复试理力重点知识点总结 静力学 第一章静力学基础 1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。 2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。 3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。 4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。 第二章力系的简化 1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。 2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。 3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。 4、掌握合力投影定理和合力矩定理。 5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。 第三章力系的平衡条件 1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。 2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。
3、了解静定和静不定问题的概念。 4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。 第四章摩擦 1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。 2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。 运动学 第五章点的运动 1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。 2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。 第六章刚体的基本运动 1、掌握刚体平动和定轴转动的特征；掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度；掌握定轴转动刚体角速度矢量和角加速度矢量的概念以及刚体内各点的速度和加速度的矢积表达式。 2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。 第七章点的复合运动 1、掌握运动合成和分解的基本概念和方法。 2、理解xx加速度的原理。 3、熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理的应用。 4、掌握牵连运动为定轴转动时加速度合成定理和应用。
动力学 第十五章拉格朗日方程 在第十三章中曾经指出，根据达朗伯原理可以把动力学问题化成静力学问题的形式来处理，在第四章中讨论的虚位移原理是任意质点系平衡的普遍原理。本章中我们首先将这两种原理结合应用得到动力学普遍方程，然后将其用广义坐标的形式表示，推导出更便于求解非自由质点系动力学问题的拉格朗日方程。 第一节动力学普遍方程 设一运动着的质点系，其中第i个质点的加速度为a i，质量为m i，依达朗伯原理在每一瞬时作用在该质点上的主动力F i，约束力F Ni以及假想加在质点上的惯性力F Ii= －ma i 组成平衡力系，即 F i + F Ni+ (－ma i) = 0 (i=1，2，…，n) 应用虚位移原理，给质点系任一组虚位移δr i (i=1，2，…，n)，则质点系上所有主动力，约束力和惯性力在这虚位移中作的元功之和应等于零。于是可得 假定质点系所受的约束是理想约束，则所有约束力在虚位移中的元功之和恒为零，于是上式可写成 (15-1) 如用直角坐标系，式（15-1）可写成 (15-2) 式中分别是和在直角坐标轴上的投影。 式（15-1）和式（15-2）称为动力学普遍方程，这一方程表明:具有理想约束的质点系运动时, 在任一瞬时，作用于质点系的所有主动力和惯性力在任一虚位移中所作元功之和等于零。 下面举例说明这一方程的应用.
第二节拉格朗日方程 由上节可知动力学普遍方程是不包含理想约束力的动力学方程组，这是它的优势所在，但是由于在虚位移计算中采用非独立的直角坐标，从而对确定的动力学系统所得到的方程一般不是最少的。本节所介绍的拉格朗日方程是动力学普遍方程的广义坐标形式，所得到的方程组中方程的个数最少。在推导拉格朗日方程之前首先证明两个恒等式： (15-3) (15-4) 式中n，N分别是质点系中质点的个数和质点系的广义坐标数。若质点系受到s个理想完整的约束则有N=3n-s；是第i个质点的位矢，它是广义坐标q i和时间t的函数，即 证明式（15-3）：将对时间求导得 (15-5) 式中广义坐标对时间的变化率称为广义速度，注意到和只是广义坐标和时间的函数，因此式(15-5)对第j个广义速度取偏导数，便可证得式(15-3)。 证明式（15-4）：将式(15-5)对某一广义坐标求偏导数，得 因为是广义坐标和时间的函数，将其对时间求导数，得
