广州三2020-2021学年第一学期期中考试问卷
初三数学
满分150分
一、选择题（30分）
1.下列各图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
答案：D
2.下列各式中，能够与 3 进行合并的是（）
A. 4
B. 12
C. 18
D. 24
答案：B
3.点P（4，-3）关于原点的对称点为（）
A. （4，3）
B.（-3，4）
C. （-4，3）
D. （3，-4）
答案：C
4.如图，AB是⊙O的直径，CD切于点D，AB的延长线交CD于点C，若∠ACD=40°，则∠A=（）
A.45°
B.40°
C.30°
D.25°
答案：D
5.若式子y=
3-x
2-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A.x≤3且x≠2
B.x>3
C.x≥3
D.2≤x≤3
答案：A
6. ⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（）
A.在⊙O外
B.在⊙O上
C.在⊙O内
D.不能确定
答案：A
7.将方程y2－4y=2(y+1)化为(y+a)2=k的形式后，则a+k=（）
A.4
B.8
C.14
D.32
答案：C
8.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则(a+b)2+a2的化简结果为（）
A.a
B.2a+b
C.b
D.－b
答案：D A
B
C D
O
b 0 a
9.在宽为20m ，长为32m 的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m 2，则道路的宽为（ ） A.50m B.5m C.2m D.1m 答案：C
10.已知⊙O 的半径为5，且圆心O 到直线l 的距离是方程x 2-4x-12=0的一个根，则直线l 与圆的位置关系是（ ）
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案：C
二、填空题（18分）
11.已知x+2+(y-3)2=0 ，则x y = 。 答案：－8
12.分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如上图所示。将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会原图形重合，则这个旋转角的最小度数是 度。 答案：90
13.若x=2是关于x 的方程x 2－x+m 2－5=0的一个根，则m= 。 答案：3±
14.如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为 。
答案：35°
15.在Rt △ABC 中，∠C=90，AC=6，BC=8，且△ABC 的三边都与圆O 相切，则圆O 的半径r= 。 答案：2
16.如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为2的内接正方形CDEF ，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 。 答案：2
2540x x -+= 三、解答题（102分） 17.计算：（15分）
（1）3222×(-15)×(-1
348) (2)（312-6
1
3+48）÷2 3
解：（1）原式＝3066 （2）原式＝4
（3）2
39x+6x
4-2x
1x
原式＝3x
18.（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt △ABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为（﹣4，1），点B 的坐标为（﹣1，1）．
（1）先将Rt △ABC 向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt △A 1B 1C 1．试在图中画出图形Rt △A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标；
（2）将Rt △A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°后得到Rt △A 2B 2C 2，试在图中画出图形Rt △A 2B 2C 2．并计算Rt △A 1B 1C 1在上述旋转过程中C 1所经过的路程．
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形， 点A 1的坐标为（1，0）；
（2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求作的三角形， 根据勾股定理，A 1C 1=
=
，
所以，旋转过程中C 1所经过的路程为
=
π．
19.解方程（15分）
（1）3(x+1)2=27 (2) x 2+10x+9=0 (3)(y-4)2=8-2y
解：（1）x ＝2或－4 （2）x 1＝－9，x 2＝－1 （3）y 1＝2，y 2＝4
20.(10分) 美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，南沙区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿化面积不断增加（如图所示）
（1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2011年的绿化面积为
公顷，比2010年增加了 公顷。
(2)为满足城市发展的需要，计划到2013年使城区绿化地总
面积达到72.6公顷，试求这两年（2011～2013）绿地面积的年平均增长率。
解：（1）仔细观察图象可得：2011年底的绿地面积为 60公顷，比2010年底增加了4公顷； 故答案为：60，4
（2）今明两年绿地面积的年平均增长率为x ，由题意可知； 60（1+x ）2=72.6，
解得x=10%或x=﹣2.1（不题意舍去） 故今明两年绿地面积的年平均增长率为10%．
21.（10分）如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ∥OC ． （1）求证：AC 平分∠OAB ．
（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ．若AB=2， OE= 3 ，求PE 的长．
解：（1）∵， ∴
；
∵
，∴
_
_ 60 _ 56 _ 51 _ 48
_
_ 2011 _ 2010
_ 2009
_ 2008
∴ 即AC 平分∠OAB ； （2）∵，∴，
又∵，
∴
∴
， ∴
， 设，则，根据勾股定理得，解得（或者用）
即PE 的长是。
22.（10分）已知x 1，x 2是关于一元二次方程x 2+4x+m-1=0的两个实数根， （1）求m 的取值范围； （2）若(x 1-2)(x 2-2)=10，求m 的值。 解：（1）△＝16－4m ＋4≥0，所以，m ≤5 （2）x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝m －1
因为(x 1-2)(x 2-2)=10，所以，x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝10 即m －1＋8＋4＝10 所以，m ＝－1
23.（10分）如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 切于E 、F 、G ，且AB ∥CD ，连接OB 、OC ，延长CO 交⊙O 于点M ，过点M 作MN ∥OB 交CD 于N 。 （1）求证：MN 是⊙O 的切线；
（2）当0B=6cm ，OC=8cm 时，求⊙O 的半径。
解：⑴证明：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 切于点E 、F 、G ，
∴DCB ．OCB ABC ，OBC ∠=∠∠=∠2
1
21 …………………1分
∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠DCB ＝180°．
∴．DCB ABC OCB OBC ?=??=∠+∠=∠+∠901802
1
)(21
∴．OCB OBC －BOC ?=?-?=∠+∠?=∠9090180)(180 ……2分 ∵MN ∥OB ，∴∠NMC ＝∠BOC ＝90°．∴MN 是⊙O 的切线．……4分
⑵连接OF ，则OF ⊥BC ．…………………………………5分
由⑴知，△BOC 是Rt △，∴．OC DB BC 10862222=+=+= ∵OF ，BC OC OB S BOC ??=??=?2
12
1
∴6×8＝10×OF ．∴0F ＝4.8．
即⊙O 的半径为4.8cm ． …………………………………6分 由⑴知，∠NCM ＝∠BCO ，∠NMC ＝∠BOC ＝90°， ∴△NMC ∽△BOC ． …………………7分 ∴
．MN ．CO CM OB MN 8
8
.486+==即 ∴MN ＝9.6(cm)． …………………………………8分
24.（12分）已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ． （1）当∠MBN 绕B 点旋转到AE=CF 时（如图1），求证AE+CF=EF ； （2）当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给出简单证明过程。
25.（12分）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O1，O2，P是AB的中点，
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分别取点E、F，使∠AO1E=∠BO2F，
则有结论①△PO1E≌△FO2P，②四边形PO1CO2是菱形，请给出结论②的证明；
（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
（3）如图3，若PC是⊙O1的切线，求证：AB2=BC2+3AC2．
解：（1）∵P、O1、O2分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO1=BO2，PO1BC，PO2AC，
∴四边形PO1CO2是平行四边形，
∵AC=BC，∴PO1=PO2，
∴四边形PO1CO2是菱形；
（2）∵P、O1、O2分别为AB、AC、BC的中点，∴AP=BP，AO1=BO2，PO1BC，PO2AC，即PO1=BO2，AO1=PO2，
∴△APO1≌△BPO2；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴c2=a2+b2；AB2=4c2=4（a2+b2），
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．
∴CD=a，BD=2b，BC2=a2+4b2，
∴BC2+3AC2=a2+4b2+3a2=4（a2+b2），
∴AB2=BC2+3AC2．
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