2012年全国各地中考数学解析汇编11 因式分解 11.1 提公因式法
（2012北京，9，4）分解因式：2
69mn mn m ++= ．
【解析】原式=m(n2+6n+9)=m(n+3)2 【答案】m(n+3)2
【点评】本题考查了提公因式及完全平方的知识点。
（2012广州市，13， 3分）分解因式a2－8a 。 【解析】提取公因式即可分解因式。 【答案】:a(a －8).
【点评】本题考查了因式分解的方法。比较简单。
（2012浙江省温州市，5，4分）把2
4a a -多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A.
()
4a a - B. (2)(2)a a +- C. (2)(2)a a a +- D.
2
(2)4a -- 【解析】分解因式按“一提二套”原则:有公因式的先提取公因式,再套用平方差公式或完全平方公式，本题可直接提公因式． 【答案】A
【点评】有公因式的要先提取公因式，然后再考虑运用平方差公式或完全平方公式进行分解.因式分解要分解到每个多项式因式都不能再分解为止，此题较基础．
（湖南株洲市3,9）因式分解：2
2a a -= .
【解析】22(2)a a a a -=-
【答案】(2)a a -
【点评】本题主要考查因式分解的常用方法及步骤：先提取公因式，再运用公式法进行分解．
（2012四川成都，1l ，4分）分解因式：2
5x x -=________．
解析：因式分解的基本方法是提取公因式法、公式法、分组分解法。本题只有两项，所以，只能用提取公因式法和平方差公式法。观察可知有公因式x ，提取公因式法分解为x(x-5)。 答案：x(x-5)。
点评：公因式的确定方法是：系数是各项系数的最大公约数，字母是各项都有的字母，指数取最小。
（2012湖北随州，11,4分）分解因式：2
49x -=______________________。
解析：
22249(2)3(23)(23)x x x x -=-=+-。 答案：(2x+3)(2x-3)
点评：本题考查了因式分解。对于多项式若其由两项组成，且为可化为平方差的形式，则可利用公式法直接进行因式分解。
（2012湖南湘潭，10，3分）因式分解：mn m -2
= .
【解析】提取公因式m ，得
mn m -2=m(m-n). 【答案】m(m-n).
【点评】此题考查因式分解的方法，有公因式时，先提取公因式。
(2012广东汕头，9，4分)分解因式：2x2﹣10x= 2x （x ﹣5） ． 分析： 首先确定公因式是2x ，然后提公因式即可．
解答： 解：原式=2x （x ﹣5）．
故答案是：2x （x ﹣5）．
点评： 本题考查了提公因式法，正确确定公因式是关
键．
(2012江苏苏州，12，3分)若a=2，a+b=3，则a2+ab= 6 ．
分析： 利用提公因式法进行因式分解，然后把a=2，a+b=3代入即可． 解答： 解：∵a=2，a+b=3，
∴a2+ab=a （a+b ）=2×3=6． 故答案为：6．
点评： 本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法把a2+ab 进行因式分解是解题的
关键．
（2012四川泸州，15，3分）分解因式ab a -2
= .
解析：分解因式的基本方法有提公因式法、公式法.本题直接提公因式来分解.
答案：).(2b a a ab a -=-
点评：分解因式要分解到不能分解为止.分解遇到公式时，注意公式结构与意义.
（2012湖北咸宁，9，3分）因式分解：=-a a 22
．
【解析】直接提取公因式a 即可． 【答案】)2(-a a
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
11.2 公式法
（2012福州，11，4分，）分解因式：x2-16= . 解析：直接用平方差公式将因式分解。 答案：（x+4）（x-4）
点评：等式变形是代数计算中的一个重要组成部分，熟练掌握平方差、完全平方公式是进行代数变形的基本能力。
（2012安徽，4，4分）下面的多项式中，能因式分解的是（）
A.n m +2
B. 12+-m m
C. n m -2
D.122
+-m m
解析：根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项，问哪个可以分解，对照选项中的多项式，试用所学的方法分解．就能判断出只有D 项可以.
解答：解：22)1(12-=+-m m m 故选D ．
点评：在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，最后一定要分解到每个因式不能再分为止.
（2011山东省潍坊市，题号13，分值3）13、分解因式：
=--x x x 1242
3 考点：多项式的因式分解
解答：
()
()()261241242
23+-=--=--x x x x x x x x x 点评：多项式分解因式时，应先提取公因式，后利用公式法或十字相乘法，最后要分解彻底。
（2012浙江省义乌市，11，4分）因式分解:x2-9= . 【解析】由平方差公式可得x2-9=（x+2）（x-2）。 【答案】(x+3)(x-3)
（2012福州，11，4分，）分解因式：x2-16= . 解析：直接用平方差公式将因式分解。 答案：（x+4）（x-4）
点评：等式变形是代数计算中的一个重要组成部分，熟练掌握平方差、完全平方公式是进行代数变形的基本能力。
（2012江苏盐城，10，3分）分解因式：a2-4b2= .
【解析】本题考查了因式分解的方法.掌握平方差公式是关键.运用平方差公式分解即可 【答案】a2-4b2=（a+2b ）(a-2b) .
【点评】本题主要考查了因式分解，分解因式的步骤是：有公因式先提取公因式，提公因式后能运用公式分解，再运用公式进行分解．
（2012江苏泰州市，15,3分）分解因式：a2-6a+9= ．
【解析】根据完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2进行因式分解，a2-6a+9=(a-3)2 ． 【答案】(a-3)2
【点评】本题考查了运用完全平方公式因式分解，也有部分同学没有理解因式分解的意义．
（2012安徽，4，4分）下面的多项式中，能因式分解的是（）
A.n m +2
B. 12+-m m
C. n m -2
D.122
+-m m
解析：根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项，问哪个可以分解，对照选项中的多项式，试用所学的方法分解．就能判断出只有D 项可以.
解答：解：22)1(12-=+-m m m 故选D ．
点评：在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，最后一定要分解到每个因式不能再分为止.
