第三讲 曲线和方程
教学目的：掌握曲线与方程的概念．并能由已知条件求出曲线的方程．了解解析几何的基本思想，了解
坐标法．
教学重点：曲线与方程的概念．由已知条件求出曲线的方程 教学难点：曲线与方程的概念．由已知条件求出曲线的方程
【知识概要】
知识点1 曲线和方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
指出：（1） 理解定义应注意两点： 第一条表示曲线具有纯粹性，或者说方程具有完备性，即曲线上所有的点都适合这个条件，而毫无例外；第二条说明曲线具有完备性，或者说方程具有纯粹性，阐明适合条件的所有点都在曲线上，而毫无遗漏．
（2）定义的理解：设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，若设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：
(1)M P (x y )Q P Q (2)(x y )Q M P Q P 0000∈，∈，即；
，∈∈，即．????以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)： (1)(x y )Q M P (2)M P (x y )Q 0000，；，．
??????显然，当且仅当且，即时，才能称方程，P Q Q P P =Q f(x y)=0??
为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．
在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何基本思想和基本方法王新敞
知识点2 求曲线的方程
求曲线的方程一般按以下步骤进行：
（1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M 的坐标； （2）写出适合题中条件P 的点M 的集体合P={M|P(M)}； （3）用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程为最简形式；
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 （一般情况下，如化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明。）
指出：（1）求曲线的方程时应注意的问题：
① 注意动点应满足的某些隐含条件； ② 注意方程变形是否同解； ③ 注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值时的讨论．
（2）一般地，若可确定轨迹曲线的形状,则可用待定系数法求轨迹的方程,通常把这种方法叫做定义法. 知识点3 求曲线方程的几种常见方法
1. 直接法
指出：直接法通常指的是“五个步骤法”以及定义法。 2. 间接法（ 参数法 ）
如果轨迹动点P(x,y)的坐标之间的关系不易找到时，可先考虑将x 、y 用一个或几个参数来表示，然后消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。(参数法中常选变角、变斜率等为参数。)
指出：（1）用参数法求轨迹方程的步骤是：
① 建立适当的直角坐标系。 ② 设动点P(x,y)为轨迹上任一点；
③ 根据条件，找出一个与动点坐标相关联的另一个中间变量t （或λ）为参数；
④ 利用有关条件确定该参数与两个动点坐标x 、y 这间的相依关系，从而得到轨迹的参数方程； ⑤ 消去参数即可得到普通方程．
（2）在间接法中,还有代入法;代点法;交轨法(两直线交点的轨迹)等常用的方法,它们的本质都是参数法. 代入法
有些问题中的动点轨迹是由另一点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作相关点法（代入法），也称作坐标转移法．用转移法求轨迹方程的大致步骤是：
① 设所求轨迹上的动点P(x,y)，再设具有某种运动规律f(x,y)=0上的动点Q(y x '',);
② 找出P 、Q 之间坐标的关系式，并表示为??
?='=');
,(),
,(21y x y y x x ??
③ 将y 、x ''代入f(x,y)=0，即得所求轨迹方程．
交轨法
如果所求轨迹是由两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般解法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程。交轨法是参数法的一种特殊情况．它的本质也是参数法。
代点法（相关点法）
当动点的轨迹是由已知点引已知圆锥曲线的割线，求弦的中点的轨迹时，通常用带点法，其基本的解题思路是：设两交点的坐标为（x 1,y 1）；(x 2,y 2)。（本质是引入了四个参数）。
然后利用点在曲线上坐标满足曲线的方程；中点公式；同一直线上的任两点的斜率相等共五个关系式消去四个参数得到轨迹的普通方程。（在有些与弦的斜率；中点有关的问题时，也常用“带点法”的思想，来揭示斜率与点的坐标之间的关系） 知识点4 两曲线的交点
如果曲线C 1、C 2的方程分别为f 2(x,y)=0,f 2(x,y)=0，点P 的坐标为(x 1,y 1)。则P 是C 1、C 2的交点
???==?0),(0),(1
12111y x f y x f ．
指出：根据上述关系可知：（1）求两条曲线的交点坐标，只需解两条曲线的方程组成的方程组； （2）和两条曲线的交点有关的问题，也可以通过解方程组解决：两曲线有无交点，或有几个交点，则只需判断方程组有无实数解，或有几组实数解．
