(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编
一元二次方程根与系数的关系
一、选择题
1. （2011?南通）若3是关于方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A 、﹣2
B 、2
C 、﹣5
D 、5
考点：根与系数的关系。
分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．
解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x ，则3+x=5，即x=2．故选B ． 点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得．
2. （2011南昌，9，3分）已知x =1是方程x 2
+bx ﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A.1
B.2
C.﹣2
D.﹣1
考点：根与系数的关系. 专题：计算题.
分析：根据根与系数的关系得出x 1x 2=
a
c =﹣2，即可得出另一根的值．
解答：解：∵x =1是方程x 2
+bx ﹣2=0的一个根，∴x 1x 2==﹣2，∴1×x 2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C ．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
3. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ，则a 的值是（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2 考点：根与系数的关系；根的判别式． 专题：计算题．
分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=－ ba ，x 1x 2= ca ，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．
解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2－8a（a+1）＞0，
即a2－2a+1＞0，（a－1）2＞0，a≠1，
∵关于x的方程ax2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2+x2=1－a，
∴x1－x1x2+x2=1－a，
∴x1+x2－x1x2=1－a，
∴ 3a+1a－2a+2a=1－a，
解得：a=±1，又a≠1，
∴a=－1．
故选：B．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，由x1－x1x2+x2=1－a，得出x1+x2－x1x2=1－a是解决问题的关键．
4.（2011湖北咸宁，6，3分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为
（）
A、﹣3
B、﹣1
C、1
D、3
考点：根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）=2，解此方程即可．
解答：解：设方程另一个根为x1，
∴x1+（﹣1）=2，
解得x1=3．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．
5.（2011?贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）
A、1
B、﹣1
C、2
D、﹣2
考点：根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1?x2=来求方程的另一个根．
解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根，
∴由韦达定理，得x1?x2=﹣2，即﹣x2=﹣2，
解得，x2=2．
即方程的另一个根是2．
故选C．
点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1?x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．
6.（2011年四川省绵阳市，12，3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）=1（a ＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）
A、x1＜x2＜a＜b
B、x1＜a＜x2＜b
C、x1＜a＜b＜x2
D、a＜x1＜b＜x2
考点：抛物线与x轴的交点．
分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x－a）（x－b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．
解答：解：∵x1和x2为方程的两根，
∴（x1－a）（x1－b）=1且（x2－a）（x2－b）=1，
∴（x1－a）和（x1－b）同号且（x2－a）和（x2－b）同号；
∵x1＜x2，
∴（x1－a）和（x1－b）同为负号而（x2－a）和（x2－b）同为正号，可得：x1－a＜0且x1－b＜0，x1＜a且x1＜b，
∴x1＜a，∴x2－a＞0且x2－b＞0，
∴x2＞a且x2＞b，
∴x2＞b，
∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1＜a＜b＜x2．
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．
7（2011年江西省，5，3分）已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是（）
A.1
B.2
C.－2
D.－1
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析：根据根与系数的关系得出x1x2=－2，即可得出另一根的值．
解答：解：∵x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，
∴x1x2=－2，
∴1×x2=－2，
则方程的另一个根是：－2，
故选C．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．
8.（2011湖北武汉，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1?x2的值是（）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
考点：根与系数的关系。
专题：方程思想。
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1?x2=c
a
解答并作出选择．
解答：解：∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，
∴x1?x2=c
a
=3．
故选B．
点评：此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关
系x1?x2=c
a
中的a与c的意义．
二、填空题
1.（2011江苏苏州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a+b－2）+ab的值等于____．
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析：欲求（a－b）（a+b－2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解答：解：∵a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，
∴ab=－1，a+b=2，∴（a－b）（a+b－2）+ab=（a－b）（2－2）+ab=0+ab=－1，
故答案为：－1．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
2.（2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m= 1，另一个根是﹣3．
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．
专题：方程思想．
分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x2+mx﹣6=0，然后解关于m
