数学模型第四次作业 整数规划和对策论模型
4.1实验目的
学会建立整数规划模型、对策论模型，学会用LINGO 软件求解。
4.2 基本实验
1. 工程安排问题
三年内有五项工程可以考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用如表4.1所示。假定每一项已经选定的工程要在整个三年内完成。目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
解：根据题意，设0 1 i i x i ?=??第个工程未被选中第个工程被选中
，i=1,2,3,4,5
目标函数为：123452*********Max x x x x x =++++
限制条件为：
12345123451
23455437825794625..8102102501
i x x x x x x x x x x s t x x x x x x ++++≤??++++≤??++++≤???为或 使用Lingo 编程：
model :
max=20*x1+40*x2+20*x3+15*x4+30*x5;
5*x1+4*x2+3*x3+7*x4+8*x5<=25;
1*x1+7*x2+9*x3+4*x4+6*x5<=25;
8*x1+10*x2+1*x3+2*x4+10*x5<=25;
@bin(x1);
@bin(x2);
@bin(x3);
@bin(x4);
@bin(x5);
end
运行得到结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 95.00000
Objective bound: 95.00000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 1.000000 -20.00000
X2 1.000000 -40.00000
X3 1.000000 -20.00000
X4 1.000000 -15.00000
X5 0.000000 -30.00000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 95.00000 1.000000
2 6.000000 0.000000
3 4.000000 0.000000
4 4.000000 0.000000
分析结果易知，总收入达到最大为95（千元），应选第一、二、三、四项工程可以使总收入达到最大。
2. 固定费用问题
一服装厂生产三种服装，生产不同种类的服装要租用不同的设备，设
备租金和其他的经济参数如表4.2所示。假定市场需求不成问题，服装厂每月可用人工工时为2000小时，该厂如何安排生产可以使每月利润达到最大？
解：
根据题意三种服装的利润分别为120元、10元、100元.
设x i 表示生成第i (i =1,2,3)种服装的数量，y i 表示是否生产第i 种服装。 列出目标函数：
列出限制条件：
5x 1+x 2+4x 3≤2000
3x 1≤300y 1
0.5x 2≤300y 2
2x 3≤300y 3
使用Lingo 编程求解：
model :
sets
:
???=种服装
，不生产第种服装
生产第i i y i 0,1)
000320005000(10010120max 321321y y y x x x ---++=
m/1,2,3/:x,y;
endsets
[obj]max=100*x(1)+10*x(2)+100*x(3)-5000*y(1)-2000*y(2)-3000*y(3);
5*x(1)+x(2)+4*x(3)<=2000;
3*x(1)<=300*y(1);
0.5*x(2)<=300*y(2);
2*x(3)<=300*y(3);
@for(m(i):x(i)>=0;@bin(y(i)););
end
得到结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 21000.00
Objective bound: 21000.00
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X( 1) 100.0000 0.000000
X( 2) 600.0000 0.000000
X( 3) 150.0000 0.000000
Y( 1) 1.000000 -5000.000
Y( 2) 1.000000 -4000.000
Y( 3) 1.000000 -12000.00
Row Slack or Surplus Dual Price
OBJ 21000.00 1.000000
2 300.0000 0.000000
3 0.000000 33.33333
4 0.000000 20.00000
5 0.000000 50.00000
6 100.0000 0.000000
7 600.0000 0.000000
8 150.0000 0.000000
所以三种服装应该都生产，且生产西服100件、衬衫600件、羽绒服150件时可以使每月利润达到最大21000元。
3. 串并联系统可靠性问题
有一台电器由三个部件组成，这三个部件串联，假如有一个部件发生
故障，电器就不能工作。可以通过在每个部件里安装1到2个备份元件来提高该电器的可靠性（不发生故障的概率）。表4.3列出了可靠性和成本费用。假设制造该电器的已有资金共10万元，那么怎样来构造这件电器呢？
解：
构造集合bujian/1..3/（部件），yuanjian/1..2/（每个部件可并联的元件数集合），links(bujian,yuanjian):p,C,R 。
其中???=，其他个元件
部件并联，给01j i p ij
列出Lingo 程序：
model :
sets :
bujian/1..3/; !部件1,2,3;
yuanjian/1..2/; !每个部件可装元件1,2;
links(bujian,yuanjian)/1,1 1,2 2,1 2,2 3,1 3,2/:p,C,R;!p(i,j)=1，则表示部件i 上并联j 个元件，否则，p(i,j)=0.C,R 分别为成本，可靠性;
!links 中的元素必须罗列出来;
endsets
data :
C=1 2
3 5
2 4;
R=0.60 0.80
0.70 0.80
0.50 0.70;
enddata
max=@prod(bujian(I):@sum(yuanjian(J)|@in(links,I,J):p(I,J)*R(I,J) )); !整个系统的可靠性,为每个部件的可靠性之积;
@for(bujian(I):@sum(yuanjian(J)|@in(links,I,J):p(I,J))=1);
@for(links(I,J)|@in(links,I,J):@bin(p(I,J)));
!对于每一个部件，并联的元件数是一定的，p(I,J)只能取0或1，且p(I,J)的和为1;
@sum(bujian(I):
@sum(yuanjian(J)|@in(links,I,J):p(I,J)*C(I,J)))<=10; !总成本小于10（万元）;
end
运行得到如下结果：
Linearization components added:
Constraints: 64
Variables: 16
Integers: 16
Global optimal solution found.
