高中数学——基本不等式培优专题
周易文编辑
2019年8月江西宜春
目录
培优（1）常规配凑法
培优（2）“1”的代换
培优（3）换元法
培优（4）和、积、平方和三量减元
培优（5）轮换对称与万能k法
培优（6）消元法（必要构造函数求异）
培优（7）不等式算两次
培优（8）齐次化
培优（9）待定与技巧性强的配凑
培优（10） 多元变量的不等式最值问题 培优（11） 不等式综合应用
培优（1） 常规配凑法
1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________
2. 已知实数x,y 满足116
2
2
=+y x ，则22y x +的最大值为_____________
3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1
1)((≥++y
x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值
是（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -+++1
1
的最小值是_____________
5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且
ab b
a =+3
2，则ab 的最小值是_____________
6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则b
b a 21
4+
-的最小值是_____________
7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11
1
11=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ）
A.23
B.22
C.3
D.2
培优（2） “1”的代换
8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b
a b 1
+的最小值为_____________此时a=______
9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+
b a 则b a
+2
的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9
10.（2017西湖区校级期末）已知实数x,y 满足x ﹥y ﹥0,且x+y=2，则3y
x 4y -x 1++的最小值是_____________
11.（18届金华十校高一下期末）记max ｛x,y,z ｝表示x,y,z 中的最大数，若a ﹥0,b ﹥0,则max ｛a,b,
b
a 3
1+｝ 的最小值为（ ）
A.2
B.3
C.2
D.3
12. 已知a,b 为正实数,且a+b=2，则21
22
2-+++b b a a 的最小值为_____________
13. 已知正实数a,b 满足
1)2(2
21=+++a
a b b b a ）（，则ab 的最大值为_____________
（补充题）已知x,y ﹥0,则
2
222296y x xy
y x xy +++的最大值是_____________
培优（3） 换元法
14.（2019届超级全能生2月）已知正数x,y 满足x+y=1,则
y
x 21111+++的最小值是（ ） A. 2833 B.67 C.5223+ D.
56
15.（2019届模拟7）已知㏒2(a-2)+ ㏒2(b-1)≥1，则2a+b 取到最下值时ab=（ ）
A.3
B.4
C.6
D.9
16.（2018温州期中）已知实数x,y 满足2x ﹥y ﹥0,且
12121=++-y
x y x ，则x+y 的最小值为（ ） A.5323+ B.5324+ C.5342+ D.53
43+
17.（2018杭州期末）若正数a,b 满足a+b=1,则b
b
a a ++
+11的最大值是_____________
18.（2017湖州期末）若正实数x,y 满足2x+y=2,则2
2142
2+++x y y x 的最小值是_____________
19.（2018河北区二模）若正数a,b 满足
111=+b a ，则1
9
11-+
-b a 的最小值为（ ） A.1 B.6 C.9 D.16
20.（温岭市2016届高三5月高考模拟）已知实数x,y 满足xy-3=x+y,且x ﹥1，则y(x+8)的最小值是（ ）
A.33
B.26
C.25
D.21
21. 若正数x,y 满足111=+y x ，则1
914-+-y y
x x 的最小值为_____________
22.（2018届嘉兴期末）已知实数x,y 满足194=+y x ，则1132+++y x 的取值范围是_____________
23.（2018上海二模）若实数x,y 满足112244+++=+y x y x ，则S=y x 22+的取值范围是_____________
培优（4） 和、积、平方和三量减元
24.（2019届台州4月模拟）实数a,b 满足a+b=4,则ab 的最大值为_____________，
则)1)(1(22++b a 的最小值是_____________
25. (2019届镇海中学考前练习14)已知正数x,y 满足xy(x+y)=4,则xy 的最大值为_____________，
2x+y 的最小值为_____________
26.（2018春台州期末）已知a,b ∈R ，a+b=2,则的最大值为（ ）
A.1
B.5
6
C.212+
D.2
27.（2016宁2波期末14）若正数x,y 满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值是_____________
28.（2018届诸暨市期中）已知实数x,y 满足
214-=+xy x y y x ，则1
22-+y x xy 的最大值为（ ） A.332 B.23 C.
