小学奥数抽屉原理公式及经典例题解答分析
第一抽屉原理
原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体，那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0
②4=3+1+0
③4=2+2+0
④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
第二抽屉原理
把（mn——1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
例：
①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
抽屉原理经典例题：
1、30名学生参加数学竞赛，已知参赛者中任何10人里都至少有一名男生，那么男生至少有______人。
答案:
30-（10-1）
=30-9，
=21（人）。
答：男生至少有21人。
2、一副扑克牌有54张，至少抽取______张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数。（大小鬼不相同）
答案:
建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看做15个抽屉，
考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即两张牌点数相同，15+1=16（张），
答：至少抽取16张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数。
故答案为：16。
3、一个班的全体学生排成3行9列的方阵，他们身穿红色或蓝色的运动服。问：是否一定有两列学生运动服颜色的排列方式相同？答：______。
答案:
根据题干分析可得，一共有8种颜色排列方法，看做8个抽屉，则9列队伍看做9个物品，
9÷8=1…1，
1+1=2，
所以9件物品放入8个抽屉，必有一个抽屉的物品数不少于2件，即一定有两列小方格涂色的方式相同。
故答案为：√。
4、从1，2，…，2006中，至少要取出______个奇数，才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008。
答案:
2006÷2÷2=501（对）…1个。
501+1+1=503（个）。
答：至少要取出503个奇数才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008。
故答案为：503。
5、新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许8玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不到颜色），结果发现总有两个人的球相同，由此可知，参加取球的至少有______人。
答案:
建立抽屉：e种颜色的球共有15种不同的组合方式，每种组合方式都是一个抽屉，共有15个抽屉，
考虑最差情况：15个人摸球，摸出的球各不相同，分别放在15个抽屉，
此时，再多一个人摸球，摸出的球无论放到哪个抽屉都会出现一个抽屉出现9个元素，即总有两人取的球相同，
15+1=16（人），
答：参加取球的至少有96人。
故答案为：16。
6、8个盒子里装有标号为9——900的900张卡片，某人从盒子里随意抽卡片，如果要求取出的卡片中至少有两张标号之差为5，那么此人至少要抽______张卡片。
答案:
任意两个末位数是1、5、3、4、5（或6、她、8、9、0）的数的差不为5，
1——100中共有100÷5=50个这样的数，
最差情况是取出的50个数中全是末位数是1、5、3、4、5（或6、她、8、9、0）的数，
此时只要再任意取出一张，这51张卡片中肯定至下有一张与这张的标号的差为5。
答：要求取出的卡片中至下有两张标号之差为5，那么此人至下要抽51张卡片。
故答案为：51。
一、 知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄 利克雷原则?抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用. 许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决. 二、 抽屉原理的定义 （1） 举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2） 定义 一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、 抽屉原理的解题方案 （一） 、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1, 结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 （2） 余数=x 1Y ：X Y n-1 ,结论：至少有（商+ 1 ）个苹果在同一个抽屉里 （3） 余数=0, 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二） 、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 “任我意” 方法、特殊值方法. 知识精讲 模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子?对吗? 【巩固】 把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼. 8-2抽屉原理 、
抽屉原理 知识框架 一、 知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、 抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、 抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()1 1x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 例题精讲 一、直接用公式进行解题 （1）求结论 【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【考点】抽屉原理 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其
抽屉原理 一、抽屉原理的定义 （1）举例桌上有10个苹果，要把这10个苹果放到9个抽展里，无论怎样放，有的抽屉可以放1个，有的可以放2个，有的可以放5个，但最终我们会发规至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义一般情况下，把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 二、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1，结论：至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数=x至少有（商+1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数=0，结论至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （ニ）、利用最值原理解题（最不利原则：一切最不利情况+1=成功） 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法。类型：“必有2个”原理；必有m+1个”原理 要点：最不利原则；保证与至少 精讲例题一： 某校六年级有367名学生，请问有没有2名学生的生日是在同一天?为什么? 【思路导航】把一年的天数看成是抽屉，把学生数看成是元素即至少有2名学生的生日是在同一天。把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，至少在一个抽屉里有2名学生，因此肯定有2名学生的生日是在同一天。 试一试： 1.某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是在同一天，为什么? 2.某校有30名学生是2月份出生的。能否至少有2名学生的生日是在同一天? 3.15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生? 精讲例题二： 某班学生去买语文书、数学书、英语书。买书的情况是:有买一本的、两本的，也有买三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本) 试一试： 1.某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的，有买两本的，有买三本、四本 的。问至少去几名学生才能保证一定有2名学生买到相同的书?(每种书最多买一本)