的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣b
a
解出方程的另一个根．
解答：解：根据题意，得4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0，解得，m=1；
由韦达定理，知
x1+x2=﹣m；
∴2+x2=﹣1，
解得，x2=﹣3．
故答案是：1．﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=
﹣b
a
．x1?x2=
c
a
来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．
3.（2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接
正方形CDEF，则以AC和BC
考点：根与系数的关系；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：开放型；数形结合。
分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC?BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一．
解答：解：连接AD，BD，OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵四边形DCFE是正方形，
∴DC⊥AB，
∴∠ACD=∠DCB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，
∴∠A=∠CDB ， ∴△ACD ∽△DCB ， ∴
BC
DC DC
AC ，
又∵正方形CDEF 的边长为1， ∵AC?BC=DC 2
=1， ∵AC+BC=AB ，
在Rt △OCD 中，OC 2
+CD 2
=OD 2
， ∴OD=
2
5，
∴AC+BC=AB=5，
以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是x 2
﹣5x+1=0． 故答案为：此题答案不唯一，如：x 2
﹣5x+1=0．
点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．
4. （2011?德州，14，4分）若x 1，x 2是方程x 2
+x ﹣1=0的两个根，则x 12
+x 22
= ． 考点：根与系数的关系。 专题：计算题。
分析：先根据根与系数的关系求出x 1+x 2和x 1?x 2的值，再利用完全平方公式对所求代数式
变形，然后把x 1+x 2和x 1?x 2的值整体代入计算即可．
解答：解：∵x 1，x 2是方程x 2
+x ﹣1=0的两个根，
∴x 1+x 2=﹣
b a
=﹣1，x 1?x 2=
c a
=﹣1，
∴x 12
+x 22
=（x 1+x 2）2﹣2x 1?x 2=（﹣1）2
﹣2×（﹣1）=1+2=3． 故答案是：3．
点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x 1+x 2和x 1?x 2的值．
5. （2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y 2
﹣3y+1=0的两个实数根分别为y 1、y 2，
则（y 1﹣1）（y 2﹣1）的值为 ﹣1 ． 考点：根与系数的关系。 专题：探究型。
分析：先根据一元二次方程y 2
﹣3y +1=0的两个实数根分别为y 1、y 2，求出y 1+y 2及y 1?y 2的值，再代入（y 1﹣1）（y 2﹣1）进行计算即可．
解答：解：∵一元二次方程y 2﹣3y +1=0的两个实数根分别为y 1．y 2， ∴y 1+y 2=3，y 1?y 2=1， ∴（y 1﹣1）（y 2﹣1）， =y 1y 2﹣y 1﹣y 2+1， =y 1y 2﹣（y 1+y 2）+1， =1﹣3+1， =﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣a
b
，x 1x 2=
a
c ．
6. （2011四川泸州，16，3分）已知关于x 的方程x 2+（2k +1）x +k 2－2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为 ．
考点：根与系数的关系；解一元二次方程，因式分解法；根的判别式．
分析：由题意设方程x 2+（2k +1）x +k 2－2=0两根为x 1，x 2，得x 1+x 2=－（2k +1），x 1?x 2=k 2－2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k 值．
解答：解：设方程方程x 2+（2k +1）x +k 2－2=0设其两根为x 1，x 2，得x 1+x 2=－（2k+1），x 1?x 2=k 2－2，
△=（2k+1）2－4×（k 2－2）=4k+9＞0，∴k ＞－
4
9，
∵x 12+x 22=11，∴（x 1+x 2）2－2 x 1?x 2=11，∴（2k+1）2－2（k 2－2）=11， 解得k =1或－3；∵k ＞－
4
9，故答案为k =1．
点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根
的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
7.（2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22=．考点：根与系数的关系。
分析：由于方程x2﹣2x﹣5=0的两个实数根为x1，x2，所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出x12+x1x2+x22的值．
解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，∴x1+x2=2，x1?x2=﹣5，x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=4+5=9．故答案为9．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8.（2011四川省宜宾市，12，3分）已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，
则1
a+
1
b的值是
考点：根与系数的关系．
分析：根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=－5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式，求出代数式的值．
答案：解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=6，ab=－5，
+ = = =－．
故答案是：－．解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=6，ab=－5，
+ = = =－．
故答案是：－．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．
10.（2011广西来宾，17，3分）已知一元二次方程220
x x。
+-=的两个实数根分别是
x m x
1,2
则
x x =
12
考点：根与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=即可得到答案．
解答：解：∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1?x2==﹣2．
故答案为﹣2．
点评：本题考查了一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=．
三、解答题
1. （2011湖北潜江，17，6分）若关于x 的一元二次方程x 2—4x ＋k —3＝0的两个实数根为x 1、x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值． 考点：根与系数的关系。 专题：方程思想。
分析：根据根与系数的关系（x 1＋x 2＝—
a
b ，x 1?x 2＝
a
c ）列出等式，再由已知条件―x 1＝3x 2‖
联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可． 解答：解：由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝4 ①， x 1?x 2＝k —3 ②（2分） 又∵x 1＝3x 2 ③，