Objective value: 0.3920000
Objective bound: 0.3920000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 12
Variable Value Reduced Cost
P( 1, 1) 0.000000 0.000000
P( 1, 2) 1.000000 0.000000
P( 2, 1) 1.000000 0.000000
P( 2, 2) 0.000000 0.000000
P( 3, 1) 0.000000 0.000000
P( 3, 2) 1.000000 0.000000
C( 1, 1) 1.000000 0.000000
C( 1, 2) 2.000000 0.000000
C( 2, 1) 3.000000 0.000000
C( 2, 2) 5.000000 0.000000
C( 3, 1) 2.000000 0.000000
C( 3, 2) 4.000000 0.000000
R( 1, 1) 0.6000000 0.000000
R( 1, 2) 0.8000000 0.000000
R( 2, 1) 0.7000000 0.000000
R( 2, 2) 0.8000000 0.000000
R( 3, 1) 0.5000000 0.000000
R( 3, 2) 0.7000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 0.3920000 1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 1.000000 0.000000
因此，此时的最优解可以得到：
即在第一个部件上并联两个元件，第二个部件上并联一个元件，第三个部件上并联两个元件，此时系统的在成本允许的情况下稳定性达到最大0.392。
4. 二选一约束条件
某汽车公司正在考虑生产3种类型的汽车：微型、中型和大型。表4.4给出了每种汽车需要的资源及产生的利润。目前有6000吨钢材和60000小时的劳动时间。要生产一种在经济效益上可行的汽车，这种汽车必须至少生产1000辆。试为该公司制定一个使生产利润达到最大的方案。
解：
设X1、X2、X3分别表示生产微型汽车、中型汽车、大型汽车的数
量。引入0-1变量，化为整数规划。设yi 只取0, 1两个值，则生产1000辆或不生产用数学表达为：
目标函数：
max=2000*x1+3000*x2+4000*x3;
限制条件：
1.5 *x1+3 *x2+5 *x3<=6000;
30* x1+25*x2+40* x3<=60000;
x1<=5000*y1; （取个合理范围）
x1>=1000* y1;
x2<=5000*y2;
x2>=1000* y2;
x3<=5000*y3;
x3>=1000*y3;
x1,x2,x3为整数；
用Lingo 编程求解：
model :
max =2000*x1+3000*x2+4000*x3;
3
,2,1},1,0{1000=∈=i y yi xi i ???-=变量不生产该车型，生产该车型100,1i
y
1.5*x1+3*x2+5*x3<=6000;
30* x1+25*x2+40*x3<=60000;
x1<=5000*y1;
x1>=1000*y1;
x2<=5000*y2;
x2>=1000*y2;
x3<=5000*y3;
x3>=1000*y3;
@bin(y1);
@bin(y2);
@bin(y3);
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
End
运行得到结果：
Objective value: 6000000.
Objective bound: 6000000.
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 1
Total solver iterations: 8
Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 -2000.000 X2 2000.000 -3000.000 X3 0.000000 -4000.000 Y1 0.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 6000000. 1.000000
2 0.000000 0.000000
3 10000.00 0.000000
4 0.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 3000.000 0.000000
7 1000.000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
易知生产中型车2000辆可以使生产利润达到最大为6000000美元。
5.最小覆盖问题
某市管辖6个区（区1?区6).这个市必须明确在什么地方修建消防站，在保证至少有一个消防站在每个区的15分钟（行驶时间）路程内的情况下，这个市希望修建的消防站最少。表4.5给出了该市各个区之间行驶需要的时间（单位为分钟）。这个市需要多少个消防站，以及它们所在的位置。
解：
根据题意，设x表示是否在某区建消防站，c表示两区之间是否15分钟内可以到达，使用Lingo编程：
model:
sets:
area/1..6/:x;
link(area,area):t,c;
endsets
data:
t=
0 10 20 30 30 20
10 0 25 35 20 10
20 25 0 15 30 20
30 35 15 0 15 25
30 20 30 15 0 14
20 10 20 25 14 0;
enddata
calc:
@for(link:c=@if(t#le#15,1,0));
endcalc
min=@sum(area:x);
@for(area:@bin(x));
@for(area(i):@sum(area(j):c(i,j)*x*(i))>=1);
End
解得如下结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 2.000000
Objective bound: 2.000000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X( 1) 0.000000 1.000000
X( 2) 1.000000 1.000000
X( 3) 0.000000 1.000000
X( 4) 1.000000 1.000000
X( 5) 0.000000 1.000000
X( 6) 0.000000 1.000000 …………………………………………
因此，若要修建消防站最少，只需在区2、区4建立消防站就可以。
6. 对策问题1
在一次野餐会上，两个二人组在玩捉迷藏游戏。共有四个隐藏地点（A、
B、C和D），隐藏组的两个成员可以分别藏在四个地点的任何两个，搜寻组人有机会寻找任何两个地点。如果他们都找到了隐藏组的二个人，搜寻组就可以得到一分奖励，假如两个人都没找到，他们就输一分。其它情况下，结果是平局。将这个问题表示成一个二人零和对策，求出搜寻组最优搜寻策略和它们的赢得值。
解：
设此题目局中人为甲乙两组
列出支付函数：
因为每行或列得分的和均为0，即局中人得失总和为零，所以该对策为二人零和对策。
MODEL:
sets:
playerA/1..6/: x;
playerB/1..6/;
game(playerA,playerB) : C;
endsets
data:
C =
1 0 0 0 0 -1
0 1 0 0 -1 0
0 0 1 -1 0 0
0 0 -1 1 0 0
0 -1 0 0 1 0
-1 0 0 0 0 1;
enddata
max=v_A;
@free(v_A);
@for(playerB(j):
@sum(playerA(i) : C(i,j)*x(i))>=v_A);
