数学物理方程复习
一．三类方程及定解问题（一）方程
1.波动方程（双曲型）
U tt = a2U xx +f; 0
U(0,t)= Φ1（t）;
U(L,t)= Φ2（t）;
U(x,0)= Ψ1（x）;
U t(x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）
U t=a2U xx+f; 0
U(0,t)=Φ1（t）;
U(L,t)=Φ2（t）;
U(x,0)=Ψ1（x）.
3.稳态方程（椭圆型）
U xx +U yy =f; 0
U(0,x)= Φ1（x）;
U(b,x)= Φ2（x）;
U(y,0)= Ψ1（y）;
U t(y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤
1.建立数学模型，写出方程及定解条件
2.解方程
3.解的实定性问题（检验）
（三）写方程的定解条件
1.微元法：物理定理
2.定解条件：初始条件及边界条件
（四）解方程的方法
1.分离变量法（有界区域内）
2.行波法（针对波动方程，无界区域内）
3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）
Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换
Laplace变换：针对半空间
4.Green函数及基本解法
5.Bessel函数及Legendre函数法
例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0 T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x 在小的振动下SINa1≈TANa1=U x(x,t), SINa2≈TANa2=U x(x+△x,t), COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度) 即(T/ρ)[ U x(x+△x,t)- U x(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t) 即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx 例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。 解：设U（x,y,z,t）为粒子的浓度（单位体积内的粒子数），在空间内画出一个立方体，体积△V=△X△Y△Z,考虑在△t内△V内的粒子流动情况。 由扩散定律知： 流入X方向的流粒子数为：[q x(x,t)- q x(x+△x,t)] △t△y△z, 流入Y方向的流粒子数为: [q Y(y,t)- q Y(y+△y,t)] △t△x△z, 流入Z方向的流粒子数为: [q z(z,t)- q z(z+△z,t)] △t△x△y. 而源强产生的粒子数为：F（x,y,z,t）△t△x△y△z. 由质量守恒定律为： [q x(x,t)- q x(x+△x,t)] △t△y△z+[q Y(y,t)- q Y(y+△y,t)] △t△x△z+[q z(z,t)- q z(z+△z,t)] △t△x△y+ F(x,y,z,t）△t△x△y△z= [U（x,y,z,t+△t）- U（x,y,z,t）]△t△x△y△z. 令△t△x△y△z→0时有：（＠是求偏导） -＠q x/＠x-＠q y/＠y-＠q z/＠z+ F（x,y,z,t）= U t 由自由扩展定律得： ＠(D＠u/＠x）/＠x+＠（D＠u/＠y）/＠y+＠（D＠u/＠z）/＠z+F= U t 若扩散粒子是均匀的： U t= a2△U. 二．线性偏微分方程 （一）二阶线性偏微分方程 LU=a11U xx+2a12U xy+a22U yy+b1U x+b2U y+c+f 1.主要部分：a11U xx+2a12U xy+a22U yy 2.判别式△= a212- a11a22 △>0 双曲线方程 △=0 抛物型方程 △<0 椭圆方程 3.特征方程 a11（-dy/dx）2-2a12（-dy/dx）+a22=0 特征根：dy/dx=（a12±△1/2）/ a11 特征曲线：y=[（a12+△1/2）/ a11]x+C1 y=[（a12-△1/2）/ a11]x+C2 新旧变量关系：ζ=y+λ1x，η= y+λ2x 令Q=省略 例一：把方程x2U xx+2xyU xy-3y2U yy-2xU x+4yU y+16x4U=0改成标准形式，并判断类型。 例二：x2U xx+2xyU xy+y2U yy=0 例三：化简2aU xx+2aU xy+aU yy+2bU x+2cU y+U=0,并判断类型。a≠0 （二）线性偏微分方程的基本性质 1.线性迭加原理 设L为线性偏微分算子，即LU=f 若u1u2u3……u n是LU=f i的解，则u=∑C i U i是LU=∑C i f i的解。 若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，则u= u1+u2是LU=f的一般解。 2.齐次化原理（冲量原理） 原理1：设W是方程W tt= a2W xx W|t=η=0 W t|t=η=f（x,t;η）的解，则u=∫0t W（x,t;η）dη是方程U tt= a2U xx+ f（x,t） U|t=0=0 U t |t=0 =0的解。 原理2：W是方程W t= a2W xx W|t=η=0 W t|t=η=f（x,t;η）的解，则u=∫0t W（x,t;η）dη是U t= a2U xx+ f（x,t） U|t=0=0 的解。 3.特征值函数δ δ（x-x0）={0 x≠0∞ x=x0 ∫δ（x-x0）dx=1 性质：Φ（x）是连续函数，则∫δ（x-x0）Φ（x）=Φ（x0） 三．分离变量法 （一）齐次的泛定方程和齐次的边界条件 U tt = a2U xx ; 0 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)= Φ（x）; U t(x,0)=Ψ（x）。 第二类齐次边界条件：U x(0,t)=U x(l,t)=0; 第一类与第二类的齐次边界条件：U(0,t)=U x(l,t)=0或 U x(0,t)=U(l,t)=0。 （二）非齐次的泛函方程的齐次边界条件 U tt = a2U xx +f(x,t); 0 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)= Φ（x）; U t(x,0)=Ψ（x）。 令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且W满足 W tt = a2W xx ; 0 W(0,t)=W(l,t)=0; W(x,0)= Φ（x）; W t (x,0)=Ψ（x）.