上饶师范学院数学与计算机科学学院本科毕业论文
论文题目：矩阵可对角化的充分必要条件
专业：数学与应用数学
班级：09数（3）
学号：09010313
学生姓名：姜曼
指导教师姓名：龚和林
上饶师范学院数学与计算机科学学院
2013年04 月
摘要
在高等代数中，方阵A可对角化当且仅当它可相似于对角矩阵，即存在一个可逆矩阵P,使AP
P1 是对角矩阵。因为对角矩阵的特征值与特征向量是已知的，从而，对矩阵的对角化有积极的意义。本文给出了矩阵四种可对角化的充分必要条件和相应的证明。
关键词
方阵；特征值；特征向量；对角化
2
目录
绪论................................... 错误！未定义书签。
1 矩阵可对角化的概念 (5)
1.1特征值、特征向量的概念 (5)
1.2矩阵可对角化的概念 (6)
2 矩阵可对角化的充分必要条件 (3)
2.1利用特征向量判断矩阵可否对角化 (3)
2.2 利用特征根的性质判断矩阵可否对角化 (4)
2.3利用最小多项式判定矩阵可否对角化 (5)
2.4 利用线性变换相关知识判断矩阵可否对角化 (5)
3 矩阵可对角化的应用 (7)
结论 (16)
参考文献 (16)
致谢 (17)
3
4
绪论
矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……
线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：n 阶方阵A 可以对角化的充要条件是它有n 个线性无关的特征向量；方阵A 可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵A 可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。
在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。
1 矩阵可对角化的概念
1.1 特征值、特征向量的概念
定义1]1[：设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。
求方阵A 的特征值与特征向量的步骤：
(1)：由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互 异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。 (2)：求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ()t i ,,2,1 =,其基础解系
s i i i p p p ,,,21 (t i n s i i ,,2,11 =≤≤，)就是A 所对应特征值i λ的线性无
关的特征向量。
1.2 矩阵可对角化的概念
定义2]1[：设A 是矩阵F 上一个n 阶方阵，如果存在数域F 上的一个可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角形矩阵，那么就说矩阵A 可以对角化。
任意方阵A 的每一个特征值i λ都有一个与之相对应的特征向量i
P 满足i i i P AP λ=()n ,1,2,i =，则这个方程可以写成
()()n n P P P P P P A ,,,,,,2121 =??
???
??
? ?
?n λλλ
2
1
, （1） 我们定义矩阵()n P P P P ,,,21 =,()n diag B λλλ,,,21 =则（1）式可写成
PB AP =,若矩阵P 是可逆阵，则有()n diag B AP P λλλ,,,211 ==-
引理1]2[ 设A 、B 都是n 阶矩阵,则有秩()AB ≥秩()A +秩()n B - 。 引理2]2[ 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，则矩阵A 的线性无关的特征向量的最大个数为
()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。
证明 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，因为
特征值i λ()s ,1,2,i =相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组()0=-X I A i λ的基础解析所含向量的个数，所以特征值
()n s s ≤λλλ,,,21 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为
()I A r n i λ--，()I A r n 2λ--，…，()I A r n s λ--，而矩阵A 的不同特征值的
线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵A 线性无关的特征向的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。
引理3]3[ 设A 为n 阶方阵,s λλλ,,,21 是任意两两互异的数,则
()()()()()()()n s I A r I A r I A r I A I A I A r s s 1][2121---++-+-=---λλλλλλ 。
2 矩阵可对角化的充分必要条件
2.1 利用特征向量判断矩阵可否对角化]3[
方法一：数域P 上n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
证明（1）充分性 假设n P P P ,,,21 是矩阵A 的n 个线性无关的特征向量，即有i i i P AP λ=()n ,1,2,i =,令矩阵()n P P P P ,,,21 =由特征向量
n P P P ,,,21 组成，因为n P P P ,,,21 是线性无关的，因此矩阵P 是非奇异矩
阵，其逆矩阵记为1-P ，根据逆矩阵的定义有P P 1-=()n P P P P P P 12111,,,--- ，
另一方面，由i i i P AP λ=易知,()n AP AP AP AP ,,,21 = =()n n P P P λλλ,,,2211 ,给此式左乘矩阵1-P ，则有
n I AP P =-1????????
?
?n λλλ
2
1=??
?????
?
?
