第21章量子光学基础
一、热辐射
热辐射的实验规律如右图能谱曲线所示。
1、基尔霍夫定律：
（1）单色辐出度
从物体表面单位面积上辐射出来的
波长从到范围内的辐射功率与
波长间隔的比值：。
（2）辐出度：
（3）黑体：凡照射到某体上的辐射能量都被该物体全部吸收的物体称为黑体。它的吸收系数。它的反射系数。黑体的吸收本领最大，它的辐射本领也最大。（4）基尔霍夫定律：
任何物体的单色辐出度与单色吸收比都等于同一温度下绝对黑体的单色辐出度，与物体的性质无关。即：
2、斯忒藩-玻尔兹曼定律
在一定的温度T，黑体的辐出度：
式中称为斯忒藩恒量，
3、维恩位移定律
式中为最大单色辐出度的波长，也叫峰值波长，恒量。
4、普朗克公式
（1）普朗克量子假设
物体辐射或吸收的能量是不连续的。存在着能量最小单元，称为能量子。物体辐射和吸收的能量只能是这个最小单元的整数倍。
（2）普朗克公式：
式中c是光速，k是玻耳兹曼常数，为普朗克常数。
二、光电效应
1、光电效应的实验规律
（1）饱和电流与入射光强成正比。
（2）光电效应存在一定的截止频率。
（3）光电子的初动能（遏止电压）与入射光频率成线性关系，而与入射光强度无关。（4）光电效应的弛豫时间非常短。
2、爱因斯坦光子假设
（质量，光是以光速c运动的粒子流。这些粒子称为光子。每一光子的能量。
动量）光的能量密度S（光强）决定于单位时间内通过单位面积的光子数N，频率为的单色光的能流密度。
3、爱因斯坦方程
式中A为逸出功：为逸出电位差。
当初动能为零时：为截止频率，称为红限波长。
初动能和遏止电压的关系：
利用光子假设和爱因斯坦方程能够解释光电效应实验规律。
三、康普顿效应
1、x射线散射实验规律
（1）散射光中除了和入射波长相同的谱线外，还有
的谱线。
（2）波长的改变量随散射角的增加而增加。
满足：
式中：（称为康普顿波长）
（3）对不同元素的散射物质，在同一散射角下，波长改变量都相同，但波长为的谱线强度随散射物质的原子序数增加而增加，波长为的谱线强度随原子序数的增加而减少。
2、光子理论对康普顿效应的解释
光子和自由电子相互作用时，遵守能量守恒与动量守恒定律：
可证明：
即康普顿波长：
四、玻尔氢原子理论
1、氢原子光谱的规律性，氢原子光谱的波数：
取，n和k都是整正数。
式中R叫里德伯常数。
2、玻尔氢原子的基本假设：
（1）稳定态的假设：
原子系统只能有一系列不连续的能量状态，在这些状态中，电子虽然作加速运动，但不辐射电磁能量。这些状态称为系统的稳定状态。
（2）跃迁假设：
当原子从较高的态变为较低的态时，原子发射一个光子，这单色光子的频率：
（3）轨道角动量量子化假设：
电子绕原子核作圆周运动时，电子的动量矩取时原子的状态是稳定的。
3、玻尔氢原子理论：
玻尔以卢瑟福原子模型为基础，应用牛顿定律、库仑定律经典理论加上量子假设，
使氢原子光谱得到初步解释。基本结论如下：
（1）氢原子在量子数为n时，电子运动的轨道半径
当n=1时，称为玻尔半径（也常用符号表示）。
（2）量子数为n的氢原子电子运动速度：
当n=1时，即在玻尔半径轨道上运动的电子速度。（3）量子数为n时的氢原子的能量：
（利用关系：
）
有：
解得：
当n=1时称基态能量
（4）解释氢光谱的规律性
即
得：
式中恰好等于里德伯常数R。
4、氢原子的能级图：
在能级图中纵坐标表示能量E或波数，横线表示能级，氢原子从一个能级跃迁到另一个能级时，能级图能简单有效地表示出发射光子的能量光频或波长等。（参阅例21-6图）
5、对应原理：