13
3
2+ D. 21
3+
29.（2018台州一模）非负实数x,y 满足324442222=+++y x xy y x ,则x+2y 的最小值为_____________，
xy y x 2)2(7++的最大值是_____________
30.（2018春南京）若x,y ∈(0,+∞),,42
=++xy y
x 则17212
2+++xy y x xy 的取值范围是_____________
31.（2017武进区模拟）已知正实数x,y 满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y 的最小值为_____________
32.（2017宁波期末）若正实数a,b 满足ab b a 61)2(2+=+,则1
2++b a ab
的最大值为_____________
培优（5） 轮换对称与万能k 法
33.（2019嘉兴9月基础测试17）已知实数x,y 满足1422=++y xy x ，则x+2y 的最大值为_____________
34.（2016暨阳联谊）已知正实数x,y 满足2x+y=2,则22y x x ++的最小值为_____________
35. 已知正实数a,b 满足1922=+b a ，则b
a ab
+3的最大值为_____________
36. 已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, 1222=++c b a 则a 的最大值为_____________
37.（2018届杭二高三下开学）若164922=++xy y x ，x ∈R ，y ∈R ，则9x+6y 的最大值为_____________
培优（6） 消元法（必要构造函数求异）
38.（2016十二校联考13）若存在正实数y,使得y
x x y xy 451
+=-，则实数x 的最大值为_____________
39.（2019届镇海中学5月模拟13）已知a,b ∈+R ，且a+2b=3,则
b
a 2
1+的最小值是_____________， 2
22
1b a +的最小值是_____________
40.（2019届金华一中5月模拟9）已知正实数a,b 满足a+b=1,则的最大值是（ ）
A.2
B.21+
C. 1332+
D. 22
23+
41.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则b
a b
a u ++=
32（ ） A.有最大值为514 B. 有最小值为5
14
C.没有最小值
D.有最大值为3
42.（2018湖州期末）已知a,b 都为正实数，且
31
1=+b
a ，则a
b 的最小值是_____________ ab
b
+1的最大值是_____________
培优（7） 不等式算两次
43. 设a ＞b ＞0,那么)
(1
2b a b a -+
的最小值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
44. 设a ＞2b ＞0，则)
2(9
)(2b a b b a -+-的最小值为_____________
45.（2017天津）若a,b ∈R,ab ＞0，则ab
b a 1
444++的最小值为_____________
46. 若x,y 是正数，则22)21
()21(x
y y x +++的最小值是_____________
47. 已知a,b,c ∈(0,+∞),则ac
bc c b a ++++25
)(2222的最小值为_____________
48.（2018天津一模）已知a ＞b ＞0，则b
a b a a -+
++2
32的最小值为_____________
49.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则b
a b
a u ++=
32（ ） A.有最大值为514 B. 有最小值为5
14
C.没有最小值
D.有最大值为3
50. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0且a+b=2,则2
5
2-+-+c c ab c b ac 的最小值是_____________
培优（8） 齐次化
51.（2019届杭高高三下开学考T17）若不等式)(222x y cx y x -≤-对满足x ＞y ＞0的任意实数x,y 恒成立，
则实数c 的最大值为_____________
52.（2019届绍兴一中4月模拟）已知x ＞0，y ＞0，x+2y=3，则xy
y x 32+的最小值为（ ）
A.223-
B.122+
C.12-
D.12+
53.（2018浙江模拟）已知a ＞0,b ＞0，则
2
222296b
a ab
b a ab +++的最大值为_____________ 若25422=+-y xy x ，则223y x +的取值范围是_____________
54.（2016新高考研究联盟二模）实数x,y 满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是_____________
培优（9） 待定与技巧性强的配凑
55.（2016大联考）若正数x,y,z 满足3x+4y+5z=6，则z
x z
++++2y 4z y 21的最小值为_____________
56.（2016杭二最后一卷）若正数x,y 满足11
x 1=+y
，则2210y xy x +-的最小值为_____________
57.（2016宁波二模）已知正数x,y 满足xy ≤1，则M=1
211x 1+++y 的最小值为_____________
58.（2016浙江模拟）已知实数a,b,c 满足14
1
41222=++c b a ，则ab+2bc+2ca 的取值范围是（ ）
A.(]4，∞-
B. []44，-
C. []42，-
D. []41，-
59.（2019江苏模拟）已知x,y,z ∈(0,+∞)且1222=++c b a ，则3xy+yz 的最大值为_____________
60.（2016大联考）已知12222=+++d c b a ，则ab+2bc+cd 的最大值为_____________
61.（2017学年杭二高三第三次月考）已知{}
222)()()(min T z x y z y x +++=，，，且x+y+z=2，