达朗贝尔原理 知识总结 1.质点的惯性力。 ?设质点的质量为m ，加速度为，则质点的惯性力定义为 2.质点的达朗贝尔原理。 ?质点的达朗贝尔原理：质点上除了作用有主动力和约束力外，如 果假想地认为还作用有该质点的惯性力，则这些力在形式上形成一个平衡力系，即 3.质点系的达朗贝尔原理。 ?质点系的达朗贝尔原理：在质点系中每个质点上都假想地加上各自的惯 性力，则质点系的所以外力和惯性力，在形式上形成一个平衡力系，可以表示为 4.刚体惯性力系的简化结果 （1）刚体平移，惯性力系向质心C 简化，主矢与主矩为 （2）刚体绕定轴转动，惯性力系向转轴上一点O 简化，主矢与主矩为 其中
如果刚体有质量对称平面，且此平面与转轴z 垂直，则惯性力系向此质量对称平面与转轴z 的交点O 简化，主矢与主矩为 （3）刚体作平面运动，若此刚体有一质量对称平面且此平面作同一平面运动，惯性力系向质心C简化，主矢和主矩为 式中为过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动惯量。 5.消除动约束力的条件。 刚体绕定轴转动，消除动约束力的条件是，此转轴是中心惯性主轴（转轴过质心且对此轴的惯性积为零）；质心在转轴上，刚体可以在任意位置静止不动，称为静平衡；转轴为中心惯性主轴，不出现轴承动约束力，成为动平衡。 常见问题 问题一在惯性系中，惯性力是假想的（虚加的），达朗贝尔原理也是数学形式上的，物体一般并不是真的处于平衡。 问题二惯性力系一般都是向定点或者质心简化，因此这时惯性力系的主矩，而向其它的点简化，一般上是不成立的。如果一定要向某一任意点A简化，那么要先向定点或质心简化，之后将其移至A点（注意力在平移时将会有附加力偶）。惯性力系的主失是与简化中心无关的。 问题三用达朗贝尔原理解题时，加上惯性力系后就完全转化成静力学问题，其求解方法与精力学完全相同。 问题四物体系问题。每个物体都有惯性力系，因此每个物体的惯性力系向质心（或定点）简化都得到一个力与一个力偶。 虚位移原理 知识点总结 1.虚位移·虚功·理想约束。 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，人所假想的任何无限小位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。 力在虚位移中所作的功称为虚功。
第十四章 虚位移原理 答 案 14-1 (1)若认为B处虚位移正确，则A，C处虚位移有错：A处位移应垂直于 O1A向左上方，C处虚位移应垂直向下。若认为C处虚位移正确，则B，A处虚位移有错：B处虚位移应反向，A处虚位移应垂直于O1A向右下方。C处虚位移可沿力的作用线，A处虚位移不能沿力的作用线。 (2)三处虚位移均有错，此种情况下虚位移均不能沿力的作用线。杆 AB，DE若运动应作定轴转动，B，D点的虚位移应垂直于杆AB，DE；杆BC，DE作平面运动，应按刚体平面运动的方法确定点C虚位移。 14-2 （1）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法；对此例几何法与虚速度法比坐标（解析）法简单，几何法与虚速度法难易程度相同。 （2）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法。几何法与虚速度法相似，比较简单。用坐标法也不难，但要注意δθ的正负号。
（3）同（2） （4）用几何法或虚速度法比较简单，可以用坐标法，但比较难。 （5）同（4） 14-3 （1）不需要。 （2）需要。内力投影，取矩之和为零，但内力作功之和可以不为零。 14-4 弹性力作功可用坐标法计算，也可用弹性力作功公式略去高阶小量计算；摩擦力在此虚位移中作正功。 14-5 在平面力系所在的刚体平面内建立一任意的平面直角坐标系，在此刚体平面内任选一点作为基点，写出此平面图形的运动方程。设任一力 的作用点为（x i， y i），且把此坐标以平面图形运动方程表示，设此点产生虚位移，把力 投影到坐标轴上，且写出此点直角坐标的变分，用解析法形式的虚位移表达式，把力的投影与直角坐标变分代入，运算整理之后便可得。
也可以在平面力系所在的刚体平面内任选一点O（简化中心），把平面力系向此点简化得一主矢与主矩，把主矢以 表示，分别给刚体以虚位移 ，由虚位移原理也可得平衡方程。
第十四章虚位移原理 一、回顾： 液压升降台如图所示，求油压举升缸筒的拉力。 本题目是物体系平衡问题 。 图（a） 1.取缸筒为研究对象 ∑M G(F)=0 求出F E 2.取CG、DE+缸筒为研究对象 ∑M (F)=0 求出F Dy C （b）（c）
