2020-2021学年河南省新乡市高一（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，0，1，2，3}，N＝{x|﹣1＜1﹣x≤4}，则M∩N ＝（）
A．{﹣2，0，1，2，3}B．{﹣2，0，1}
C．{0，1，2，3}D．{﹣2，0}
2．（5分）已知函数f（x）＝，则＝（）A．32B．C．D．1
3．（5分）下列函数为偶函数的是（）
A．y＝e x+e﹣x B．y＝2﹣x﹣2x C．y＝x2﹣x|x|D．y＝ln|x+2| 4．（5分）log63?log96＝（）
A．B．3C．2D．
5．（5分）函数f（x）＝e x+2x﹣5的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，3）C．（0，1）D．（1，2）6．（5分）已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是（）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 7．（5分）为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）
A．8B．10C．18D．20
8．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）
A．（﹣∞，﹣3）B．[﹣3，﹣2）
C．（﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞）D．（﹣3，﹣2）
9．（5分）已知指数函数g（x）过点（2，4），则函数的值域为
（）
A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）
C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）
10．（5分）函数f（x）＝xln|x|的图象大致为（）
A．B．
C．D．
11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2﹣x）＝f（2+x）．当0≤x≤2时，f（x）＝x2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（9）+f（10）＝（）
A．﹣5B．5C．﹣2D．2
12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）
﹣k恰有3个零点，则实数k的取值范围是（）
A．B．（2，3）C．（3，4]D．（2，+∞）二、填空题（共4小题）.
13．（3分）已知集合A＝{a2，﹣4}，B＝{0，b﹣3}，若A＝B，则a﹣b＝．14．（3分）若幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为．
15．（3分）已知函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣3，且f（4）＝5，则f（2）＝．
16．（3分）已知函数f（x）＝，在R上单调递减，则a的
取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
17．计算：
（1）；
（2）（log63）2+（log62）2+log69?log62+ln．
18．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜﹣a}．
（1）若a＝﹣3，求A∪（?R B）；
（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．
19．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过O（0，0）和A（2，8）两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝，求g（x）的值域．20．（1）用定义法证明函数f（x）＝x﹣是（﹣∞，0）上的增函数．（2）证明：函数g（x）＝是偶函数．
21．某商场就一新款儿童玩具进行促销活动，活动时长是30天，这30天内第x （1≤x≤30，x∈N+）天的销售单价（单位：元/件）为p（x）＝
，销售量（单位：件）为q（x）＝n﹣x，1≤x≤
30，x∈N+，且第20天的销售额为1800元（销售额＝销售单价×销售量）．（1）求n的值，并求出第5天的销售额；
（2）求这30天内单日销售额的最大值．
22．已知函数f（x）＝．
（1）若f（a）＝1，求a的值；
（2）若关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，0，1，2，3}，N＝{x|﹣1＜1﹣x≤4}，则M∩N ＝（）
A．{﹣2，0，1，2，3}B．{﹣2，0，1}
C．{0，1，2，3}D．{﹣2，0}
解：∵M＝{﹣2，0，1，2，3}，N＝{x|﹣3≤x＜2}，
∴M∩N＝{﹣2，0，1}．
故选：B．
2．（5分）已知函数f（x）＝，则＝（）A．32B．C．D．1
解：根据题意，函数f（x）＝，
则f（）＝log2＝﹣1，
则f（f（））＝f（﹣1）＝（﹣1）2+2﹣1＝，
故选：C．
3．（5分）下列函数为偶函数的是（）
