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浅析二元函数的一致连续性

数学总结(函数连续性)

命题：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数关键词：初等函数，定义区间，连续函数相关词：基本初等函数，复合函数，函数极限一．6个基本初等函数： ①常量函数②幂函数③指数函数④对数函数⑤三角函数⑥反三角函数形式： ①f （x ）＝C （C 为常数） ②f （x ）＝x a ③f （x ）＝a x （1,0≠>a a ） ④f （x ）＝log a x （1,0≠>a a ） ⑤f （x ）＝sinx f （x ）＝cosx f （x ）＝tanx …… ⑥f （x ）＝arcsinx f （x ）＝arccosx f （x ）＝arctanx 二．函数连续的定义：设函数)(x f 在 x 的某个邻域U （ x ）上有定义，若 )()(0lim x f x f x x =→ ，则称函数)(x f 在x 0处连续注：定义中涉及“)(lim 0 x f x x → ”即为函数之极限三．函数极限的定义：

为极限极限存在，且以时当，则称A x )(A )(0::,0,0x 00→<-?<-?>?x f x f x x x εδδε 由此也可用""δε-定义)(x f 在x 0处的连续性： εδδε<-?<-??>?>?)()(::,0,000x x f x f x x 四．初等函数的定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数要证明原命题，先解决以下几个问题：（Ⅰ）复合函数的连续性定义：若函数)(x f 在点x 0处连续，函数g （u ）在点u 0连续， u 0 ＝)(0 x f ，则复合函数g （f （x ））在点x 0 连续证明： ∵ g （u ）在点u 0连续 ∴ εεδδ<-?<-?>?>?)()(:,0,00101u u g u g u 而)(x f 在点x 0处连续，取δδδδε102021' )()(:,0,0<-?<-?>?>=x x f x f x 即δ10)(<-u x f 故：ε<-))(())((0x f g x f g 综上：εεδδ<-?<-?>?>?))(())((:,0,00202x x f g x f g x 即：g （f （x ））在x 0处连续证毕！（Ⅱ）反函数的连续性定义：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数 )(1 y f - 在其定义域[])(),(b f a f 或[])(),(a f b f 上连续且单调性与原函数相同

(整理)函数的一致连续性63604

§2.9 函数的一致连续性定义 2.21 设f 是X 上的单变量函数.若0,0εδ?>?>,使得当 12,x x X ∈,12x x δ-<时总成立12()()f x x ε-<,则称f 是X 上的一致连续函数.显然,若f 是X 上的一致连续函数,则f 一定是X 上的连续函数(反之通常不正确). 命题1 (不一致连续的充要条件) X 上的单变量函数f 不一致连续 0ε??>和{},{}n n x y X ?,使得lim()0n n n x y →∞ -=,并且()()n n f x f y - ,n ε* ≥?∈ . 证: “?”.假定f 不是X 上的一致连续函数,则0ε?>,n * ?∈ , n x ?,n y X ∈满足1 n n x y n -< 和()(),n n f x f y n ε* -≥?∈.这说明右边成立. “?”.假定0ε?>和{}n x ,{}n y X ?,使得l i m ()0 n n n x y →∞ -=,并且()(),n n f x f y n ε* -≥?∈ .这时,0δ?>,,,N N N N x y X x y δ ?∈-<使得()()N N f x f y ε-≥.这说明f 不是X 上的一致连续函数.□ 命题 2 若f 是区间．．I 上的一致连续函数,00δ>是常数,则必存在 0M >使得当,x y I ∈,0x y δ-≤时总成立()()f x y M -≤. 证:对于固定的0,0εδ>>取,使得当12,x x I ∈,12x x δ-<时总成立 12()()f x x ε-<.再取n * ∈ 使得 ,M n n δδε<=令.当,,x y I ∈x y - 0δ≤时,()()f x f y -1 1(())(())n k k k f x y x f x y x n n =-≤+ --+-∑n ε< M =.□ 命题 3 有限开区间(,)a b 上的连续函数f 一致连续?存在有限单侧