（2012浙江省湖州市，12，4分）因式分解：=36-x 2
。
【解析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解即可．
【答案】．=36-x 2
（x+6）（x-6）
【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
（2012呼和浩特，4，3分）下列各因式分解正确的是 A. –x2+(–2)2=(x –2)(x+2) B. x2+2x –1=(x –1)2
C. 4x2–4x+1=(2x –1)2
D. x2–4x=2(x+2)(x –2)
【解析】A 选项–x2+(–2)2=22–x2=(2–x)(2+x)，所以A 错；B 选项，应是x2–2x+1=(x –1)2，所以B 错；
D 选项x2–4x=x(x –4)，所以D 错。
【答案】C
【点评】本题考查了因式分解中的平方差公式、完全平方公式和提公因式的运算。
( 2012年四川省巴中市,11,3)因式分解：x2-9=__________. 【解析】用平方差公式分解得x2-9=（x+3)(x-3) 【答案】（x+3)(x-3)
【点评】本题考查用平方差公式分解因式,是比较容易的知识点.熟记公式是解决问题的关键.
11.3 综合法
（2012浙江丽水4分，12题）分解因式：2x2-8=________. 【解析】：2x2-8=2（x2-4）=2（x+2）（x-2）. 【答案】：2（x+2）（x-2）
【点评】：提公因式法和运用公式法是初中分解因式的两种主要方法，本题旨在考查对这两种方法以及乘法公式的运用能力.难度较小.
(2012山东省临沂市，15，3分）分解因式=+2
96-a ab ab .
【解析】先提公因式得，
)
9b 6b -(196-a 22+=+a ab ab ；再利用完全平方式得，
)
9b 6b -(12+a =2
3b)-(1a
【答案】
2
3b)-(1a
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方式进行二次分解，注意分解要彻底．
(2012四川省南充市，12，4分) 分解因式：2
412x x --=________________________.
解析：对于2
()x a b x ab +++型二次三项式的因式分解，只要把常数项分解成两个因
数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和，那么就可以把它分解成
()()x a x b ++。
答案：（x+2）(x-6)
点评：观对于二次三项式，根据其特点一般可以分别采用配方、分项或
2()()()x a b x ab x a x b +++=++的方法分解因式。本题因为因为2412x x --不是完
全平方式，不能直接使用公式法进行分解。
（2011江苏省无锡市，3，3′）分解因式
2
(1)2(1)1x x ---+的结果是（ ） A ．(1)(2)x x -- B 2x ． C ．2(1)x + D ．2(2)x -
【解析】若把1x -看成一个整体，从代数式的结构看就是差的完全平方公式。
222(1)2(1)1[(1)1](2)x x x x ---+=--=-
【答案】D
【点评】本题主要考查分解因式的常用方法：提取公因式法、运用公式法及二者的混合运用，另外要注意整体思想的运用。考查学生灵活应用的能力。
（2012浙江省绍兴，11，5分）因式分解：a3－a= ▲ .
【解析】先提取公因式a ，再根据完全平方公式进行分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b ）2． 【答案】a(a+1)(a-1)
【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 12. （2012浙江丽水4分，12题）分解因式：2x2-8=________. 【解析】：2x2-8=2（x2-4）=2（x+2）（x-2）. 【答案】：2（x+2）（x-2）
【点评】：提公因式法和运用公式法是初中分解因式的两种主要方法，本题旨在考查对这两种方法以及乘法公式的运用能力.难度较小.
（2012四川内江，13，5分）分解因式：ab3－4ab ＝ .
【解析】先提公因式，再用公式．原式＝ab(b2－4)＝ab(b ＋2)(b －2). 【答案】ab(b ＋2)(b －2)
【点评】将一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式因式分解（也叫做分解因式）.一般地，如果一个多项式的各项有公因式，必须先提取公因式；满足平方差公式或完全平方公式特征的多项式可以直接用公式分解因式；因式分解要做到两点：①所得结果必须为“几个整式的积的形式”；②所得结果中的每一个多项式都不能再分解.
(2012山东省临沂市，15，3分）分解因式=+2
96-a ab ab .
【解析】先提公因式得，
)
9b 6b -(196-a 22+=+a ab ab ；再利用完全平方式得，
)
9b 6b -(12+a =2
3b)-(1a
【答案】2
3b)-(1a
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方式进行二次分解，注意分解要彻底．
(2012四川省南充市，12，4分) 分解因式：2
412x x --=________________________.
解析：对于2()x a b x ab +++型二次三项式的因式分解，只要把常数项分解成两个因
数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和，那么就可以把它分解成
()()x a x b ++。
答案：（x+2）(x-6)
点评：观对于二次三项式，根据其特点一般可以分别采用配方、分项或
2()()()x a b x ab x a x b +++=++的方法分解因式。本题因为因为2412x x --不是完
全平方式，不能直接使用公式法进行分解。
（2012山东泰安，21，3分）因式分解：
32
69x x x -+= 。
【解析】先提取公因式，然后运用完全平方公式进行分解，32
69x x x -+=x(x2-6x+9)
=x(x-3)2. 【答案】x(x-3)2.
【点评】本题考查因式分解，因式分解是整式部分的重要内容，也是分式运算和二次根式运算的基础，因式分解的步骤：一提（提公因式），二套（套公式，主要是平方差公式和完全平方公式）．
（2012湖南益阳，10，4分）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： ．
【解析】只要是要熟记凡是形如：22a b -形式的多项式，都能用平方差公式分解因式，
这是关键所在，只要理解了这个就可以任意写出一个答案了，答案不唯一。
【答案】答案不唯一，如12
-x
【点评】本题只要考查对平方差公式的记忆和应用，主要是形式的应用，体现了数学的形式不变性，属答案不唯一的题型，难度不大。
(2012贵州六盘水，12，4分)分解因式：2x2+4x+2= ▲ .