联立①、③，解方程组得???==13
2
1x x （4分）
∴k ＝x 1·x 2＋3＝3×1＋3＝6（5分）
答：方程两根为x 1＝3，x 2＝1；k ＝6．（6分） 点评：此题主要考查了根与系数的关系：x 1＋x 2＝—a
b ，x 1?x 2＝
a
c ．解答此题时，一定要弄
清楚韦达定理中的a 、b 、c 的意义．
2. （2011?南充，18，8分）关于的一元二次方程x 2
+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2． （1）求k 的取值范围；
（2）如果x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1且k 为整数，求k 的值． 考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组。 专题：代数综合题。
分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b 2
﹣4ac≥0，从而求出实数k 的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=k+1．再代入不等式x 1+x 2
﹣x 1x 2＜﹣1，即可求得k 的取值范围，然后根据k 为整数，求出k 的值．
解答：解：（1）∵方程有实数根，
∴△=22
﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0．
故K 的取值范围是k≤0．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=k+1
x 1+x 2﹣x 1x 2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k ＞﹣2． 又由（1）k≤0， ∴﹣2＜k≤0． ∵k 为整数， ∴k 的值为﹣1和0．
点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0． 3. （2011?湖南张家界，23，8）阅读材料：
如果x 1、x 2是一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， 12b x x a
+=-，12c x x a
?=
．这
就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m 与n 是方程2x 2
﹣6x+3=0的两根 （1）填空：m+n= ，m?n= ； （2）计算
n
m 11+的值．
考点：根与系数的关系。 专题：计算题。
分析：（1）直接根据韦达定理计算即可得到m+n 和mn ；
（2）先把变形，用m+n 和mn 表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可． 解答：解：（1）答案为3，
32
．
（2）
mn
n m n
m
+=
+
11=
=2
33=2．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x 1，x 2，则12b x x a
+=-
，12c x x a
?=
．
4. （2011湖北孝感，22，10分）已知关于x 的方程x 2
﹣2（k ﹣1）x +k 2
=0有两个实数根x 1，x 2．
（1）求k 的取值范围；
（2）若|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值． 考点：根与系数的关系；根的判别式。 专题：计算题。
分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b 2
﹣4ac ≥0，代入可解出k 的取值范围；
（2）结合（1）中k 的取值范围，由题意可知，x 1+x 2=2（k ﹣1）＜0，去绝对值号结合等式关系，可得出k 的值．
解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得 △=b 2
﹣4ac =4（k ﹣1）2
﹣4k 2
≥0， 解得，k ≤12
；
（2）依据题意可得，x 1+x 2=2（k ﹣1）， 由（1）可知k ≤
12，
∴2（k ﹣1）＜0， ∴﹣2（k ﹣1）=k 2
﹣1， 解得k 1=1（舍去），k 2=﹣3， ∴k 的值是﹣3．
答：（1）k 的取值范围是k ≤
12
；（2）k 的值是﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k 的取值范围是正确解答的关键．
5. （2011?玉林，20，6分）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2
﹣4x+1的两个实数根． 求：（x 1+x 2）2
÷（
2
1
11x x +
）的值．
考点：根与系数的关系。 专题：计算题。
分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x 1与x 2的两根之积与两根之和的值，再根据
2
1
11x x +=
2
121x x x x +即可解答．
解答：解：∵一元二次方程x 2
﹣4x+1=0的两个实数根是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=4，x 1?x 2=1， ∴（x 1+x 2）2
÷（
2
1
11x x +
）
=42
÷
2
121x x x x +
=42
÷4 =4．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．
6. （2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，
把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b 、c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字。 （1）用列表法求关于x 的方程02
=++c bx x 有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。
【考点】列表法与树状图法；根的判别式．
【分析】（1）根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与关于x 的方程x 2+bx+c=0有实数解的情况数，根据即可概率公式求解；
（2）首先求得（1）中方程有两个相等实数解的情况，然后即可根据概率公式求解．
【点评】此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0，有两个不相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根．
7..（2011广西防城港 20，6分）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2
－4x ＋1＝0的两个实数
根．求（x 1＋x 2）2
÷)11(
2
1
x x +
的值．
考点：一元二次方程的根与系数的关系 专题：一元二次方程
分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，确定出x 1与x 2的两根之积与两根之和的值，再根据
2
1212
1
11x x x x x x +=+即可解答．
解答：∵一元二次方程x 2
－4x ＋1＝0的两个实数根是x 1、x 2
∴x 1＋x 2＝4，x 1?x 2＝1
∴（x 1＋x 2）2
÷)11(
2
1
x x +
＝42
÷
2
121x x x x +＝42÷1
4
＝16÷4＝4．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．
8. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x 的一元二次方程
0342
=-+-k x x 的两个实数根为1x 、2x ，且满足213x x =，试求出方程的两个
实数根及k 的值. 考点：根与系数的关系．
分析：根据根与系数的关系（x 1+x 2=－ ，x 1?x 2= ）列出等式，再由已知条件―x 1=3x 2‖联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．
答案：17.解:由根与系数的关系得:421=+x x ① ，=?21x x 3-k ②
又∵213x x =③，联立①、③，解方程组得???==13
2
1x x
∴6313321=+?=+=x x k 答：方程两根为1
2=3,
=1;
=6
x x k .