（3）如果两曲线的位置是由交点个数决定的，那么位置关系可由方程组实数解情况来决定． （4）一般地，设直线l 的方程为y=kx+b, 曲线C 的方程为F(x,y)=0，直线l 与曲线C 的交点为A(x 1,y 1)、
B(x 2,y 2)．则y 1=kx 1+b,y 2=kx 2+B,∴y 1-y 2=k(x 1-x 2).由???=+=0
),(,y x F b kx y 消去y ，得ax 2+mx+c=0．
∴x 1+x 2=-
a m ,x 1x 2=a
c .∴|AB|=2
212221221221)()()()(x x k x x y y x x -+-=-+- =212
21222124)(1))(1(x x x x k x x k -+?+=-+。这个式子就是弦长的计算公式，以后要经常用到．
【基础题典例解析】
例1 （直接法求轨迹方程）
过点P(2,4)作互相垂直的直线1l ,2l ，若1l 交x 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程 解：设M ),(y x 为所求轨迹上任一点，∵M 为AB 中点，∴A （2x ,0), B(0,2y ),∵1l ⊥2l 且1l ,2l 过点P （2，4），∵PA ⊥PB ，∴1-=?PB PA k k ，
∵PA k =
x 224-(x ≠1),PB k =224y -，∴x 224-·2
24y
- =-1 即x +2y -5=0(x ≠1)
当x =1时，A （2，0）、B （0，4）,此时AB 中点M 的坐标为（1，2），它也满足方程x +2y -5=0.
∴所求点M 的轨迹方程为x +2y -5=0王新敞
解法二：连结PM. 设M ),(y x ,则A （2x ,0),B(0,2y )，∵1l ⊥2l ,∴△PAB 为直角三角形，
∴｜PM ｜=
21｜AB ｜，即2222442
1)4()2(y x y x +=-+-，化简：x +2y -5=0，∴所求点M 的轨迹方程为x +2y -5=0王新敞
指出：本题还可有：解法三：（勾股定理）解法四：（向量的观点）等。 求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合；
（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ; （4）化方程0),(=y x f 为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞
例2 （直接法求轨迹方程）
点A (-1,0), B (2,0), 动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。 解：如图7-24，设点M(x,y),∠MAB=α,∠MBA=2α.
(1) 当∠MBA≠90°时，设点M 在x 轴或x 轴上方，则tanα=k MA =
1
+x y , tan2α=-k MB =-2-x y ,而tan2α=α
α2tan 1tan 2-,∴-2)
1
(1122+-+=-x y x y
x y 。化简得y=0或x 2-32
y =1。
设点M 在x 轴下方时，则tanα=- k MA =-1+x y ，tan2α=k AB =2+x y ，而tan2α=α
α
2
tan 1tan 2-
.
∴2
+x y =2
)1
(112+--+-
x y x y
, 化简得y=0或x 2 -32y =1.∴总有y=0或x 2-32
y =1.∵∠MBA=2∠MAB,
∴|MA|>|MB|,∴x≥1,∴x 2
-3
2
y =1且x≥1为所求轨迹方程。 当点M 在x 轴上时，如果M 在线段AB 上时，满足∠MBA=2∠MAB ，而在AB 的延长线上或其反向延长线上时，不满足∠MBA=2∠MAB ，所以y=0且-1 验证满足方程x 2 -32y =1。 综上所述，点M 的轨迹方程为x 2 -3 2 y =1 (x≥1) 或y=0 (-1 如图，椭圆4 2x +y 2 =1与x 轴的交点为A(2,0)，A '(-2,0)，与y 轴平行的直线交该椭圆于P ，P '两点， 试求AP 和P A ''交点Q 的曲线方程． 解：设平于y 轴的直线为x=x 1，设P 和P '的坐标为(x 1,y 1)，(x 1,-y 1)则 212 14 y y +=1．① 在x 1≠±2的情况下，直线AP 和P A ''方程分别为 ??? ? ?? ?++-=--=)2(2),2(21111x x y y x x y y 因为交点Q 满足②、③，由②×③得 y 2=)4(4 2 212 1---x x y ④ 由①得2 12144y x -=-，代入④ 得y 2 =4 1(x 2 -4)，即1422=-y x , ⑤ 当x 1=±2时，y=0，满足⑤．∴14 22 =-y x 就是交点Q 的曲线方程． 指出：（1）本题是用交轨法求得轨迹方程的．如果所求轨迹是由两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般解法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况． （2）用参数法求轨迹方程的步骤是： ① 恰当的建立直角坐标系（若坐标系已建立，可略去此步）； ② 设动点P(x,y)为轨迹上任一点； ③ 根据条件，找出一个与动点坐标相关联的另一个中间变量t （或λ）为参数； ④ 利用有关条件确定该参数与两个动点坐标x 、y 这间的相依关系，从而得到轨迹的参数方程； ⑤ 消去参数即可得到普通方程． 例4 （参数法（代点法）求轨迹方程） 如图，已知抛物线y 2=2x ，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A 、B 两点，求弦AB 中点的轨迹方程。 