@sum(playerA : x)=1;
end
得到结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 0.000000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 5
Variable Value Reduced Cost
V_A 0.000000 0.000000
X( 1) 0.5000000 0.000000
X( 2) 0.000000 0.000000
X( 3) 0.000000 0.000000
X( 4) 0.000000 0.000000
X( 5) 0.000000 0.000000
X( 6) 0.5000000 0.000000
因此推出，若搜索组采用50%的概率派出队员去搜索AB和CD的策略，可以得到的赢得值为0。
7. 对策问题2
甲手中有两张牌，各为1点和4点；乙手中有两张牌，各为2点和3
点。两人同时各出一张牌，并依据两人所出牌的点数之和来决定各自的收益当点数和为偶数时，甲赢得为两张牌的点数和，乙羸得两张牌的点数差；当点数和为奇数时，甲赢得为两张牌的点数差，乙羸得两张牌的点数和。求甲乙二人各自的最优策略和各自的羸得值。
解：
根据题意列出支付函数：
该题为一个典型的二人非常数和对策，每人的收益矩阵是不相同的，为双矩阵对策。
利用Lingo软件求解：
MODEL:
sets:
optA/1..2/: x;
optB/1..2/: y;
AXB(optA,optB) : Ca, Cb;
endsets
data:
Ca=
1 4
6 1;
Cb=
4 2
2 7;
enddata
Va=@sum(AXB(i,j): Ca(i,j)*x(i)*y(j));
Vb=@sum(AXB(i,j): Cb(i,j)*x(i)*y(j));
@for(optA(i):
@sum(optB(j) : Ca(i,j)*y(j))<=Va);
@for(optB(j):
@sum(optA(i) : Cb(i,j)*x(i))<=Vb);
@sum(optA : x)=1; @sum(optB : y)=1;
@free(Va);@free(Vb);
End
求得结果：
Infeasibilities: 0.2622347E-12
Total solver iterations: 20
Variable Value
VA 2.875000
VB 3.428571
X( 1) 0.7142857
X( 2) 0.2857143
Y( 1) 0.3750000
Y( 2) 0.6250000
CA( 1, 1) 1.000000
CA( 1, 2) 4.000000
CA( 2, 1) 6.000000
CA( 2, 2) 1.000000
CB( 1, 1) 4.000000
CB( 1, 2) 2.000000
CB( 2, 1) 2.000000
CB( 2, 2) 7.000000
计算得到混合对策的平衡点为(5/7, 2/7), (3/8, 5/8)，此时的各自的赢得值为2.875和3.428571。
4.3 加分实验（乒乓球团体赛上场队员排序问题）
乒乓球团体赛的比赛规则如下：从一个队中挑选出的三名比赛队员和
一个队长（可由参赛队员兼任，亦可由其他人员专任）组成。比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。现行的比赛顺序：第一场A—X，第二场B—Y，第三场C—Z，第四场A—Y，第五场B—X。每场比赛为三局两胜制。当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。
现有甲队挑选出的三名比赛队员分别是：A1、A2、A3，乙队挑选出的三名比赛队员分别是：B1、B2、B3，根据以往的历史资料，甲队
与乙队比赛，甲队运动员在每一局中获胜的概率如表B.1所示。
1. 甲队教练将如何安排上场运动员的次序，使得本队获胜的概率最大。建立相应的数学模型，并说明你的理由。
2. 如果每一局比赛，A1胜B3的概率改为0.45，A3胜B1的概率改为0.55。在这种情况下，甲队教练将如何调整甲队队员的上场次序？
解：
分析此问题，属于运筹学排序问题。
推理建立模型如下：
这是一个排列问题，用lingo软件，
目标函数：max=@sum(shunxu:p*x);
设x(i,j)为0，1变量，x为一个3*3的0，1矩阵，x(i,j)表示第i同学是否在第j同学前面，
p为A选手胜B选手的概率=
0.50 0.55 0.60
0.45 0.50 0.55
0.40 0.45 0.50;
约束条件：
选手比赛的前后顺序；
每阶段只有一名选手比赛。
列出Lingo程序：
model:
sets:
aa/1..3/:a;
bb/1..3/:b;
cc/1..6/:c;
ps/1..5/;
psc(ps,cc):p;
para(aa,bb):p1,p2,p3,p4,p5,p6,x;
pp(aa,bb,cc):pb,ppb;
endsets
data:
!x y z;
p1=0.5 0.55 0.60
0.45 0.50 0.55
0.40 0.45 0.50;
!y x z;
p2=0.55 0.60 0.5
0.50 0.55 0.45
0.45 0.50 0.40 ;
!z,x,y;
p3=0.60 0.50 0.55
0.55 0.45 0.50
0.50 0.40 0.45 ;
!x,z,y;
p4=0.50 0.60 0.55
0.45 0.55 0.50
0.40 0.50 0.45;
!y,z,x;
p5=0.55 0.60 0.50
0.50 0.55 0.45
0.45 050 0.40;
!z,y,x;
p6=0.60 0.55 0.50
0.55 0.50 0.45
0.50 0.45 0.40;
enddata
!yueshu;
calc:
@for(pp(i,j,k):pb(i,j,1)=p1(i,j));
@for(pp(i,j,k):pb(i,j,2)=p2(i,j));
@for(pp(i,j,k):pb(i,j,3)=p3(i,j));
@for(pp(i,j,k):pb(i,j,4)=p4(i,j));
@for(pp(i,j,k):pb(i,j,5)=p5(i,j));
@for(pp(i,j,k):pb(i,j,6)=p6(i,j));
endcalc
@for(bb(j):@sum(aa(i):x(i,j))=1);
@for(aa(i):@sum(bb(j):x(i,j))=1);
@for(para:@bin(x));
@for(pp(i,j,k):ppb(i,j,k)=x(i,j)*pb(i,j,k));
@for(psc(i,j):p(i,j)=@sum(pp(i,k,j):ppb(i,k,j)));
@for(cc(j):c(j)=p(1,j)*p(2,j)*p(3,j)+
p(1,j)*p(2,j)*(1-p(3,j))*p(4,j)*(1-p(5,j))+ p(1,j)*p(2,j)*(1-p(3,j))*(1-p(4,j))*p(5,j)+ p(1,j)*(1-p(2,j))*p(3,j)*p(4,j)*(1-p(5,j))+ p(1,j)*(1-p(2,j))*p(3,j)*(1-p(4,j))*p(5,j)+ p(1,j)*(1-p(2,j))*(1-p(3,j))*p(4,j)*p(5,j)+ (1-p(1,j))*p(2,j)*p(3,j)*p(4,j)+
(1-p(1,j))*p(2,j)*p(3,j)*(1-p(4,j))*p(5,j)+ (1-p(1,j))*p(2,j)*(1-p(3,j))*p(4,j)*p(5,j)+ (1-p(1,j))*(1-p(2,j))*p(3,j)*p(4,j)*p(5,j));
!@for(cc(i):@free(c));
p_sum=@sum(cc(i):c);
max=p_sum;
end
计算得到结果如下：
Local optimal solution found.