则T 的最大值是（ ）
A.38
B.8
C. 34
D. 3
2
62. 已知a,b,c ∈+
R ,则bc
ab c b a 22
22+++的最小值是_____________
63. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则bc ab 25+的最大值是_____________
64. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则ac+bc 的最大值为_____________,又若a+b+c=0,
则c 的最大值是_____________
培优（10） 多元变量的不等式最值问题
65.（2019届浙江名校新高考研究联盟第9题）已知正实数abcd 满足a+b=1,c+d=1，
则
d
1
abc 1+的最小值是（ ） A.10 B.9 C.24 D.33
66.（2019届杭四仿真卷）已知实数x,y,z 满足???=++=+51
22
22z y x z xy ，则xyz 的最小值为_____________ 67.（2019届慈溪中学5月模拟）若正实数a,b,c 满足a(a+b+c)=bc ，则c
b +a
的最大值为_____________ 68.（2017浙江期末）已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,a ﹥b ﹥c,则
2
2
c
a b +的取值范围是（ ）
A.)55,55(-
B. )5
1,51(- C.)2,2(- D. )55,2(- 69.（2018浦江县模拟）已知实数a,b,c 满足1222=++c b a ，则ab+c 的最小值为（ ）
A.-2
B.23-
C.-1
D.-2
1 70.（2016秋湖州期末）已知实数a,b,c 满足132222=++c b a ，则a+2b 的最大值为（ ）
A.3
B.2
C.5
D.3
71.（2019江苏一模）若正实数a,b,c 满足ab=a+2b ，abc=a+2b+c ，则c 的最大值为_____________
72.（2018秋辽宁期末）设a,b,c 是正实数且满足a+b ≥c ，则c
b a
a b ++
的最小值为_____________
73.（2017秋苏州期末）已知正实数a,b,c 满足11a 1=+b
，11
b a 1=++
c ，则c 的取值范围是_____________
74.（2019届浙江名校协作体高三下开学考17）若正数a,b,c 满足1222=--++bc ab c b a ，则c 的
最大值为_____________
75.（2018届衢州二中5月模拟12）已知非负实数a,b,c 满足a+b+c=1,则(c-a)(c-b)的取值范围
是_____________
76.（2018届上虞5月模拟16）若实数x,y,z 满足x+2y+3z=1, 194222=++z y x ,则z 的最小值
为_____________
培优（11） 不等式综合应用
77.（2018春衢州期末）已知x,y ＞0，若,1464x y x y +=
++ 则y
x 1
4+的最小值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 78.（2018嘉兴模拟）已知,0x ,84
1x ）＞（y y
x y ++=
+则x+y 的最小值为（ ）
A.35
B.9
C.2624+
D.10 79.（2018越城区校级）已知x,y ＞0，且,419211x =+++y x y 则y
167x 3-的最小值是_____________ 80.（2016台州期末）已知a,b,c ∈(0,1),设
a
c c b b a -+
-+-+11
2,112,112这三个数的最大值为M ， 则M 的最小值为（ ）
A.5
B.223+
C. 223-
D.不存在 81.（2019乐山模拟）已知实数x,y 满足x ＞1，y ＞0, ,111114x =+-+
+y
x y 则
y 1
1-x 1+的最大值 为_____________
82.（2019乐山模拟）已知x,y 为正实数，且满足
)2)(23(12
-+=-y y xy ）（，则y
1
+x 的最大值 为_____________
83.（2019届镇海中学最后一卷）已知x,y ＞0，且1y 1
x
82
=+，则x+y 的最小值为_____________
一元一次不等式综合 【例题求解】 【例题1】（1）已知关于x 的不等式组 5 2x 0 无解，则a 的取值范围是是 ______________________ x a 0 思路点拨：从数轴上看，原不等式组种两个不等式的解集没有公共部分。 （2）已知不等式3x a 0的正整数解恰好是1、2、3，贝y a 的取值范围是 思路点拨：由题意，结合数轴，理解 a x 3 7x m 0 的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等 6x n 0 式组的整数 m 和n 的值是多少。 【例题3】解下列不等式（组） (1) 2m 3 3x n (2) x 2 10 【例题2】如果关于x 的不等式组 思路点拨：借助数轴，分别建立 m n 的不等式，确定整数 m n 的值。
（3 ）求不等式x 1 x 2 3的所有整数解。 思路点拨：与方程类似，解含有字母系数的不等式（组）需要对字幕系数进行讨论；解含有绝对值符号的不等式（组）的关键是去掉绝对值符号，化为一般的不等式求解。 【例题4】已知三个非负数a、b、c满足3a 2b c 5和2a b 3c 1，若m 3a 求m的最大值与最小值。 思路点拨：本体综合了方程、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组， 字母的代数式来表示m,通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求的最大值与最小值。 b 7c。 用含一个 m 【课堂练习】 1、若关于不等式组心X 1 5 4 的解集为x 4，则m的取值范围是x m 0
2、若不等式组2x a x 2b 1 的解集是1 3 集是1，则(a 1)(b 1)的值是 3 、 已知a 0，且ax ，则2x 6 2的最小值是 4、对于整数a、b、c、d,符号 ab 表示运算ac 5 、 -a<-b B 6 、 若方程组 7 、 dc bd ,已知1 1 b 3,则b+d的值是 0，则下列式子正确的是 4x y x 4y 已知a、b为常数, b2 1 的解满足条件0y 1，则k的取值范围是 ax b 0的解集是-，则bx-a<0的解集是 3
