a a a a a -??- ?-+??g 的结果是（ ） A.4- B.4C.2a D.2a - （3）代数式3 2411241111 x x x x x +++-+++的化简结果是（ ） A.5681x x - B. 4881x x - C. 4841x x -D 7 881 x x -. 9.222b c c a a b a ab ac bc b bc ab ac c ab bc ab ----+--+--+--+的计算结果为 10.计算：（1）2121a a a a a -+??-÷ ??? （2）()222211121 a a a a a a +-÷+---+ 研讨乐园 例5已知2221,2,3abc a b c a b c =++=++=，则 111111 ab c bc a ca b +++-+-+-的值为（ ）