?n λλλ
2
1， 即充分性得证。
（2）必要性 令矩阵A 和对角形矩阵D 相似，即存在可逆矩阵P 使得D AP P =-1,则有PD AP =,于是记P =(n P P P ,,,21 )，()T n d d d D ,,,21 =则
PD
AP =可以写成()n AP AP AP ,,,21 =(n n P d P d P
d ,,,2211 )即有i i i P d AP =()n ,1,2,i
=,这说明矩阵P 的列向量i P 是矩阵A 的特征向量，而已知P 是可逆阵，故P 的n 个列向量n P P P ,,,21 线性无关，必要性得证。
2.2 利用特征根的性质判断矩阵可否对角化]4[
方法二：设 n n P A ?=，则A 可以对角化的充分必要条件是： (1)A 的特征根都在数域P 内
(2)对A 的每个特征根λ,有()k =--A E n λ秩，其中k 是λ的重数。 条件(2)也可改述为：特征根λ的重数等于齐次线性方程组
()0=-X A E λ的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重
数)。
条件(2)还可改述为：令有()[]n A n r
i i =-∑=1-E λ秩，即属于A 的不同特
征根的线性无关的特征向量总数是n 。
条件(1)，(2)还可改述为:A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 。
证明：设r λλλ,,,21 是A 的所有不同的特征根,j
jt j αα,,1
是齐次线
性方程组()0=-X A E j λ()r j ,,2,1 =的一个基础解系，则A 的特征向量
r
r
rt r t t ααααα,,,,,,,,111111
一定线性无关。
如果n t t t r =+++ 21, 则A 有n 个线性无关的特征向量, 从而A 可以对角化。若A 可以对角化, 则属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是n 。若不然, 则由定理1可设A 的n 个线性无关的特征向量为n ηηη,,,21 ,设j η是属于特征根j λ的特征向量，则j η可由
j
t j j αα,,1
线性表出，从而可由向量组r r rt r t t ααααα,,,,,,,,111111 线性
表出，于是，rank{n ηηη,,,21 }≤rank{t
tr t r αααα,,,,,,11111
}
=n t t t r <+++ 21与n ηηη,,,21 线性无关矛盾。 2.3：利用最小多项式判断矩阵可否对角化]4[
方法三：设A 是n 阶复矩阵, 则A 与对角形矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式()λm 无重根。
证明：充分性 因())(λλn d m =无重根,由)(λi d |)(1λ+i d 知,A 的每个不变因子)(λi d 都不能有重根，从而特征矩阵A E -λ作为复数域上的λ矩阵,其初等因子全为一次式，故A 必与对角阵相似。
必要性 因A 与对角阵相似,特征矩阵A E -λ的初等因子必均为一次式,故最后一个不变因子()λn d 也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式())(λλn d m =无重根。
2.4：利用线性变换相关知识判断矩阵可否对角化]5[
方法三所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,则有:
方法四：设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，σ的矩阵可以对
角化的充分必要条件是V 可以分解为n 个在σ之下不变的一维子空间
n W W W ,,,21 的直和。
证明：必要性 若σ可以对角化，则存在V 的一组基n ααα,,,21 使得σ在这
组基下的矩阵为??
???
??
?
?
?n λλλ
2
1
， 令()()()n n L W L W L W ααα===,,,2211 ,则 n W W W V ⊕⊕⊕= 21， 事实上：
（1）V ∈?η，则n n k k k αααη+++= 2211， 又i i i W k ∈α()n ,1,2,i =, n W W W +++∈ 21η， 即n W W W V +++= 21。
（2）()n i i i W W W W W W ++++++∈?+- 1121ξ,()n ,1,2,i =，
i W ∈ξ且n i i W W W W W ++++++∈+- 1121ξ，
i ξξ=且n i i ξξξξξξ++++++=+- 1121,()n j W j j ,,2,1, =∈ξ ，
又j j W ∈ξ()n ,1,2,j =，j j j W L =ξ，()n ,1,2,j =,
i i n n i i i i L L L L L L ααααααξ=++++++=++-- 11112211,
即
i
i n n i i i i i i L L L L L L L ααααααα=+++-+++++-- 11112211又
n ααα,,,21 线性无关j L =0,()n ,1,2,j =,
即ξ=0。
充分性 若V 可分解为n 个在σ之下不变的一维子空间
n W W W ,,,21 的直和,即n W W W V +++= 21,设n W W W ,,,21 的基分别为
n ηηη,,,21 则n ηηη,,,21 可构成V 的一组基。
令()()()n n n ηλησηλησηλησ===,,,222111 ，
σ在基n ηηη,,,21 下的矩阵为 ??
???
??
?
?
?n λλλ
2
1， 即σ可以对角化。
3 矩阵可对角化的应用举例
下面给出4个例子，我们利用上述4种方法判断矩阵可否对角化
例1：判断矩阵???
?
? ??-----=163222123
A 是否可以对角化。
解 A 的特征多项式A I -λ=1
63
222
1
23
+---+--λλλ =16123+-x x =()()422--x x
解得A 的特征值是21=λ（2重），42-=λ（1重）， 对于特征根-4，求出齐次线性方程组
?
???
? ??=????? ??????? ??-------000363222127321x x x 的一个基础解系???
??-1,32,31，
对于特征根2，求出齐次线性方程组???
?
? ??=????? ??????? ??-----000363242121321x x x 的一个基础
解系()(){}1,0,1,0,1,2-，由于基础解系所含解向量的个数等于对应的特征根的重数，所以A 可以对角化。取
???????
?