初一数学培优讲义—不等式（答案） 一、例题选讲 4 x m8 x 1 例 1、已知关于x 的方程：37，当m为某些负整数时，方程的解为负整数，试求负整数m的最大值。 4 x m 1，可得 m 4 x 1 解：原方程化简整理得：2121 4 x 因为 m为负整数，所以21必为小于-1的负整数 4 x1， x 21，即x 5 1 所以214 4 4 x 而要使 21为负整数，x必是21的倍数，所以x 的最大值为 -21 因为当 x 取最大值时， m也取得最大值，所以m的最大值为 -3 4 x 例 2、已知 m、n 为实数，若不等式 (2m-n) x+3m-4n<0 的解集为9 ， 求不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解。 解：由 (2m-n) x+3m-4n<0 得： (2m-n) x<4n-3m ， 2m n 0 (1) x 4 4n 3m 4 (2) 9 ，所以有2m n 9 因为它的解集为 n 7 m 由(2) 得8 代入(1) 得 m<0 n 7 m 5m x 5m 把8 代入(m-4n) x+2m-3n>0 得 2 8 1 1 x x ∵ m<0 ∴ 4 所以，不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解集为 4 例 3、解不等式： (1) (2x+1)2-7<(x+m)2+3x (x-1) (2) x 4 2x 3 1 解： (1) 原不等式可化为： (7-2m) x
不等式与不等式组 一、选择题 1. 如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A) 1>b a (B) b a ＜1 (C) b a 11< (D)a b ＜1 2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3. ｜a ｜＋a 的值一定是( )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4. 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 5. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 6. 九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一彩色底片0.68元，扩印一相片0.50元，每人分一．在 收来的钱尽量用掉的前提下，这相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人 7. 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这 种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 8. 若不等式组? ??>≤ 高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用 培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________ 7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9 不等式培优专题 一．选择 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521x a x ->??-≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组220x a b x ->??->?的解集为11x -<<，则 2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集4 1320 x x x a +?>+???+- 7． 不等式组951 1x x x m +<+??>+? 的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 6 0x m x n -≥??-?p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 三、解答题 1．求满足下列条件的最小的正确整数，n ：对于n ，存在正整数k ，使137 158<+ 一元一次不等式培优训练题 1、解不等式252133x -+-≤+≤- 2.求下列不等式组的整数解2(2)83373(2)82x x x x x x +<+??-≥-??-+>? 3、解不等式：（1） 0)2)(1(<+-x x （2） 0121>+-x x 4、对于1x ≥的一切有理数，不等式 ()12 x a a -≥都成立，求a 的取值范围。 5、已知1x =是不等式组()()352,2 3425x x a x a x -?≤-???-<+-? 的解，求a 的取值范围. 6、如果35x a =-是不等式 ()11233 x x -<-的解，求a 的取值范围。 7、若不等式组841,x x x m +<-?? >?的解集为3x >，求m 的取值范围。 8、如果不等式组237,635x a b b x a - 10、已知关于x 的不等式()12a x ->的解在2x <-的范围内，求a 的取值范围。 11、已知关于x 的不等式组010 x a x ->?? ->?，的整数解共有3个，求a 的取值范围。 12、已知关于x的不等式组 321 x a x -≥ ? ? -≥- ? 的整数解共有5个，求a的取值范围。 13、若关于x的不等式组 2145, x x x a ->+ ? ? > ? 无解，求a的取值范围。 14、设关于x的不等式组 22 321 x m x m -> ? ? -<- ? 无解，求m的取值范围 旗开得胜 1 专题2.2 基本不等式 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足2 2 1x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．