备注：前期已经传了2003-2011年9年的真题，现将答案发布供大家参考！想只要真题的童鞋请搜索CZ_Victor 的文库下载，谢谢！
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数3
()sin x x
f x x
π-=
的可去间断点的个数为：（ ）
()A .
1
()B . 2 ()C . 3
()D .无穷多个
【答案】C
【解析】 ()3
s i n x x
f x x
π-=
则当x 取任何整数时，()f x 均无意义
故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解
1,2,30,1x =±
3
2
3
2
1
1
3
2
1
1
131
lim lim sin cos 132
lim
lim
sin cos 132
lim
lim
sin cos x x x x x x x x x x
x
x x
x
x x x x
x
x
x ππππππππππππ
→→→→→-→---==--==--==
故可去间断点为3个，即0,1±
（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2
()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）
()A .1a
=，16
b =-
()B . 1a =，16b = ()C .1a =-，16
b =-
()D .1a =-，16
b =
【答案】 A
【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则
2
2
2
2
()sin sin 1cos sin lim
lim
lim
lim
lim
()
ln(1)
()
36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx
bx
→→→→→---==-?---洛洛2
3
sin lim
166x a ax a
b b
ax
a →==-
=-? 3
6a b ∴=- 故排除,B C 。
另外2
1cos lim
3x a ax bx
→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.
a =排D 。
所以本题选A 。
（3）使不等式1
sin ln x
t dt x t
>?
成立的x 的范围是（ ）
()A .
(0,1)
()B .(1,
)2
π ()C .(
,)2
ππ
()D .(,)π+∞
【答案】A
【解析】原问题可转化为求
1
1
1
sin sin 1()ln x
x
x
t t f x dt x dt dt t
t
t
=
-=
-
?
?
?
11
sin 1
1sin 0x
x
t t
dt dt t
t
--=
=
>?
?
成立时x 的
取值范围，由1sin 0t
t
->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >。故应选A .
（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：
则函数()()0
x
F x f t dt =
?
的图形为（ ）
1 ()
f x -2 0 2 3
x
-1
O
()A .
()B .
()C .
()D .
【答案】D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、
0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：
①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。 ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增。 ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数。
④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为D 。
（5）设,A B 均为2阶矩阵，*
,A B *
分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==则分块矩阵
00A B
??
???
的伴随矩阵为（ ） ()A .**
0320B A
??
???
()B . **
230B A
??
???
()
f x 0 2 3
x
1 -2
-1
1
()
f x 0
2 3
x
1 -1 1 ()
f x 0
2 3
x
1 -2
-1
1
()f x 0 2 3
x
1 -
2 -1
1
()C .**
0320A B
??
???
()D .**
0230A B
??
???
【解析】根据CC C E *
=，若1
1
1,C C C C
C C
*
--*
==
分块矩阵0
0A B ??
???的行列式22
012360
A A
B B
?=-=?=（）
，即分块矩阵可逆
1
1
1
1
00
066
000100B B
A A A
B B B
B A
A A **
---*?? ???????
?=== ? ? ? ?????
??
?
??
1
0023
613002
B B A A ***
*?? ?
??
==
? ? ???
???
故答案为（B ）
（6）设,A P 均为3阶矩阵，T
P 为P 的转置矩阵，且1000
1000
2T
P AP ?? ?
= ? ??
?
，若123
1223(,,),(,,)P Q ααα
αααα==+，则T
Q AQ 为（ ）
()A .2
101
10002?? ? ? ???
()B . 1
101
2000
2??
?
? ??? ()C .2000
1000
2?? ? ? ??
?
()D .1000
2000
2??
? ? ??
?
【答案】 A
【解析】122312312312100(,,)(,,)1
10(,,)(1)0
1Q E αααααααααα??
?
?
=+==??????
，即：
121212122112(1)
[(1)][(1)](1)[](1)100(1)0
10(1)00
21101
001
002
100100101101100
10
20
10
2T
T
T
T
Q P E Q A Q P E A P E E P A P E E E ===??
?
?
=??????????????
????????==????????????????????????
（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（ ）
()A .()0P A B =
()B . ()()()P AB P A P B = ()C .()1()P A P B =-
()D .()1P A B ?=
【答案】()D
【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB =
()A ()()1()P A B P A B P A B ==- ，因为()P A B 不一定等于1，所以()A 不正确 ()B 当(),()P A P B 不为0时，()B 不成立，故排除 ()C 只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除
()D ()()1()1P A B P AB P AB ==-= ，故()D 正确。
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为
1{0}{1}2
P Y P Y ====
，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()
z F Z 的间断点个数为（ ）
()A .
()B . 1 ()C .
