3.4 微积分基本定理
考纲要求
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．
1．定积分的定义和相关概念
(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式______________，当n →∞时，上述和式无限接近________，这个______叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作________，即
b
a
?
f (x )d x ＝____________.
(2)在
b
a
?
f (x )d x 中，______分别叫做积分下限与积分上限，区间______叫做积分区间，
________叫做被积函数，____叫做积分变量，______叫做被积式．
2．定积分的几何意义
(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分
b
a
?
f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝
a ，x ＝
b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分)．
(2)一般情况下，定积分
b
a
?
f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a ，
x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
3．定积分的性质
(1)
b
a ?kf (x )d x ＝________(k 为常数)；
(2)b a ?[f (x )±g (x )]d x ＝____________；
(3)b a
?
f (x )d x ＝__________(其中a ＜c ＜b )．
4．微积分基本定理
一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么b
a
?
f (x )d x
＝________.
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．
为了方便，我们常把F (b )－F (a )记作________，即
b
a
?
f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．
1．
4
2
?
1
x
d x ＝( )．
A ．－2ln 2
B ．2ln 2
C ．－ln 2
D ．ln 2 2．下列值等于1的积分是( )．
A ．
1
0?x d x B ．
1
0?
(x ＋1)d x C ．1
?
1d x D ．1
?
12
d x 3．(2013山东潍坊四县一校高三期中)已知t ＞0，若
t ?
(2x －2)d x ＝8，则t ＝( )．
A ．1
B ．－2
C ．－2或4
D ．4
4．如图，函数y ＝－x 2
＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )．
A ．1
B ．4
3 C ． 3 D ．2
5．根据定积分的几何意义计算定积分：
31
?
|x －2|d x ＝__________.
6．(2012山东高考)设a ＞0
，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2
，则a ＝__________.
一、利用微积分基本定理计算定积分 【例1】计算下列定积分： (1)31
-?
(3x 2
－2x ＋1)d x ；
(2)
e 1
?? ??
??x ＋1x ＋1x 2d x ；
(3)设f (x )＝2,[0,1],1,(1,e],x x x x x
?∈??∈??试求e
0?f (x )d x 的值．
方法提炼
计算一些简单的定积分，解题的步骤是：
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．
提醒：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．
请做演练巩固提升2
二、定积分在物理中的应用
【例2】列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2
，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？
方法提炼
1．做变速运动的物体在一段时间间隔内所经过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解．因此要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可，即物体做变速直线运动的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分
b a
?
v (t )d t .另外物体做变速直线运动的速度v ，等于加速度函数a ＝a (t )在时间区间[a ，b ]
上的定积分b a
?
a (t )d t .
2．如果力F (x )使得物体沿力的方向由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F (x )对物体所做
的功W ＝
b a
?
F (x )d x .
请做演练巩固提升4
三、利用定积分求面积
【例3】(2012上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ? ??
??12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．
方法提炼
1．求曲边多边形的面积的步骤为：
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限； (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和； (4)计算定积分． 2．失误与防范
(1)被积函数若含有绝对值号，应去掉绝对值号，再分段积分． (2)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (3)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
(4)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．
(5)将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．
请做演练巩固提升1,5
利用函数思想研究定积分问题
【典例】(12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2
，试在此区间内确定t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．
分析：(1)题目要求是求S 1与S 2之和最小，所以要先构造S ＝S 1＋S 2的函数，利用函数思想求解．(2)S 1，S 2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量．
规范解答：面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积减去曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，
即S 1＝t ·t 2－0t
?
x 2d x ＝23t 3.(2分)
面积S 2等于曲线y ＝x 2
与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t 2,
1－t ，
即S 2＝1t ?
x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2
＋13
.(4分)
所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2
＋13(0≤t ≤1)．(5分)
令S ′(t )＝4t 2
－2t ＝4t ? ??
??t －12＝0，
得t ＝0或t ＝1
2.(8分)
t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝2
3.(10分)
所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为1
4
.(12分)
答题指导：本题既不是直接求曲边梯形的面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．
1．(2012湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )．
A ．2π5
B ．43
C ．32
D ．π2
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝30
?
