3-1 设系统的微分方程式如下：
（1） )(2)(2.0t r t c
= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c
=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全部初始条件为零。 解：
（1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数s
s R s C s 10
)()()(==
Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010
)(≥=t t g
单位阶跃响应c(t) 2
/10)(s s C = 010)(≥=t t t c
（2）)()()124.004.0(2
s R s C s s =++ 1
24.004.0)
()(2++=
s s s R s C
闭环传递函数1
24.004.01
)()()(2++==
s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01
)(2++=
s s s C t e t g t 4sin 3
25)(3-=
单位阶跃响应h(t) 16
)3(6
1]16)3[(25)(22+++-=++=
s s s s s s C
t e t e t c t t 4sin 4
3
4cos 1)(33----=
3-2 温度计的传递函数为1
1
+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度
的98%的数值。若加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？
解法一 依题意，温度计闭环传递函数
1
1
)(+=
ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为
Ts
s s s G 1
)(1)()(=Φ-Φ=
?
?
?==11v T
K 用静态误差系数法，当t t r ?=10)( 时，C T K
e ss ?===
5.21010
。 解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1
111)()(1)()()(+=+-=-==
ΦTs Ts
Ts s R s C s R s E s e C T s
Ts Ts s
s R s s e s e s ss ?==?+=Φ=→→5.21010
1lim )()(lim 20
3-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为
)1.536.1sin(5.1210)(2.1o t
t e
t c +-=-
试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。 解：)1sin(111)(22
βωζζζω+---
=-t e t c n t n
ζβarccos = 2
1/
%ζπζσ--=e n
p t ωζπ
2
1-=
n
s t ζω5
.3=
6.01.53cos cos 0===βζ
%5.9%2
2
2
6.01/
6.06.01/6.01/
====------ππζπζσe e e
)(96.16
.112
s t n
p ==
-=
π
ωζπ
)(92.22
.15
.35
.3s t n
s ==
=
ζω 或：先根据c(t)求出系统传函，再得到特征参数，带入公式求解指标。
3-4 机器人控制系统结构图如图T3.1所示。试确定参数21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t s ，超调量%2%=σ。
图T3.1 习题3-4 图
解依题，系统传递函数为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
)
1(
)1
(
)1
(
1
)1
(
)
(
n
n
n
s
s
K
K
s
K
K
s
K
s
s
s
K
K
s
s
K
s
ω
ζω
ω
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
=
ΦΦ
由
?
?
?
?
?
=
-
=
=
=-
-
5.0
1
02
.0
2
12
n
p
o
o
t
e
ω
ζ
π
σζ
πζ
联立求解得
?
?
?
=
=
10
78
.0
n
ω
ζ
比较)(s
Φ分母系数得
??
?
?
?
=
-
=
=
=
146
.0
1
2
100
1
2
2
1
K
K
K
n
n
ζω
ω
3-5设图T3.2（a）所示系统的单位阶跃响应如图T3.2（b）所示。试确定系统参数
,
1
K
2
K和a。
图T3.2 习题3-5 图
解由系统阶跃响应曲线有
?
?
?
?
?
=
-
=
=
=
∞
o
o
o
o
p
t
c
3.
33
3
)3
4(
1.0
3
)
(
σ
系统闭环传递函数为
2
2
2
2
1
2
2
1
2
)
(
n
n
n
s
s
K
K
as
s
K
K
s
ω
ξω
ω
+
+
=
+
+
=
Φ（1）
由
?
?
?
?
?
=
=
=
-
=
-
-
o
o
o
o
n
p
e
t
3.
33
1.0
1
2
1
2
ζ
ζπ
σ
ω
ζ
π
联立求解得
?
?
?
=
=
28
.
33
33
.0
n
ω
ζ
由式（1）
?
?
?
=
=
=
=
22
2
1108
2
1
n
n
a
K
ζω
ω
另外3
lim
1
)
(
lim
)
(
2
1
2
2
1
=
=
+
+
=
?