点评：此题主要考查了根与系数的关系：x 1+x 2=－ ，x 1?x 2= ．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a 、b 、c 的意义．
课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数 的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点． 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程: 一、引入新课 问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为 二、讲授新课 引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？ 解为： 无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为： 当Δ≥0时有实根； 当Δ＜0时，有一对共轭的虚根． 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0
i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解： 例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值． 解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6． 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？ 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解． 解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ． 练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.
2016年四川省成都市中考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1．（3分）（2016?成都）在﹣3，﹣1，1，3四个数中，比﹣2小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 2．（3分）（2016?成都）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（） A．B．C．D． 3．（3分）（2016?成都）成都地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成 为成都市民主要出行方式之一．今年4月29日成都地铁安全运输乘客约181万乘次，又一次刷新客流纪录，这也是今年以来第四次客流纪录的刷新，用科学记数法表示181万为（） A．18.1×105B．1.81×106C．1.81×107D．181×104 4．（3分）（2016?成都）计算（﹣x3y）2的结果是（） A．﹣x5y B．x6y C．﹣x3y2D．x6y2 5．（3分）（2016?成都）如图，l1∥l2，∠1=56°，则∠2的度数为（） A．34° B．56° C．124° D．146° 6．（3分）（2016?成都）平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（） A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2） 7．（3分）（2016?成都）分式方程=1的解为（） A．x=﹣2 B．x=﹣3 C．x=2 D．x=3 8．（3分）（2016?成都）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一 组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）2
A．甲B．乙C．丙D．丁 9．（3分）（2016?成都）二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（） A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3） C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点 10．（3分）（2016?成都）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°， AB=4，则的长为（） A．π B．π C．π D．π 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分 11．（4分）（2016?成都）已知|a+2|=0，则a=． 12．（4分）（2016?成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=． 13．（4分）（2016?成都）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点都在反比例函 数y=的图象上，且x1＜x2＜0，则y1y2（填“＞”或“＜”）． 14．（4分）（2016?成都）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD 相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为． 三、解答题：本大共6小题，共54分 15．（12分）（2016?成都）（1）计算：（﹣2）3+﹣2sin30°+（2016﹣π）0（2）已知关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围． 16．（6分）（2016?成都）化简：（x﹣）÷． 17．（8分）（2016?成都）在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点A处安置测倾器，
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a的取值范围； （2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2） 根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣ 2 6 a a+ ，x1x2= 6 a a+ ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1= ﹣ 6 6 a- 是是负整数，即可得 6 6 a- 是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2． 【详解】 （1）∵原方程有两实数根， ∴， ∴a≥0且a≠6． （2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x1+x2=﹣，x1x2=， ∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣． ∵（x1+1）（x2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数． ∵a是整数， ∴a﹣6的值为1、2、3或6， ∴a的值为7、8、9或12． 【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键． 2．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元 【解析】 【分析】 表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】 设每天获得的利润为w元，