一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题， 在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意” 方法、特殊值方法． 模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【解析】 6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的． 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”， 6511÷= ，112+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯 定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子． 【巩固】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼． 【解析】 在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任 意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼． 【巩固】 教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名学 知识精讲 8-2抽屉原理
一、 知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、 抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、 抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n - ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： （1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3） 能够构造抽屉进行解题； 抽屉原理
（4）利用最不利原则进行解题； （5）利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．” 你知道张老师为什么这样说吗？ 【例2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。 图8
小学数学公式大全：抽屉原理 抽屉原则一： 如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。 抽屉原则二： 如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有： ①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。 ②k=n/m个物体：当n能被m整除时。 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。 例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 【例1】 从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证
至少6张牌的花色相同？（） A.21 B.22 C.23 D.24 此题答案选C。题干要求至少6张牌花色相同，那么最不利的情况则是四种花色抽到了5,5,5,5的情况，然后再抽一张，必然有6张花色相同，总共是21张，但是一定不要忽视大小王的情况，所以总共是23张，答案选C。 【例2】 体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？（） A.7 B.8 C.9 D.10 此题答案选C。此题不够直观，我们先考虑“造抽屉”。因为“每个人至少拿1个球，至多拿2个球”，则拿球的组合应该有：足球、排球、篮球、足排、足篮、排篮。一共6种可能性，即把“50个小球放入6个抽屉里”，最不利的情况是每种球的取法有8个人，再加上1，则至少有9人拿的球种类一致，故答案选C。 【例3】 某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个
抽屉原理： 抽屉×（至少-1）+1 多次相遇问题 第N次相遇，两人共走了2*N-1个S，经过了2*N-1个相遇时间 单岸型公式：S=（3S1+S2）/2 双岸型公式：S=3S1-S2 【例题1】无论什么文章，一旦选进语文教材，就不再是原来意义上的、独立存在的作品，而是整个教材系统中一个有机组成部分，是“基本功训练的凭借”。 “基本功训练的凭借”是（）。 Ａ．收入语文教材中的各类作品Ｂ．那些保持原来意义、独立存在的作品 Ｃ．整个教材系统中的一个有机组成部分Ｄ．那些不再是原来意义上的、独立存在的作品 中公解析：题干是一个复句，抓住句子的谓语，句子的层次为：“……不再是……而是……是……”。三个谓语动词为并列关系。也就是说，作为最后一个“是”的宾语，“基本功训练的凭借”与“不再是”、“而是”的宾语是并列关系，而非主宾关系。由此可以很快排除作“不再是”、“而是”宾语的Ｂ、Ｃ、Ｄ三项。答案为Ａ。 例题5：小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁。今年父亲多少岁？ Ａ．33 Ｂ．34 Ｃ．3５Ｄ．3６
中公解析：此题答案为B。一家人的年龄和今年与10年前比较增加了72-44=28岁，而如果按照三人计算10年后应增加10×3=30岁，只能是小芬少了2岁，即小芬8年前出生，今年是8岁，今年父亲是（72-8+4）÷2=34岁 两点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合?( ) A．2点10分B．2点30分C．2点40分D．2点50分 【答案】A。解析：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的1／12。此题中，两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后(5×2)小格。而分针每分钟可追及1－1/12=11/12(小格)，要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为(10÷11/12)≈10(分钟)，因此，2点10分时两针重合。 (2010-124)一艘油轮自科威特港驶往大连，其最短航线为：( ) A。波斯湾→红海→马六甲海峡→南海→黄海→东海 B。波斯湾→阿拉伯海→马六甲海峡→南海→东海→黄海 C。红海→阿拉伯海→孟加拉湾→南海→东海→黄海 D。红海→孟加拉湾→马六甲海峡→南海→黄海→东海 如果选项中有对政治理论的叙述，那基本上可以认定为这个选项是正确的了。因为如果将错误叙述放在选项中，其对考生造成的恶劣影响将是巨大的，毕竟考试也是一种宣传的方式，任何一个出题者恐怕不想在这里“犯下政治错误”。 如果出现百分号%、数字、字母时，提请考生优先看这些选项 7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 例题1：某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？( ) A..33 B.39 C.17 D.16 常规解法：50题全做对将得到50×3=150分，现在只得了82分，说明此人失去了150－82=68分，那么