(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )．
A ．15
B ．20
C ．25
D ．30 3．设函数f (x )＝ax 2
＋c (a ≠0)，若1
?
f (x )d x ＝f (x 0)，其中－1＜x 0＜0，则x 0＝
__________.
4．一物体受到与它运动方向相反的力F (x )＝110
e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1
时F (x )所做的功等于__________．
5．求定积分
10
?
1－x 2
d x .
参考答案
基础梳理自测 知识梳理
1．(1)∑i ＝1
n
f (ξi )Δx ＝∑i ＝1
n
b －a
n
f (ξi ) 某个常数 常数
b
a
?
f (x )d x lim n →∞
∑i ＝1
n
b －a
n
f (ξi ) (2)a 与b [a ，b ] 函数f (x ) x f (x )d x 3．(1)k b
a
?
f (x )d x (2)
b
a
?
f (x )d x
±
b
a
?
g (x )d x (3)
c
a
?
f (x )d x ＋
b
c
?
f (x )d x
4．F (b )－F (a ) F (x )|b a 基础自测 1．D 解析：
4
2
?
1
x
d x ＝ln x 42|
＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．C 解析：
1
?
1d x ＝x 10|＝1－0＝1.
3．D 解析：由0
t ?
(2x －2)d x ＝8得，(x 2
－2x )0|t ＝t 2
－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍
去)，选D.
4．B 解析：由?
??
??
y ＝－x 2
＋2x ＋1，y ＝1，
得x 1＝0，x 2＝2. ∴S ＝2
?
(－x 2
＋2x ＋1－1)d x
＝
2
?
(－x 2
＋2x )d x
＝? ??
??－x
3
3＋x 220|＝－83＋4＝43.
5．1 解析：根据定积分的几何意义，所求的定积分就是函数y ＝|x －2|的图象、直线
x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积，
故S ＝31
?
|x －2|d x ＝12×1×1＋1
2×1×1＝1.
6．4
9
解析：由题意可得曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积S ＝0
a
?
x d x ＝2332x 0|a
＝233
2a ＝a 2，解得a ＝49
.
考点探究突破 【例1】解：(1)3
1
-?
(3x 2
－2x ＋1)d x ＝(x 3
－x 2
＋x )31|-＝24.
(2)
e
1?? ??
??x ＋1x ＋1x 2d x ＝e 1?x d x ＋e 1?1x d x ＋e 1?1x 2d x ＝12x 2e 1|＋ln x e 1|－1x e 1| ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－? ??
??1e －11
＝12e 2－1e ＋32. (3)
e
?
f (x )d x ＝
1
?
x 2
d x ＋
e
1
?
1
x
d x
＝13x 310|＋ln x e 1| ＝13＋ln e ＝43
. 【例2】解：因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v ＝0，求出t ，再根据v 和t 应用定积分求出路程．
已知列车速度v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，列车制动时获得的加速度为a ＝－0.4 m/s 2
， 设列车开始制动到经过t 秒后的速度为v ，
则v ＝v 0＋
t
?
a d t ＝20－
t
?
0.4d t ＝20－0.4t ，令v ＝0，得t ＝50(s)．
设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s ， 则s ＝
50
?
v d t ＝
50
?
(20－0.4t )d t ＝500(m)，
所以列车应在进站前50 s ，以及离车站500 m 处开始制动． 【例3】5
4 解析：由题意f (x )＝?????