Objective value: 13.11500
Objective bound: 13.11500
Infeasibilities: 0.6522560E-15
Extended solver steps: 2
Total solver iterations: 63
Variable Value Reduced Cost P_SUM 13.11500 0.000000 A( 1) 0.000000 0.000000 A( 2) 0.000000 0.000000 A( 3) 0.000000 0.000000 B( 1) 0.000000 0.000000 B( 2) 0.000000 0.000000 B( 3) 0.000000 0.000000 C( 1) 0.1215000 0.000000 C( 2) 0.1250000 0.000000 C( 3) 0.1210000 0.000000 C( 4) 0.1237500 0.000000 C( 5) 12.50000 0.000000 C( 6) 0.1237500 0.000000 P( 1, 1) 0.6000000 0.000000 P( 1, 2) 0.5000000 0.000000 P( 1, 3) 0.5500000 0.000000 P( 1, 4) 0.5500000 0.000000 P( 1, 5) 0.5000000 0.000000 P( 1, 6) 0.5000000 0.000000 P( 2, 1) 0.4500000 0.000000 P( 2, 2) 0.5000000 0.000000 P( 2, 3) 0.5500000 0.000000 P( 2, 4) 0.4500000 0.000000 P( 2, 5) 0.5000000 0.000000 P( 2, 6) 0.5500000 0.000000 P( 3, 1) 0.4500000 0.000000 P( 3, 2) 0.5000000 0.000000
P( 3, 4) 0.5000000 0.000000 P( 3, 5) 50.00000 0.000000 P( 3, 6) 0.4500000 0.000000 P( 4, 1) 0.000000 0.000000 P( 4, 2) 0.000000 0.000000 P( 4, 3) 0.000000 0.000000 P( 4, 4) 0.000000 0.000000 P( 4, 5) 0.000000 0.000000 P( 4, 6) 0.000000 0.000000 P( 5, 1) 0.000000 0.000000 P( 5, 2) 0.000000 0.000000 P( 5, 3) 0.000000 0.000000 P( 5, 4) 0.000000 0.000000 P( 5, 5) 0.000000 0.000000 P( 5, 6) 0.000000 0.000000 P1( 1, 1) 0.5000000 0.000000 P1( 1, 2) 0.5500000 0.000000 P1( 1, 3) 0.6000000 0.000000 P1( 2, 1) 0.4500000 0.000000 P1( 2, 2) 0.5000000 0.000000 P1( 2, 3) 0.5500000 0.000000 P1( 3, 1) 0.4000000 0.000000 P1( 3, 2) 0.4500000 0.000000 P1( 3, 3) 0.5000000 0.000000 P2( 1, 1) 0.5500000 0.000000 P2( 1, 2) 0.6000000 0.000000 P2( 1, 3) 0.5000000 0.000000 P2( 2, 1) 0.5000000 0.000000 P2( 2, 2) 0.5500000 0.000000 P2( 2, 3) 0.4500000 0.000000 P2( 3, 1) 0.4500000 0.000000 P2( 3, 2) 0.5000000 0.000000 P2( 3, 3) 0.4000000 0.000000 P3( 1, 1) 0.6000000 0.000000 P3( 1, 2) 0.5000000 0.000000 P3( 1, 3) 0.5500000 0.000000 P3( 2, 1) 0.5500000 0.000000 P3( 2, 2) 0.4500000 0.000000 P3( 2, 3) 0.5000000 0.000000 P3( 3, 1) 0.5000000 0.000000 P3( 3, 2) 0.4000000 0.000000 P3( 3, 3) 0.4500000 0.000000 P4( 1, 1) 0.5000000 0.000000
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
郑重声明： 本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。 应用运筹学作业 6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产，才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？ 1234 四种产品的数量，则得目标函数： Max=(200?150)x1+(130?100)x2+(150?120)x3+(230?200)x4 =50x1+30x2+30x3+30x4 生产四种产品所用时间： (0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+ 0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8 即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 又产品数量不可能为负，所以：x i≥0(i=1,2,3,4) 综上，该问题的线性规划模型如下： Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4 S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x i≥0(i=1,2,3,4) 下求解目标函数的最优解： max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4; 2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200; Global optimal solution found. Objective value: 4347.826 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 86.95652 0.000000 X2 0.000000 13.47826 X3 0.000000 15.65217
兰州交通大学 数学建模大作业 学院：机电工程学院 班级：车辆093 学号：200903812 姓名：刘键学号：200903813 姓名：杨海斌学号：200903814 姓名：彭福泰学号：200903815 姓名：程二永学号：200903816 姓名：屈辉