3.取整体为研究对象 ∑M A(F)=0 求出F B 4.取杆BD为研究对象 ∑M K(F)=0 求出F Dx （d）（e） 5.取杆DE为研究对象 ∑M O(F)=0 求出F JH 由上分析可知： （1）用静力学中求解物体系统平衡问题的方法求解，需要选取5次研究对象，列5个方程，求解过程较为复杂。 （2）运算过程中出现了4个题目并不需要求解的约束反力，称之为中间变量，消除这些约束反力，才能得到要求的量。 问题有无别的方法求解物体系统的平衡问题而这种方法又能避开求这些中间变量，简化求解过程。 二、求解物体系统的平衡问题的两种方法 ⑴用静力平衡方程求解----刚体静力学（几何静力学） ⑵用虚位移原理求解----分析静力学
虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系，由于约束力不作功，有时应用虚位移原理求解更为方便。 三、利用虚位移原理求解的平衡问题一般有如下几个特点： ⑴结构特点-----结构为几何可变体系 ⑵待求量特点-----数目较少 ⑶研究对象的选取-----取整体即可求解 四、基本概念 几何可变体系-----约束允许系统动 几何不变体系-----约束不允许系统动 举例： 图图 如图所示，约束允许结构动，受力后可以不动，该结构为几何可变体系。 如图所示，约束不允许结构动，受力后仍然不动，该结构为几何不变体系。 对于几何不变体系，只要解除某些约束，用约束力代替约束的作用，即可将不变体系变为可变体系。 约束·虚位移·虚功 一、约束及其分类
浅析《虚位移原理》的一般解题步骤与应注意的问题 姓名：王晟学号：000572 班级：机05 这个学期的《工程力学》的学习中，大家最感到头疼的可能就是虚位移原理的一些题目了。虚虚实实，有速度，还有加速度；分析起来特别麻烦，一不小心就容易弄错几个虚位移或弄丢几个虚位移。考试的时候很容易丢分。根据平时上课以及从教科书参考书上积累的知识，我将虚位移原理的有关知识总结一下，希望能够为大家提供一些不成熟的建议。 解题的一般步骤 （1） 根据题意，分清所分析的问题时属于哪一类的问题： ①求平衡问题； ②求约束反力或内力； ③判断平衡的稳定性。 对于求约束反力或内力的问题，首先应解除约束（求哪个反力或内力，解除与之对应的约束），用对应的反力或内力替代约束对系统的作用，从而将反力或内力“转化”为主动力。 每解除一个约束，系统相应增加一个自由度！ （2） 分析约束性质，画主动力的受力图。在所研究的系统中，如有某些约束不是理想约束，应将这些约束的反力按主动力处理。 只画系统的主动力的受力图，这里的主动力应该包括： ①系统以外的物体对它的作用力； ②非理想约束的约束反力； ③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。 （3） 确定系统的自由度，应包括因杰出约束而增加的自由度。选择合适的坐标（或线坐标、或角坐标）做系统的广义坐标。 对完整系统来说，广义坐标的数目等于自由度的数目！ （4） 给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移的关系： ①几何法：运用运动学中分析速度的方法（对于定常约束来说，虚位移之间的关系就是速度的关系），进行计算。 ②解析法：先选定一个静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后，再对广义坐标取变分，进行计算。 （5） 建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。 （6） 写出系统的势能表达式，确定平衡位置，判断在平衡位置上，系统是处于稳定平衡还是非稳定平衡。（此部分看题目需要） 应注意的问题 （1） 应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离对象，这是不同与其他分析方法的。（采用虚位移原理解绗架问题也未尝不可，但并没有明显的效果。 如《理论力学》教材133页例5－13的第三种方法，就是采用了虚位移原理对分离 对象分析）
第十五章 虚位移原理 15-1图示曲柄连杆机构有多少个自由度。[答：1个] 15-2求图示系统中主动力作用点C 、D 、B 的虚位移大小的比值。[答：=B D C δδδ::2:2:1] 15-3 图示平面机构中，CD 连线铅直，杆BC= BD 。在图示瞬时，角 30=?，杆AB 水平，求该瞬时点A 和点C 的虚位移大小之间的关系。[答：C A r 2 3 r δδ= ] 15-4求图示滑轮系统中，A 、B 两点虚位移之间的关系。[答：A B r 2r δδ=]
15-5重为P 、长为l 的均质杆AB 放置如图。设各处光滑，在A 点处的水平力F 作用下保持平衡， 60=?，今给A 点一向右的虚位移x δ，试由虚位移原理建立的虚功方程。[答：0x F -6 3 P =δδ] 15-6 杆OA 和AB 各长l ，在A 点用铰链连接，在点O 和B 间连接一根刚度系数为 k 的铅直弹簧，弹簧的原长为0l 。当在A 点作用铅垂力A F 时，机构处于图所示的平衡位置，且弹簧被拉伸。如果不计各构件的重量和摩擦，用虚位移原理求机构处于平衡位置时的角度?。[答：4kl 2kl F arcsin A +=?]