A．y＝e x+e﹣x B．y＝2﹣x﹣2x C．y＝x2﹣x|x|D．y＝ln|x+2|解：y＝e x+e﹣x是偶函数，y＝2﹣x﹣2x是奇函数y＝x2﹣x|x|与y＝ln|x+2|是非奇非偶函数．
故选：A．
4．（5分）log63?log96＝（）
A．B．3C．2D．
解：log63?log96＝＝．
故选：D．
5．（5分）函数f（x）＝e x+2x﹣5的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，3）C．（0，1）D．（1，2）
解：易知f（x）＝e x+2x﹣5是R上的增函数，且f（1）＝e﹣3＜0，f（2）＝e2﹣1＞0，
f（1）f（2）＜0，
所以f（x）的零点所在的区间是（1，2）．
故选：D．
6．（5分）已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是（）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
解：因为40.1＞40＝1，而0＜0.40.8＜0.40.5＜0.40＝1，
即a＞1，0＜c＜b＜1，
所以a＞b＞c．
故选：C．
7．（5分）为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）
A．8B．10C．18D．20
解：设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x人，
作出韦恩图，得：
则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有（28﹣x）人，
选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有（36﹣x）人．
由题意可得12+（28﹣x）+（36﹣x）+x＝58，解得x＝18，
所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为28﹣x＝10．
故选：B．
8．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）
A．（﹣∞，﹣3）B．[﹣3，﹣2）
C．（﹣3，﹣2）∪（﹣2，+∞）D．（﹣3，﹣2）
解：函数f（x）＝中，
令，
解得，
即﹣3＜x＜﹣2，
所以f（x）的定义域为（﹣3，﹣2）．
故选：D．
9．（5分）已知指数函数g（x）过点（2，4），则函数的值域为（）
A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）
C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）
解：由题可得：g（x）＝2x，
则，
因为2x＞0，2x+1＞1，，，
所以﹣1＜f（x）＜1，
故选：C．
10．（5分）函数f（x）＝xln|x|的图象大致为（）
A．B．
C．D．
解：因为f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xln|x|＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，排除C，D．
当0＜x＜1时，ln|x|＜0，f（x）＜0，排除B．
故选：A．
11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2﹣x）＝f（2+x）．当0≤x≤2时，f（x）＝x2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（9）+f（10）＝（）
A．﹣5B．5C．﹣2D．2
解：因为f（x）是R定义在上的奇函数，且f（2﹣x）＝f（2+x），
所以f（4﹣x）＝f（x）．
又因为当0≤x≤2时，f（x）＝x2，
所以f（1）＝1，f（2）＝4，f（3）＝f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝0，f（5）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，
f（6）＝f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣4，f（7）＝f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣1，f（8）＝f（﹣4）＝﹣f（4）＝0，
f（9）＝f（﹣5）＝﹣f（5）＝1，f（10）＝f（﹣6）＝﹣f（6）＝4．
故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（9）+f（10）＝5．
故选：B．
12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）
﹣k恰有3个零点，则实数k的取值范围是（）
A．B．（2，3）C．（3，4]D．（2，+∞）解：由题意，函数f（x）大致图象如下：
依据图象，可知
当函数F（x）＝f（x）﹣k恰有3个零点时，
即函数y＝f（x）的图象与y＝k的图象有3个公共点，
∴实数k的取值范围为．
故选：A．
二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上.