高速公路问题 1 实验案例 (2) 1.1 高速公路问题(简化) (2) 1.1.1 问题分析 (3) 1.1.2 变量说明 (3) 1.1.3 模型假设 (3) 1.1.4 模型建立 (3) 1.1.5 模型求解 (4) 1.1.6 求解模型的程序 (4) 1实验案例 1.1 高速公路问题(简化) A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。 你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？ A B 图8.2 高速公路修建地段
1.1.1 问题分析 在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌 中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。 1.1.2 变量说明 i x ：在第i 个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i ＝1，2，…，4；x 5＝30（指目的地B 点的横坐标） x=[x 1，x 2，x 3，x 4]T l i ：第i 段南北方向的长度（i ＝1，2， (5) S i ：在第i 段上地所建公路的长度（i ＝1，2， (5) 由问题分析可知， () ()() () 2 542552 432442 322332212 222 1211x x l S x x l S x x l S x x l S x l S -+=-+=-+=-+=+= C 1：平原每公里的造价（单位：万元/公里） C 2：高地每公里的造价（单位：万元/公里） C 3：高山每公里的造价（单位：万元/公里） 1.1.3 模型假设 1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比； 2、 假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。在理论上，可以使得建造费用最少， 当然实际中一般达不到。 1.1.4 模型建立 在A 城与B 城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A 城与B 城之间建造高速公路的费用。 () 4,3,2,1300. .)(min 5142332211=≤≤++++=i x t s S C S C S C S C S C x f i
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概
数学建模期末大作业论文 题目：A题美好的一天 组长：何曦（2014112739） 组员：李颖（2014112747）张楚良（2014112740） 班级：交通工程三班 指导老师：陈崇双
美好的一天 摘要 关键字：Dijkstra算法多目标规划有向赋权图 MATLAB SPSS
1 问题的重述 Hello！大家好，我是没头脑,住在西南宇宙大学巨偏远的新校区（节点22）。明天我一个外地同学来找我玩，TA叫不高兴，是个镁铝\帅锅，期待ing。我想陪TA在城里转转，当然是去些不怎么花钱的地方啦~~。目前想到的有林湾步行街(节点76)、郫郫公园（节点91），大川博物院（节点72）。交通嘛，只坐公交车好了,反正公交比较发达，你能想出来的路线都有车啊。另外，进城顺便办两件事，去老校区财务处一趟（节点50），还要去新东方（节点34）找我们宿舍老三，他抽奖中了两张电影票，我要霸占过来明晚吃了饭跟TA一起看。电影院嘛，TASHIWODE电影院（节点54）不错，比较便宜哈。我攒了很久的钱，订了明晚开心面馆（节点63）的烛光晚餐，额哈哈，为了TA，破费一下也是可以的哈。哦，对了，老三说了，他明天一整天都上课，只有中午休息的时候能接见我给我票。 我主要是想请教一下各位大神： 1）明天我应该怎么安排路线才能够让花在坐车上的时间最少？ 2）考虑到可能堵车啊，TA比较没耐心啊，因为TA叫不高兴嘛。尤其是堵车啊，等车啊，这种事，万一影响了气氛就悲剧了。我感觉路口越密的地方越容易堵，如果考虑这个，又应该怎么安排路线呢？ 3）我们城比较挫啊，连地图也没有，Z老师搞地图测绘的，他有地图，跟他要他不给，只给了我一个破表格（见附件，一个文件有两页啊），说“你自己画吧”。帮我画一张地图吧，最好能标明我们要去的那几个地方和比较省时的路线啊，拜托了~ 2 问题的分析 2.1 对问题一的分析 问题一要求安排路线使得坐车花费的时间最少。 对于问题一，假设公交车的速度维持不变，要使花费的时间最少，则将问题转化为对最短路径的求解。求解最短路径使用Dijkstra算法很容易进行求解，在运用MATLAB编程，得到最优的一条路径，则这条路径所对应的时间即为最少用时。 2.2 对问题二的分析 问题二要求在考虑堵车的情况下，路口越密越容易发生拥堵，安排路线是乘车时间最短。 对于问题二，在问题的基础上增加了附加因素，即公交车的速度会因道路的密集程度而发生改变，从而问题一建立的基本Dijkstra算法对于问题二就不再适用了，因此对问题一的基本Dijkstra算法进行改进，并结合蚁群算法的机理与特点，运用MATLAB求解出最短路径，保证了花费时间的最少性。 2.3 对问题三的分析 问题三要求根据提供的附件，画出一张地图，标明要去的那几个地方和比较省时的路线。 对于问题三，在问题一和问题二的基础上，根据求解的结果，运用SPSS软件画出地图。
《数学建模与数学实验》本科教学日历 数学建模部分 开设课程课程名称数学建模课程编号0701107 施教单位理学院 课内学时 总课时36 课程性质公共基础讲授课时28 修读要求选修实践课时8 选用教材教材名称数学建模教程出版社名称高等教育出版社 出版时间 及版次 2011年出版，第一版印刷时间2011年 其他情况 教学安排 班次授课对象及人数任教教员（指导教员）姓名及职称数学建模A 各专业本科学员 吴孟达教授 段晓君教授 毛紫阳讲师 王丹讲师 数学建模B 各专业本科学员 吴孟达教授 段晓君教授 毛紫阳讲师 王丹讲师 课次节 次 授课内容 教学 方法 采用现代化教学手段(课时) 多媒体电教双语网络实验 1 1 （1）什么是数学建模？数学建模的一般概念 （2）几个数学建模问题 讲授 1 2 （1）数学建模的一般步骤 （2）敏感问题调查案例 讲授 1 2 3 （1）行走步长问题 （2）雨中行走淋雨量最小问题 （3）道路是越多越通畅吗? 讲授 1 4 （1）有奖销售的抽奖策略问题 （2）“非诚勿扰”女生最佳选择问题 （3）网络文章流行度预测和招聘匹配 讲授 1 3 5 （1）线性规划模型基本概念 （2）整数规划模型 （3）0-1规划模型 讲授 1 6 （1）非线性规划 （2）多目标规划 讲授 1 4 7 （1）最短路算法 （2）最小生成树算法 讲授 1 8 （1）最大流算法 （2）PageRank算法 讲授 1 5 9 规划模型上机实践实践 1