则V满足 V tt = a2V xx +f(x,t); 0 V(0,t)=V(l,t)=0;V(x,0)= 0;V t (x,0)=0. 解W用分离变量法，解V用冲量原理。 （三）齐次的泛定方程，非齐次边界条件 U tt = a2U xx ; 0 U(0,t)=U1 (t); U(l,t)= U2 (t); U(x,0)= Φ（x）; U t (x,0)=Ψ（x）. 设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得：V(0,t)= V(l,t)=0,则 W(0,t)= U1 (t),W(l,t)= U2 (t),设W(x,t)=Ax+B,则 W(0,t)=B= U1 (t), W(l,t)=Al+B= U2 (t),则（省略） （四）非齐次的泛定方程，非齐次边界条件 U tt = a2U xx +f(x,t); 0 U(0,t)=U1 (t); U(l,t)= U2 (t); U(x,0)= Φ（x）; U t (x,0)=Ψ（x）. 第一步：把非齐次边界条件化成齐次的边界条件 第二步：同(三) 例一：U tt = a2U xx ； U(0,t)=0=U(l,t); U(x,0)=3sinx; U t (x,0)=0. 0 例二：在矩形区域内0 U xx +U yy =0; 0 U(0,x)= Bsin(πx/a); U(b,x)= 0; U(y,0)=Ay(b-y); U t(y,a)=0。 解：设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得Vxx+ Vyy=0, V(0,y)= V(a,y)=0, V(x,0)= Bsin(πx/a),V(x,b)=0; 同时Wxx+ Wyy=0, W(0,y)= Ay(b-y), W(a,y)=0, W(0,x)= W(b,x)=0. 答案省略~ 例三：求解方程 U tt = a2U xx +bshx; U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= U t(0,x)=0。 例四：长为l,两端固定的弦线在单位长度的横向力 f(x,t)=g(x)sinwt的作用下做摆动，已知弦的初始位移和速度分别为Φ(x),Ψ(x)求其振动规律。 解：设位移分布函数为U(x,t)且满足： U tt = a2U xx +g(x)sinwt; 0 U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= Φ(x); U t(0,x)= Ψ(x). 解方程，设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且 V tt = a2V xx ;V(0,t)= V(l,t)=0; V(0,x)= Φ(x);V t(0,x)= Ψ(x). W满足：W tt = a2W xx +g(x)sinwt; 0 W(0,t)= W(l,t)=0; W(0,x)= 0;W t(0,x)=0. 由冲量原理有： Z tt = a2Z xx; 0 Z(0,t;τ)= Z(l,t;τ)=0; Z(0,t;τ)= 0; Z(l,t;τ)= g(x)sinwt. W(x,t)=∫t0 Z(x,t;τ)dτ 答案省略~ 例五：求解矩形域上的第二类边界值问题。 U xx +U yy =0； 0 Uy(0,x)= Φ1（x）; Uy(b,x)= Φ2（x）; Ux(y,0)= Ψ1（y）; Ux(y,a)=Ψ2（y）。 四．行波法（无界区域内） （一）公式 1.一维波动方程 U tt = a2U xx；-∞ U(0,x) =Φ（x）； U t(0,x)= Ψ（x）. 公式：U(t,x)=1/2(Φ(x+at)+Φ(x-at))+1/2a∫x+at x-atΨ(ξ)dξ2.三维波动方程 U tt = a2△U；-∞ U(0,M) =Φ（M）； U t(0,M)= Ψ（M）. 公式：U=1/4πa2[﹫[∫∫Φ（M’）/t]/﹫t d s+∫∫Ψ（M’）/t d s] 3.二维波动方程 U tt = a2△U；-∞ U(0,M) =Φ（M）； U t(0,M)= Ψ（M）。 U=(省略) （二）基本类型 1.使用奇延拓将问题转化到整个空间内 U tt = a2U xx；0 U(0,t)=0;(端点固定) U(0,x) =Φ（x）； U t(0,x)= Ψ（x） 延拓：x≥0时，Φ(x)=Φ(x),x<0时，Φ(x)=-Φ(-x)； x≥0时，Ψ(x)= Ψ(x),x<0时，Ψ(x)=-Ψ(-x)。 2.使用偶延拓将问题转化到整个空间内 U tt = a2U xx；0 U x(0,t)=0;(端点自由) U(0,x) =Φ（x）； U t(0,x)= Ψ（x） 延拓：x≥0时，Φ(x)=Φ(x),x<0时，Φ(x)=Φ(-x)； x≥0时，Ψ(x)= Ψ(x),x<0时，Ψ(x)= Ψ(-x)。 3.特殊形式 U tt = a2U xx；0 U(0,t)=U(t); U(0,x) =Φ（x）； U t(0,x)= Ψ（x）. 可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且V(0,t)=0,则W(0,t)=U(t),将U(x,t)= U(t)+V(x,t)代入，转化为新方程。（方法见4.） 4.非齐次波动方程 U tt = a2U xx+f(x,t);-∞ U(0,x) =Φ（x）； U t(0,x)= Ψ（x）. 可令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且满足： V tt = a2V xx +f(x,t);-∞ V(0,x) =O; W(0,x) =Φ（x）; V t(0,x)= 0. W t(0,x)= Ψ（x）. 其中V=∫0t Z(x,t;η)dη.Z满足： Z tt = a2Z xx; Z(0,x) =O; Z t(0,x)=f(x,t). 例一：求解方程 U tt - a2U xx=x+at;-∞ U(0,x) =x； U t(0,x)= sinx. 解:由迭加原理解此定解问题，可由达朗贝尔公式和振动的解迭加。例二：求解有阻尼波动方程的初值问题。 U tt - a2U xx+2εU t+εU2=0;-∞ U(0,x) =Φ（x）； U t(0,x)= Ψ（x）. 解：设U(x,t)=e-βt V(x,t)(β>0)。代入原等式有： U t= e-βt V t-βt,U tt=e-βt(V tt-2βV t+β2V), U xx= V xx e-βt,再代入原方程：V tt- a2V xx+2(ε-β)V t+(ε2-2εβ+β2)V=0; 要使V t，V的系数为0，则β=ε，则有： V tt=a2V xx；V(0,x) =Φ（x）；V t(0,x)= Ψ（x）+εΦ（x）. 则由达朗贝尔公式即可得出结果。 