15-7 如图所示，两等长杆AB 和BC 在点B 用铰链连接。在杆的点D 和点E 连接水平弹簧，弹簧的刚度系数为k ；从当距离AC a =时，弹簧的拉力等于零。已知 AB=l , BD=b ，今在点C 作用水平力F 1使系统处于 平衡。若不计构件重量和摩擦，试用虚位移原理求距离AC 的值x 。[答：2 1 b l k F a x ?? ? ??+=] 15-8 在图示机构中，已知：力F ，l GC EG DE DC BC AC ======，弹簧的原长为l ，刚度系数为k 。试用虚位移原理求机构平衡时，力F 与角θ的关系。[答：()12sin kl 3 2 F -= θ]
第12章 虚位移原理及其应用 12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。 解：应用解析法，如图（a ），设OD = l θsin 2l y A =；θsin 6l y B = θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?A B y F y F 02612=-F F ；213F F = 12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。已知：AC = BC = EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3 δl x D = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?-D A x F y F 0cos 3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F = 12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F 1与F 2的大小关系。 解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=?+? r F r F 如图（b ）： β θt a n δδt a n δ2 a 1r r r == ；12 δtan tan δr r θ β = 0δtan tan δ1211=? -?r θβF r F ；θ β tan tan 21?=F F 12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。 习题12-1图 （a ） 习题12-2解图 习题12－3 （a ） r a （b ）
第13章 虚位移原理及拉格朗日方程 在静力学中，通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程，进而解决了物体间的平衡问题，虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发，运用数学分析的方法解决某些静力学问题。法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合，建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。并且进一步导出了拉格朗日方程。 主要内容 13.1.1 虚位移的基本概念 1、约束和约束方程 非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。 2、约束的分类 在虚位移原理中，将约束分为4类：a 、几何约束和运动约束，b. 定常约束和非定常约束，c. 完整约束和非完整约束，d. 双面约束和单面约束。 约束方程的一般形式应为 ()f x y z x y z j i i i 1110,,,,,, = i ＝1,2,…,n ， j ＝1,2,…,s 3、自由度 a 、设某质点系由n 个质点、s 个完整约束组成。则自由度数k 为 k ＝3n –s 若质点系为平面问题，则 k ＝2n –s b 、设某质点系由n 个刚体、s 个完整约束组成。则自由度数k 为 k ＝6n –s 若为平面问题，则为 k ＝3n –s 4、广义坐标 用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。此系统任一质点M i 的坐标可以表示为广义坐标的函数，即 ()r r q q q i i k =12,,, i ＝1,2,…,n
这是用广义坐标q i 表示的质点系各质点位置的表达式。 13.1.2 虚位移 虚功 1、虚位移 在给定的位置上，质点系为所有约束所容许的无限小位移，称为此质点或质点系的虚位移。 虚位移有三个特点：第一，虚位移是约束所容许的位移；第二，虚位移是无限小的位移；第三，虚位移是虚设的位移；虚位移用 r i 表示，以区别于实位移d r i 。这里的“” 是等时变分算子符号，简称变分符号。在虚位移原理中它的运算规则与微分算子“d ”的运算规则相同。 2、虚功 作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功称为虚功，则虚功的表达式为 r F δ?=δF W 3、理想约束 在质点系的任何虚位移中，如果约束反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。则理想约束的条件可以表示为 01 =δ?=δ∑=i i N n i F W r F ∑ 例如：①光滑面约束；②光滑铰链约束；③对纯滚动刚体的固定面约束；④无重钢杆(二力杆)约束；⑤不可伸长的绳索约束。都是理想约束。 13.1.3 虚位移原理及应用 1、虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即 0=δ∑F W 虚位移原理的矢量表达式为 01 =δ?∑=i i n i r F 在直角坐标系的投影表达式为 () 01 =δ+δ+δ∑=i i z i i y i i x n i z F y F x F 以上各式也称为虚功方程。 2、虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。
第十五<1）章虚位移原理 虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。 虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。本书只介绍虚位移原理的工程应用，而不按分析力学的体系追求其完整性和严密性。b5E2RGbCAP §15-1 约束·虚位移·虚功 1．约束及其分类 在第一章，我们将限制物体位移的周围物体称为该物体的约束。为研究上的方便，现将约束定义为：限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。我们从不同的角度对约束分类如下。p1EanqFDPw <1）几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图15-1所示单摆，其中质点M可绕固定点O在平面Oxy内摆动，摆长为l。这时摆杆对质点的限制条件是：质点M必须在以点O为圆心、以l为半径的圆周上运动。若以x，y表示质点的坐标，则其约束方程为。又如，质点M在图15-2所示固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点M的约束方程，即DXDiTa9E3d