课次节 次 授课内容 教学 方法 采用现代化教学手段(课时) 多媒体电教双语网络实验10 图论模型上机实践实践 1 6 11 （1）博弈模型基本概念 （2）Nash平衡和Pareto最优 （3）博弈论案例 讲授 1 12 （1）贝叶斯纳什均衡 （2）拍卖模型 讲授 1 7 13 社会选择理论中的选举问题数学模型-阿罗不可能定理讲授 1 14 越野长袍团体赛排名规则公平性问题讲授 1 8 15 军事作战模型-Lanchester作战模型讲授 1 16 自动化车床管理模型讲授 1 9 17 （1）“边际效应”基本概念 （2）实物交换模型，最佳消费模型、报童售报问题 讲授 1 18 （1）价格弹性模型 （2）合作效益的Shapley值分配模型 讲授 1 10 19 （1）聚类分析基本概念 （2）常用聚类算法 讲授 1 20 （1）方差分析基本概念 （2）单因素方差分析 （3）双因素方差分析 讲授 1 11 21 （1）主成分分析基本概念 （2）因子分析 讲授 1 22 （1）一元回归分析 （2）多元回归分析 （3）多元回归模型的检验与优化 讲授 1 12 23 聚类分析和方差分析上机实践实践 1 24 主成分分析和多元回归分析上机实践实践 1 13 25 （1）遗传算法基本思想 （2）算法步骤 讲授 1 26 遗传算法计算实例讲授 1 14 27 （1）模拟退火算法基本思想 （2）算法步骤 讲授 1 28 模拟退火算法计算实例讲授 1 15 29 （1）蚁群算法基本思想 （2）算法步骤 讲授 1 30 （1）数学建模中的计算机仿真 （2）不可召回的秘书招聘问题 （3）车灯光源优化设计 （4）生命游戏 讲授 1 16 31 遗传算法上机实践实践 1 32 模拟退火算法上机实践实践 1
2.1MATLAB MATLAB Matrix Laboratory , MathWorks 20 80 , , MATLAB Simulink .MATLAB 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) ( ), . 2.1.1MATLAB MATLAB , , . , MATLAB , 2.1.1 . MATLAB “>>” , MATLAB . , Enter ,MATLAB .
·8· 2 ? ? 2.1.1MATLAB 1.help , help . poly?t . help polyfit POLYFIT Fit polynomial to data..P=POLYFIT(X,Y,N)finds the coeffici-ents of a polynomial P(X)of degree N that fits the data Y best in a least-squares sense.P is a row vector of length N+1containing the polynomial coefficients in descending powers,P(1)*X^N+P(2)*X^(N-1) +···+P(N)*X+P(N+1). , MATLAB Help . Help Product Help , ( 2.1.2) 2.1.2Help
2.1MATLAB ·9· Seach , . 2.clear clear . “a=1”, >>a=1. 1 a. a , clear . >>clear a???Undefined function or variable a . 3.format MATLAB format . format short , 5 ; format rational ; format long g 15 ; >>format short>>pi ans=3.1416;>>format rational >>pi ans=355/113; >>format long g>>pi ans=3.14159265358979 2.1.2MATLAB 1. 2.1.1 MATLAB . MATLAB 1 , .MATLAB , B b . 2.1.1MATLAB pi i,j inf . n/0 inf, n 0 ans , . ,MATLAB ans NaN , . 0/0 inf/inf 2. MATLAB , . . MATLAB , , , . A=[1?256?49] A=[1,?2,5,6,?4,9] 6 A.
数学建模作业——实验1 学院：软件学院 姓名： 学号： 班级：软件工程2015级 GCT班 邮箱： 电话： 日期：2016年5月10日
基本实验 1.椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。 答：能放平，证明如下： 如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，
则一定存在α’∈（0，π），使得 f(α’)=g(α’)=0 令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则 f(π)=0，g(π)＞0 定义h(α)= f(α)-g(α)，得到 h(0)=f(0)-g(0)＞0 h(π)=f(π)-g(π) ＜0 根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（ 0，π），使得 h(α’)= f(α’)-g(α’)=0 结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到 f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。 2. 过河问题 依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。 答： 用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0 =i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1, 1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 :
打车软件的竞争问题 班级:电子科学与技术1102班组员: 二零一四年五月
打车软件的竞争问题 摘要：随着打车软件的日趋火热，越来越多的出行者使用打车软件预约出租车。基于移动互联网的打车软件相对于已往的传统的统一出租车电招平台庞杂的预定流程，显示出了很大的便捷优势，这种约车新形式服务正在悄然改变人们传统打车模式，它的新颖性、神奇性、创新性、高效性以及便利性在一定程度上迎合了人们现代化的生活方式。消费者每次使用打车软件预约出租车，被使用的软件公司都会给予司机和消费者相应的补贴，而且随着竞争的升级，补贴的力度越来越大。打车软件给一部分人带来了便捷，同时也带来了很多的社会问题，如拒载、爽约、空车不停等。正是这些争议性问题使得人们对这种新事物的出现产生一些疑虑。因此，国内一些城市开始对这类打车软件紧急进行“叫停”，使得目前这些打车软件的发展陷入迷茫状态。 本文通过建立科学的数学模型，论述了打车软件目前发展模式和存在的问题，并阐述了如何对打车软件进行安全管理与标准化的建议；同时，通过模型分析讨论了打车软件之间的竞争问题；最后指出打车软件企业需要不断地完善自己的软件产品，提高用户体验，使打车软件更符合出租车营运行业市场的需求。 关键词：打车软件；软件补贴；竞争；发展前景
一、打车软件市场发展状况 随着移动互联网的飞速发展，打车软件开始变得异常的火热，开始成为了越来越多的年轻时尚人士出行必备的工具。随着竞争的深入，各家打车软件公司依托于背后强大的母公司支撑和金元的后盾，开始了现金补贴的营销战略，消费者每次使用打车软件预约出租车，被使用的软件公司都会给予司机和消费者相应的补贴，而且随着竞争的升级，补贴的力度越来越大。如表1所示。 表1 补贴政策 时间事件 1月10日 嘀嘀打车软件在32个城市开通微信支付，使用微信支付，乘客车费立减10元、 司机立奖10元。 1月20日“快的打车”和支付宝宣布，乘客车费返现10元，司机奖励10元。 1月21日快的和支付宝再次提升力度，司机奖励增至15元。 2月10日嘀嘀打车宣布对乘客补贴降至5元。 2月10日快的打车表示奖励不变，乘客每单仍可得到10元奖励。 2月17日嘀嘀打车宣布，乘客奖10元，每天3次；北京、上海、深圳、杭州的司机每单奖10元，每天10单，其他城市的司机每天前5单每单奖5元，后5单每单奖10元。新乘客首单立减15元，新司机首单立奖50元。 2月17日支付宝和快的也宣布，乘客每单立减11元。司机北京每天奖10单，高峰期每单奖11元(每天5笔)，非高峰期每单奖5元(每天5笔)；上海、杭州、广州、深圳每天奖10单。 2月18日 嘀嘀打车开启“游戏补贴”模式：使用嘀嘀打车并且微信支付每次能随机获得 12至20元不等的补贴，每天3次。 2月18日快的打车表示每单最少给乘客减免13元，每天2次。 随之而来的是出租车行业的怪相：出租车司机的主要收入变成了软件公司的补贴，一个司机一个月保守的收入增加都在800～1800元；而消费者打车的费用也同样基本变由打车软件承担，有些短途的打车变成了免费甚至还赚钱。与此同时，问题和矛盾也出现了：不使用打车软件的消费者无法打到车，拒载、空车不停等投诉也比比皆是；司机开车时频频使用手机看打车软件，也产生了潜在交通