1 B 3 C ． 22 D ． 12 【答案】D 【解析】因为22 2x y xy +≥，所以22 2=1y x x y +≤，得12 xy ≤ . 故选：D. 2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ） A ．18 B ．9 C ．6 D ．3【答案】C 【解析】因为90,30a b >>，22a b +=， 所以2293293233236a b a b a b a b ++≥?=?==， 旗开得胜 1 当且仅当233a b =，即1 ,12 a b = =时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C 3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥- C ．2a b ab +≥-D ．2a b ab +≤【答案】B 【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确； B.2222220a b ab a b ab +≥-?++≥，即()2 0a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确； D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B 4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241 x x y x -+=-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】依题意24 1 x x y x -+= -4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以 一元一次不等式培优专题训练一 例1 1、 用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由： (1)∵a >b,∴a －m ________b －m (2)∵a >2b,∴2 a ________ b (3)∵4a >5a,∴a ________0 (4)∵2x －1<9,∴x ________5 2、不等号填空：（1）、x 为任意有理数，x －3____x －4.（2）若a ＜0，b ＜0，则a ·b ____ab 2. 变式训练：（七中实验）若b a <，则2ac 2bc ；若22bc ac <，则a b （填不等号） ； 例2、不等式（组）的解法：1、不等式1 七年级上册《一元一次方程》培优 专题一：一元一次方程概念的理解: 例：若()2219203m x x m -- +=+是关于x 的一元一次方程，则方程的解是 。 练习： 1.()()221180m x m x --+-=是关于x 的一元一次方程，则代数式()()199231101m m m +-++的值为 2.若方程()()321x k x -=+与62 k x k -=的解互为相反数，则k= 。 3.若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（ ） A.4个 B.8个 C.12个 D.16个 专题二：一元一次方程的解法 （一）利用一元一次方程的巧解： 例： （1）0.2?表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.2?化成分数吗？ （2）0.23??表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.23??化成分数吗？ （二）方程的解的分类讨论： 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论。 （1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； （2）当0,0a b =≠时，方程无解； （3）当0,0a b ==时，方程有无数个解。 例：已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解，试求a 的值。 练习： 1.如果a ，b 为定值，关于x 的方程 2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a ，b 的值。 2.解方程 11x x a b a b ab --+-= 3.对于任何a 值，关于x ，y 的方程()11ax a y a +-=+有一个与a 无关的解，这个解是（ ） A.2,x y ==-1 B.2,1x y == C.2,1x y =-= D.2,1x y =-=- 4.问：当a 、b 满足什么条件时，方程251x a bx +-=-；(1)有唯一解；（2）有无数解； （3）无解 5.（1）a 为何值时，方程 ()112326 x x a x +=--有无数多个解？（2）a 为何值时，该方程无解？ 6.若关于x 的方程()()311x x k x -+=-无解，则k= 。 专题四：绝对值方程： 例4:解方程：（1）35x -= （2）30x -= （3）235x -= 例5：解方程： （1）215x x -++= （2）213x x -++= （3）212x x -++= 练习：19.解方程：（1）2313x x -=- （2）2313x x -=- ?x - 2b > 3 ?x > m ?x - a > 0 华东师大版七年级下册期中提优训练 《一元一次不等式》 【含参不等式参数范围】 1. 若关于 x 的不等式(a -1)x ＞a -1 的解集是 x ＞1，则 a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0 B ．a ＞0 C ．a ＜1 D ．a ＞1 2. 若不等式(a -4)x ≤4-a 的解集在数轴上表示如图所示，则 a 的取值范围是 ． 3. 已知 a ，b 为实数，若不等式组?2x - a < 2 的解集为-1＜x ＜1，那么(a -1)(b -1) ? 的值为 ． 4. 不等式组?-3x + 2 < ? x - 6 的解集是 x ＞2，那么 m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2 B ．