Φ
=
∞
→
→
K
K
as
s
K
K
s
s
s
c
s
s
3-6已知单位反馈随动系统如图T3.3所示，K=16s-1,T=0.25s,试求：
（1）特征参数ζ和nω；
（2）计算σ%和t s;
（3）若要求σ%=16%，当T不变时K应当取何值？
图T3.3 习题3-6 图
【解】：（1）求出系统的闭环传递函数为：
T
K
s
T
s
T
K
K
s
Ts
K
s
/
1
/
)
(
2
2
+
+
=
+
+
=
Φ
因此有：
25
.0
2
1
2
/1
),
(8
25
.0
161
=
=
=
=
=
=-
KT
T
s
T
K
n
nω
ζ
ω
（2）%
44
%
100
e
%2-1
-
=
?
=ζ
ζπ
σ
%)
2
)(
(2
8
25
.0
4
4
=
?
=
?
=
≈s
t
n
sζω
（3）为了使σ%=16%，由式%16%100e
%2
-1-=?=ζζπ
σ可得5.0=ζ，当T 不变时，有：
)
(425.04)(425.05.021212/11221--=?===??===s T K s T T n n ωζζω
3-7 系统结构图如图T3.4所示。已知系统单位阶跃响应的超调量σ%3.16=%，峰值时间1=p t s 。
图T3.4 习题3-7 图
（1） 求系统的开环传递函数)(s G ； （2） 求系统的闭环传递函数)(s Φ；
（3） 根据已知的性能指标σ%、p t 确定系统参数K 及τ； （4） 计算等速输入s t t r )(5.1)(?=时系统的稳态误差。
解 （1） )110(10)
1(101)1(10
)(++=++
+=ττs s K s s s s s K s G
（2） 2
2
22210)110(10)(1)()(n
n n s s K s s K
s G s G s ωζωωτ++=+++=+=Φ （3）由 ??
???=-===--1
13.16212ζωπσζζπn p o
o
o
o t e 联立解出
?????===263
.063
.35
.0τωζn
由（2） 18.1363.31022
===n K ω，得出
318.1=K 。
（4）
63.31
263.01018
.1311010)(lim 0
=+?=+=
=→τK s sG K s v
.
413.063
.35.1===
v ss K A e
3-8 已知单位反馈系统的单位阶跃响应为 ，求
（1）开环传递函数 ；
（2）s n %t σω?； （3）在
作用下的稳态误差
。
3-9 已知系统结构图如图T3.5所示，
)
125.0)(11.0()(++=
s s s K
s G
试确定系统稳定时的增益K 的取值范围。
图T3.5 习题3-9 图
解：
3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数为
)
22)(4()
1(7)(2
++++=
s s s s s s G 试分别求出当输入信号t t t r ),(1)(=和2
t 时系统的稳态误差。
解 )
22)(4()
1(7)(2++++=s s s s s s G
?
?
?==18
7v K 由静态误差系数法
)(1)(t t r =时， 0=ss e
t t r =)(时， 14.17
8
===K A e ss
2)(t t r =时， ∞=ss e
3-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ()(0.11)(0.21)
K
G S s s s =
++，
若r(t) = 2t ＋2时，要求系统的稳态误差为0.25，试求K 应取何值。
3-12设系统结构图如图T3.6所示，
图T3.6 习题3-12 图
（1） 当025,0f K K ==时，求系统的动态性能指标%σ和s t ； （2） 若使系统ζ=0.5，单位速度误差0.1ss e =时，试确定0K 和f K 值。
（1）%25.4%
1.75
ts σ== （5分） （2）0100,6f K K ==（5分）
3-13 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。
（1）01011422)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D
（2）0483224123)(2
3
4
5
=+++++=s s s s s s D
（3）022)(4
5
=--+=s s s s D
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε 6 S 2 ε124- 10 S 6 S 0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。
（2）483224123)(2
3
4
5
+++++=s s s s s s D =0
Routh ： S 5 1 12 32
S 4 3 24 48
S 3
3122434?-= 32348
316?-= 0 S 2
424316
4
12?-?= 48 S 121644812
0?-?= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：024=s S 0 48
系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。 （3）022)(4
5
=--+=s s s s D
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s
S 3 8 0 辅助方程求导 083
=s
S 2 ε -2 S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224
=-s 可解出：
))()(1)(1(2224
j s j s s s s -+-+=-
))()(1)(1)(2(22)(4
5
j s j s s s s s s s s D -+-++=--+=
（4）0502548242)(2
3
4
5
=--+++=s s s s s s D
Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s
S 3 8 96 辅助方程求导 09683
=+s s
S 2 24 -50 S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0504822
4
=-+s s 可解出：
)5)(5)(1)(1(2504822
4
j s j s s s s s -+-+=-+
)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=
3-14 某控制系统方块图如图T3.7所示，试确定使系统稳定的K 值范围。
图T3.7 习题3-14 图
解 由结构图，系统开环传递函数为：
)
4()
124()(232++++=s s s s s K s G
??