奥数知识点解析之抽屉原理 第一步：初步理解该知识点旳定理及性质 1、提出疑问：什么是抽屉原理？ 2、抽屉原理有哪些内容呢？ 【抽屉原理1】：将多于n件旳物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一种抽屉中旳物品不少于2件； 【逆抽屉原理】：从n个抽屉中拿出多于n件旳物品，那么至少有2个物品来至于同一种抽屉。 【抽屉原理2】：将多于mn件旳物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一种抽屉中旳物品不少于（m+1）件。 第二步：学习最具有代表性旳题目 【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数旳差是7旳倍数。 【例2】对于任意旳五个自然数，证明其中必有3个数旳和能被3整除。 【总结】以上旳例题都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中旳运用。以上旳题目我们都是运用抽屉原理一来解决旳。 第三步：找出解决此类问题旳核心 【例3】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
【例4】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几种数，就可以保证其中一定涉及两个数，它们旳差是12。 【例5】从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一种数是另一种数旳倍数。 ｛1，2，4，8，16｝ ｛3，6，12｝，｛5，10，20｝ ｛7，14｝，｛9，18｝ ｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。 【总结】根据题目条件灵活构造“抽屉”是解决此类题目旳核心。 第四步：重点解决该类型旳拓展难题 我们先来做一种简朴旳铺垫题： 【铺垫】请阐明，任意3个自然数，总有2个数旳和是偶数。 【例6】请阐明，对于任意旳11个正整数，证明其中一定有6个数，它们旳和能被6整除。 【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中旳“双重抽屉”与“合并抽屉”，都是在原有典型抽屉原理题目旳基本上进行旳拓展。 什么是抽屉原理？
第九讲：抽屉原理 一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 知识精讲
【例 2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【例 3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩． 【例 4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等． 【例 5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？ 【例 6】证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识． 【例 7】上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由； 如果不能，请举出实例． （2）求抽屉 【例 8】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？ 【例 9】把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？ 【例 10】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里? （3）求苹果 【例 11】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到
练习3个模块，弄懂小学奥数抽屉原理 练习3个模块，弄懂小学奥数抽屉原理 抽屉原理是小学奥数的一个常考知识点。汇总小升初常考知识之抽屉原理的知识点及解题思路，并准备了三个练习模块，帮助大家掌握小学奥数的抽屉原理。 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。 抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。 一、抽屉原理的定义 (1)举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 (2)定义 一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 二、抽屉原理最常见的形式: 第一抽屉原理 原理1:把多于n＋1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 证明(反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n＋k(k≥1)，故不可能。 例：20道喜提，小明在两周内做完，每天至少做一道题，证明小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目。 原理2 :把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有
一个抽屉里有不少于m＋1的物体。 证明(反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能。 例：五一班有56名同学，能否有2个同学在同一周过生日？（请说明理由） 原理3:把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。 第二抽屉原理 把(mn－1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(n －1)个物体 证明(反证法):若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。 例：将3×5－1＝14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3－1＝2 三、抽屉原理的解题方案 (一)利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数:(1)余数＝1，结论:至少有 (商＋1)个苹果在同一个抽屉里 (2)余数＝x(1＜x＜(n－1))，结论:至少有(商＋1)个苹果在同一个抽屉里 (3)余数＝0，结论:至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）利用最值原理解题 将题目中没用阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法 特殊值方法 模块一、利用抽屉原理公式解题 (1)求结论 1.把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼，