数学建模与数学实验课程总结与练习内容总结 第一章 1.简述数学建模的一般步骤。 2.简述数学建模的分类方法。 3.简述数学模型与建模过程的特点。 第二章 4.抢渡长江模型的前3问。 5.补充的输油管道优化设计。 6.非线性方程（组）求近似根方法。 第三章 7.层次结构模型的构造。 8.成对比较矩阵的一致性分析。 第五章 9.曲线拟合法与最小二乘法。 10 分段插值法。 第六章 11 指数模型及LOGISTIC模型的求解与性质。 12.VOLTERRA模型在相平面上求解及周期平均值。 13 差分方程（组）的平衡点及稳定性。 14 一阶差分方程求解。 15 养老保险模型。
16 金融公司支付基金的流动。 17 LESLLIE 模型。 18 泛函极值的欧拉方法。 19 最短路问题的邻接矩阵。 20 最优化问题的一般数学描述。 21 马尔科夫过程的平衡点。 22 零件的预防性更换。 练习集锦 1. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 31/52a b P c d e f ?? ??=?????? ，（1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求 P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.58）。 2. 在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受。 3.考虑下表数据
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 4.. 考虑微分方程 (0.2)0.0001(0.4)0.00001dx x xy dt dy y xy dt εε?=--????=-++?? （1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？ 5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-= （1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k 值。 6. 布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是 3 (m r s 单位：）。 （1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？ 求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。 7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？ 8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,A B C 3 个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去
数 学 建 模 实验报告 机械工程及自动化75班
丁鑫 四人追击问题 问题： 在一个边长为1的正方形跑道的四个顶点上各站有一人，他们同时开始以等速顺时针追逐下一人，在追逐过程中，每个人时刻对准目标，试模拟追击路线。并讨论： （1） 四个人能否追到一起？ （2）若能追到一起，则每个人跑过多少路程？ （3）追到一起所需要的时间（设速率为1）？ （4）如果四个人追逐的速度不一样，情况又如何呢 分析： 先建立坐标系，设计程序使从A,B,C,D 四个点同时出发，画出图形并判断。 程序设计流程： 四个人追击的速度相等，则有14321=====v v v v v 。针对这种情形，可有以下的程序。 hold on axis([0 2 0 2]); grid A=[0,0];B=[0,1];C=[1,1];D=[1,0]; k=0; s1=0;s2=0;s3=0;s4=0; %四个人分别走过的路程 t=0; v=1;dt=0.002; while k<10000 k=k+1; plot(A(1),A(2),'r.','markersize',15); plot(B(1),B(2),'b.','markersize',15); plot(C(1),C(2),'m.','markersize',15);
plot(D(1),D(2),'k.','markersize',15); e1=B-A;d1=norm(e1); e2=C-B;d2=norm(e2); e3=D-C;d3=norm(e3); e4=A-D;d4=norm(e4); fprintf('k=%.0f ',k) fprintf('A(%.2f,%.2f) d1=%.2f ',A(1),A(2),d1) fprintf('B(%.2f,%.2f) d2=%.2f ',B(1),B(2),d2) fprintf('C(%.2f,%.2f) d3=%.2f ',C(1),C(2),d3) fprintf('D(%.2f,%.2f) d4=%.2f\n',D(1),D(2),d4) A=A+v*dt*e1/d1; B=B+v*dt*e2/d2; C=C+v*dt*e3/d3; D=D+v*dt*e4/d4; t=t+dt; s1=s1+v*dt; s2=s2+v*dt; s3=s3+v*dt; s4=s4+v*dt; if norm(A-C)<=5.0e-3&norm(B-D)<=5.0e-3 break end end t s1 s2 s3 s4
数学建模创新思维课大作业 一、使用MATLAB 求解一下问题,请贴出代码. 1. cos 1000x mx y e =，求''y >>clear >>clc >> syms x m; >> y=exp(x)*cos(m*x/1000); >> dfdx2=diff(y,x,2) dfdx2 = exp(x)*cos((m*x)/1000) - (m*exp(x)*sin((m*x)/1000))/500 - (m^2*exp(x)*cos((m*x)/1000))/1000000 >> L=simplify(dfdx2) L = -(exp(x)*(2000*m*sin((m*x)/1000) - 1000000*cos((m*x)/1000) + m^2*cos((m*x)/1000)))/1000000 2.计算22 1100x y e dxdy +?? >> clear >> clc; >> syms x y >> L=int(int(exp(x^2+y^2),x,0,1),y,0,1) L = (pi*erfi(1)^2)/4 3. 计算4 224x dx m x +? >> clear; >> syms x m; >> f=x^4/(m^2+4*x^2); >> intf=int(f,x) intf =