?==3
4
v K K k 系统型别开环增益
0244)(2
3
4
5
=+++++=K Ks Ks s s s s D
Routh ： S 5 1 4 2K S 4 1 4K K
S 3 )1(4K -- K 1
S 2 )
1(4)1615(K K K -- K 067.11516=>?
K
S )
1(41647322
K K K --+- 933.0536.0<
S 0 K 0>?K
∴使系统稳定的K 值范围是： 933.0536.0< 3-15 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 5)(3()(++= s s s K s G 要求系统特征根的实部不大于1-，试确定开环增益的取值范围。 解 系统开环增益 15K K k =。特征方程为： 0158)(2 3 =+++=K s s s s D 做代换 1-'=s s 有： 0)8(25)1(15)1(8)1()(2323=-+'+'+'=+-'+-+-'='K s s s K s s s s D Routh ： S 3 1 2 S 2 5 K-8 S 5 18K - 18 K S 0 8-K 8>? K 使系统稳定的开环增益范围为： 15 1815158<= ) 12)(1() 1()(+++= s Ts s s K s G 试确定使系统稳定的T 和K 的取值范围。 解 特征方程为： 0)1()2(2)(2 3 =+++++=K s K s T Ts s D Routh ： S 3 T 2 K +1 0>?T S 2 T +2 K 2->?T S T TK K +-+221 1 4 2-+ ? K 综合所得，使系统稳定的参数取值1 4 2-+0 3-17 船舶横摇镇定系统方块图如图T3.8所示，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。 图T3.8 习题3-17 图 （1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数 ) () (s M s N Θ； （2） 为保证N M 为单位阶跃时倾斜角θ的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求2K 、 1K 和3K 应满足的方程； （3） 取2K =1时，确定满足（2）中指标的1K 和3K 值。 解 （1） )5.01()5.02.0(5.01 2.05.012.05.0112.05.0)()(213222 12322K K s K K s s s K K s s s K K s s s M s a N ++++=++++++++=Θ （2）令： 1.05.015 .0)()(1lim )() ()(lim )(2 100 ≤+=??=? =∞→→K K s M s s s s M s s M s N s N N s ΘΘθ 得 821≥K K 。 由 )() (s M s N Θ 有： ?? ? ??=+=+=5.025.02.05.013 23 1n n K K K K ωξω， 可得 21325.0125.02.0K K K K +=+ （3）12=K 时，81≥K ，525.02.03≥+K ，可解出 072.43≥K 。 3-18 系统方块图如图T3.9所示。试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。 图T3.9 习题3-18 图 解：局部反馈加入前，系统开环传递函数为 ) 1() 12(10)(2 ++= s s s s G ∞==∞ →)(lim s G K s p ∞==→)(lim 0 s sG K s v 10)(lim 20 ==→s G s K s a 局部反馈加入后，系统开环传递函数为 )20()12(1012011(10 12)(2 +++=++ +?+=s s s s s s s s s s G ） （） ∞==→)(lim 0 s G K s p 5.0)(lim 0 ==→s sG K s v 0)(lim 20 ==→s G s K s a 3-19 系统方块图如图T3.10所示。已知)(1)( ) () (21t t n t n t r ===，试分别计算 )()(),(21t n t n t r 和作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下 的稳态误差的影响。 图T3.10 习题3-19 图 解 ) 1)(1()(21++= s T s T s K s G ???