高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
【热点题型】
题型一 三角函数式的化简与给角求值 【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简：
（1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α
2）
2＋2cos α＝________．
(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°＝______．
解析 (1)原式＝
?
???2cos2α2＋2sin α2cos α2·????
cos α2－sin α24cos2α
2
＝cos α2????cos2α2－sin2α2????cos α2＝cos α
2cos α
???
?
cos α2
.
因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2，所以cos α
2＞0，所以原式＝cos α. (2)原式＝? ?
???2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·
2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°
cos 10°)· 2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×3
2＝ 6. 答案 (1)cos α (2)6 【提分秘籍】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
【举一反三】
(1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.
2＋3
2
C. 3 D ．22－1
(2)(·临沂模拟)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2cos 2αcos 2β＝________．
(2)法一 (从“角”入手，复角化单角)
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1
2(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－1
2 ＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－1
2 ＝sin2β＋cos2β－1
2 ＝1－12＝12.
法二 (从“名”入手，异名化同名)
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－1
2cos 2αcos 2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－1
2cos 2αcos 2β ＝cos2β－cos 2β(sin2α＋1
2cos 2α) ＝
1＋cos 2β2－12cos 2β＝1
2.
法三 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2
－1
2cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－1
2cos 2α·cos 2β ＝14＋14＝12.
题型二三角函数的给值求值、给值求角
【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ????α－β2＝－19，sin ???
?α2－β＝2
3，
求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，求2α－β的值． 解 (1)∵0<β<π
2<α<π， ∴π4<α－β
2<π， －π4<α2－β<π2，
∴sin ?
??
?α－β2＝
1－cos2?
??
?α－β2＝45
9，
cos ???
?α2－β＝ 1－sin2???
?α2－β＝53，
∴cos α＋β2＝cos ???
?????α－β2－????α2－β
＝cos ????α－β2cos ????α2－β＋sin ????α－β2s in ????α2－β
＝???
?－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239
729.
【提分秘籍】
(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝????α－β2－????α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
????0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为
???
?－π2，π2，选正弦较好． 【举一反三】
已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π
2， (1)求tan 2α的值； (2)求β.
解 (1)∵cos α＝17，0<α<π
2， ∴sin α＝43
7，∴tan α＝43， ∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×431－48＝－83
47.
(2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π
2， ∴sin(α－β)＝33
14， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.
题型三三角变换的简单应用
【例3】已知函数f(x)＝Asin ?
??
?x ＋π4，x ∈R ，且f ???
?5π12＝3
2.
(1)求A 的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝32，θ∈????0，π2，求f ???
?3π4－θ.
解 (1)由f ????5π12＝3
2，得Asin 2π3＝32，
又sin 2π3＝3
2，∴A ＝ 3.
(2)由(1)得f(x)＝3sin ?
??
?x ＋π4，
由f(θ)＋f(－θ)＝3
2，
得3sin ????θ＋π4＋3sin ????－θ＋π4＝32， 化简得cos θ＝64，∵θ∈????0，π2，
∴sin θ＝1－cos 2θ＝
1－? ??
??642
＝104，
故f ????3π4－θ＝3sin ????3π
4－θ＋π4＝3sin θ＝3×104＝304.
【提分秘籍】
解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．
【举一反三】
已知函数f(x)＝sin ????3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ????α3＝45cos ???
?α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
(2)由已知，有sin ?
??
?α＋π4＝45cos ?
??
?α＋π4(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4
＝45??
?
?cos αcos π4－sin αsin π4(cos2α－sin2α)，
即sin α＋cos α＝4
5(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 知α＝3π
4＋2kπ，k ∈Z. 此时cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝5
4. 由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，
此时cos α－sin α＝－5
2.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－5
2. 【高考风向标】
【高考重庆，文6】若1
1
tan ,tan()
3
2
,则tan =（） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56
【答案】A
【解析】11tan()tan 1
23tan tan[()]111tan()tan 7
123
αβαβαβααβα-
+-=+-===+++?，故选A.