初等函数及其连续性

初数研究期末专题论文教师一班105012013066 邱燕华

初等函数及其连续性【摘要】：本文主要分为三部分。第一部分利用初等函数的定义及Yanzu 引理重点讨论初等函数的判定方法；第二部分利用初等函数的连续性定义，详细讨论初等函数的连续性；第三部分简要提一下函数连续性在中学中的运用。关键词：初等函数，连续性，Yanzu 引理【正文】：一、初等函数 1、初等函数的定义定义1：由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做[1]初等函数。注：基本初等函数包括常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 2、初等函数的分类如果一个函数是用基本初等函数f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到初等函数称为代数函数，否则称为超越函数；f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加减乘除得到的代数函数称为有理函数，否则称为无理函数；有理函数中，仅经过有限次加、减、乘得到的初等函数称为有理整函数，否则称为有理分函数 [2]。（如下图示） ?????????????????有理整函数有理函数有理分函数代数函数无理函数初等函数超越函数 3、初等函数的判定方法（1）根据定义判定例1、判断下列函数是否为初等函数 ①12 2sin (1)x e y g x ??=? ?+?? ，②y lg(1y = 解： ①122sin (1)x e y g x ??=??+?? 可以看成是122sin ,,,1()x v y u u v e w x g w ====+复合而成的复合函数，12 2sin (1)x e y g x ??∴=??+??是初等函数。 ②∵ -1≤cosx ≤1, ∴-2-cosx 无意义, ∴y=-2-cosx 不是初等函数。 ③2lg ,1,1, lg(1y u u v v x y ==+++=∴== 复合而成的复合函数是初等函数例2、判断下列函数是否为初等函数

函数一致连续性的判定及应用论文

数学建模论文（设计）题目函数一致连续性的判定及应用学院专业年级学号姓名xx 指导教师xx 成绩 2007 年4 月19 日

函数一致连续性的判定及应用摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。关键词：函数；连续；一致连续函数 Decisions of uniformly continuous function and application TANG Yong The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region. Key words: function; continuity; uniformly continuity 1. 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数() f x在某区间内连续，是指函数() f x在该区间上一点 f x在该区间内每一点都连续，它反映函数() 附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数() f x在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数() f x的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。现有的数学分析教材中，一般只给出函数一致连续的概念和判定函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅少，为了对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握，作为教材内容的适当扩展和补充，本文做了以下几点讨论： 2. 函数连续与一致连续的关系 2.1 函数连续与一致连续的区别 2.1.1 函数连续的局部性

函数的连续性极其性质

了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：。无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量. 记作：(或) 注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理 a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量. 无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。

浅谈函数的一致连续性的性质

浅谈函数的一致连续性的性质张亚男,数学计算机科学学院摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。其次给出了一致连续函数的有界性质。再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界; Discusses the properties of the uniform continuity function Name：zhang ya nan Number：0707216 College：College of Mathematics and Computer Science Abstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given. Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;

浅析数学分析一致连续性

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定

§6+函数的一致连续性概念与应用练习参考解答

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答 1．若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2．试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在 [],a b 上也一致连续。 3．证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。 4．证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2 )(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5．证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。 6．求证下列函数在指定区间上一致连续： (1) ()1 f x x =， ()0a x <≤<+∞； 2) ()3f x x =， ()0x ≥。证 (1) 0ε?>，取2a δε=，则当212x x a ε-<时，有 12122121211 x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ?≥。即得()1 f x x =在[),a +∞上一致连续。 (2) 设210x x >≥，则有 ()3 333 221 1211x x x x x x x = -+≤-+。即有 3 3 3 2121x x x x -≤-。于是，对0ε?>， 30δε?=>，对12,0x x ?≥，当21x x δ-<时，有 3 33 2121x x x x ε-≤ -< 即得()f x 在0x ≥上一致连续。 7．求证下列函数在指定区间上不一致连续。 (1) ()()1 sin 01f x x x =<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学 2011年 6 月

关于一致连续函数的判据万鑫摘要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。关键词：一致连续非一致连续判别依据比较判别法比值判别法。一函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε?ε,0>?δ ,I x x ∈?21, , δ<-X X 2 1 时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε ，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与 x 1 x 2 ,虽然 δ<-X X 2 1 ，但 ()()ε≥-x x f f 21。