=1 v K )(1)(t t r =时， 0=ssr e ； K s T s T s s T s T s T s K s T s s N s E s en ++++-=+++ +- ==Φ)1)(1()1() 1)(1(1)1(1)() ()(21121211 )(1)(1t t n =时， K s s s s N s s e en s en s ssn 11) (lim )()(lim 1110 10 -=Φ=Φ=→→ K s T s T s s T s s T s T s K s T s N s E s en ++++-=+++ +- ==Φ)1)(1()1() 1)(1(1)1(1 )() ()(21121222 )(1)(2t t n =时， 01 ) (lim )()(lim 2120 20 =Φ=Φ=→→s s s s N s s e en s en s ssn 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干扰因引起的稳态误差。 3-20 系统方块图如图T3.11所示。 图T3.11 习题3-20 图 （1） 为确保系统稳定，如何取K 值？ （2） 为使系统特征根全部位于s 平面1-=s 的左侧，K 应取何值？ （3） 若22)(+=t t r 时，要求系统稳态误差25.0≤ss e ，K 应取何值？ 解 ) 5)(10(50)(++=s s s K s G ? ??=1v K （1） K s s s s D 505015)(2 3 +++= Routh ： 501515) 15(505015 5010 1 23 >→<→-K K s K K s K s s 系统稳定范围： 150< （2）在)(s D 中做平移变换：1-'=s s K s s s s D 50)1(50)1(15)1()(2 3 +-'+-'+-'=' )3650(231223-+'+'+'=K s s s Routh ： 72 .050 36 36 5024.650312 125031236 50122310 1 2 3=>→-'=< →-'-''K K s K K s K s s 满足要求的范围是： 24.672.0< 当 22)(+=t t r 时，令 25.02 ≤=K e ss 得 8≥K 。 综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 158<≤K 3-21 宇航员机动控制系统方块图如图T3.12所示。其中控制器可以用增益2K 来表 示；宇航员及其装备的总转动惯量2 25m kg I ?=。 图T3.12 习题3-21 图 （1） 当输入为斜坡信号t t r =)(m 时，试确定3K 的取值，使系统稳态误差ss e 1=cm ； （2） 采用（1）中的3K 值，试确定21,K K 的取值，使系统超调量σ%限制在10%以内。 解 （1）系统开环传递函数为 ) () ()()()(3212 132121I K K K s s I K K K K K s I s K K s E s C s G +=+== ?????== 1 13v K K t t r =)(时，令 01.01 3≤== K K e ss ， 可取 30.01K =。 （2）系统闭环传递函数为 I K K s I K K K s I K K s R s C s 2 132122 1) ()()(++==Φ ??? ??? ?==I K K K I K K n 2213 2 1ζω 由 o o o o e 102 1≤=--ξξπ σ ，可解出 592.0≥ζ。取 6.0=ζ进行设计。 将25=I ，01.03=K 代入6.022 13==I K K K ζ表达式，可得 36000021≥K K 3-22 大型天线伺服系统结构图如图T3.13所示，其中ξ=0.707，n ω=15，τ=0.15s 。 （1） 当干扰)(110)(t t n ?=，输入0)(=t r 时，为保证系统的稳态误差小于0.01o，试确 定a K 的取值； （2） 当系统开环工作（a K =0），且输入0)(=t r 时，确定由干扰)(110)(t t n ?=引起的 系统响应稳态值。 图T3.13 习题3-22 图 解 （1）干扰作用下系统的误差传递函数为 2 222 )2)(1()1()() ()(n a n n n en K s s s s s s N s E s ωωξωττω+++++-==Φ )(110)(t t n ?=时， 令 a en s en s ssn K s s s s s N s e 10)(10lim )()(lim 0 =Φ?? =Φ??=→→01.0≤ 得： 1000≥a K （2）此时有 ) 2(10)()2()()(22 22 222n n n n n n s s s s N s s s s C s E ωξωωωξωω++-=?++-=-= -∞==∞=→)(lim )(0 s sE e e s ss 3-23 控制系统结构图如图T3.14所示。