10x ，0≤x ≤1
2，－10x ＋10，1
2 则xf (x )＝????? 10x 2 ，0≤x ≤1 2 ，－10x 2 ＋10x ，1 2 ∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为 1 20 ? 10x 2 d x ＋ 112 ? (－10x 2 ＋10x )d x ＝103x 31 20|＋? ????5x 2－103x 3112 | ＝103×18＋? ????5－103－? ????54－103×18 ＝5 4 .演练巩固提升 1．B 解析：由图象可得二次函数的解析式为f (x )＝－x 2 ＋1，则与x 轴所围图形的面积S ＝11-? (－x 2 ＋1)d x ＝? ?? ??－x 33＋x 11|-＝43. 2．A 解析：S 10＝ 3 ? (1＋2x )d x ＝(x ＋x 2 )30|＝12. 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，即12,5， S 30－17成等差数列，易得S 30＝15. 3．－33 解析：∵10? (ax 2 ＋c )d x ＝? ????13ax 3＋cx 10|＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 0 2＋c ， ∴x 02 ＝13 . 又－1＜x 0＜0，∴x 0＝－ 33 . 4．－e 10－2 5 解析：由题意知F (x )所做的功为1 - ? ? ?? ??110e x ＋x d x ＝－? ????110e x ＋12x 21 0|＝－e 10－25. 5．解：定积分1 ? 1－x 2d x 的几何意义就是圆x 2＋y 2 ＝1在第一象限同坐标轴围成的图形的面积，故 1 ? 1－x 2 d x ＝π4 . 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。 都有什么题型呢？ ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ②应用导数求函数的极值与最值； ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦？ 导数的解题技巧还是比较固定的，一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域（最容易忽略的，请牢记）； ②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； ③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论，函数的最值可能会出现极值点处或者端点处，多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围，根据题目会有一定的变化，那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1．若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x 之间的区别。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++， ， ， 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 导数概念及其几何意义 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（） A .>0 B .<0 C D. =0 2、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（） A B C D 3、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（） A 2 B 2x C D 2+ 5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于（） A．4Δx+2Δx2 B．4+2Δx C．4Δx+Δx2 D．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则（） A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在 8．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则等于（） A．f′(x0) B．0 C．2f′(x0) D．－2f′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于（） A．0 B．1 C．－1 D．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是______ 函数．（填增、减、常函数） 13．设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则=_____． 16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率．(2)点A处的切线方程． 17．已知函数f(x)=，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导． 导数与微积分 导函数 导函数的概念涉及：的对于区间( , )上任意点处都可导，则在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为的导函数，记作。 一、基本函数的导函数 C'=0(C 为常数) (x A n)'=nx A(n-1) (n € Q) (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (eAx)'=eAx (aAx)'=(aAx)*lna [log(a,x)]' = 1/(x*lna) [lnx]'= 1/x 二、和差积商函数的导函数 [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) [f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)A2] 三、复合函数的导函数 设y=u(t) ，t=v(x) ，则y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x) 例：y = tA2 ，t = sinx ，则y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x 一般定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量△(点仍在该邻域内)时， 相应地函数取得增量△；如果△与△之比当△时的极限存在，贝y称函数在点处可导，并称 这个极限为函数在点处的导数，记为，即 也可记作，或。 邻域 数学分析的定义 以a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作U(a) 设3是任一正数，则在幵区间(a- 3, a+3 )就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a 的3邻域，记作U(a, 3 )，即U(a, 3 )={x|a- 3 导数微积分公式 导数、微分、积分公式总结 【导数】 （1）（u ± v）′＝u′±v′ （2）（u v）′＝u′v＋ u v′（记忆方法：u v ＋ u v ，分别在“u”上、“v”上加′）（3）（c u）′＝ c u′（把常数提前） ╭ｕ╮′u′v－ u v′ （4）│——│＝———————（ v ≠ 0 ） ╰ｖ╯v2 【关于微分】 左边：d打头 右边：dx置后 再去掉导数符号′即可 【微分】 设函数ｕ＝u（x），ｖ＝v（x）皆可微，则有： （1）d（u ± v）＝ du ± dv （2）d（u v）＝ du·v ＋ u·dv ╭ｕ╮du·v － u·dv （3）d│——│＝———————（ v ≠ 0 ） ╰ｖ╯v2 （5）复合函数（由外至里的“链式法则”） dy ——＝f′（u）·φ′（x） dx 其中y ＝ f（u），u ＝φ′（x） （6）反函数的导数： 1 [ fˉ1（y）]′＝————— f′（x） 其中，f′（x）≠ 0 【导数】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的导数： （c）′＝ 0 （2）x的α次幂： ╭【α】╮′【α － 1】 │ｘ│＝αｘ ╰╯ （3）指数类： ╭【x】╮′【x】 │ａ│＝ａ lna（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1） ╰╯ ╭【x】╮′【x】 │ｅ│＝ｅ ╰╯ （4）对数类： ╭╮′ 1 1 │logｘ│＝——log ｅ＝———（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1） ╰a╯ x a xlna 1 （lnx）′＝—— x （5）正弦余弦类： （sinx）′＝ cosx （cosx）′＝－sinx 【微分】 注：【】里面是次方的意思 （1）常数的微分： dC ＝ 0 （2）x的α次幂： 【α】【α － 1】 dｘ＝αｘdx （3）指数类： 【x】【x】 dａ＝ａ lnadx（其中a ＞ 0 ，a ≠ 1） 【x】【x】 dｅ＝ｅ dx 专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立． 