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 成都市二O 一一年高中阶段教育学校统一招生考试 （含成都市初三毕业会考） 数 学 注意事项： 1. 全套试卷分为A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟。 2. 在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方。考试结束， 监考人员将试卷和答题卡一并收回。 3. 选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分也必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字 体工整，笔迹清楚。 4. 请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸，试卷上答题均无效。 5. 保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。 A 卷（共100分） 第I 卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项. 其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 4的平方根是 (A)±16 (B)16 (C )±2 (D)2 2．如图所示的几何体的俯视图是 （A ）（B ） （C ） （D ） 3. 在函数y =x 的取值范围是 (A) 12 x ≤ (B) 12 x < (C) 12 x ≥ (D) 12 x > 4. 近年来，随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温。据统计，在今年“五一”期间，某风景区接待游览的人数约为20.3万人，这一数据用科学记数法表示为 (A)4 20.310?人 (B) 5 2.0310?人 (C) 4 2.0310?人 (D) 3 2.0310?人 5．下列计算正确的是
历年中考真题汇总 ——————一元二次方程篇 一、选择题 1、（2011浙江）下列哪一个数与方程的根最接近（） A、2 B、3 C、4 D、5 2、（11·贵港）若关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0的一个根为－1，则另一个根为 A．1 B．－1 C．2 D．－2 3、（2011山东）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）. A．B．C．D． 4、（2011山东）一元二次方程=0的根的情况是 A．育一个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 5、设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是( ) A、B、C、D、 6、（2011河北）已知x=1是一元二次方程的一个解，则m的值为（） A、1 B、0 C、0或1 D、0或-1 7、（2011年青海）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（） A． k≥4 B. k≤4 C. k＞4 D . k=4 8、（2011南充）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（） A、2 B、3 C、﹣1，2 D、﹣1，3 9、已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于． 10、若x1，x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）= 1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）． A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2 11、（贵州）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（） A、11 B、13 C、11或13 D、不能确定 12、（2011新疆乌鲁木齐）关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为（） A． B．0 C．1 D．或1
中考数学专题 一元二次方程试题 一、选择题 1、（2007巴中市）一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ）B Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、（2007安徽泸州）若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）C A ．m
复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ） ） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+． 解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+． 由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-
成都市二0一二年高中阶段教育学校统一招生考试试卷 (含成都市初三毕业会考) 数 学 A 卷(共100分) 第1卷(选择题．共30分) 一、选择题(本大题共l0个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 1．（2012成都）3-的绝对值是（ ） A ．3 B ．3- C ．13 D ．13 - 考点：绝对值。 解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3． 故选A ． 2．（2012成都）函数1 2 y x = - 中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ． 2x < C ．2x ≠ D ． 2x ≠- 考点：函数自变量的取值范围。 解答：解：根据题意得，x ﹣2≠0， 解得x ≠2． 故选C ． 3．（2012成都）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（ ） A ． B ． C ． D ． 考点：简单组合体的三视图。 解答：解：从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1， 故选：D ． 4．（2012成都）下列计算正确的是（ ） A ．2 23a a a += B ．2 3 5 a a a ?= C ．3 3a a ÷= D ．3 3 ()a a -= 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。 解答：解：A 、a+2a=3a ，故本选项错误； B 、a 2a 3=a 2+3=a 5，故本选项正确； C 、a 3÷a=a 3﹣1=a 2 ，故本选项错误； D 、（﹣a ）3=﹣a 3 ，故本选项错误． 故选B 5．（2012成都）成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城市交通通行和转换能力将成倍增长．该工程投资预算约为930 000万元，这一数据用科学记数法表示为（ ） A ． 5 9.310? 万元 B ． 6 9.310?万元 C ．49310?万元 D ． 6 0.9310?万元
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1． （1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； （2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标； ②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标． 【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣ 32 ，154） 【解析】 试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式； （2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标； ②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可． 试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0 {3 12a b c c b a ++==-=-，解得：1 {23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）； （2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）； ②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