分析：这个多项式有公因式2，提取公因式后，再用完全平方公式即可． 解答：解：2x2+4x+2=2（x+1）2．
点评：本题主要考查提公因式法和公式法分解因式，提出公因式是解题的关键．
（2012黑龙江省绥化市，3，3分）分解因式3223
2a b a b ab -+= ．
【解析】 解：原式=ab （a2-2ab+b2）=ab(a-b)2． 【答案】 ab(a-b)2．
【点评】 本题主要考查了因式分解常见方法，对于此类题型常见考查的有三种：①一提公因式再运用平方差公式因式分解；②一提公因式再运用完全平方公式因式分解；③一提公因式再运用十字相乘法因式分解．难度较小．
（2012陕西12，3分）分解因式：
3223-2+=x y x y xy ． 【解析】先提公因式，再运用公式分解：
()()
2
322322-2-2-x y x y xy xy x xy y xy x y +=+=
【答案】
()
2
-xy x y
【点评】本题主要考查因式分解的两种主要方法：提公因式法和运用公式法.难度较小. （2012北海,13，3分）13．因式分解：－m2＋n2＝___________。 【解析】交换两项的位置，根据平方差公式，即可得出答案。 【答案】(m ＋n)( m －n)
【点评】本题考查的是因式分解的平方差公式，平方差公式是两项，而且两项的符号相反，属于简单题型。
（2012深圳市 13 ，3分）分解因式：a ab -=32
。
【解析】：考查分解因式的基本方法：提取公因式法和运用公式法。需要正确确定公因式和运用公式。
【解答】：
()()()a ab a a b a a b b -=-=+-3222
【点评】：按分解因式的步骤，“一提二套”，原则是分解到不能分解为止。易错点是分解不彻底。
（2012四川宜宾，9，3分）分解因式：3m 2
-6mn+3n 2
= 【解析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．注意完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b ）2．
【答案】解：3m2﹣6mn+3n2=3（m2﹣2mn+n2）=3（m ﹣n ）2． 故答案为：3（m ﹣n ）2．
平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
（2012山东东营，14，4分）分解因式：x x 93
-= ．
【解析】先提取公因式，然后运用平方差公式进行分解，x x 93
-=x(x2-9)= x(x+3) (x-3).
【答案】x(x +3)(x －3)
【点评】本题考查因式分解，因式分解是整式部分的重要内容，也是分式运算和二次根式运算的基础，因式分解的步骤：一提（提公因式），二套（套公式，主要是平方差公式和完全平方公式）．
(2012贵州黔西南州，19，3分)分解因式：a4－16a2=__________． 【解析】a4―16a2= a2(a2―16)= a2(a ＋4)(a―4)． 【答案】a2(a ＋4)(a―4)．
【点评】分解因式要掌握正确的方法，一般按照“一提(公因式)、二套(公式)、三分组(分组分解法)”的步骤或方法进行，并且注意分解彻底．
（2012·湖南省张家界市·9题·3分）因式分解：8a2-2=________. 【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式分解. 【解答】原式=2（4a2-1）=2（2a+1）（2a-1）.
【点评】因式分解的一般步骤是：一提（公因式），二套（套用公式），因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止.
（2012，湖北孝感，13，3分）分解因式：a3b-ab=________． 【解析】先提取公因式ab ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) 【答案】ab(a+1)(a-1)
二次分解，注意要分解彻底．
(2012广安中考试题第11题，3分)分解因式3a2-12=_____________________． 思路导引：由于有公因数3，因此，应当先提出公因式，再结合平方差公式分解因式 解：3a2-12=3（a2-4）=3（a ＋2）（a －2）
点评：分解因式问题，一般是观察式子，先提取公因式，再观察多项式的项数，两项一般运用平方差分析，三项，注意变为完全平方的形式，再运用完全平方公式，还应注意是和或者是差的完全平方.
（2012江苏省淮安市，12，3分）分解因式：a2+2a+1 = ．
【解析】本题是一个二次三项式，且 a2和1分别是a 和1的平方，2a 是它们二者积的两倍，符合完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b) 2的结构特点， 根据完全平方公式可得，a2+2a+1=(a+1) 2． 【答案】(a+1) 2
【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．因式分解时要按“一提、二看、三分组”的顺序进行，即先看有没有公因式可提，再考虑能否运用公式分解，最后考虑运用分组分解法．
（2012，黔东南州，12）分解因式3
4x x -=
解析：
()
()()22442
3-+=-=-x x x x x x x . 答案：()2)2(-+x x x .
点评：本题考查因式分解，因式分解的步骤为一提公因式，二是运用公式. 难度较小
（2012云南省，11 ，3分）分解因式：2
363x x -+= 。
【解析】要先提公因式3，然后就有完全平方公式的形式，利用完全平方公式即可。
2223633(21)3(1)x x x x x -+=-+=-
【答案】2
3(1)x -
【点评】记住分解因式的方法是关键，其次识记完全平方公式，主要考查考生的识记能力。
（2012·哈尔滨，题号14分值 3）把多项式a3—2a2+a 分解因式的结果是 【解析】本题考查知识点是因式分解．先提取公因式a ，再用公式法分解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)= a(a-1)2. 【答案】a(a-1)2
【点评】考生常出错的地方是提公因式以后，没有观察分解是否彻底.
（2012·湖北省恩施市，题号25 分值 3）b a b a b a 2
3496+-分解因式的正确结果是
（ ）
A ．
)96(2
2+-a a b a
B ．)3)(3(2
-+a a b a
C ． 2
2)3(-a b
D ．2
2)3(-a b a
【解析】先提取公因式b a 2
，再用公式法分解：b a b a b a 23496+-=)96(22+-a a b a =2
2)3(-a b a ．
【答案】D
【点评】】分解因式常用的方法是提公因式法和公式法，本题综合考查了这两种方法，考生常出错的地方是提公因式以后，没有观察分解是否彻底，而本题综合两种方法考查，使得本题的区分度较高．
（2012湖北黄冈，10，3）分解因式x3-9x=__________.
【解析】x3-9x=x （x2-9）=x （x+3）（x-3） 【答案】x （x+3）（x-3）
【点评】考查利用提公因式法和运用公式法来分解因式，但要分解彻.难度较小.