高等数学测试题（二）导数、微分部分答案及解析 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数0 ()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ B ） A 不连续 B 连续但不可导 C 二阶可导 D 仅一阶可导 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ C ） A 1 B 12 C 12e D 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ B ） A 1 B 2e C 2 e D e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ C ） A 0 B ()f a ' C 2()f a ' D (2)f a ' 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '= 0 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''= 2 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01 l i m ()n n f x n →∞ + = 4、 曲线2 28y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴，点_____ 处的切线与x 轴正向的交角为 4 π。 x=1 23=x 5、 d = x e dx - x e -- 三、解答题 1、（7分）设函数()()() ,()f x x a x x ??=-在x a =处连续，求()f a ' ) ()(')(')()()(')(')()()('a x )()()()(a a f a a a a a f x a x x x f x x a x x f ???????=-+=-+==-=连续在又 2、（7分）设函数 ()a a x a x a f x x a a =++，求()f x ' 设a a m = a x n = x a t = a a a a aax a x a x f t a a n a a mx x f a a x x f x a a x a a t n m t n m x a a ln *ln ln )(')'(ln )'(ln )(')(1 1 1+++=++=++=---x a a x a a a a a aax a x a x f x a a *ln ln )('21 1 +++=-- 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6t π = 处的切线方程和法线方程 ∵sin cos 2x t y t =?? =? ∴122 +-=x y 6π=t 时 x=21 21=y 第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. §2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1； （2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时，30 400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。 ∴1)(0='x f ，即1830 =-x ， ∴20-=x ，10=y 。 即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ， ∴10=x ，40=y 。 即P （―1，4）。 （3）∵切线倾斜角为135°， ∴1135tan )(00-=='x f ，即1830 -=- x ， ∴20=x ，10=y 。 即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。 解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='， 由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过（1，1）点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302 -=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线 比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?. 高考导数题的解题技巧 绝版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 导数题的解题技巧 导数命题趋势： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值,证明不等式， 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是31 ()213 f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+= 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若 M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1. 1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时 综上可得M P 时, 1.a ∴> 考点2 曲线的切线 （1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 例3.（2007年湖南文）已知函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各 有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值； （II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点 A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数3211 ()32 f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一 个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是 2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-， 23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16． 一．选择题 1.若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于( ) A.k 2 B.k C.k 2 1 D.以上都不是 2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( ) A ．sinα B ．cosα C ．sinα+cosα D ．2sinα 3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(?1)=4,则a 的值等于( ) A ． 319 B ． 316 C ．3 13 D ．3 10 4.函数y =x sin x 的导数为( ) A ．y ′=2x sin x +x cos x B ．y ′= x x 2sin +x cos x C ．y ′= x x sin +x cos x D ．y ′=x x sin －x cos x 5.函数y =x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x 6.函数y =2 2x a x +（a >0）的导数为0，那么x 等于（ ） A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 7. 函数y =x x sin 的导数为（ ） A ．y ′=2 sin cos x x x x + B ．y ′= 2 sin cos x x x x - C ．y ′=2cos sin x x x x - D ．y ′=2 cos sin x x x x + 8.函数y = 2 )13(1 -x 的导数是（ ） A ． 3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3 )13(6-x D ．－2)13(6 -x (高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法 相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>. 将这些不等式简单变形如下： ex x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。 放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x 高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102 x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩高等数学公式导数基本公式
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