解：设弦AB 的中点为M ，并设A 、B 、M 点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x,y)，根据题意，有 ②③ 21y =2x 1, ① 2 2y =2x 2, ② x 1+x 2=2x, ③ y 1+y 2=2y, ④ 2 1 2121--=--x y x x y y ⑤ ④代入 ①-②，得2y(y 1-y 2)=2(x 1-x 2). ∵x 1≠x 2, ∴ y x x y y 1 2121=-- ⑥ ⑥代入⑤，得y 2-y=x-2, 即(y- 21)2=x-4 7 . ⑦ 若x 1=x 2，此时AB 的中点为(2,0),(2,0)也在抛物线⑦上。 ∴所求轨迹方程为(y- 21)2=x-4 7 . 解法二：设过Q(2,1)的任意一条弦AB 的方程为y=k(x-2)+1. ① ①与y 2=2x 联立，消去x ，得 ky 2-2y-4k+2=0, ② 方程②的两个根y 1、y 2分别是弦AB 两个端点A 、B 的纵坐标。由韦达定理可得y 1+y 2= k 2。设AB 的中点M(x,y)，则有y=k 1 , ∴k=y 1 ③ ③代入①，整理得(y- 21)2=x-4 7 . 若k 不存在时，AB 中点为(2,0)。（以下同解法1）。 评注：本题上面给出的两种解法，都是解此类问题具有共性的方法，不管是哪一种方法都与A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)，M(x,y)，Q(2,1)点的坐标有关，并且都直接或间接的利用了如下的关系：? ????? ????? --=--===+=+.2 1 ,2,2,2, 2212122 2121212 1 x y x x y y x y x y y y y x x x 从以上五个式子中消去四个参数x 1、y 2、x 2、y 2得到f(x,y)=0，即为所求的轨迹方程。 例5 （参数法（代入法）求轨迹方程） （1）已知△ABC ，)2,0(),0,2(--B A ，第三个顶点C 在曲线132 -=x y 上移动，求△ABC 的重心 的轨迹方程王新敞 （2）ΔABC 是圆x 2+y 2=r 2的内接三角形，A(r,0)为定点，∠BAC=60°，求ΔABC 的重心G 的轨迹方程。 解：（1）设△ABC 的重心为G ),(y x ，顶点C 的坐标为),(11y x ，由重心坐标公式得 320,30211y y x x +-= ++-= ，???+=+=∴2 32311y y x x 代入13211-=x y 得31)23(322 -+=+x y ， 31292++=∴x x y ，即为所求轨迹方程王新敞 （2）如图7-8，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°。过O 作OD ⊥BC 于D ，则|OD|= 2 1 r ，设G(x,y)，D(x 1,y 1)，则2121y x += 41r 2。又21 =GD AG ，A(r,0)，∴x=2 121+?+y r , ∴21201+?+=y y , x 1=23,231y y r x =-,∴4 1)23()23(22=+-y r x r 2。 ∴2)3(r x -+y 2=92r 。∵4 23r r x <-, ∴x<2r 。∴所求轨迹方程为2)3(r x -+y 2 = 92 r (x<2r ). 指出：在这个问题中，动点C 与点G 之间有关系，写出C 与G 之间的坐标关系，并用G 的坐标表示 C 的坐标，而后代入C 的坐标所满足的关系式化简整理即得所求,这种方法叫相关点法王新敞 （或代入法） 【综合题典例解析】 例1 F 1、F 2为椭圆两个焦点，Q 为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F 1QF 2的外角平分线的垂线，垂足为P ，求P 点轨迹方程 解: 延长F 2P 交F 1Q 的延长线为M ，由椭圆定义及角平分线性质，∵???==+||||2||||221MQ Q F h Q F Q F ， ∴ |F 1Q|+|MQ|=|F 1M|=2a,则点M(x 0,y 0)的轨迹方程为2 2 02 04)(a y c x =++......① 设P 点坐标(x, y), ∵ P 为F 2M 中点，∴ ?? ?=-=??? ? ?? ? +=+=y y c x x y y x c x 222020000，代入①，得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a 2, ∴ x 2+y 2=a 2. 例2 已知定点A(2,0)，圆x 2+y 2=1上有一个动点Q ，∠AOQ 的角平分线交AQ 于P 点，求动点P 的轨迹。 解：设动点P 的坐标为(x,y),Q(x 1,y 1)，由角平分线的性质，得 21 ||||||||==OA OQ PA PQ ，即 2 1=PA QP 。由定比分点公式知??? ????=+=323 2211y y x x ，即??????? =-=y y x x 2312311,∵2121y x +=1，∴1)23()123(22=+-y x 。∴动点P 的轨迹方程 为2)32(-x +y 2=94. 故点P 轨迹为以)0,3 2 (为圆心，32为半径的圆。 解析二：设动点P(cosθ, sinθ), 直线OM:y=tan 2θx, 直线PA: y=2 cos sin -θθ (x-2), 由OM 的方程可得tan x y = 2 θ (x≠0),代入PA 的方程得y=)2(1 )(32 2---x x y x y ，化简可得(x-32)2+y 2=9 4 (y≠0)，即为动点M 的 轨迹方程 解析三：∵||||2||||||||ON AN PO AO MP AM ===，∴N(32, 0)且|MN|=32，轨迹是以N(32,0)为圆心，以3 2 为 半径的圆． 