例三：求解下列初值问题： U tt= a2△U；U(0,x)=yz; U t(0,x)=xz+x.-∞ 解：令Φ（M）=yz；Ψ（M）= xz+x.经过球坐标变换后有： Φ（M‘）=y‘z‘=(y+rsinθsinφ)(z+rcosθ); Ψ（M‘）=x‘z‘+x‘=(x+rsinθcosφ)(z+rcosθ)+( x+rsinθcosφ); 因为at=r;则： ∫∫Φ（M‘）/at ds=∫02π∫0πΦ（M‘）rsinθdθdr;① ∫∫Ψ（M‘）/at ds=∫02π∫0πΨ（M‘）rsinθdθdφ;② 又因为：∫02πsinθdθ=∫02πcosθdθ=0; ∫0πcosθdθ=∫0πsinθcosθdθ=0; 所以有：①=4πayz; ②=4πatxz. 因此U(x,t)=(tx+y)z. 例四：求解下列问题： U tt= a2（U xx+U yy）;-∞ U(0,x,y) =x2(x+y)； U t(0,x,y)=0. 解：由二维的波动方程即可求出。 五.积分变换法 （一）Fourier变换法 1.概念 若f(x)定义在（-∞，+∞），F[f(x)]=f(λ)=∫-∞+∞f(x)e-iλx dx; 逆变换：f(x)=1/2π∫-∞+∞f(λ) e iλx dλ。 2.基本性质： 线性，卷积，乘积，微分，象导数，积分，延迟，位移…… 4.利用Fourier变换解微分方程 （二）Laplace变换法 1.概念 若f(x)定义在[0，+∞），L[f(x)]=f(p)=∫0+∞f(x)e-px dx; 逆变换：f(x)=1/2πi∫ζ-i∞ζ+i∞f(p) e px dp L-1[f(x)]=∑Res[f(t) e st,sk] 2.存在条件 3.基本性质 4.利用Laplace变换解微分方程 例一：求函数f(x)=1-x2 |x|<1且f(x)=0 |x|>0的Fourier变换。 例二：设a是正数： ①证明e-a|x|=∫-∞+∞1/π*a/(a2+ζ2)*e iζx dζ ②由①结果推导c(λ)使得：a/(a2+x2)=∫-∞+∞c(λ) e iλx dλ。证明：设e-a|x|=1/2π∫-∞+∞F[e-a|x|] e iλx dλ则： F[e-a|x|]=∫-∞+∞e-a|x|e-iλx dx =∫-∞+∞e-a|x|cosλxdx-i∫-∞+∞e-a|x|sinλxdx=2∫0+∞e-a|x|cosλxdx =2Re{∫0+∞e-(a+iλ)x dx}=2 Re{1/a+iλ}=2a/ (a2+λ2),即证。 ②由c(λ)满足a/(a2+x2)=∫-∞+∞c(λ) e iλx dλ， 有c(λ)= 1/2πF[a/(a2+x2)]= 1/2π∫-∞+∞a/(a2+x2) e-iλx dx =1/2 e-a|λ|.即证。 例三：求解上半平面Dirichlet问题： △U=0; U(x,0)=f(x); Lim x->0,y->0U=0. 解：作Fourier变换： F[U]=∫-∞+∞U(x,y)e-iλx dx;F[f(x)]=f(λ),对原方程两边作变换：U’yy-λ2 U’=0; U’(λ,0)= f(λ);lim y->∞ U’=0. 解方程得：U’（λ，y）=A(λ)eλy +B(λ)e-λy;由条件可知： 当λ>0，A(λ)=0，当λ<0, B(λ)=0, 因此有U’（λ，y）= c(λ)e-|λ|y,代入可知c(λ)= f(λ)， 因此U’（λ，y）= f(λ)e-|λ|y，再做逆变换： U（x,y）=F-1[f(λ)e-|λ|y]=4/π∫-∞+∞f(ζ)/(x-ζ) 2+y 2 dζ. 例四．设L[f(x)]=F[p],证像函数的微分性质的微分性质 L[t n f(x)]=(-1)n d n F[p]/dp n. 证：由F[p]=∫-∞+∞f(t) e-pt dt=dF[p]/dp= {∫0+∞f(t) e-pt dt }/dp=L[-tf(t)]. 例五．求解一维无界空间的运输方程，设初始浓度或温度已知，即U t -a2U xx=f(x,t);-∞ U(0,x) =Φ（x）； 例六．求解一端固定的半无界弦线的自由振动。 U tt - a2U xx=0;0 U(a,t)=0;② U(0,x) =Φ（x）；③ U t(0,x)= Ψ（x）.④ 解：对方程①~④做Fourier的正弦变换： F S[U(s,t)]=∫0+∞U(x,t)sinλxdx=U’(λ,x); F S[Φ（x）]=∫0+∞Φ（x）sinλxdx=Φ’（λ）; F S[Ψ（x）]=∫0+∞Ψ（x）sinλxdx=Ψ’（x）. 则方程为： d2 U’/dt2+a2λ2 U’=0; ⑤ U’(λ,0)= Φ’（λ）;⑥ U’t(λ,0)= Ψ’（x）.⑦ 解⑤~⑦得： U’(λ,x)= Φ’（λ）cosλat+1/λaΨ’（x）sinλat. 再做逆变换：U(x,t)= F -1S[U’(λ,x)] =F -1S[Φ’（λ）cosλat]+ F -1S[1/λaΨ’（x）sinλat]. 答案略。 例七．求下列函数的Laplace变换。 (1)e at (2)sinkt (3)sin(t-2π/3) (4)coskt 例八．求零阶Bessel方程: x2y’’+xy’+x2y=0,y(0)=1,y’(0)=0. 解：作Laplace变换： L[y]=∫0+∞y(x)e-px dx=y’; L[xy]=-dy’/dp; L[t n f(t)]=(-1)n d n F(p)/dp n; L[y’(0)]=py’-y(0)=py’-1; L[x2y’’]=-[p n dy’/dp+2py’-1]. 代入即有：y(p)=1/p(1+1/p2)-1/2. 再做逆变换有：y(x)=c∑(-1)n/22n(n!)2*x2n. 六．Green函数及基本解 一．Green公式 1．基本公式 （1）Gauss公式 ∫∫∫Ω▽Adv=∮∮Ads=∮∮Ands (2) Green公式 令A=U▽V U,V∈C2(Ω)∩（Ω）…… (3)Green第二公式 （4）Green第三公式 2．基本解 基本解的概念（保证严格单调，有任意解） 1).椭圆形方程 a.一维△U=δ（M-M0）的解，成为基本解。 b.三维基本解 V=1/4π*1/r c.二维基本解V=1/2π*ln1/r 2).双曲线方程 U tt = a2△U；-∞ U(0,M) =0； U t(0,M)= δ（M）. 三维：V(M,t)=1/4πarδ(r-at); 二维：V(M,t)=1/2πarδ(r-at); 一维：V(M,t)=1/2Πh(a2t2-x2)=1/2a |x|≤at;=0 |x|>at. 性质： U tt = LU+f(M,t)；-∞ U(0,M) =Φ（M）； U t(0,M)= Ψ（M）. 若f, Φ, Ψ是连续函数，则U(M,t)=…… 3).热传导方程 U t = LU；-∞ U(0,M) =δ（M）；的解为基本解。 三维基本解： 二维基本解 一维基本解 3．