m ＜2 C ．m ≥2 D ．m ≤2 6.已知关于 x 的不等式组 ?5 - 2x ≥ -1 无解，则 a 的取值范围是 ． ? A ．a ＜-2 B ．a ≤-2 C ．a ＞-2 D ．a ≥-2 8. 若不等式 2x + 5 -1≤ 2 - x 的解集中 x 的每一个值，都能使关于 x 的不等式 3 3(x -1)+5＞5x +2(m +x )成立，则 m 的取值范围是（ ） A. m > - 3 5 B. m < - 1 5 C. m < - 3 5 D. m > - 1 5 9. 已知关于 x 的不等式 4 x + 4 < 2x - 2 a 的解，也是不等式1- 2x < 1 的解，则 a 3 3 6 2 的取值范围是 ． 1 ?x < 2 ?7 - 2x ≤1 ?x - m > 1 10.若方程 3m (x +1)+1=m (3-x )-5x 的解是负数，则 m 的取值范围是 ． 11. 已知不等式 6x -1＞2(x +m )-3． （1） 若它的解集与不等式 x - 5 +1 < x + 3 的解集相同，求 m 的值； 2 （2） 若它的解都是不等式 x - 5 +1 < x + 3 的解，求 m 的取值范围． 2 【整数解问题】 12. 不等式 5x -3＜3x +5 的最大整数解是 ． 13. 若关于 x 的不等式 x -b ＞0 恰有两个负整数解，则 b 的取值范围是 ． 14. 如果不等式组?x > a 恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（ ） ? A ．a ≤-1 B ．a ＜-1 C ．-2≤a ＜-1 D ．-2＜a ≤-1 15. 若关于 x 的不等式组?x - m < 0 ? 的整数解共有 4 个，则 m 的取值范围是 ． A ．-6≤a ＜-5 B ．-6＜a ≤-5 C ．-6＜a ＜-5 D ．-6≤a ≤-5 17. 若关于 x 的不等式组?2x +1≤ 7 的所有整数解的和是 5，则 m 的取值范围是 ? ． 2 一元一次不等式培优训练 例1、要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 例2、已知6＜a ＜10， 2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 例3、若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。 例4、设7321x x x x ,,,,Λ均为自然数，且76321x x x x x <<<<<Λ，又2012721=+++x x x Λ，则21x x +的最大值是 。 例5、设实数a 、b 、c 满足a 当堂练习 一、选择题 1、如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则......................................( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2、a 、b 是有理数，下列各式中成立的是........................................( )． (A)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若a ＞b ，则a 2＞b 2 3、｜a ｜＋a 的值一定是......................................................................( )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4、若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足...............( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜1 (D)a ＜－1 5、若由x ＜y 可得到ax ≥ay ，应满足的条件是...............................( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 6、某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是........................................................( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 7、若不等式组?? ?>≤ 一元一次方程应用培优 一、含参数的一元一次方程解的问题 例1：问当a、b满足什么条件时，方程2x+5－a=1－bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。针对训练： 如果a、b为定值,关于x的方程2 3 kx a + =2+ 6 x bk - ,无论k为何值,它的根总是1,求a、b的值. 二、一元一次方程整数解的问题 例2：已知关于x?的方程9x-?3=?kx+?14?有整数解,?那么满足条件的所有整数k=_______. 针对训练： 已知关于x的方程2mx﹣6=（m+2）x有正整数解，则整数m的值是_________． 三、利润与利润率： 例3：一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价，又以八折优惠卖出，?结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为_________． 针对训练: 1.某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为______． 2.某件商品进价为800元，出售时标价为1200元，现准备打折出售该商品，但要保证利润率不低于5％，则最多可打（）A．6折 B．7折 C．8折．D9折 四、行程问题： 例4：某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 针对训练： 一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米? 