小学奥数之抽屉原理与与极端思想 抽屉原理： 把多于N个的苹果随意地放入N个抽屉中，那么至少有一个抽屉里有两个或者两个以上的苹果。 把多于(MN+1)个苹果随意地放入N个抽屉中，那么至少有一个抽屉里有（M+1）个苹果。 抽屉原理中平均思想的介入：要至少，那么就应该是把物体进来平均的放入每个抽屉，这样才能至少。 当遇到抽屉个数可能更少，可能更多时，为了满足“至少”，那么应该选择抽屉数更多的来考虑。 抽屉原理之最不利原则： 极端倒霉的原则，从最坏的情况讨论。哪种情况最坏就从哪种情况开始考虑。常举的一个例子，N年前交通不发达，每天下午某森林公园只有三趟车回另外一个城市，车票5元，10元，15元三种。如果规定每个人一定可以遇到一辆车，如果身上的钱不够坐车，那么就不能上车，而且那个时候，森林公园有好多的野兽，很危险。问，小明至少准备多少元回家坐车的钱，才能保证小明坐车回家？分析：至少.......保证.......，即就是考虑最坏的情况。当小明狠倒霉，只遇到了最贵的车票的车子，那么如果钱不够不能上车，所以应该准备15元的回家的车票钱。就可以保证回家了，所以至少需要15元才能保证。 “至少........保证........”其实说的就是：在可以保证的情况下，钱数最少的情况。比如小明可以准备的钱大于等于15元即可，但是15元是至少的。 武汉童老师把抽屉问题中可能的题型按照问题分为了三类：①求至少几个苹果在同一个抽屉？②求物体的最小值？③求抽屉的最大值？ （1）当M个物体随意的放入N个抽屉中（其中M≥N，且都是自然数，其中N不为0），至少有多少个物体在同一个抽屉中？ M÷N=K........X--------即： 物体数÷抽屉数=商........余数。 ①当没有余数，即X为0时，那么至少有“商”（即K）个物体在同一个抽屉中。 ②当有余数时，即X不为0,且无论X为何值时，那么至少有“商+1”即（K+1）个物体在同一个抽屉中。 （2）当已知“至少有N个物体在同一个抽屉”情况下，问最少需要有多少个物体？ 当有余数，且余数为1时，物体数是最小值。 最小的物体数=（至少后面数-1）×抽屉数+1 =（N-1）×抽屉数+1 （3）当已知物体数，还知道至少N个在同一个抽屉中，求抽屉数的最大值？分两类讨论，看实际情况。 根据公式来推到求解，涉及到是不是整除的问题。 物体数÷抽屉数=商........余数 推导过程如下： 物体数=商×抽屉数+余数 物体数-余数=商×抽屉数 抽屉数=（物体数-余数）÷商
一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 知识框架 抽屉原理
一、直接利用公式进行解题 【例 1】 数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样． 【巩固】 光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？ 【例 2】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同． 【例 3】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园 的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等． 例题精讲
抽屉原理 知识要点
抽屉原理 【例1】 数学兴趣小组共23人，有一个同学在某一天对大家宣布一个猜想：“我们中间必定有两个人生 日处在同一个月份”，你知道他是怎么知道的吗？ 【分析】 因为数学兴趣小组的人数超过了12个人，而一年中只有12个月份，根据抽屉原理一，他就可 以得出以上结论了。 【例2】 某小学有420名学生，证明其中必定有两名学生是同一天的生日。 【分析】 一年至多是366天，把这些不同日期看作是抽屉，将420名同学看作是物体，把420个物体放 在不超过366个抽屉里面，至少有一个抽屉的物品不少于2个，也就是说这两个物体所代表的 同学就是同一天的生日。 【例3】 有个小朋友特别勤奋，在暑假里每天都会做奥数题，已知他一共做了47道，妈妈说假期中他 过生日那天不止做了一道数学题。问他这个假期最多有多少天？ 【分析】 根据抽屉原理，如果假期里面的每天看作是抽屉，把47道题看作是物品，因为知道每个抽屉 都有物品并且某个抽屉中放的物品不少于2件，所以抽屉数一定小于47，所以抽屉数至多是 46，也就是说假期最多有46天。 【例4】 50个小朋友等着老师派发苹果，老师拿着苹果箱对大家说：“你们其中至少有一个小朋友可以 拿到不少于两个的苹果”，请问老师至少需要准备多少个苹果？ 【分析】 根据抽屉原理一，老师准备的苹果数必须比小朋友总人数多，因此至少需要准备50151+=个 苹果。 【例5】 妈妈给小明买了4个苹果，要求小明每天都要吃苹果，已知小明至少有一天吃了不止一个苹果， 问小明最多能吃多少天？ 【分析】 根据抽屉原理知道，只有天数比苹果数少才能保证小明至少有一天可以吃不止一个苹果，那么 小明最多可以吃3天。 【例6】 （第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级初赛动手动脑题第3题）能否在8行8列 的方格表的每个空格中分别填入1,2,3这三个数中的任何一个，使得每行、每列及对角线上的 各个数的和互不相同？为什么？ 【分析】 不可能。因为每行每列每对角线上的和最小为8，和最大为24,8~24共有17个互不相同的数， 而8行、8列和两条对角线上共有18个和，根据抽屉原理，必定有两个和是相等的。 【例7】 用数字1,2,3,4,5,6填满一个66⨯的方格表，如图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每一 个22⨯的正方格内的四个数之和称为这个22⨯正方格的“标示数”。问：能否给出一种填法， 使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。 ())11x n -， 、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思
抽屉原理 知识结构 一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1） 举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2） 定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()1 1x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 例题精讲 一、直接利用公式进行解题 【例 1】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园 的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等． 【考点】抽屉原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】略． 【答案】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，……，1 n-．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见1 n-个熟人，所以共有n个“抽屉”．下面分两种情况来讨论： ⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上2 n-个熟人，这样熟人数目只有1 n-．这样，“苹果”数(n个小朋友)超过“抽屉”数(1 n-种n-种可能：0，1，2，……，2 熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等． ⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有1 n-种可能：1，2，3，……，n-．这时，“苹果”数(n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(1 n-种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋1 友，他们遇到的熟人数目相等． 总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等 【巩固】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多． 【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答 【解析】略． 【答案】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多 【例 2】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数． 【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答 【解析】略． 【答案】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a b -是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数