特殊区域内的Green函数的求法，使用Green函数表达椭圆型方程的解 （1）Green函数的概念及性质 定义：满足△G=-δ（M-M0），G|aΩ=0称为格林函数 性质：a.Green函数与所给区域Ω和边界有关 b. Green函数界有对称性 （2）特殊区域内的Green函数 a.圆内的Green函数 b.球内的Green函数 c.半空间上的Green函数 d.半平面内的Green函数 e.第一象限的Green函数 例一．求解1/4平面的Dirichlet问题 △U=0；x，y>0. U(0,y) =f(y)； U(0,x)= 0。 解：二维Dirichlet问题利用二维Dirichlet问题的积分公式。 例二．求解下列边界问题 △U=f(x,y)；x∈R，y>0. U(0,x)= Φ（x）。 解：利用二维Dirichlet问题积分公式代入有： U（x,y）= ∫0+∞∫-∞+∞f(x0,y0)G(x,y,x0,y0)dx0dy0-∫-∞+∞Φ(x0)＠G/＠n|y0dx0 其中G=1/2πln1/r-1/2πln1/r1 ＠G/＠n|y0=- y0/π*(1/(x- x0)2+ y02) 代入有： U(x,y)=(答案略) 七．Bessel函数 （一）Bessel方程及方程的解 （二）Bessel函数及性质 1. Bessel函数及表现形式 2. Bessel函数的母函数 3. Bessel函数的递推关系 （三）Bessel函数的正交性及广义的傅氏级数 1. Bessel函数的正交性 2. Bessel函数的模 3. Bessel函数的傅氏级数 例一．计算I=∫x4J1(x)dx. 法一.由公式d[x m J m(x)]/dx= x m J m-1(x)有： I=∫x2（x2J1(x)）dx=∫x2[dx2J2(x)/dx]dx = x4J2(x)-2∫x3J2(x)dx = x4J2(x)-2∫[dx3J3(x)/dx]dx = x4J2(x)- 2x3J3(x)+C 法二.由d[x-m J m(x)]/dx= -x-m J m+1(x),当m=0时，J0’(x)= -J1(x) I=-∫x4 J0’(x)dx=-x4J0(x)+4∫x3J0(x)dx =-x4J0(x)+4∫x2(xJ0(x))dx =-x4J0(x)+4x3J1(x)-8∫x2J1(x)dx =-x4J0(x)+4x3J1(x)-8x2J2(x)dx+C 例二．计算I=∫0+∞e-ax J0(bx)dx,a>0,a,b∈R. 解：由J n(x)=1/2π∫π-πe i(xsinθ-nθ)dθ,则 I=∫0+∞e-ax J0(bx)dx =∫0+∞e-ax1/2π∫π-πe ibxsinθdθdx =1/2π∫π-πdθ∫0+∞e-ax+ibxsinθdx =1/2π∫π-π1/(a-bisinθ) dθ 令z=e iθ,则dθ=1/izdz*sinθ=(z2-1)/2iz （20141008）第二章 傅里叶级数 1. n a 和n b 的推导 如果以2π为周期的函数()f x 可以展开成三角级数，即 01 ()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑ （1） 成立。在等式两边同时对x 积分有 0001()d d (cos sin )d 2022n n n a a f x x x a nx b nx x a ππππππππ∞-- -==++=+=∑???g 因此 01()d a f x x πππ- =? 将等式（1）左右两边同时乘以*cos ()kx k N ∈然后对x 积分有 01 ()cos d cos d (cos sin )cos d 2n n n a f x kx x kx x a nx b nx kx x ππππππ∞---==++∑??? 利用三角函数的正交性，等式右边的第二项积分而言，当n k ≠时，积分为0，而当n k =时，积分为k a π，所以 ()cos d 0k k f x kx x a a ππππ-=+=? 因此 *1()cos d , k a f x kx x k N πππ- =∈? 将等式（1）左右两边同时乘以*sin ()kx k N ∈然后对x 积分后同理可得 *1()sin d , k b f x kx x k N πππ-= ∈? 合并上述结果，可以得到 1 ()cos d , (=0,1,2,3,)n a f x nx x n πππ -=?L 1()sin d , (1,2,3,)n b f x nx x n π ππ-==?L n a 和n b 即为()f x 的傅里叶系数，等式（1）的右边即为()f x 的傅里叶级数。记为： 01 ()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 此处之所以没有使用“=”，是由于尚不清楚()f x 的傅里叶级数是否以()f x 为和函数，且其是否收敛也未可知。 对于()f x 的傅里叶级数而言，如果()f x 是奇函数，显然有 02 0, ()sin d n n a b f x nx x π π==? 由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下正弦项，因此也成为正弦级数； 如果()f x 是偶函数，同理有 02()cos d , 0n n a f x nx x b π π==? 且由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下余弦项，因此也成为余弦级数。 2. 关于傅里叶级数的一些重要结论 以2π为周期，定义于[,]ππ-上的函数()f x x =的傅里叶展开式为 2 141cos(21), (,)2(21)n n x x n π π∞ =--∈-∞+∞-∑ 证明（应该不会考）如下： 数学物理方程第三版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为 数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??- 23 222)( 22 52222 3 2222 2 ) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - 高等数学物理方程 一、课程编码：1800005 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理 三、先修课程：常微分方程、复变函数、数学物理方法 四、教学目标 通过本课程的学习使研究生 1. 了解数学物理方程的物理基础； 2. 了解数学物理方程的基本内容和最新发展概况； 3. 了解数学物理的基本方法和一些必要的技巧； 4. 掌握求解最重要的边值或边值初值问题的关键步骤和方法以及对解的检验。 五、教学方式 课堂讲授。 六、主要内容及学时分配 1. 