2
()D . 3
【答案】 B 【解析】
()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]
2
Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=≤==+≤===≤=+≤==?≤=+≤=
,X Y 独立
1()[(0)()]2
Z F z P x z P x z ∴=
?≤+≤
（1）若0z <，则1()()2Z F z z =Φ （2）当0z ≥，则1()(1())2Z F z z =
+Φ
0z ∴=为间断点，故选（B ）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 3
2
0lim
11
x x e e
x →-=+- .
【答案】
32
e
【解析】cos cos 13
3
2
2
00
(1)
lim
lim
11
11
x x x x e e
e e
x x -→→--=+-+-
02
(1c o s )
l i m 13
x e x x →-=
202
12l i m 13x e x
x →?=
3
2
e =
（10）设()y x
z x e =+，则(1,0)
z x
?=?
【解析】 由()
x
y
z x e
=+，故()(),01x
z x x =+
()'
'
ln(1)
ln(1)1ln(1)1x x x x x dz
x x e e x dx x ++?
?????=+==++?????
?+?
? 代入1x =得，
()
ln 2
1,01ln 22ln 212z e
x
??
?=+=+ ???
?
（11）幂级数2
1
(1)
n n
n
n e x n
∞
=--∑
的收敛半径为
【答案】
1e
【解析】
由题意知，()
2
10n
n
n e a n
--=
>
()
()
()
()
1
1
1
1
2
2
12
2
111()11111n n n n n n
n
n
n
n
e e e
a n
n
e n a n e n e e +++++????--??
???--???
?=
?
=
?
→→∞??
+--+??--??
???????
所以，该幂级数的收敛半径为1e
（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元
【答案】12000
【解析】所求即为()Q P Q P Q ''=+ 因为0.2p Q P Q
ξ'=
=，所以0.2Q P Q '=
所以()0.2 1.2Q P Q Q Q '=+= 将10000Q =代入有()12000Q P '=。
（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T
αβ相似于3000
0000
0?? ?
? ??
?
，则k = 【答案】2
【解析】T
αβ相似于3
000
000
0??
??
??????
，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ的特征值为 3，0，0。而T αβ为矩阵T
αβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=。
(14) 设1X ，2X ,…n X 是来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2
S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2
T X S =-，则E T =
【答案】2np
【解析】由222()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值。 【解析】
2
(,)2(2)0x f x y x y '=+=
2
(,)2ln 10y f x y x y y '=++=
故10,x y e
= =
2212(2),2,4xx yy xy
f y f x f xy y
''''''=+ =+ = 则 1
2
(0,)
1(0,)
1(0,)
12(2)
0xx e xy e yy
e f e
f f e
''=+''=''=
0xx
f ''> 而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e
=-
（16）（本题满分10 分） 计算不定积分1ln(1)x dx x
++? (0)x >
【解析】 令
1x t x
+=得2
2
2
12,1
(1)
tdt x dx t t -=
=
--
2
2
2
2
2
2
2
2
2221ln(1)
ln(1)
(1)(1)(1)
1
ln(1)(
)1ln(1)1
1
111ln(1)1
1
1
(14(1)4(11ln(1)111ln
1
4
12(1)11
111ln(1)ln
4
11
2t t dt t d t t t t d t t dt
t t
t t dt t t t t t t C
t t t x
x x x x
x x
--=+=+---=+-+=-
?--++--=-++--++++=
+-
+--++++=+
+-+-?????2
原式））2（）1(
1)
111ln(1)ln((1))ln((1))2
2
C
x x x x x x x x C
x
++++=+
+
++-
+-
+
（17）（本题满分10 分）
计算二重积分()D
x y dxdy -??，其中22
(,)(1)(1)2,D x y x y y x ??=-+-≤≥??
.
【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，
3
2(sin cos )
4
()(cos sin )0
4
D
x y dxdy d r r rdr π
θθθθθπ
+∴-=
-???
?
3
32(sin cos )14
(cos sin )034
r d π
θθθθθπ?+?=
-??????
2
38
4
(cos sin )(sin cos )(sin cos )3
4d π
θθθθθθθπ=
-?+?+?
3
3
8
4
(cos sin )(sin cos )3
4
d π
θθθθθπ=
-?+?
3
3
44
4
38
814
(sin cos )(sin cos )(sin cos )
3
3
4
4
d ππ
π
θθθθθθπ
=++=
?
+?83
=-
（18）（本题满分11 分）
①证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],
a b 上连续，在(),
a b 上可导，则
(),a b ξ∈，得证()'
()()()f b f a f b a ξ-=-.
②证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,
,(0)σσ>内可导，且'
lim ()x f x A +
→=，则
'
(0)f +存在，且'(0)f
A +
=.