（2012四川宜宾，13，3分）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y 的值为
【解析】先根据题意把P=3xy ﹣8x+1，Q=x ﹣2xy ﹣2分别代入3P ﹣2Q=7中，再合并同类项，然后提取公因式，即可求出y 的值． 【答案】解：∵P=3xy ﹣8x+1，Q=x ﹣2xy ﹣2，
∴3P ﹣2Q=3（3xy ﹣8x+1）﹣2（x ﹣2xy ﹣2）=7恒成立， ∴9xy ﹣24x+3﹣2x+4xy+4=7， 13xy ﹣26x=0， 13x （y ﹣2）=0， ∵x≠0， ∴y ﹣2=0， ∴y=2； 故答案为：2．
【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把要求的式子进行整理，然后提取公因式，是一道基础题．
2012中考数学试题及答案分类汇编： 代数式和因式分解 一、选择题
1.（天津3分）若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是
(A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +-
【答案】D 。
【考点】代数式变形，完全平方公式。
【分析】∵()()
2222()4()()=24x z x y y z x xz z xy xz y yz -----+---+
()()()()()
222
2
2
2
=244=44=2x xz z xy yz y x z y x z y x z y ++-+++-+++-
∴由()2
2=0x z y +-得2=0x z y +-。故选D 。 2.（河北省2分）下列分解因式正确的是 A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2）
B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ）
C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2
D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2
【答案】D 。
【考点】提公因式法和应用公式法因式分解。
【分析】根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式求解即可求得答案： A 、﹣a +a 3=﹣a （1﹣a 2）=﹣a （1+a ）（1﹣a ），故本选项错误； B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b +1），故本选项错误； C 、a 2﹣4=（a ﹣2）（a +2），故本选项错误； D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2，故本选项正确。 故选D 。
3.（河北省2分）下列运算中，正确的是 A 、2x ﹣x =1
B 、x +x 4=x 5
C 、（﹣2x ）3=﹣6x 3
D 、x 2y ÷y =x 2
【答案】D 。
【考点】合并同类项，幂的乘方与积的乘方，整式的除法。
【分析】A 中整式相减，系数相减再乘以未知数，故本选项错误；B 、不同次数的幂的加法，无法相加，故本选项错误；C 、整式的幂等于各项的幂，故本选项错误；D 、整式的除法，相同底数幂底数不变，指数相减．故本答案正确。故选D 。 4.（山西省2分）下列运算正确的是
A ．23
6
(2)8a a -=- B ．3362a a a += C ．632a a a ÷= D ．333
2a a a ?=
【答案】A 。
【考点】幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法。 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算法则对各选项计算后利用排除法求解： A.23
6
(2)8a a -=-，本选项正确；
B.333
2a a a +=，故本选项错误； C. 633
a a a ÷=，故本选型错误； D. 336
a a a ?=，故本选项错误。故选A 。
5.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）下列运算正确的是 A ．325m m m ?= B ．235m n mn += C ． 623
m m m ÷= D ．222
()m n m n -=-
【答案】A 。
【考点】同底幂乘法和除法，合并同类项，完全平方公式。
【分析】根据同底幂乘法和除法，合并同类项，完全平方公式运算法则逐一计算作出判断：
A ．325
m m m ?= ，选项正确； B ．2 m 和3 n 不是同类项，不好合并，选项错误； C ． 624
m m m ÷=，选项错误； D ．2
2
2
()2m n m mn n -=-+选项错误。故选A 。
6.（内蒙古呼和浩特3分）计算2x 2?（﹣3x 3）的结果是 A 、﹣6x 5
B 、6x 5
C 、﹣2x 6
D 、2x 6
【答案】A 。
【考点】单项式乘单项式，同底数幂的乘法。
【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案： 2x 2?（﹣3x 3）=2×（﹣3）?（x 2?x 3）=﹣6x 5。故选A 。 7.（内蒙古呼伦贝尔3分）下列各式计算正确的
A. 2
532a a a =+ B. 6
3
2
a a a =? C.222=-）（ D. 201120111
-=- 【答案】C 。
【考点】合并同类项，同底幂乘法，二次根式化简，乘方。
【分析】根据合并同类项，同底幂乘法，二次根式化简，乘方运算法则逐一计算作出判断： A. a a a 532=+，选项错误； B. 5
3
2
a a a =?，选项错误； C.222
=-）（ ，选项正确； D. 11
20112011
-=
，选项错误。故选C 。 8.（内蒙古乌兰察布3分）下列计算正确的是 A . ()
2
3
6a a = B 2
232a a a =+ C 623a a a =? D 339a a a =÷
【答案】A 。
【考点】幂的乘方，合并同类项，同底幂乘法和除法。
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底幂乘法和除法运算法则逐一计算作出判断： A . ()
2
3
6a a = ，选项正确； B a 和 2a 不是同类项，不好合并，选项错误；
C 523a a a =?，选项错误；
D 6
39a a a =÷选项错误。故选A 。 二、填空题
1.（北京4分）若分式的值为0，则x 的值等于 ▲ ．
【答案】8。
【考点】分式的值为零的条件。
【分析】根据分式的值为零的条件：分子=0，分母≠0，可以求出x 的值：解x ﹣8=0，得x =8。 2.（北京4分）分解因式：321025=a a a -+ ▲ ． 【答案】()2
5a a -。
【考点】提公因式法与公式法因式分解。
【分析】先提取公因式a ，再利用完全平方公式继续分解：
()()2
3221025=10
25=5
a a a a a a a a
-+-+-。 3.（北京4分）在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i=2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按此规定，a 1，3= ▲ ；表中的25个数中，共有 ▲ 个1；计算a 1，1?a i ，1+a 1，2?a i ，2+a 1，3?a i ，3+a 1，4?a i ，4+a 1，5?a i ，5的值为 ▲ ．
【答案】0，15，1。 【考点】分类归纳。
【分析】由题意，从i 与j 之间大小分析，很容易求出表中各数：
从而得出a 1，3=0。表中的25个数中，共有15个1。 并计算：
a 1，1·
a i ，1+a 1，2·a i ，2+a 1，3·a i ，3+a 1，4·a i ，4+a 1，5·a i ，5 =1·
1+0·a i ，2+0·a i ，3+0·a i ，4+0·a
i ，5 =1。 4.（内蒙古巴彦淖、赤峰尔3分）因式分解：a 2﹣6a+9= ▲ ． 【答案】（a ﹣3）2。
【考点】运用公式法因式分解。
a 1，1 a 1，2 a 1，3 a 1，4 a 1，5 a 2，1 a 2，2 a 2，3 a 2，4 a 2，5 a 3，1 a 3，2 a 3，3 a 3，4 a 3，5 a 4，1 a 4，2 a 4，3 a 4，4 a 4，5 a 5，1
a 5，2
a 5，3
a 5，4
a 5，5
a 1，1=1 a 1，2=0 a 1，3=0 a 1，4=0 a 1，5=0 a 2，1=1 a 2，2=1 a 2，3=0 a 2，4=0 a 2，5=0 a 3，1=1 a 3，2=1 a 3，3=1 a 3，4=0 a 3，5=0 a 4，1=1 a 4，2=1 a 4，3=1 a 4，4=1 a 4，5=0 a 5，1=1
a 5，2=1
a 5，3=1
a 5，4=1
a 5，5=1
【分析】本题是一个二次三项式，且a 2和9分别是a 和3的平方，6a 是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解：a 2﹣6a+9=（a ﹣3）2。 5.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）化简262
+393
m m m m ÷
+--的结果是 ▲ ． 【答案】1。
【考点】分式的混合运算，平方差公式。 6.（内蒙古包头3分）化简2222112