??--=10101321231T ,那么????? ??-=-2000200041AT T
例2
]
5[：设21,λλ是两个不同的数，又n 阶矩阵A 满足
()()021=--n n I A I A λλ，证明
A
相似于对角阵
????
????
??
??2211λλλλ 。
证明：若01=-n I A λ，或02=-n I A λ则n I A 1λ=或n I A 2λ=结论显然成立。
故可设n n I A I A 21,λλ≠≠，此时首先证明21,λλ是A 的特证值。由于n I A 1λ≠，故有α，使得()01≠-=n I A λβ,又
()()()00211==--=-ααλλβλn n n I A I A I A ，于是β是A 的属于特征值1λ的
特征向量，同理2λ是A 的特征值。
又设t ηηη,,,21 是()01=-A X I n λ的基础解，因而是A 的属于1λ的线性无关的特征向量 ，设s ξξξ,,,21 是()02=-X I A n λ的线性无关的特征向
量，故可知s t ξξξηηη,,,,,,,2121 线性无关，设α是任一n 维向量，有
()n I 1λα-，令 2111
λλα-=
()12αλn I A -，2
121λλα-=()21αλn I A -，则有21ααα+=，
()0
11=-αλn I A ，()022=-αλn I A ，因此有∑==t
i i i k 1
1ηα，j s
j j k ηα∑==1
2，故α
可被s t ξξξηηη,,,,,,,2121 线性表示，于是s t ξξξηηη,,,,,,,2121 为基，令
()s t P ξξξηηη,,,,,,,2121 =则?????????
?
?
?=-22
1
1
1
λλλλ AP P 。 例[]63：判断矩阵A=321222361-??
?
-- ? ?-??
是否可对角化，若可以，求可逆矩阵T 使1T AT - 为对角阵．
解：设()T T A E A λ=λ-，且())(3
23100,226010121001T A E λ--λ=-λ+--λ+?? ? ?
???
()()1
000010200120024101?? ?→λ- ?? -λ-λ+-λ+??
故A 的特征值为12λ=（二重），24λ=-，其中
()()()()10000
1020,0120024101D P ???? ? ?
λ=λ-λ= ? ? ? ?-λ-λ+-λ????
，
又()2D 中的零行数=2=1λ的重数，()4D -的零行数=1=2λ的重数，故A
可对角化，由()())(
1000012,2000012000123D P ??
?
= ? ?--??
可得()()0,1,21,2,3T T
α=,β=--是A 属于2的线性无关的特征向量，由
()())(
1000014,4060012000123D P ??
?
--=- ? ?-??
可得()1,2,3T γ=-是A 属于-4的线性
无关的特征向量，令T=011122233?? ?-- ? ?-??，则1
224T AT -??
?= ? ?-??
.
例[]94：设复数域上的矩阵A=110101300??
?
- ? ?-??
，求A 的最小多项式，并判定A 是否可对角化？
解：3211
()1
133
f E A λ--λ=λ-=λ-=λ-λ+λ+λ
,由于E A λ-中右上角的二阶子式101
1
-=λ
，所以
()()121
D D λ=λ=，故
()()()321231,3d d d λ=λ=λ=λ-λ+λ+，可见()f λ即是A 的最小多项式，利
用有理多项式求有理根的方法知(1)f -=，从而
(
)()
2
()13f λ=λ+λ
-2λ+，于是A
的特征值为1
231,11λ=-λ=λ=，
由于()A m λ无重根，故A 在复数域上可对角化．
结 论
矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要的研究对象，而矩阵的对角化是矩阵中的一个重点内容。本文论述了矩阵可对角化的基本理论，在此基础上探讨了矩阵可对角化的充分必要条件，使我们更轻松的理解并掌握矩阵的对角化问题。1.数域P 上n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。2. 设A 是数域F 上一个n 阶矩阵，A 可以对角化充分必要条件是：（1）A 的特征根都在F 内。（2）对于A 的每一特征根λ，秩（λI-A ）=n-s 这里s 是λ的重数。（3）.设A 是n 阶复矩阵, 则A 与对角形矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式()λm 无重根。4. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，σ的矩阵可以对角化的充分必要条件是V 可以分解为n 个在σ之下不变的一维子空间n W W W ,,,21 的直和。当然，矩阵可对角化的充要条件还有很多，以后会再不断进行研究。
参考文献
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致谢
本人的学位论文是在我的导师龚老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到论文的定稿，龚老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。在此谨向龚老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。
在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的每个可爱的同学们和尊敬的老师们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的完成。
在论文即将完成之际，我的心情无法平静，现在的自己已经不再是刚进大学时的那个小女生了，四年的磨砺让我的肩头多了一份责任和承担，即将踏入社会的我，面临的抉择和困难也非常之多，但是不论前途多么的未知和困难，我会毫不畏惧地前行，父母、老师、同学以及所有关心和支持我的人，谢谢你们一直以来给予我的理解、鼓励和支持，你们是我不断取得进步的永恒动力。
姜曼 2013年4月