例3 已知两点P(-2,2)，Q(0,2)以及一条直线l :y=x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）。 解：∵线段AB 在直线y=x 上移动，且|AB|=2，因此，可设点(a,a), B(a+1, a+1).∴直线PA 的方 程为y-2= 22+-a a (x+2)(a≠-2) ① 直线QB 的方程为y-2=2 2 +-a a x(a≠-1) ② 当a=0时，直线PA ，QB 平行，两条直线无交点； 当a≠0时，直线PAQ 与QB 相交，设交点为M (x, y)。由②式可得a= 2 2 +--+y x y x ，将其代入①式，整 理，得x 2-y 2+2x-2y+8=0 ③ 当a=-2或a=-1时，直线PA 和QB 的交点也满足 ③。∴所求轨迹方程为x 2+y 2+2x-2y+8=0. 例4 直线y=kx 与圆x 2+y 2-6x-4y+10=0相交于两个不同点A ，B ，当k 取不同实数值时，求AB 中点的轨迹方程。 解：设直线与圆的交点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线与圆的方程化为(k 2+1)x 2-(6+4k)x+10=0。由韦达定理得x 1+x 2= 1 462 ++k k 。设AB 的中点M(x, y)，则x=1232221++=+k k x x . ① 又∵点在直线y=kx 上，∴y=kx, ②，这就是轨迹的参数方程。下面消参得到轨迹的普通方程： 由②得：k=x y ，代入①得 x= 2)(1) (23x y x y ++ (x≠0)，整理得x 2+y 2-3x-2y=0. 又直线过定点O(0, 0)在已知的圆外，所以动点M 的轨迹在已知圆内。 故所求的轨迹方程是x 2+y 2-3x-2y=0（在已知圆内部分）。 指出：设点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，把其坐标作为参数，结合韦达定理，把轨迹表达成k 的参数方程。 解法二：设两交点A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，则：?????=+--+=+--+. 01046, 01046222 222112121y x y x y x y x 两式相减化 为 4621212121-+-+-=--y y x x x x y y ①，设AB 中点M(x, y)，则x 1+x 2=2x, y 1+y 2=2y ，且x y k x x y y ==--2121 。代入①式化为：x 2+y 2-3x-2y=0（在已知圆内部分）。这就是所求弦的中点的轨迹方程。 指出：这是与弦的斜率、中点有关的问题。利用“点差法”找出斜率与点的坐标间的关系。 解法三：已知的圆化为(x-3)2+(y-2)2=3，其圆心C(3, 2)，任作一割线OAB ，记线段AB 中点为M ，由CM ⊥OB （如图7-7-8）。∴动点M 在以定线段OC 为直径的圆上，这个圆的圆心 D( 23, 1), r 2=(23)2+12=413，圆的方程为(x-23)2+(y-1)2=4 13 。 ∵动点M 是圆的弦AB 的中点，故动点M 在圆的内部，其轨迹是在圆内部分的一段圆弧，满足x 2+y 2-6x-4y+10<0。 综上所述：所求弦AB 中点的轨迹方程为(x- 23)2+(y-1)2=4 13 ，且 满足x 2+y 2-6x-4y+10<0. 指出：研究几何图形得直线OAB ⊥CM ，∴所求的轨迹在以OC 为直径的圆上 （点C 是已知圆的圆心）。 例5 如图8—8，给出定点A （a ，0）（a ＞0）和直线l ：x =－1.B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系. 解: 依题意，记B （－1，b ）（b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和 y =－bx .设点C （x ，y ），则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式 得 |y |= 2 1||b bx y ++ ① 依题设，点C 在直线AB 上，故有：y =－ a b +1（x －a ）,由x －a ≠0，得b =－a x y a -+)1( ② 将②式代入①式得：y 2 ［1+2 22)()1(a x y a -+］=［y －a x xy a -+)1(］2.整理得：y 2 ［（1－a ）x 2－2ax +（1+a ）y 2］=0, 若y ≠0，则（1－a ）x 2－2ax +（1+a ）y 2=0（0＜x ＜a ）；若y =0，则b =0，∠AOB =π，点C 的坐标为 （0，0）.满足上式. 综上得点C 的轨迹方程为：（1－a ）x 2－2ax +（1+a ）y 2=0.（0≤r ＜a ),∵ a ≠1， ∴11)1() 1(2 2 222 =-+--- a a y a a a a x （0≤r ＜a ) ③ 由此知: 当0＜a ＜1时，方程③表示椭圆弧段；当a ＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段. 解法二：如图8—23，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足 （Ⅰ）当|BD |≠0时，设点C （x ，y ），则0＜x ＜a ，y ≠0. CE ∥BD ，得|BD |= x a y EA DA CE -=?