其中1K ，02>K ，0≥β。试分析： （1）β值变化(增大)对系统稳定性的影响； （2）β值变化(增大)对动态性能（%σ，s t ）的影响； （3）β值变化(增大)对t a t r =)(作用下稳态误差的影响。 图T3.14 习题3-23 图 解 系统开环传递函数为 ) (1 )(221221 K s s K K s K s K K s G ββ+=?+= ?? ?==1 1v K K β 2 12221)(K K s K s K K s ++=Φβ ?? ? ??===1 22122 122K K K K K K K n β βξω 2122 )(K K s K s s D ++=β （1）由 )(s D 表达式可知，当0=β时系统不稳定，0>β时系统总是稳定的。 （2）由 βξ1 221K K = 可知， ?? ? ??↓==↓ →↑↑275.3K t n s o o βξωσξβ )10(<<ξ （3）↑== → ↑ 1 K a K a e ss β β 3-24 系统方块图如图T3.15所示 （1） 写出闭环传递函数)(s Φ表达式； （2） 要使系统满足条件：707.0=ξ,2=n ω, 试确定相应的参数K 和β； （3） 求此时系统的动态性能指标（s t ,0 0σ ）； （4） t t r 2)(=时，求系统的稳态误差ss e ； （5）确定)(s G n ，使干扰)(t n 对系统输出)(t c 无影响。 图T3.15 习题3-24 图 解 （1）闭环传递函数 2 2222 221) ()()(n n n s s K s K s K s K s K s K s R s C s ωζωωββ++=++=++==Φ （2）对应系数相等得 ???=====2 224 222 n n K K ζωβω ? ??==707.04βK （3） 0010 32.42 ==--ζζπ σ e 475.22 5.35 .3== = n s t ζω （4）)(1)(2ββK s s K s K s K s G +=+ = ???==11v K K β 414.12=== βK ss K A e （5）令：0 ) () (11)()()(＝s s G s s K s N s C s n n ?-??? ??+== Φβ 得：βK s s G n +=)( 3-25 复合控制系统方块图如图T3.16所示，图中1K ，2K ，1T ，2T 均为大于零的常数。 （1） 确定当闭环系统稳定时，参数1K ，2K ，1T ，2T 应满足的条件； （2） 当输入t V t r 0)(=时，选择校正装置)(s G C ，使得系统无稳态误差。 图T3.16 习题3-25 图 解 （1）系统误差传递函数 21211221212 122 )1)(1()1)(()1)(1() 1)(1(1) ()1(1)() ()(K K s T s T s s T s G K s T s T s s T s T s K K s G s T s K s R s E s c c e ++++-++= +++ +- ==Φ 212 213 21)()(K K s s T T s T T s D ++++= 列劳斯表 2 10 212 121211212 122130 1K K s T T K K T T T T s K K T T s T T s +-++ 因 1K 、2K 、1T 、2T 均大于零，所以只要 212121K K T T T T >+ 即可满足稳定条件。 （2）令 212112212 00 )1)(1()1)(()1)(1(lim )()(lim K K s T s T s s T s G K s T s T s s V s s R s s e c s e s ss ++++-++?? =?Φ=→→ 0)(1lim 2210 =?? ????-=→s s G K K K V c s 可得 2)(K s s G c = Matlab 习题 3-26 设控制系统的方框图如图3.4.2所示，当有单位阶跃信号作用于系统时，试求系统的暂态性能指标t p 、t s 和σ%。 图T3.17 习题3-26 图 【解】：求出系统的闭环传递函数为： 25625 )(2++= Φs s s 因此有： ) (93.01.531) (41,6.0),(52 1 121rad tg s s n d n ==-==-===--- ζ ζβζωωζω 上升时间t r ： )(55.0493 .014.3s t d r =-=-=ωβπ 峰值时间t p ： )(785.0414.3s t d p === ωπ 超调量σ%： %5.9%100095.0%100e %2 -1- =?=?=ζζπ σ
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