2011年四川省成都市中考数学试题与答案(WORD版)
成都市二○一一年高中阶段教育学校统一招生考试试卷 数学试题 注意事项： 1. 全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟． 2. 五城区及高新区的考生使用答题卡作答，郊区(市)县的考生使用机读卡加答题卷作答。 3. 在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡(机读卡加答题卷)上。考试结束，监考人员将试卷和答题卡(机读卡加答题卷) 一并收回。 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 5．请按照题号在答题卡(机读卡加答题卷)上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。6．保持答题卡面(机读卡加答题卷)清洁，不得折叠、污染、破损等。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：（每小题3分，共3 0分)每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求。
1．4的平方根是 (A)±16 (B)16 (C) ±2 (D)2 2．如图所示的几何体的俯视图是 (A) (B) (C) (D) 3．在函数12y x =-自变量x 的取值范围是 (A)12x ≤ (B) 12x < (C) 12x ≥ (D) 12 x > 4．近年来，随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温。据统计，在今年“五一”期间，某风景区接待 游览的人数约为20.3万人，这一数据用科学记数法表示为 (A)4 20.310?人 (B) 5 2.0310?人(C) 4 2.0310?人 (D) 3 2.0310?人 5．下列计算正确的是 （A ）2 x x x += (B) 2x x x ?= (C)23 5 ()x x = (D)3 2 x x x ÷=
一元二次方程及根的判别式 一、选择题 1．下列方程中，有实数解的方程是（ ）． （A ）022=+x （B ）023=+x （C ）0222=++y x （D ）02=+x 2．用配方法解方程0142=+-x x 时，配方后所得的方程是 （A ）1)2(2=-x ； （B ）1)2(2-=-x ； （C ）3)2(2=-x ； （D ）3)2(2=+x ． 3.已知一元二次方程 x 2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ） A .该方程有两个相等的实数根 B .该方程有两个不相等的实数根 C .该方程无实数根 D .该方程根的情况不确定 4．下列一元二次方程没有实数解的是……………………………………………( ) A 、0122=--x x B 、0)3)(1(=--x x C 、022=-x D 、 012=++x x 5．k 为实数，则关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是 （ ） （Ａ）有两个不相等的实数根； （Ｂ）有两个相等的实数根； （Ｃ）没有实数根； （Ｄ）无法确定． 6．一元二次方程x 2＋2x ＋1＝0根的情况是 （A ）有两个不相等的实数根； （B ）有两个相等的实数根； （C ）有一个实数根； （D ）无实数根． 7．下列方程中，有两个不相等实数根的是………………………………（ ） A ．2440x x -+= ； B ．2310x x +-=； C ．210x x ++=； D ．2230x x -+=． 8．若一元二次方程1x 3x 42=+的两个根分别为1x 、2x ，则下列结论正确的是 （A ）43x x 21- =+，41x x 21-=?； （B ）3x x 21-=+，1x x 21-=?； （C ）43x x 21=+，41x x 21=?； （D ）3x x 21=+，1x x 21=?． 二、填空题： 1. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米。如果每年绿化面积的增加率相同，那么计算增长率的方程是_____________ 2. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则 m =___________ 3．关于x 的方程01mx mx 2=++有两个相等的实数根，那么m= ． 4．如果关于x 的方程02=+-m x x 没有实数根，那么m 的取值范围是 ．
中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±?=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方 程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
成都市二○一一年高中阶段教育学校统一招生考试试卷 数 学 A 卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：（每小题3分，共30分)每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求。 .1 4的平方根是( ) .A 16± .B 16 .C 2± .D 2 .2如图所示的几何体的俯视图是( ) A B C D .3 在函数x y 21-=自变量x 的取值范围是( ) .A 21≤ x .B 21
则=∠BCD （ ） .A 116 .B 32 .C 58 .D 64 .8已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示， 则下列判断正确的是（ ） .A 0>m .B 0
中考一元二次方程专项训练 一、单选题(注释) 1、（2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是 A．B．C．D． 2、（2011安徽，8，4分）一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（） A．－1B．2C．1和2D．－1和2 3、（2011浙江省舟山，2，3分）一元二次方程的解是（） A．B．C．或D．或 4、（2011四川南充市，6，3分）方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（） A．2B．3C．－1，2D．－1，3 5、（2011江苏泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是 A．x=2B．x="0" C．x1="0," x2=2D．x1="0," x2=－2 6、（2011甘肃兰州，10，4分）用配方法解方程时，原方程应变形为 A．B．C．D． 7、（2011台湾全区，31）关于方程式的两根，下列判断何者正确？ A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于－2，另一根大于2 C．两根都小于0D．两根都大于2 8、（2011福建福州，7，4分）一元二次方程根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根 9、（2011四川成都，6,3分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则下列关于判别式 的判断正确的是（） A．B．C．D． 10、（ 2011重庆江津， 9，4分）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( ) A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－2· 11、（2011台湾台北，20）若一元二次方程式的两根为0、2，则之 值为何？ A．2B．5C．7D．8 12、（2011山东济宁，5，3分）已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为 A．－１B．0C．1D．2 13、（2011湖北荆州，9，3分）关于的方程有两个不相等的实根、，且有 ，则的值是 A．1B．－1C．1或－1D．2 14、（2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 －2 B. 2 C. 5 D. 6 15、（2011四川绵阳12，3）若x1,x2(x1 ＜x2)是方程(x －a)(x－b) =" 1(a" < b)的两个根，则实数x1,x2,a,b的大小关系为 A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2