又例如，在图15-3所示曲柄连杆机构中，连杆AB所受约束有：点A只能作以点O为圆心，以r为半径的圆周运动；点B与点A间的距离始终保持为杆长l；点B始终沿滑道作直线运动。这三个条件以约束方程表示为RTCrpUDGiT 上述例子中各约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。
在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。例如，图5-4所示车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮除了受到限制其轮心A始终与地面保持距离为r的几何约束外，还受到只滚不滑的运动学的限制，即每一瞬时有 5PCzVD7HxA 上述约束就是运动约束，该方程即为约束方程。设和分别为点A 的坐标和车轮的转角，有。则上式又可改写为 <2）定常约束和非定常约束 图形15-5为一摆长l随时间变化的单摆，图中重物M由一根穿过固定圆环O的细绳系住。设摆长在开始时为l0，然后以不变的速度v拉动细绳的另一端，此时单摆的约束方程为jLBHrnAILg
第十五章 虚位移原理 一、目的要求 1．对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的认识，并会利用几何法、解析法和虚速度法找系统内各点虚位移之间的关系。 2．能正确地运用虚位移原理求解物体系的平衡问题。 3．对自由度和广义坐标有初步的理解。 4．会用解析法和几何法计算广义力。 二、基本内容 1．基本概念 约束、虚位移、虚功、虚位移原理、自由度和广义坐标。 2．主要公式： （1）虚功 z z y y x x r F W δδδδδ++=?=?? （2）虚功方程（虚位移原理） 1）几何法 01 =?∑=i n i i r F ??δ 2）解析法 0)(1=++∑=i i i i i i n i z z y y x x δδδ （3）广义力的计算 1）解析法 ??? ? ????+??+??=∑=k i i k i i k i i n i k q z Z q y Y q x X Q 1 N k ,,2,1Λ= 2）几何法 k k n i k q W Q δδ'=∑=1 （4）广义力表示的平衡条件 Q 1=Q 2=…=Q N =0 N 为系统的自由度数
三、重点和难点 1．重点 （1）虚位移、理想约束的概念 （2）应用虚位移原理求解物体系的平衡问题 （3）质点系自由度数的判断及广义力的计算 2．难点 找虚位移之间的关系 四、教学提示 （1）讲清虚位移原理解决什么问题，以及为什么要学习本章内容。 （2）对约束、约束主程只作简单介绍，熟练找虚位移之间关系的几何法、虚速度法与解析法，区分虚位移与实位移、虚功与实功。 （3）讲清虚功方程的几何与解析表达式，反复举例说明其解题特点，尤其注意方程中各项符号的确定。 （4）强调用虚位移原理解题是以质点系整体为研究对象。 （5）讲清广义坐标、广义力与直角坐标、一般力的关系。
§5、2虚功原理（虚位移原理） 一、虚位移和实位移 实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d = 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方 程 虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更 虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i r δ表示 （1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束 方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念 （2）直观意义（求法）： 对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的 可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移； 对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变 分运算与微分运算完全相同。 Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动， 约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz = （3）实位移是唯一的，虚位移可若干个； 对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个； 对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。见273p 图5.2－1 二、理想约束 实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移r d 中所作的功 dW 虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移r δ中所作的功 W δ 其中 i R 为第i 个质点受的约束力 若 ∑ =?i i i r R 0 δ 体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零?理想约束 例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等 刚性杆约束 022112 111='+'-=?+?r f r f r f r f δδδδ （21f f -= 21f f =； 2 1r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点） 三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一） 体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处 于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=?+?i i i i r R r F δδ? 对系统求和?