【高考上海，文1】函数x x f 2
sin 31)(-=的最小正周期为.
【答案】π
【解析】因为x x 2cos 1sin 22-=，所以x x x f 2cos 2
3
21)2cos 1(231)(+-=--=，所以函数)(x f 的最小正周期为
ππ
=2
2. 【高考广东，文16】（本小题满分12分）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα??
+ ??
?
的值； （2）求
2
sin 2sin sin cos cos 21
α
αααα+--的值． 【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】
（1）tan tan
tan 1214tan 341tan 12
1tan tan 4
π
απααπαα+++??
+
====- ?
--?
?- （2）2sin 2sin sin cos cos 21
α
αααα+--
()22
2sin cos sin sin cos 2cos 11αα
αααα=+--- 22
2sin cos sin sin cos 2cos αα
αααα
=
+-
2
2tan tan tan 2α
αα=
+- 2
22
222
?=+- 1=
1．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A ．l1⊥l4
B ．l1∥l4
C ．l1与l4既不垂直也不平行
D ．l1与l4的位置关系不确定 【答案】D
【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC 是直线l2，AD 是直线l3，则DD1是直线l4，此时l1∥l4；设BB1是直线l1，BC 是直线l2，A1D1是直线l3，则C1D1是直线l4，此时l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．
2． (·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π
12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
【解析】(1)f(8)＝10－3cos ????π12×8－sin ????π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×????－12－32＝10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
3.(·湖南卷) 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.
(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．
图1-4
【解析】设∠CED ＝α.
(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos ∠EDC ，
于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD ，即CD2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．
在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CD sin α. 于是，sin α＝CD·sin 2π3EC ＝2×32
7＝21
7，即
sin ∠CED ＝21
7.
(2)由题设知，0＜α＜π
3，于是由(1)知，
cos α＝1－sin 2α＝
1－2149＝277.
而
∠AEB ＝2π
3－α，所以
cos ∠AEB ＝cos ????2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α
＝－12cos α＋3
2sin α ＝－12×277＋32×217＝714.
在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2
BE ，故 BE ＝2cos ∠AEB ＝2
714
＝47.
4．(·江西卷) 已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ???
?π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；
(2)若f ????α4＝－25，α∈????π2，π，求sin ???
?α＋π3的值．
5．(·全国卷) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3acos C ＝2ccos A ，tan A ＝13，求B. 【解析】由题设和正弦定理得3sin Acos C ＝2sin Ccos A ， 故3tan Acos C ＝2sin C.
因为tan A ＝1
3， 所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝1
2，
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C)] ＝－tan(A ＋C) ＝
tan A ＋tan C
tan Atan C －1
＝－1， 所以B ＝135°.
6．(·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φco s x 的最大值为________． 【答案】1
【解析】 f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.
7．(·山东卷) △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积． 【解析】(1)在△ABC 中，
由题意知，sin A ＝1－cos2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π
2，
所以sin B ＝sin ????A ＋π2＝cos A ＝63.
由正弦定理可得，b ＝asin B
sin A ＝3×6
3
33＝3 2.
(2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ????A ＋π2＝－sin A ＝－33.
由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B)， 所以sin C ＝sin[π－(A ＋B)] ＝sin(A ＋B)
＝sin Acos B ＋cos Asin B
＝33×? ????
－33＋63×63
＝13.
因此△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12×3×32×13＝32
2.
8．(·四川卷) 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )
图1-3
A ．240(3－1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m 【答案】C
9．(·四川卷) 已知函数f(x)＝sin ????3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ????α3＝45cos ???
?α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为???
?－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k ∈Z ，
由－π2＋2kπ≤3x ＋π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ
3，k ∈Z ，
所以函数f(x)的单调递增区间为????－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ?
??
?α＋π4＝45cos ?
??
?α＋π4(cos2α－sin2α)．
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4＝
45??
??cos αco s π4－sin αsi n π4(cos2α－sin2α)， 即sin α＋cos α＝4
5(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π
4＋2kπ，k ∈Z. 此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(co s α－sin α)2＝5
4.