偏微分方程的分类 10 学时1.1 一般概念 1.2 柯西问题、柯西-柯娃列夫斯卡娅定理 1.3 柯西问题的推广、特征的概念（*） 1.4 含一个未知函数的二阶方程在一点的标准型及其分类 1.5 两个自变量的二阶偏微分方程在一点的邻域内的标准型 2. 双曲型方程 20 学时2.1 （一维）波动方程的导出（物理起源）及定解条件 2.2 其他双曲型方程（*） 2.3 （一维）波动方程的柯西问题及其传播波法 2.4 （一维）波动方程的混合问题及其分离变量法 2.5 高维波动方程的柯西问题 3. 椭圆型方程 21 学时3.1 拉普拉斯方程（包括物理起源、定解条件、曲线坐标系下的拉氏方程等） 3.2 调和函数的一般性质（包括格林公式、极值原理、解的唯一性与稳定性等） 3.3 最简单区域的边界问题的分离变量法 3.4 源函数 3.5 势论与积分方程 3.6 双调和方程（*） 4. 抛物型方程 8 学时4.1 热传导方程的物理起源 4.2 定解问题的提法 4.3 热传导方程的求解 4.4 极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性 5. 特殊函数与正交多项式 5 学时5.1 特殊函数的方程及边界问题的提法 5.2 柱函数（*） 书本个人总结： 由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。 而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。 而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法 第二章： 本章主要介绍了分离变量法，介绍了有界弦的自由振动，有限长杆上的热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解，还介绍了非齐次方程的解法，非齐次边界条件的处理等等。 A ． 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤，取有界弦的自由振动的方程求解作为例子，定解问题为： 第一步：分离变量 目标：分离变量形式的非零解)()(),(t T x X t x u = 结果：函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的 第二步：求解本征值问题 利用0)()(''=+x X x X λ和边界条件0)0(=X 和0)(=l X 求出本征值和本函数： 本征值： 本征函数： 第三步：求特解，并叠加出一般解 ? ??????====<<>??=??) ()0,(),()0,(,0),(),0(0 ,0 ,22222x x u x x u t L u t u L x t x u a t u t ψ?0 )(2 )(''=+t T a t T λ ,3,2,1 2)(==n l n n πλx l n πsin (x)X n =x l n at l n D at l n C t x u n n n πππsin )cos sin (),(1∑∞ =+= 数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020 浙江理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：221 1 (,,, ,,,)0n u u u F x u x x x ???=??? 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=??=? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关系式(,)x y C φ=是常微分方程：22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= （2）的一般积分。 主 《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明 一、课程的作用与任务 本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写 《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。 二、课程的目的与教学要求 1 了解下列基本概念: 1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。 2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问 题的叠加原理。 3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。 2 掌握下列基本解法 1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、 圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题; 2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理 意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用; 3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问 题; 4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用; 5)掌握二阶线性偏微分方程的分类 二、课程的教学要求层次 教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。 第二部分学时、教材与教学安排一、学时分配 本课程共3学分，讲授54学时(包括习题课)学时分配如下: 项目内容学时电视学时 IP课学时 第一章方程的导出和定解条件 6 第二章波动方程 14 第三章热传导方程 14 第四章位势方程 14 第五章二阶线性偏微分方程的分类 6 合计 54 二、教学安排 科普： 《定性与半定量物理学》赵凯华 《边缘奇迹：相变和临界现象》于渌 《QED: A Strange Theory about Light and Matter》Feynman 《大宇之形》丘成桐 《Gauge Fields, Knots and Gravity》Baez 《趣味力学》别莱利曼 《趣味刚体力学》刘延柱（小书，挺有意思） 考研习题集用超星图书里的那本清华大学编写的普通物理学考研辅导教材(大约这个名字) 数学分析： 书目： 《数学分析教程》常庚哲 《数学分析新讲》张筑生 《数学分析》卓里奇 《数学分析八讲》辛钦 《数学分析讲义》陈天权 《数学分析习题课讲义》谢惠民等 《数学分析习题集》北大版？ 