| |||||||（1+a ）, ∵∠COA =∠COB =∠COD －∠BOD =π－∠COA －∠BOD ,∴2∠COA =π－∠BOD, ∵tan （2∠COA ）= COA COA 2 tan 1tan 2-，tan （π－∠BOD ）=－tan BOD ，tan COA =x y | |， tan BOD =x a y OD BD -=||||||（1+a ）,∴x a y x y x y --=-? ||1| |22 2 （1+a ）,整理得：（1－a ）x 2－2ax +（1+a ）y 2 =0. （0＜x ＜a ） （Ⅱ）当|BD |=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为（0，0），满足上式.综合（Ⅰ）（Ⅱ），得点C 的轨迹方程为（1－a ）x 2－2ax +（1+a ）y 2=0（0≤x ＜a ）.以下同解法一. 例6 已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上。 （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程； （Ⅱ）设过点P ，且斜率为－ 3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点. （i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围. 解:（Ⅰ）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x . 解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |，所以|x +1|=22)1(y x +-.化简得：y 2=4x . （Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－ 3（x －1） . 由?????=--=. 4),1(32 x y x y 消y 得3x 2－10x 解得x 1=31，x 2=3.所以A 点坐标为（332,31），B 点坐标为（3，－23），|AB |=x 1+x 2+2=316 .C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且 |AC |=|AB |，即???? ???=-++=+++. )316()32()13 1(,)316()32()13(22222 2y y ①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2， 解得y =－ 9314. 但y =－9 314,不符合①，所以由①，②组成的方程组无解. 因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由???-=--=. 1), 1(3x x y 得y =23，即当点C 的坐标为 （－1，2 3）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－3 1）2 +（y －332）2=334928y -+y 2， |BC |2=（3+1）2+（y +2 3）2=28+43y +y 2，|AB |2=（ 3 16）2=9256 . 当∠CAB 为钝角时，co sA =| |||2||||||2 22AC AB BC AC AB ?-+<0.即|BC |2 >|AC |2+|AB |2， 即925633492834 2822++-> ++y y y y ，即y >39 2时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即 9256 342833492822+++>+-y y y y ，即y <－3310时，∠CBA 为钝角.又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即 2234283 349289256y y y y ++++->， 即0)3 2(,0343342 2 <+<++ y y y .该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9 3 23310≠>- 35）2+（y +332）2=（38）2.圆心（33 2 ,35-）到直线 l ：x =－1的距离为 3 8 ，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－332）. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角.因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31 (33332-=- x y .令x =－1得y =9 32. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +233 3=（x －3）.令x =－1得y =－3310. 又由???-=--=. 1),1(3x x y 解 得y =2 3，∴当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形. 因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－ 3310或y >9 3 2（y ≠23）.
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