量子理论在量子数很大的情况下，得到与经典理论相一致的结果，这叫作对应原理。这一原理具有普遍意义。
五、光放大
1、发射和吸收：
自发发射：无序性辐射；
受激发射：有序性辐射。
2、粒子数反转：高能态上原子数多于低能态原子数；
3、光放大：雪崩式的受激发射。
4、激光：具有良好的单色性、方向性、相干性，由受激辐射放大的强光束。
【例21-1】真空中有四块完全相同且彼此靠近的大金属板平行放置，表面涂黑（可看作绝对黑体）。最外侧两块板的热力学温度各维持和，且，当到达热平衡时，求第二和第三块板的热力学温度和。
【解】设各块金属板的面积为S，当第二块板到达热平衡时，满足它左右两面吸收的辐射热和它辐射出去的热量到达平衡：
即：（1）
同理对第三块金属板到热平衡时有
（2）联列（1）（2）式，可求得
【例21-2】有一空腔辐射体，在壁上钻有直径为0.05mm的小圆孔，腔内温度为7500K。试求：
（1）对应于最大单色辐出度的辐射波长；
（2）在的微小波长范围内，单位时间从小孔辐射出来的能量。
【解】（1）根据维恩位移定律
（2）根据普朗克公式
单位时间从小孔辐射出来的波长范围内的能量为：
【例21-3】真空中一孤立的原不带电的金属球，半径为R，该金属球材料的红限波长为。若以波长为的光照射该金属球，问此金属球至多能发射多少光电子
【解】因为采用的光波波长（红限波长），所以能使该金属球产生光电效应。当金属球发射光电子后，金属球就带正电荷，电位就升高，升高到遏止电压时就不再发射光电子了，由爱因斯坦方程
得：
（1）
又金属球的电
势
（2）
当（1）式等于（2）式时：
解得金属球能发射的最多电子数：
【例21-4】在康普顿散射中，入射光子波长为，测出电子的反冲速度为，求散射光子的波长和散射方向。
【解】反冲电子所获得的动能
由康普顿散射能量守恒关系
可得：
再根据康普顿公式
得：
=
得散射光子的方向
【例21-5】试比较光电效应与康普顿效应之间的异同。
【答】光电效应与康普顿效应它们的物理本质是相同的，都不是整个光束与散射物体之间的相互关系，而是个别光子与散射物质内的个别电子之间的相互作用，都不能用光的波动说来解释，都必须用爱因斯坦光子理论作解释。
光电效应与康普顿效应的主要区别是：
（1）入射光的波长数量级不同，也就是入射光光子能量的数量级不同。入射光波长为几百埃到几千埃的光子它的能量为几个电子伏特。与电子束缚能同数量级，表现为光电效应。入射光波长小于几埃的光和光子，它的能量为几百到几千电子伏特，远大于电子束缚能，此时表现为康普顿效应。
（2）光子与电子之间的相互作用表现形式不同。
光电效应中电子吸收光子全部的能量，克服逸出功获得电子的动能，表现为能量守恒。
康普顿效应中，光子与电子碰撞，电子吸收光子的能量，这部分的能量已远大于电子的束缚能。所以可把物质中的外层电子看作为自由电子，同时电子再发射一个散射光子带走一部分能量。所以在康普顿效应中既表现能量守恒，又表现了动量守恒。
【例21-6】氢原子的基态能量。在气体放电管中受到的电子轰击，使氢原子激发，问此放电管中的氢原子从激发态向低能态跃迁时一共能产生几条谱线其中波长最长的光谱线、最短的光谱线及可见光光谱线的波长各为多少
【解】基态氢原子受到的电子数轰击后，氢原子能具有的最高能量：
氢原子处于激发态的能量和基态能量的关系为：
由此，我们可求得氢原子的最大主量子数：
主量子数只能取正整数，所以取4。
在的第三激发态向低能态跃迁一共有主量子数从；；；
；；六条谱线。参阅题21-6图。
其中波长最长的为n从跃迁的光谱线。
即
同样，可计算波长最短的为n从跃迁光谱线：