·÷14421
a a a a a a a +-+
-+++-＝，其结果是 ▲ ． 【答案】
1
1
a -。 【考点】分式的混合运算。
【分析】运用平方差公式、完全平方公式分别将分式分解因式，将分式除法转换成乘法，再约分化简，通分合并同类项得出最简值。 原
式
＝
()(
)()
(
)(
)()()()(
)()()()
221
2·
2111
2a a a a a a a +-?+
+
+-++。 7.（内蒙古呼和浩特3分）若2
310x x -+=，则2
421
x x x ++的值为 ▲ ．
【答案】1
8
。
【考点】分式的化简求值。
【分析】将2
310x x -+=变换成2
31x x =-代入2
42
1
x x x ++逐步降低x 的次数出现公因式，分子分母同时除以公因式：
()()()2222
42223131311
110621031622488318
311x x x x x x x x x x x x x x x x ---======++-+--+---++。 8.（内蒙古呼伦贝尔3分）分解因式：3
222b ab b a +-= ▲ 。 【答案】()2
b a b -。
【考点】提取公因式法和应用公式法因式分解。 【分析】()
()2
2232222a b ab b =b a ab b =b a b -+-+-。 三、解答题
1.（北京5分）已知222=0a ab b ++，求代数式()()()422a a b a b a b +-+-的值．
【答案】解：()()()()
2222
422=44=44a a b a b a b a ab a b ab b +-+-+--+。
∵222=0a ab b ++，∴()2
=0a b +，∴=0a b +
原式=()=4=40=0b a b b +?。
【考点】整式的混合运算，单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式。
【分析】先对要求的式子进行化简整理，再根据已知条件求出=0a b +，即可求出最后结果。
2.（山西省8分）先化简。再求值：2222121111a a a a a a a +-+?---+，其中1
2
a =-。 【
答
案】解：原式
=()()()()()()()2
121
1211211111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
-+++-+?
-=-===+--+++++。 当1
2
a =-
时，原式=2- 【考点】分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式。
【分析】将分式的分子、分母因式分解，约分，通分化简，再代值计算。
3.（内蒙古呼和浩特5分）化简：2
2a b ab b a (a b )a a ??
--÷-≠ ???
． 【答案】解：原式=222a b a ab b a a --+÷=2
a b a a (a b )-?- =1
a b
-。 【考点】分式的混合运算。
【分析】先对各项化简，然后进行混合运算，最后再化简，化为最简分式。
4.（内蒙古乌兰察布8分）先化简再求值()1
21
112222+--++÷-+a a a a a a 其中31a =+ 【答案】解：原式=2
2(1)1(1)(1)11(1)a a a a a a ++-?+-+-=213
111a a a a a +++=---。
当31a =
+时，原式=
3443
133
+=+ 【考点】分式运算法则，二次根式化简。
【分析】将除法转换成乘法，约分化简。然后代a 的值进行二次根式化简。
5.（内蒙古呼伦贝尔6分）先化简，再求值: 3
4
)311(2--÷-+x x x ， 其中5=x 【答案】解：原式=
)2)(2(333+--?-+-x x x x x =2
1
+x 。
当5=x 时，原式=
7
1。 【考点】分式运算法则，平方差公式。
【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。然后代x 的值即可。
因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式 q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2 中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。
1 蒲江中学实验学校2017年3月月考数学试题 A 卷（100） 一．选择题（每题3分，共30分） 1．在式子a a 25，1 x y x y --，πy x 25 ，y x y x +-2，4332c b a ，x a +5，y x 103+ ，y x +1中，分式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2.下列各式从左到右，是因式分解的是（ ） A.232344a b a b =? B.)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y C.)1)(1(1--=+--b a b a ab D.)32(322m m m m m --=-- 3.下列式子中，无论x 取何值，一定有意义的是（ ） B 221x x - C.2 (1)x + D 21x x + 4.下列运算正确的是（ ） A ．a b a b 11+-=+- B ．b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ C ．12316+=+a a D ．x y x y y x y x +-=+- 5.下列因式分解正确的是（ ） A ． 22242234)(2xy x y x y x x -=+- B ．)42)(42(4)2(22c b a c b a c b a -+++=-+ C ．)2)(5(10322+-=--m m n mn m D ．)1()()()(222m b a a b m b a --=--- 7.若解方程 x x x x x 2 2242 =---出现增根，则增根为（ ） A ．0或2 B ．0 C ．2 D ．1 8.使分式3 2 32---m m m 的值是整数的整数m 的值是( ) A. 0=x B.最多2个 C. 正数 D.共有4个 9.已知c b a ,,分别是ABC △的三边长，且满足,22222222444c b c a c b a +=++则ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10．从3,1,21,1,3--这五个数中，随机抽取一个数记为,a 若数a 使关于x 的不等式组?????-≥+0 37231 ＜） （a x x 无解， 且使关于x 的分式方程1323-=----x a x x 有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ） A.3- B.2- C.23- D.2 1 二．选择题(每题4分，共20分)： 11.若20)2017( )2016(--+-x x x 有意义，则x 的取值范围是__________. 12.若34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 的值为 . 13. 5(1)(3)13 x A B x x x x +=- +-+-，则=+B A . 14．32454222-+-++y x y xy x 可取得的最小值为 。 15.若,06022=-+ab b a b a ，＞＞则 =-+a b b a 。 三．解答题： 16.分解因式：(每题4分，共20分) （1）3231827a a a -+ （2）2244243x xy y x y ++--- （3）化简 2352362a a a a a -? ?÷+- ? --?? （4） 解不等式组：?????+-≤+--) 1(315121 5312x x x x （5）4 1 615171---=---x x x x 17.先化简，再求值：x x x x x x x x x 416 )44122(2222+-÷+----+，其中x 是不等式组???-≥-≥-1032312x x 的整数解（8分）．
整式的乘除法。因式分解和分式复习 基本概念 一．整式的除乘法 1.同底数幂的乘法：m n m n a a a +=g ，（m,n 都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数 相加。 2.幂的乘方：()m n mn a a =，（m,n 都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：()n n n ab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 4.整式的乘法： （1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 可用下式表示：m (a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式) （3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 5.乘法公式： （1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个 数的平方差”，即用字母表示为：(a +b )(a －b )=a 2－b 2 ；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差. （2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母 表示为：(a +b )2=a 2+2ab +b 2；(a －b )2=a 2－2ab +b 2 ；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。 乘法公式的几种常见的恒等变形有： （1）．a 2 +b 2 ＝(a +b )2 －2ab ＝(a －b )2 +2ab . （2）．ab ＝ 2 1［(a +b )2－（a 2+b 2 ）］