《特殊函数概论》王竹溪 线性代数Linear Algebra 内容：行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等。 书目： 《高等代数简明教程》蓝以中 《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang 《Linear Algebra and Its Applications》Peter D. Lax 《Linear Algebra and Its Applications》David C. Lay 力学Mechanics 先修课程：高等数学 内容：质点运动学、质点动力学、动量定理和动量守恒定律、功和能及碰撞问题、角动量、刚体力学、固体的弹性、振动、波动和声、流体力学、相对论简介。 书目： 《力学》赵凯华 《力学》舒幼生 《经典力学》朗道 《An Introduction To Mechanics》Daniel Kleppner、Robert Kolenkow 狭义相对论：《狭义相对论》刘辽 《The Principle of Relativity》Einstein 广义相对论：《Einstein Gravity in a Nutshell》Zee 《Spacetime and Geometry》Carroll 2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc 第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此 第一章 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与 +x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两 端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其 相 对 伸 长 等 于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克 定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于 是 得 运 动 方 程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=) (x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3) 端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条 件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件 为 .0),(,0),0(==t l u t u (2)若l x =为自由端，则杆在 l x =的张力 x u x E t l T ??=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若 0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣ 00 ==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某 点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支 承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件 )( u x u σ+??∣ ) (t f l x == 其中 E k = σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件 )( u x u σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u E ??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x u σ-??∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2 222)1(])1[(t u h x x u h x x E ??-=??-??ρ 其中h 为圆锥的高(如图1) 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为： 《数学物理方程》教学大纲 （Equations of Mathematical Physics ） 一. 课程编号：040520 二. 课程类型：限选课 学时/学分：40/2.5 适用专业：信息与计算科学专业 先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数 三. 课程的性质与任务： 本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。 四、教学主要内容及学时分配 （一）典型方程和定解条件的推导（7学时） 一些典型方程的形式, 定解条件的推导。偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。 （二）分离变量法（7学时） 三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法. （三）积分变换法（8学时） Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。 （四）行波法（7学时） 一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法 （五）格林函数（6学时） 微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。 （六）变分法（5学时） 变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题 五、教学基本要求 通过教师的教学，使学生达到下列要求 （一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。掌握偏微分方程的基本概念，掌握关于两个变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简，掌握迭加原理与齐次化原理。 （二）掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤，理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法, 会求解非齐次方程的定解问题,掌握非齐次边界条件的处理方法。 （三）掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。了解依赖区间、决定区域、特征线、影响区域和决定区域的概念。掌握三维波动方程的初值问题的径向对称解，了解高维波动方程初值问题的球面平均法和降维法。 （四）掌握Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，会Fourier变换和Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。 （五）掌握Green第一公式和第二公式。掌握调和函数的Green公式和性质，理解格林函数的基本性质。会求半空间和球域上的格林函数。 （六）掌握变分法的基本概念，会求解几类典型的变分问题的解。 六、课程内容的重点和深广度要求 教学基本要求中的数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧是本课程的重点，此外，学生对下列各项也应给予注意： 1.线性偏微分方程的分类与化简。 2.固有值问题，关于固有值与固有函数讨论。 3.方程与边界条件同时齐次化的简易方法。 4. Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质。 5. 格林函数的定义和基本性质 6. 泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题。 第五讲补充常微分方程求解相关知识。 第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==>< 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆 在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 数学物理方程第一章答案 第一章 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 ),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与 +x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两 端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其 相 对 伸 长 等 于 ) ,()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克 定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于 是 得 运 动 方 程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=) (x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3) 端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条 件为 .0),(,0),0(==t l u t u (2)若l x =为自由端，则杆在 l x =的张力 x u x E t l T ??=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若 0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣ 00 ==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某 点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支 承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件 )( u x u σ+??∣ ) (t f l x == 其中 E k = σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件 )( u x u σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u E ??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x u σ-??∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 §7.1 数学物理方程的导出 1、拿图7-7的B 段弦作为代表，推导弦振动方程． 解答：如图 图7-7 B 段弦的动力学方程：112222112222 c o s c o s 0s in s in ()()T T d u d u T T d m d s d t d t ααααρ-=???-==?? ， 考虑微小振动，有10α≈、20α≈、1c o s 1α≈、2 c o s 1α ≈、11s in ta n x u x αα?≈=-?、22s in ta n x d x u x αα+?≈=- ?， ∴12T T T ==，2 2 x x d x u u u d u T T T d x d s x x x x d t ρ+??????-+== ???????， 又d s d d d x = ==≈，得2 2 2 2 0d u u T d t x ρ ?-=?， 若令2 T a ρ = ，则 2 2 2 2 20d u u a d t x ?-=?． 3、弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受阻力t F R u =-（比例常数R 叫作阻力系数），试推导弦在这阻力介质中的振动方程． 解答：如图，对于纵振动弦，阻力F 作用在纵向， B 段弦的动力学方程：221122221122 c o s c o s 0s in s in ()()T T d u d u T T F d m d s d t d t ααααρ-=???-+==?? ，考虑微小振动，有10α≈、 20α≈、1c o s 1α≈、2c o s 1α≈、11s in ta n x u x αα?≈=?、22s in ta n x d x u x αα+?≈= ?， 数学物理方程的导出过程 主要介绍数学物理方程的建立方法．具体通过五种物理模型详细介绍数学物理方程的建立方法．其中弦的横振动、杆的纵振动以及传输线方程的建立是需要掌握的基本内容．为了描述定解问题的系统完整性，我们在对波动方程的定解条件也进行了讨论． (一)弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动） 弦的横振动问题是数理方 程中的典型问题．