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5
2. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－5
2.
10．(·重庆卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝5
2，求cos C 的值；
(2)若sin Acos2B 2＋sin Bcos2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝9
2sin C ，求a 和b 的值． 【解析】(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b)＝7
2. 由余弦定理得cos C ＝a2＋b2－c2
2ab
＝ 22＋????522－???
?72
22×2×52
＝－15.
(2)由sin Acos2B 2＋sin Bcos2A
2＝2sin C 可得 sin A·1＋cos B 2＋sin B·1＋cos A 2＝2sin C ，
化简得sin A ＋sin Acos B ＋sin B ＋sin Bcos A ＝4sin C.
因为sin Acos B ＋cos Asin B ＝sin(A ＋B)＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C. 由正弦定理可知a ＋b ＝3c.又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.
由于S ＝12absin C ＝9
2sin C ，所以ab ＝9，从而a2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3. 【高考押题】
1．若tan θ＝3，则sin 2θ
1＋cos 2θ＝( )
A. 3 B ．－3 C.33
D ．－3
3
解析
sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ
1＋2cos2θ－1
＝tan θ＝ 3.
答案 A
2．已知sin α＋cos α＝13，则sin2???
?π4－α＝( )
A.1
18 B.1718 C.89
D.29
解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin2????π4－α＝
1－cos ????π2－2α2＝
1－sin 2α
2
＝1＋892＝1718，故选B.
答案 B
3．已知α∈????π，32π，且cos α＝－45，则tan ????π4－α等于( )
A ．7
B.17
C ．－1
7
D ．－7
解析 因α∈????π，32π，且cos α＝－45，所以sin α＜0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ????π4－α＝
1－tan α1＋tan α
＝1－3
4
1＋34
＝1
7.
答案 B
4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－10
10，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
5．设α∈????0，π2，β∈???
?0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则 ( )
A ．3α－β＝π
2 B ．2α－β＝π
2 C ．3α＋β＝π
2
D ．2α＋β＝π
2
解析 由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin α cos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ????π2－α，因为－
π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π
2，所以
α－β＝π2－α，所以2α－β＝π
2，故选B. 答案 B
6．若sin ???
?π2＋θ＝3
5，则cos 2θ＝________．
解析 ∵sin ????π2＋θ＝cos θ＝35， ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×????352
－1＝－725.
答案 －7
25
7．函数f(x)＝sin ???
?2x －π4－22sin2x 的最小正周期是________．
解析 ∵f(x)＝22sin 2x －2
2cos 2x －2(1－cos 2x) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π
4)－2， ∴最小正周期T ＝2π
2＝π. 答案 π
8．已知cos4α－sin4α＝23，且α∈????0，π2，则cos ???
?2α＋π3＝________．
解析 ∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝2
3，
又α∈?
??
?0，π2，
∴2α∈(0，π)，
∴sin 2α＝1－cos22α＝53， ∴cos ????2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 答案
2－156
9．已知α∈???
?π2，π，sin α＝55. (1)求sin ????π4＋α的值； (2)求cos ???
?5π6－2α的值．
10．已知α∈????π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈???
?π2，π，求cos β的值．
解 (1)因为sin α2＋cos α2＝6
2，
两边同时平方，得sinα＝1
2.
又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π
2＜β＜π， 所以－π2＜α－β＜π2.
又sin(α－β)＝－35，得cos (α－β)＝4
5. cos β＝cos []α－（α－β） ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－
32×45＋12×???
?－35＝－43＋310.高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
【热点题型】
题型一空间几何体的三视图和直观图
例1、(1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()
(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．
【提分秘籍】
(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．
【举一反三】
(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()
A．正方形 B．矩形
C．菱形D．一般的平行四边形
题型二空间几何体的表面积与体积
例2、(1)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()
A.1727
B.59
C.1027
D.13
(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()
A.233
B.47
6C ．6D ．7
(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________．
【提分秘籍】
(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．
【举一反三】
(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()