因式分解易错题精选 班级 姓名 成绩 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042 =+x x ，的解是________。
1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4 422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 5、1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（ ） （A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 6．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是……………………………（ ） （A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 7．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………………（ ） （A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 8．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选项是………………………（ ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 9.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ） （A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值
因式分解与分式 （因式分解与分式） 班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每题2分，共20分） 1、如果)3)(3)(9()81(2x x x x n -++=-，那么n= 。 2、已知0=+-c b a ，则=--+--+--+))(())((c a b c a b c b a c b a 。 3、化简：200220032)2(+-所得的结果为 。 4、下列多项式：①22n m -；②22b a +；③224y x +-；④ 22916b a --能用平方差公式因式分解的是 （填序 号）。 5、若2 241121161?? ? ??+=+-n x m xy x ，则m= ，n= 。 6、当x 时，分式 x x +710有意义。 7、若0352=--y x ，则=÷y x 324 。 8、0.0046用科学记数法表示为 。 9、如果1)1(0=-a ，则a 的取值范畴为 。 10、分式223c a b 、ab c 2-、3 5cb a 的最简公分母是 。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、下列各数分解后素数种类最多的是（ ） A 、121 B 、256 C 、64 D 、100 2、下列关于因式分解讲法正确的是（ ）
A 、单项式也能够进行因式分解 B 、因式分解会改变式子的大小 C 、因式分解确实是进行多项式的乘法运算 D 、因式分解的结果只是将多项式化成几个整式的乘积形式 3、已知a 、b 差不多上素数，且a ＜b ，若ab 为偶数，则（ ） A 、a=2 B 、b=2 C 、a+b=2 D 、无法确定 4、代数式)(1553a b b a -，)(52a b b a -，))((2533b a b a b a +--的公因式是（ ） A 、)(5b a ab - B 、)5(22a b b a - C 、)(52a b b a - D 、 )(1202233b a b a - 5、下列各式为完全平方式的是（ ） A 、22n mn m +- B 、122--x x C 、4 1 22++x x D 、 ab b a 4)(2+- 6、在3a 、1+x x 、y x +5 1 、b a b a -+22中分式的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、若分式9 69 22++-x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 、3 B 、—3 C 、3± D 、4 8、下列分式化简后等于 1 21 +x 的是（ ） A 、144122+--x x x B 、144122---x x x C 、141 22-+x x D 、 1 441 22+++x x x 9、运算：3927÷÷m m 的结果为（ ）
代数式、整式乘除与因式分解 考点分析： 1、中考要求能理解字母表示数的意义，理解代数式的含义，能根据简单的数量关系列代数式，掌握代数式求值的方法。 2、中考要求能熟练进行整式的运算与因式分解，分值为3~6分。 重点：1、代数式。2、整式的运算与因式分解。 难点：数学思想的运用。 考点一：代数式 1.代数式 （1）定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独一个数或字母也叫代数式。 （2）书写要求： ①数与字母相乘时，通常省略乘号，并且把数写在字母的前面；若遇到带分数，则把带分数写成假分数。 ②遇到除法常写成分数的形式。 ③在实际问题中，不同的数量必须用不同的字母表示；代数式后带单位时，若遇差或和的形式，必须将代数式先号括起来，再把单位名称写在后面，若遇到积或商的形式则不用添括号。 （3）代数求值的一般步骤为：化简或变形→代入求值→按代数式规定的运算顺序进行计算→检查。 2.整式 （1）单项式 ①由数与字母的乘积所组成的式子叫做单项式；单独一个数或字母也叫单项式。 ②单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数，当系数是1或－1时通常省略不写，当指数是1时，通常省略不写。 （2）多项式 ①几个单项式的和叫做多项式，其中单项式的个数叫做多项式的项数，最高次项的次数叫做多项式的次数。 ②升幂排列：依据加法的交换律，把多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列（反之，叫做降幂排列） 3.同类项 ①定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫做同类项。 ②合并同类项的方法：把同类项的系数相加作为系数，字母和字母的指数不变。 例1：若221a a +=，则2(1)a +的值等于 。 【随堂练习】 1．下列式子：①a+b=c ；②5；③a ＞0；④a 2a ，其中属于代数式的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．①②③④ 2．若m-n=-1，则（m-n ）2-2m+2n 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-1 3．已知x-1x =3，则4-12x 2+32 x 的值为（ ） A ．1 B ．32 C ．52 D ．72 4．已知x-2y=-2，则3-x+2y 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．5
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值
八年级数学因式分解与分式测试题 一、选择题（每小题3分，共54分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．(a +3)(a -3)=a 2-9 B.x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C.a 2b +ab 2=ab (a +b ) D.x 2+1=x (x +x 1 ) 2.多项式xyz z y x z y x 682222643-+-可提出的公因式是（ ） A. 222z y x - B. xyz - C. xyz 2- D.2222z y x - 3、 已知的值是则22,4,6xy y x xy y x --==+（ ） A. 10 B.—10 C. 24 D.—24 4.若多项式()281n x -能分解成()()()2492323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 两个连续奇数是自然数）的平方差是和x x x (1212-+ （ ） A. 16的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.3的倍数 6、 等于20092008)2(2-+ （ ） A. 20082 B.20092 C. 20082- D.20092- 7、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的是( ) A. xy y x 222++ B.xy y x 222++- C.xy y x 222+-- D.xy y x 222--- 8、 无论的值都是取何值，多项式、136422++-+y x y x y x （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 9、若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 1 1 （ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 10、三角形的三边a 、b 、c 满足()2230a b c b c b -+-=，则这个三角形的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 11.化简a b a b a b --+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.2 22()a b a b +-