它模型简单， 且具有代表性． 演奏弦乐用（二胡，提琴） 的人用弓在弦上来回拉动，弓所 接触的是弦的很小的一段，似乎只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦，弦的各处都振动起来。振动如何传播呢？ 1. 物理模型 实际问题：设有一根细长而柔软的弦，紧绷于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振幅极为微小的横振动（以某种方式激发，在同一个平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波的传播方向（弦的长度方向）垂直），求弦上各点的运动规律。 2.分析：弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦弯成任意的形状，它都保持静止。绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张力沿线的切线方向。由于张力的作用，一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自己的邻段…，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动传播现象叫作波。我们考察一根长为且两端固定、水平拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确： (1) 要研究的物理量是什么？ 对于本模型是讨论弦的运动规律，并研究弦沿垂直方向的位移． （2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？ 本模型所研究的物理量遵循牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程） 注意： 第二章 热传导方程 § 1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热 交换，服从于规律 dQ k 1(u u 1 )dsdt 又假设杆的密度为 ，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为 x 轴，此时杆为温度 u u( x,t) 。记杆的截面面积 l 2 为 S 。 t 到 t t 内流入截面坐标为 x 到 x x 一小段细杆的热量为 4 由假设，在任意时刻 dQ u s t k u 2u s x t k x s t k 1 x x x x x 2 x t 到 t t 在截面为 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 x 到 x x 一小段中产生的热量为 4k 1 dQ 2 k 1 u u l x t u u s x t 1 l 1 又在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 这一小段内由于温度变化所需的热量为 dQ c u x,t t u x,t s x c u s x t 由热量守恒原理得： 3 t t c u s x t k 2u s x t 4k 1 u u s x t t t x 2 x l 1 消去 s x t ，再令 x 0 ， t 2 u 0 得精确的关系： c u k 4k 1 u u t x 2 l 1 u k 2u 4k a 2 2 u 4k 或 t c x 2 c 1 u u 1 x 2 c 1 u u 1 l l 其中 a 2 k c 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面 s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t 1 到 t 2 流入此闭曲面的溶 质，由 dM D u dsdt ，其中 D 为扩散系数，得 n t 2 D u dsdt M t 1 s n t 2 t 2 C u dvdt M 1 C u x, y, z, t 2 u x, y, z, t 1 dxdydz C u dtdv t 1 t t 1 t 两者应该相等，由奥、高公式得： t 2 u u u t 2 C u dvdt M D D D dvdt M 1 t 1 x x y y z z t 1 t 其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。一般情形 C 1。由于 , t 1 , t 2 的任意性即得方程： C u D u D u z D u t x x y y z 3. 砼 ( 混凝土 ) 内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以 Q t 表示它在单位体积中所储的热量， Q 0 为初始时刻所储的热量，则 dQ Q ，其中 为常数。又假设砼的比热为 c ，密度为 ，热传导系数为 k ，求它在浇后温 dt 度 u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由 dQ Q 及 Q t 0 Q 0 得 Q t Q 0e t 。由假设，放 dt 热速度为 Q 0 e t 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书 71 页，式得 u a 2 2 u 2 u 2 u Q e t a 2k t x 2 y 2 z 2 c c 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u 0 的介质中，试证 : 在常电流作用下导线的温度满 足微分方程 u k 2 u k 1P u 0 0.24i 2 r t c x c u c 2 其中 i 及 r 分别表示导体的电流强度及电阻系数， 表示横截面的周长， 表示横截面面积， 而 k 表 示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原 71 页及式知方程取形式为 u a 2 2u f x,t k t x 2 其中 a 2 , f x, t F x, t / c , F x,t 为单位体积单位时间所产生的热量。 c 由常电流 i 所产生的 F 1 x, t 为 0.24i 2 r / 2 。因为单位长度的电阻为 r ，因此电流 i 作功为 i 2 r 浓度由 u 变到 u 2 所需之溶质为 乘上功热当量得单位长度产生的热量为 0.24i 2 r / 其中为功热当量。数学物理方程第二章 傅里叶级数
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