13．（3分）已知集合A＝{a2，﹣4}，B＝{0，b﹣3}，若A＝B，则a﹣b＝1．解：∵A＝B，A＝{a2，﹣4}，B＝{0，b﹣3}，
∴，解得，
∴a﹣b＝1．
故答案为：1．
14．（3分）若幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为2．
解：由幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x m﹣1，可得m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或﹣1．
又幂函数y＝x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，∴m＝2．
故答案为：2．
15．（3分）已知函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣3，且f（4）＝5，则f（2）＝4．
解：因为函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣3，
令x＝y＝2，有f（4）＝f（2）+f（2）﹣3，
又因为f（4）＝5，
所以f（2）＝4．
故答案为：4．
16．（3分）已知函数f（x）＝，在R上单调递减，则a的取值范围是（，]．．
解：根据题意，函数f（x）＝，在R上单调递减，
必有，解可得＜a≤，
故a的取值范围为（，]；
故答案为：（，]．
三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
17．计算：
（1）；
（2）（log63）2+（log62）2+log69?log62+ln．
解：（1）原式＝＝2+9﹣2＝9．
（2）原式＝＝
＝＝．
18．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜﹣a}．
（1）若a＝﹣3，求A∪（?R B）；
（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．
解：（1）因为a＝﹣3，所以B＝{x|1＜x＜3}，
?R B＝{x|x≤1或x≥3}，
故A∪（?R B）＝{x|x＜2或x≥3}；
（2）因为A∩B＝B，所以B?A，
若B＝?，则﹣a≤1，解得a≥﹣1，
若B＝?，则，解得﹣2≤a＜﹣1，
综上所述，a的取值范围为[﹣2，+∞）．
19．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过O（0，0）和A（2，8）两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝，求g（x）的值域．
解：（1）分别将O（0，0）和A（2，8）点代入函数f（x）＝a x+b，
得，解得，
故f（x）＝3x﹣1．
（2）由（1）得g（x）＝，
当x≤0时，g（x）＝3x，则0＜3x≤30＝1；
当x＞0时，g（x）＝2x+．
故g（x）的值域为（0，+∞）．
20．（1）用定义法证明函数f（x）＝x﹣是（﹣∞，0）上的增函数．（2）证明：函数g（x）＝是偶函数．
【解答】证明：（1）任取x1，x2∈（﹣∞，0），令x1＜x2．
则＝＝
．
因为x1＜x2＜0，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1＞1，1﹣x2＞1，
所以，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）是（﹣∞，0）上的增函数．
（2）由题知g（x）的定义域为R，关于原点对称．
当x＜0时，﹣x＞0，则g（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）+3＝x2﹣x+3＝g（x）；
当x＞0时，﹣x＜0，则g（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）+3＝x2+x+3＝g（x）．故g（x）是偶函数．
21．某商场就一新款儿童玩具进行促销活动，活动时长是30天，这30天内第x （1≤x≤30，x∈N+）天的销售单价（单位：元/件）为p（x）＝
，销售量（单位：件）为q（x）＝n﹣x，1≤x≤
30，x∈N+，且第20天的销售额为1800元（销售额＝销售单价×销售量）．（1）求n的值，并求出第5天的销售额；
（2）求这30天内单日销售额的最大值．
解：（1）设单日销售额为y元，则y＝p（x）?q（x）＝
，
整理得y＝，
当x＝20时，y＝400﹣20（n+80）+80n＝1800，解得n＝50，
故y＝，
当x＝5时，y＝2700，
即第5天的销售额为2700元；
（2）由（1）知，当1≤x≤10，x∈N+时，y＝﹣2x2+50x+2500单调递增，则单日销售额的最大值为﹣2×102+50×10+2500＝2800，
当10＜x≤30，x∈N+时，y＝x2﹣130x+4000单调递减，
则单日销售额的最大值为112﹣130×11+4000＝2691元，
综上所述，这30天内单日销售额的最大值为2800元．
22．已知函数f（x）＝．
（1）若f（a）＝1，求a的值；
（2）若关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，求m的取值范围．
解：（1）若a＜0，则f（a）＝lg（﹣a）＝1，解得a＝﹣10；
若a≥0，则f（a）＝|e a﹣2|＝1，解得a＝0或ln3．
故a的值为0或﹣10或ln3．
（2）由题可知，
当x＜0时，f（x）单调递减，且f（x）∈R；
当0≤x＜ln2时，f（x）单调递减，且f（x）∈（0，1]；
当x≥ln2时，f（x）单调递增，且f（x）∈[0，+∞）．
关于x的方程f2（x）+mf（x）+2m+1＝0恰有5个实数根，
如图，
等价于关于t的方程t2+mt+2m+1＝0有2个不相等的实数根t1，t2，不妨设t1＞t2，
则，．
令h（t）＝t2+mt+2m+1，
若t1＞1，0＜t2＜1，则，即，不等式无解；若t1＞1，t2＝1，则，即，不等式无解；
若t2＝0，0＜t1≤1，则，即，解得．故m的取值范围是．