一、整式的计算 (1)(? 5a 3b 2)·(?3ab 2c)·(? 7a 2b)； (2)? 2a 2b 3·(m ?n)5·13ab 2·(n ?m)2+13 a 2(m ?n)·6a b 2； (3) 3a 2(1 3 ab 2?b)?( 2a 2b 2?3ab)(? 3a)； (4)(3x 2?5y)(x 2+2x ?3)． 2．当x = ?3时，求8x 2?(x ?2)(x+1)?3(x ?1)(x ?2)的值． 二、因式分解 (1)3x 2y －6xy ＋3y ； (2)(a 2＋1) 2－4a 2 3x 3－27x (x ＋y) 2＋2(x ＋y)＋1. 6xy 2﹣9x 2y ﹣y 3 1522 --x x
三、分式的计算 1、(1－1x －1)(x x ＋1＋1)÷(1＋3 1－x 2 ) 2、先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3 x ＋1)，其中x ＝0. 3、 先化简 在求值 () 其中x 满足x 2﹣4x+3=0 4、先化简，再求值：324 a a --÷(a +2－ 52 a -)，其中a =－1 2 ． 5、先化简，再选择一个你喜欢的数字代入求值：（﹣ ）÷
6、(a ＋2a 2－2a ＋1－a a 2－4a ＋4)÷a －4a ，其中a 满足a 2－4a －1＝0. 四、分式方程 21x x -=2－3 12x - 52x ＋4－12－x ＝x 2 x 2－4－1； + =2 2 1 23524245--+=--x x x x 021211=-++-x x x x ； 871 78=----x x x 五、二次根式的计算 （1）﹣+ ． （2） ． （3）（2﹣ ）2+ ．
2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A、提取公因式B．平方差公式 C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底_________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数围）的整数值a，并且将其进行因式分解． 5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．
专题2：代数式和因式分解 一、选择题 1. （2012四川攀枝花3分）下列运算正确的是（ ） A ． 2- B ． 3± C ． （ab ）2 =ab 2 D ． （﹣a 2）3=a 6 2. （2012四川攀枝花3分）已知实数x ，y 满足x 40-，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ． 20或16 B ． 20 C ．16 D ．以上答案均不对 3. （2012四川宜宾3分）将代数式x 2 +6x+2化成（x+p ）2 +q 的形式为（ ） A ． （x ﹣3）2 +11 B ． （x+3）2 ﹣7 C ． （x+3）2 ﹣11 D ． （x+2）2 +4 4. （2012四川凉山4分）已知b 5a 13=，则a b a b -+的值是（ ） A ． 23 B ． 32 C ．94 D ．49 5. （2012四川凉山4分）下列多项式能分解因式的是（ ） A ．22x y + B ．22x y -- C ．22x 2xy y -+- D ． 22 x xy y -+ 二、填空题 1. （2012四川宜宾3分）分解因式：3m 2﹣6mn+3n 2= ． 2. （2012四川广元3分）分解因式：3223m 18m n 27m n -+= 3. （2012四川内江5分）分解因式：3 4ab ab -= 4. （2012四川凉山4分）整式A 与m 2－2mn ＋n 2的和是（m ＋n ）2，则A= 5. （2012四川凉山5分）对于正数x ，规定 1f (x )1x = +，例如：11f (4)14 5 = = +，114f ()14 5 14 = = + ，则 1 11f (2012)f (2011)f (2)f (1)f ()f ()f ()220112012 +++++ +++=…… 6. （2012四川巴中3分）已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式 a b 0 -=， 则△ABC 的形状为 7. （2012四川内江6分）已知三个数x, y, z,满足442, , , 3 3 x y y z z x x y y z z x =-= =- +++ 则 =++yz xz xy xyz 8．已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x ≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y 的值为
1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：
14.3 因式分解 典型例题 【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )． A ．a (x ＋y )＝ax ＋ay B ．y 2－4y ＋4＝y (y －4)＋4 C ．10a 2－5a ＝5a (2a －1) D ．y 2－16＋y ＝(y ＋4)(y －4)＋y 【例2】 把多项式6a 3b 2－3a 2b 2－12a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是( )． A ．3a 2b B ．3ab 2 C ．3a 3b 3 D ．3a 2b 2 【例3】 用提公因式法分解因式： (1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5； (3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )． 用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 【例4】 把下列多项式分解因式： (1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2； (3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 用完全平方公式分解因式 a 2＋2a b ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2. 【例5】 把下列多项式分解因式： (1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9； (3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy . 因式分解的一般步骤 一般步骤可概括为：一提、二套、三查． 【例6】 把下列各式分解因式： (1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2. 【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )． ①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24 ；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