(m^3*atan((2*x)/m))/32 - (m^2*x)/16 + x^3/12 >> L=simplify(intf) L = (m^3*atan((2*x)/m))/32 - (m^2*x)/16 + x^3/12 4. (10)cos ,x y e mx y =求 >> clear; >> syms x m; >> y=exp(x)*cos(m*x); >> L=diff(y,x,10); >> L=simplify(L) L = -exp(x)*(10*m*sin(m*x) - cos(m*x) + 45*m^2*cos(m*x) - 210*m^4*cos(m*x) + 210*m^6*cos(m*x) - 45*m^8*cos(m*x) + m^10*cos(m*x) - 120*m^3*sin(m*x) + 252*m^5*sin(m*x) - 120*m^7*sin(m*x) + 10*m^9*sin(m*x)) 5. 0x =的泰勒展式(最高次幂为4). >> clear; >> syms m x; >> y=sqrt(m/1000.0+x)； >> y1=taylor(y,x,'order',5)； >> L=simplify(y1) L = (10^(1/2)*(m^4 + 500*m^3*x - 125000*m^2*x^2 + 62500000*m*x^3 - 39062500000*x^4))/(100*m^(7/2)) 6. Fibonacci 数列{}n x 的定义是121,1x x ==12,(3,4, )n n n x x x n --=+=用循环语句编程 给出该数列的前20项（要求将结果用向量的形式给出）。 >> x=[1,1]; >> for n=3:20
数学建模与数学实验试卷及答案 二、本题10分(写出程序和结果) 蚌埠学院2010—2011学年第二学期 2,x在 [-5 ，5] 区间内的最小值，并作图加以验证。求函数yxe,，,3《数学建模与数学实验》补考试卷答案 f1=inline('x.^2 +exp(-x)-3') 注意事项:1、适用班级:09数学与应用数学本科1,2班 2、本试卷共1页，附答题纸1页。满分100分。 x=fmin(f1,-5,5) 3、考查时间100分钟。 y=f1(x) 4、考查方式:开卷 fplot(f1,[-5,5]) 一、填空:(每空4分，共60分) x = 0.3517，y== -2.1728 123111,，，，， ,,,,三、本题15分(写出程序和结果) 1. 已知，，则A的秩为 3 ，A的特征值为 A,612B,234,,,, ,,,,,215531,，，，，360000xx，,,12,max2.5fxx,，求解:， stxx..250000，,,1212-1.9766 4.4883 + 0.7734i 4.4883 - 0.7734i ，若令 A([1,3],:)= B([2,3],:)，则,x,150001,A(2,:)= 6 1 2 ; 解: xxx，，,22,123,model: 2. 的解为 1.25 ,0.25 0.5 ; xxx，，,521,123max=2.5*x1+x2; ,242xxx，，,123,3*x1+x2<=60000; 装订线内不要答题 2*x1+x2<=50000; 3. 将1234521 分解成质因数乘积的命令为_factor(sym(‘1234521’)),
一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果
2016年数学建模作业 作业要求 1. 由于时间的原因，同学们只需将题目做在word上，不需要做在ppt上。 2. 详细的写出模型或方法、程序、程序运行的重要结果，并做结果分析。 3. 你做的答案将与全体同学分享。结业考试也是以你的答案为参考。如果因为你的不认真导致题目做错。从而误导了大家，你将负全部责任。切记要认真做题。如果你不会，那一定要虚心向学霸们请教。 第一部分优化与控制 2016-01 灵敏度分析 某公司计划生产I、II两种产品，每天生产条件如表，问: (1)该公司应如何安排生产计划才能使总利润最多? (2)若产品Ⅰ的利润降至1.5百元/单位，而产品Ⅱ的利润增至2百元/单位，最优生产计划有何变化？ (3)若产品Ⅰ的利润不变，则产品Ⅱ的利润在什么范围内变化时，该公司的最优生产计划将不发生变化？ (4)设备A和设备C每天能力不变，而设备B能力增加到32，问最优生产计划如何变化？ 资源产品ⅠⅡ每天可用能力 设备A（h）0 5 15 设备B（h） 6 2 24 设备C（h） 1 1 5 利润（百元） 2 1 2016-02 投资问题 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：①政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；②所购证券的平均信用等级不超过1.49，信用等级数字越小，信用程度越高；③所购证券的平均到期年限不超过3年；④不允许重复投资。 （1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
数学模型课程期末大作业题 要求: 1）选题方式：共53题，每个同学做一题，你要做的题目编号是你的学号mod52所得的值+1。(例如：你的学号为119084157，则你要做的题为mod(119084157,52)+1=50)。 2）该类题目基本为优划问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo 集合形式编程，其它可用Matlab或Mathmatica编写。 3）论文以纸质文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。 1、生产安排问题 某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）： 表 到6月底每种产品有存货50件。 工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。 不需要考虑排队等待加工的问题。 在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合
适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？ 注意，可假设每月仅有24个工作日。 5、生产计划 某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示： 台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示： 量均不得超过100件。现在无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求： （a）该厂如何安排计划，使总利润最大； （b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。 34、瓶颈机器上的任务排序 在工厂车间中，经常会出现整个车间的生产能力取决于一台机器的情况（例如，仅有一台的某型号机床，生产线上速度最慢的机器等）。这台机器就称为关键机器或瓶颈机器。此时很重要的一点就是尽可能地优化此机器将要处理的任务计划。