可得
可见光光谱是巴尔麦系，即n由及n由跃迁所得的波长为：
，可得
，可得
【例21-7】根据氢原子理论推导类氢离子（核电荷数为，核外只剩最后一个电子）轨道半径，电子绕核运动的线速度及原子的能级和电子跃迁时所发射单色光的频率公式。【解】根据玻尔第三假设电子在稳定轨道运动时它的动量矩满足下式
（1）
根据牛顿运动定律及库仑定律电子的运动方程
（2）
消去（1）式（2）式的，并以代替
式中为玻尔半径，将代回（1）式可得：
式中为玻尔轨道上的电子运动速度。原子系统的总能量
由（2）式可得，代入上式可得
式中为氢原子基态的能量。
按照玻尔第二假设原子系统中电子从较高能级跃迁到较低能级时所发射的单色光频率
式中R为里德伯恒量
也就是类氢离子的光频在同样n和k能级间跃迁时为氢原子光频的倍。
以二次电离后的为例，它的
在它的光谱中的最短波长（极限波长）
测量星体表面温度的方法之一是：将其看作黑体，测量它的峰值波长，利用维恩定律便可求出T。已知太阳、北极星和天狼星的分别为，
和，试计算它们的表面温度。
2l.2 宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温度为3K的黑体辐射，试计算：
（1）此辐射的单色辐出度的峰值波长；
（2）地球表面接收到此辐射的功率。
已知2000K时钨的辐出度与黑体的辐出度之比为。设灯泡的钨丝面积为，其他能量损失不计，求维持灯丝温度所消耗的电功率。
假定太阳与地球都可看成绝对黑体，其中太阳温度，地球各处温度相同，试求地球的温度（已知太阳半径，地日间距
）。
分别求出红色光（），X射线（），射线
（）的光子的能量、动量和质量。
能引起人眼视觉的最小光强约为，则瞳孔面积为，计算每秒平均有多少个绿光光子进入瞳孔到达视网膜上，绿光光子波长设为。
100W钨丝灯在1800K温度下工作。假定可视其为黑体，试计算每秒钟内，在5000到5001波长间隔内发射多少个光子？
波长为的X光在石墨上发生康普顿散射，如在处观察散射光。试求：（1）散射光的波长；
（2）反冲电子的运动方向和动能。
以的可见光和的X光与自由电子碰撞，在的方向上观察散射光谱线。
（1）计算两种情况下，波长的相对改变之比和电子获得的动能之比；
（2）欲获得明显的康普顿效应，应如何选取入射光？
在氢原子被外来单色光激发后发出的巴耳末系中，仅观察到三条光谱线，试求这三条谱线的波长以及外来光的频率。
一个氢原子从n=1的基态激发到n=4的能态。
（1）计算原子所吸收的能量；
（2）若原子回到基态，可能发射哪些不同能量的光子？
（3）若氢原子原来静止，则从n=4直接跃回到基态时，计算原子的反冲速率。
答案
5794K，6737K，9990K
（1）（2）
235W 290K
红光：，，
X射线：，，
射线：，，
141个个（1）（2）291eV，（1）， 6563，4861，4340，
（1）（2）、、、、、
（3）4.07m/s
提示：
地球吸收太阳辐射的功率参阅教材例12-1，等于地球辐射功率
可解得
钨丝的面积，再由普朗克黑体辐射公式，类同本书[例12-1]，计算
每秒辐射的能量，又：，求得光子数N。
教材习题答案与提示：
168W 太阳对透镜的张角，式中d为太阳地球之间距离。太阳在焦平面上象斑半径，象点上的吸收热等于辐射热时，金属片到达最高温
式中r透镜半径。由此解得：
火星吸收太阳的辐射热等于火星辐射出去的热
可得：式中
517W 930W
，
（1）（2）（3）297nm （1）（2）（3）
（1）（2）个