五、行船问题： 例5：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时40分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离？ 针对训练： 1、轮船在静水中的速度是20千米/小时，从甲港顺流到乙港需8小时，返航时行走了6小时在距甲港68千米处发生故障，求水流速度？ 【巩固练习】 一.选择题 1.（2014春?玉环县期中）如图，已知一次函数y=kx+b 的图象，当x ＜0，y 的取值围是（ ） A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．y ＜﹣2 D ．2＜y ＜0 2. 已知一次函数y ax b =+的图象经过一、二、三象限，且与x 轴交于点（－2，0），则不等式ax b >的解集为（ ） A ．x ＞－2 B ．x ＜－2 C ．x ＞2 D ．x ＜2 3. 观察下列图象，可以得出不等式组3100.510x x +>?? -+>?的解集是（ ） A ．x ＜1 3 B ．13-＜x ＜0 C ．0＜x ＜2 D ．13-＜x ＜2 4. 已知11y x =-+，221y x =--，当x ＞－2时，1y ＞2y ；当x ＜－2时，1y ＜2y ，则直线11y x =-+和直线221y x =--的交点是（ ） A ．（－2，3） B ．（－2，－5） C ．（3，－2） D ．（－5，－2） 5. 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论中①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，1y ＜2y ；④方程组12 y kx b y x a =+??=+?的解是31x y =??=?．正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6. 如图所示，直线y kx b =+经过点A(－1，－2)和点B(－2，0)，直线2y x =过点A ，则不等式2x ＜kx b +＜0的解集为( ) A ．x ＜－2 B ．－2＜x ＜－1 C ．－2＜x ＜0 D ．－1＜x ＜0 二.填空题 7. 如图，直线y kx b =+与y 轴交于（0，3），则当x ＜0时，y 的取值围是______． 4．2 不等式的基本性质 专题一 不等式的基本性质 1．（2013·淄博）若a b >，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．a m b m +>+ B ．22(1)(1)a m b m +>+ C ．22 a b -<- D ．22a b > 2．如图， A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ，下列式子成立的是（ ） 0 图3b a B A A ．ab ＞0 B ．a b +＜0 C ．(1)(1)b a -+＞0 D ．(1)(1)b a --＞0 3.已知a 、 b 、 c 、d 都是正实数，且d c b a <.给出下列四个不等式： ①d c c b a a +<+； ②b a a d c c +<+； ③b a b d c d +<+； ④d c d b a b +<+；其中不等式正确的是 _____________________________. 4. 5. 状元笔记 【知识要点】 1.不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2.不等式的传递性：如果,a b b c >>，那么a c >. 【温馨提示】 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【方法技巧】 1．利用不等式的符号变化对乘以或除以的数或式子进行判断正负． 2．对于一些较复杂的变形，遇到两个或者两个以上的性质，一定要依据性质仔细分析，不要因盲目下结论导致判断失误． 参考答案： 1. D 解析：根据不等式的性质“不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变”，可知选项A 正确；由于m 2+1＞0，根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”，可知选项B 正确；根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，可知选项C 正确；由于a ，b 的正负不明确，故a 2，b 2的大小也不确定，如a =﹣1， b =﹣2时，满足a b >，但a 2＜b 2，故选项D 不正确．故应选D ． 2. C 解析：根据数轴知－1＜a ＜0，b ＞1，则a+1＞0，b －1＞0．因此ab ＜0，a+b ＞0，(a+1)( b －1)＞0，(a －1)( b －1)＜0，故选C ． 3. ①③ 解析：因为d c b a <，所以bc ad <，所以a b c d <，所以11+<+a b c d ，所以a a b c d c +<+，即可得 d c c b a a +<+，同样的方法可得d b c d a b ?++，故填①③. 4. 不等式（组）与方程（组）互化 一、方程（组）转化为不等式（组） 例1关于x 的方程 11 a x =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A.1a < ；B.1a <且0a ≠；C.1a ≤；D.1a ≤或0a ≠. 分析：先解关于x 的方程11 a x =+，用含有字母a 的式子表示未知数x ，然后构造不等式组求解. 解：解方程 11 a x =+，得x=a －1. 又由关于x 的方程的解是负数即x<0， 所以?? ?≠<-. 0, 01a a 解得，a<1且0a ≠. 故应选B. 例2如果方程组?? ?=++=+3 3, 13y x k y x 的解x 、y 满足x ＋y>0，则k 的取值范围是 . 分析：先解方程组，用含有k 的式子表示x 、y 或直接表示x ＋y ，再根据x ＋y>0，构造不等式求解. 解：解方程组???=++=+3 3,13y x k y x ，得x ＋y=4k ＋1. 又由x ＋y>0， 所以4 k ＋1>0，解得，k>－4. 