中考数学一元二次方程组-经典压轴题附详细答案 一、一元二次方程 1．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2 【解析】 【分析】 （1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝ （2）令a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0
解得：x 1＝0，x 2＝﹣4 当x 2+4x ＝﹣4时， x 2+4x +4＝0 （x +2）2＝0 解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算． 2．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1. 【答案】x 1＝2，x 2＝2 【解析】 试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据 求根公式x =求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20， ∴x ＝42 ±＝， ∴x 1＝2，x 2＝2 3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围； （2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】 （1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣ 26a a + ，x 1x 2=6a a + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66 a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】 （1）∵原方程有两实数根， ∴ ， ∴a≥0且a≠6． （2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，
13.6（1）实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=，当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计 （一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我 们回顾一下： 当240b ac ?=-≥ 时，方程有两个实数根：2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？ 设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得
2012年四川省成都市中考数学试卷 一、A卷选择题（本大题共l0个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）（2012?成都 ）﹣3的绝对值是（） A．3B．﹣3 C．D． 2．（3分）（2012?成都）函数中，自变量x的取值范围是（） A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2 3．（3分）（2012?成都）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（） A．B．C．D． 4．（3分）（2012?成都）下列计算正确的是（） A．a+2a=3a2B．a2?a3=a5C．a3÷a=3 D．（﹣a）3=a3 5．（3分）（2012?成都）成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城市交通通行和转换能力将成倍增长．该工程投资预算约为930 000万元，这一数据用科学记数法表示为（） A．9.3×105万元B．9.3×106万元C．93×104万元D．0.93×106万元 6．（3分）（2012?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标为（） A．（﹣3，﹣5）B．（3，5）C．（3．﹣5）D．（5，﹣3） 7．（3分）（2012?成都）已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 8．（3分）（2012?成都）分式方程的解为（） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4 9．（3分）（2012?成都）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）
中考数学一元二次方程试题 一、选择题 1、一元二次方程2 210x x --=的根的情况为（ ） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2、若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m
一元二次方程 一、 选择 1. 方程05)1(22=-+-mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值不能是（ ） A ．0 B ．21 C ．1± D ．2 1- 2. 一元二次方程221x x -=的常数项为（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．±1 3.一元二次方程2(1)2x -=的解是（ ） A.11x =-21x =- B.11x =21x = C.13x =，21x =- D.11x =，23x =- 4. 把方程0462=+-x x 的左边配成完全平方，正确的变形是（ ） A ．9)3(2=-x B ．13)3(2=-x C ．5)3(2=-x D ．5)3(2 =+x 5. 方程)1)(14()1)(13(--=-+x x x x 的解是（ ） A ．0,121==x x B ．2,121==x x C ．1,221-==x x D ．无解 6. 若关于x 的方程0222=-+-a ax x 有两个相等的实根，则a 的值是（ ） A ．－4 B ．4 C ．4或－4 D ．2 7. 方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有一个实数根 8. 某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是 （ ） A. 200(1+a%)2=148 B. 200(1－a%)2 =148
C. 200(1－2a%)=148 D. 200(1－a 2 %)=148 二、填空题 9. 一元二次方程x x 6122=-的一般形式是 ，其中一次项系数是 ． 10. 认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当： (1)221x x +=-，应选用 法； (2)()()()()42122++=-+x x x x ，应选用 法； (3)07322=--x x ，应选用 法. 11. x x 2 12- 配成完全平方式需加上 . 12. 若关于x 的方程220x x k ++=的一个根是1，则另一个根是 ． 13. 若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范是 ． 14. 以－3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ． 15. 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2 ，则原来的正方形铁皮的面积是 . 16．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为22b a b a -=＊，根据这个规则，方程05)2(=+＊x 的解为 . 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程： （1）2(1)4x -= （2）04632=+-x x （3）(2)(3)12x x --= （4）231y += 18.