【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b a
?-=--
--，易验证()x ?满足：
()()a b ??=；()x ?在闭区间[],a b 上连续，在开区间()
,a b 内可导，且
'
'
()()()()f b f a x f x b a
?-=-
-。
根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0?ξ=，即
'
()f ξ'
()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b a
ξ--
=∴-=--
（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；
在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在
()()0
00,0,x x ξδ∈?，使得()0
'
00()(0)
x f x f f
x ξ-=
-……()*
又由于()'
lim x f
x A +→=
，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：
()()00000
0'
'
'
0()00lim lim ()lim ()0
x x x x x f x f f f f A x ξξξ+
+++→→→-====-
故'(0)f +存在，且'
(0)f A +=。
（19）（本题满分10 分）
设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线
0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边
梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。 【解析】旋转体的体积为2
2()()
11x x t
t
V f dx f
dx π
π
=
=??
曲边梯形的面积为：()
1x t
s f
dx =
?，则由题可知
22()
()()
()11
11
x x x x t
t
t
t
V ts f
dx t f dx f
dx t f dx ππ
π=?=?
=????
两边对t 求导可得22
()()()()()()
1
1t x t t t x t
t
f f dx tf f tf f
dx =
+?-=
??
继续求导可得''2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，化简可得
'
1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy
y
-=?
+=，解之得12
23
t c y y -=?+
在 式中令1t =，则2
(1)(1)0,()0,(1)1
f f f t f
-=>∴= ，代入1
223
t c y y -
=+得
111,(2)3
3
c t y y
=∴=+。
所以该曲线方程为：1230y x y
+-=。
（20）（本题满分11 分） 设1
11A=1
1104
2--?? ?- ? ?--?
?,1112ξ-?? ?= ? ?-??
①求满足21A ξξ=，2
31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.
②对①中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关。 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=
()
11
1111
1111
111,11110
0000
21104
2202
1100
00A ξ---------??????
?
?
?
=-→→ ? ? ?
? ? ?---?
??
??
?
()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0A x =解得，211,1x x =-=
求特解，令120x x ==，得31x =
故21101021k ξ???? ? ?
=-+ ? ? ? ?????
，其中1k 为任意常数
解方程231A ξξ= 2
2202
2044
0A ?? ?=-- ? ??
?
()
2
1111022012,22010
00044
0200
00A
ξ-?
? ?-??
? ?
=--→ ? ?
? ?
?
? ??
?
故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x == 求特解21200η?? ?
?=
? ? ?
?
?
故 321121000k ξ??
??? ?
?=-+
? ? ? ??? ???
，其中2k 为任意常数 （Ⅱ）证明：
由于121212*********
2
111
2(21)()2()(21)2
2
2
21
0k k k k k k k k k k k k k -+--=+++
-+
-+-+
102
=
≠ 故123,,ξξξ 线性无关.
（21）（本题满分11 分）
设二次型222
1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-
①求二次型f 的矩阵的所有特征值。
②若二次型123(,,)f x x x 的规范型为22
11y y +，求a 的值。
【解析】（Ⅰ） 010
111
1a A a a ??
?=- ? ?--?
?
011
0||01
()
1
1
1
1
1
1
1
a
a a E A a a a a λλλλλλλλ-----=
-=--
-+---+
2
2
2
()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}
2
4
()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+
--
=--+--
123,2,1a a a λλλ∴==-=+
（Ⅱ） 若规范形为22
12y y +，说明有两个特征值为正，一个为0。则
1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合
3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0
x e y x f x y -?<<=?
?其他
①求条件概率密度()Y
X
f y x
②求条件概率11P X Y =?≤≤??? 【解析】
（I ）由0(,)0x
y x e f x y -<
?
其它 得其边缘密度函数 0
()0x
x x
x f x e dy xe x --=
= >?
故 |(,)1
(|)0()y x x f x y f y x y x f x x
=
= <<
即 |1
(|)0y x y x
f y x x ? 0<
其它
（II ）[1,1]
[1|1][1]
P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=
≤
而11
1
11
[1,1](,)12x
x x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e
---≤≤≤≤=
=
==-??
?
??
()|
,0x x
y
Y y
f y e dx e
e
y y
+∞---+∞=
=-= >?
11
1
1[1]|
110
y
y
P Y e
dy e
e
e ----∴ ≤=
=-=-+=-?
1
1
122[1|1]11
e e P X Y e
e ----∴ ≤≤=
=
--
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数。 ①求10P X Z ?==???.
②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 1
2113
324(10)9
C P X Z C C
?∴===
=
?
（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故 ()()()()()()()()()1
111
33
2311
1
1
66
66
1
1
1223
1
1
11
6666
1
1221166
11
2211
66
110,0,1,046
1
1
12,0,0,1363
11,1,2,10
9
10,29
1,20,2,20
C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C
C C P X Y C C P X Y P X Y ??====
===
=
????====
===
=
???====
===??===
=
?======
X
0 1 2
Y
0 1/4 1/6 1/36
1 1/3 1/9 0
2 1/9 0 0