二、不等式（组）转化为方程（组） 例3已知不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，求m ．分析：先解关于x 的不等式，再根据已知的解集构造方程求解. 解：解不等式84x x m +>+，得x<3 8m -. 由3x <，所以 3 8m -=3. 解这个关于m 的方程，得m=－1. 例4（若不等式组?? ?>->-. 02, 2x b a x 的解是－1 不等式与不等式组专题 一、选择题 1. 如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3. ｜a ｜＋a 的值一定是( D )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4. 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 5. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 6. 九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人 分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人 7. 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种 出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( B )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 8. 若不等式组? ??>≤ 1、韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A 、B 两个出已知a 、b 、c 是三个非负数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，设m =3a+b-7c ，记x 为m 的最大值，y 为m 的最小值，求xy 的值租车队，A 队比B 队少3辆车，若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，则A 队有出租车（ ） A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D.1x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 8?????+>-≤+). 2(28,142x x x 9..2 34512x x x -≤-≤- 10.532(1) 314(2)2 x x x -≥???-+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )． (A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 2. k 满足______时，方程组? ??=-=+4,2y x k y x 中的x 大于1，y 小于1． 3. 若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ． 4. ．已知关于x ，y 的方程组???-=++=+1 34,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 5. 已知方程组? ??-=++=+②①m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 6. 适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解： (1) x 只有一个整数解； 第十一章《一元一次不等式》拓展提优卷 1.满足不等式21x <-的最大整数解是( ) A. 2- B. 1- C. 0 D. 1 2.已知关于x 的方程24x m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是( ) A. 43 m > B. 4m ≥ C. 4m < D. 43 m ≤ 3.若a 是不等式215x ->的解，b 不是不等式215x ->的解， 则下列选项中正确的是( ) A. a b < B. a b > C. a b ≤ D. a b ≥ 4.已知二元一次方程2x y -=，若y 的值大于3-，则x 的取值范围是 . 5.若关于x 的不等式(2)2a x a ->-的解集为1x <，化简3a -= . 6.已知不等式1322 x x -≥与不等式30x a -≤的解集相同，则a = . 7.解不等式组33272433 x x x x +≥+??+?<-??，并把解集在数轴上表示出来. 8.已知不等式223 x x -≤+ (1)解该不等式，并把它的解集表示在数轴上; (2)若a 满足2a >，说明a 是否是该不等式的解. 9.已知关于x 的不等式组301(2)342 x a x x -≥???->+??有解，求a 的取值范围，并写出该不等式组的解集. 10.某水果店以4元千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果质量恰好是第一次购进水果质量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2 200元. (1)该水果店两次分别购买了多少元的水果? (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进高中数学必修五《基本不等式》培优专题(无答案)
七年级数学不等式专题培优练习题
一元一次不等式培优训练题
【2021培优】专题2.2 基本不等式(解析版)
一元一次不等式培优专题训练一
七年级一元一次方程培优(自己整理)
提优训练：一元一次不等式(华师版)
一元一次不等式(组)培优训练
一元一次方程应用培优
一次函数与一元一次不等式(提高)巩固练习
4.2 不等式的基本性质 能力培优训练(含答案)
培优专题-不等式培优资料(教师版)
一元一次不等式精选拔高专题及答案
一元一次不等式练习题_培优
第十一章《一元一次不等式》拓展提优卷(含答案)
相关主题
文本预览