第二部分 代数式与恒等变形部分 ★五、多项式的因式分解： 1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。《因式分解和整式乘法是互逆变形.如，22))((n m n m n m -=-+是整式乘法，=-22n m ))((n m n m -+是因式分解》 2、因式分解的方法、步骤和要求： （1）若多项式的各项有公因式，则先提公因式.如=+--cm bm am ?-m （ ）。 （2）若各项没有公因式或对于提取公因式后剩下的多项式，可以尝试运用公式法. 如229b a -= ，=++-=---)2(22222b ab a n n b abn n a 。 （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用其他方法. *十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++.如)1)(3(322-+=-+x x x x 。 *分组分解法（适用于超过三项的多项式，有分组后再提公因式和分组后再用公式两种情况）.如=++-1222x y x =-++2212y x x 22)1(y x -+=)1)(1(y x y x -+++。 （4）因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止。 《因式分解要在指定的范围内进行.如，在有理数范围内分解)2)(2(4224-+=-x x x ，若在实数范围，还可继续分解至)2)(2)(2(2-++x x x .*在高中时还可进一步分解》 【拓展型问题】：1.根据“因式分解和整式乘法是互逆变形”，你能对下列整式乘法的结果进行因式分解吗？①)1)(32(-+x x ；②))((z y x z y x --+-；③()()n m b a ++. 2.试整理：能进行因式分解的二项式和三项式一般可用哪些方法？ 【中考真题】：1.代数式3322328714b a b a b a -+的公因式是（ ） A.327b a B.227b a C.b a 27 D.3328b a 2.若7,6=-=-mn n m ，则n m mn 22-的值是（ ） A.-13 B.13 C.42 D.-42 3.分解因式：①31255x x -；②3228y y x -；③()()()x y x y y x -+----442 3；④81721624+-x x .⑤122--x x ；⑥2)()(2 -+-+y x y x ；⑦20)2)(1(---x x . 4.下列分解因式正确的是（ ） A.1)12(24422+-=+-x x x B.)(2n m m m mn m +=++ C.)2)(4(822+-=--a a a a D.22)21(21-=+ -x x x 5.若A n m n m mn n m ?+=+-+)()()(3，则A 是（ ） A.22n m + B.22n mn m +- C.223n mn m +- D.22n mn m ++ 6.若16)4(292+-+x m x 是一个完全平方式，则m 的值为 。 7.简算：①2299.001.1-；②9.235.22571.104.01.4?-?-÷；③77.046.277.023.122?++. 8.两个同学将一个二次三项式因式分解，甲看错了一次项而分解为()()912--x x ；乙看错了常数项而分解为()()422--x x 。请将原多项式因式分解。 9.如果ab a b a 22+=*，则y x *2所表示的代数式分解因式的结果是什么？ 10.给出三个整式ab b a 2,22和。（1）当17b 3,1==a 时，求222b ab a ++的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解。请写出你所选的式子及因式分解的过程。 11.观察下列等式：（1）531422?=-；（2）732522?=-；（3）933622?=-；（4）1134722?=-；……则第n （n 是正整数）个等式为 。 12.⑴已知的值求2233,1,2b a ab b a +=-=+； ⑵已知()()的值求xy y x y x ,5,922=-=+；⑶已知2,72==+ab b a ，求()2 2b a -的值.
代数式、整式与因式分解 A 级 基础题 1．计算a3·a2正确的是( ) A ．a B ．a5 C ．a6 D ．a9 2．(2017年广东广州)计算(a2b)3·b2a ，结果是( ) A ．a5b5 B ．a4b5 C ．ab5 D ．a5b6 3．若3x2nym 与x4－nyn －1是同类项，则m ＋n ＝( ) A.53 B ．－53 C ．5 D ．3 4．(2018年广东深圳)下列运算正确的是( ) A ．a2·a3＝a6 B ．3a －a ＝2a C ．a8÷a4＝a2 D.a ＋b ＝ab 5．(2018年广东广州)下列计算正确的是( ) A ．(a ＋b)2＝a2＋b2 B ．a2＋2a2＝3a4 C ．x2y÷1y ＝x2(y≠0) D．(－2x2)3＝－8x6 6．(2017年黑龙江龙东)下列各运算中，计算正确的是( ) A ．(x －2)2＝x2－4 B ．(3a2)3＝9a6 C ．x6÷x2＝x3 D ．x3·x2＝x5 7．(2017年广东广州)分解因式：xy2－9x ＝__________________. 8．分解因式：4a2＋8a ＋4＝________________. 9．(2017年贵州安顺)若代数式x2＋kx ＋25是一个完全平方式，则k ＝________. 10．(2018年上海)某商品原价为a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是________元．(用含字母a 的代数式表示)． 11．填空：x2＋10x ＋________＝(x ＋________)2. 12．(2017年重庆)计算：x(x －2y)－(x ＋y)2＝________________. 13．若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5nm ＋10＝__________. 14．(2018年浙江宁波)先化简，再求值：(x －1)2＋x(3－x)，其中x ＝－12 . 15．先化简，再求值：a(a －2b)＋(a ＋b)2，其中a ＝－1，b ＝ 2.
初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值． 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式 中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解 决． 解
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由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
2
2
x +ax+b=x -x-2， 从而得出 a=-1，b=-2， 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3． 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法． 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab． 此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)． 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
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先， 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式 分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积． 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能
丢掉． 本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另 一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和， 其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢． 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y． 将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提
2 2
取 x+y 即可． 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)． 点评 例4 分析
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注意添、去括号法则． 因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
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看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分 解． 解
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方法一
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64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
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第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2.使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3.格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和（2）()() 4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】 试题分析： （1）由条件可知22x x +-是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，可解出m 、n ，最后代入即可求出a 、b 的值. （2）由（1）可得结果 试题解析：