上海闸北第八中学数学三角形解答题同步单元检测（Word 版 含答案）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．（问题探究）
将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.
（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；
（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；
（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；
（拓展延伸）
（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点
A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结
论，并说明理由.
【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+?.
【解析】 【分析】
（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题， （2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题， （3）运用三角形的外角性质即可解决问题，
（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】
解：（1）如图，∠1=2∠A ．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ； ∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．
（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2， 由折叠知识可得∠A=∠A′， ∴2∠A=∠1+∠2．
（3）如图，∠1=2∠A+∠2
理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，
（4）如图，
根据翻折的性质，()3181201∠=-∠，()4181
2
02∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=?，
∴()()180118023601122
A D ∠+∠+
-∠+-∠=?， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+?． 【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
2．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点
B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，
∠BG1C=70°，求∠A的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．
【解析】
【分析】
（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，
∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；
②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；
③由②得∠BG1C=
1
10
（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得
1
10
（133-x）+x=70，
求出x的值即可.
【详解】
（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
根据外角的性质，可得
∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF ，∠BAC=∠BAD+∠CAD ， ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C ； （2）①由（1），可得 ∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC ， ∵∠A=40°，∠BXC=90°， ∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°； ②由（1），可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB ，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴
1
2
（∠ADB+∠AEB ）=90°÷2=45°， ∵DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，
∴12ADC ADB ∠=∠，1
2
AEC AEB ∠=∠，
∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,
=
1
2
（∠ADB+∠AEB ）+∠DAE, =45°+40°, =85°；
③由②得∠BG 1C=1
10
（∠ABD+∠ACD ）+∠A ， ∵∠BG 1C=70°， ∴设∠A 为x°， ∵∠ABD+∠ACD=133°-x° ∴
1
10
（133-x ）+x=70， ∴13.3-
1
10
x+x=70， 解得x=63， 即∠A 的度数为63°. 【点睛】
此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.
3．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ?和ABD ?，并使
C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．
（1）如图l ，若AC BD ，求证：AD BC ∥；
（2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点
F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．
【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°． 【解析】 【分析】
（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；
（2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由
BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；
（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解． 【详解】
（1）∵AC
BD ，
∴∠C+∠CBD=180°， ∵C D ∠=∠， ∴∠D+∠CBD=180°， ∴AD BC ∥；
（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下： 设CE 与BD 交点为G ， ∵∠CGB 是?ADG 的外角， ∴∠CGB=∠D+∠DAE ， ∵BD BC ⊥， ∴∠CBD=90°，
∴在?BCG 中，∠CGB+∠C=90°， ∴∠D+∠DAE+∠C=90°， 又∵C D ∠=∠， ∴DAE ∠+2C ∠=90°； （3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ， ∴∠AFD=180°-8x ， ∵DF BC ∥，
∴∠C=∠AFD=180°-8x ， 又∵DAE ∠+2C ∠=90°，
∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°， ∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ， 又∵∠BAD=∠BAC ，
∴∠ABC=∠ABD=
1
2
∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．
4．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；
（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）15°；（2）DCE 2
αβ
-∠=；（3）75°．
【解析】 【分析】
（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝
2
αβ
- ．
（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+1
2
∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】
解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，
又因为CE 是∠ACB 的平分线，
所以1
352
ACE ACB ∠=
∠=?． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，
所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，
所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2
αβ
-∠=
．
（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE ′， 则152
DCE αβ
-'=
=?∠．
因为CE 是∠ACB 的外角平分线，
所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1
(+)2
ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE 的度数为75°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．
5．如图，在△ABC 中，记∠A=x 度，回答下列问题： （1）图中共有三角形 个．
（2）若 BD ，CE 为△ABC 的角平分线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式 表示），并证明你的结论．
（3）若 BD ，CE 为△ABC 的高线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式表示），并证明你的结论．
【答案】（1）图中共有三角形 8 个；（2）(90+
1
2
x ) ；（3）(180－x ).
【解析】 【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，分析题意观察图形，根据三角形内角和为180°可知
∠ABC=
180-2
x
，根据角平分线的性质可以求出∠BHC，根据高线的性质可知∠CDB =∠BEC =90o，再次利用三角形内角和定理可以求答案 【详解】
解：（1）图中共有三角形 8 个；
（2）∠BHC=(90+
1
2
x )度． ∵BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴∠BHC=180o－∠HBC－∠HCB=180o－12
(∠ABC+∠AC B)= (90+ 1
2x )度．
（3）∠BHC=(180－x)度， ∵BD，CE 为△ABC 的高线， ∴BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠CDB=∠BEC=90o， ∵∠BEC+∠ABC+∠BCH=180° ∠CDB+∠ACB+∠CBH=180°
∴∠BEC+∠ABC+∠BCH+∠CDB+∠ACB+∠CBH=360° ∠ABC+∠BCH+∠ACB+∠CBH=180° ∵∠ABC+∠ACB=180°－∠A ∠BCH+∠CBH=180°－∠BHC ∴180°－∠A+180°－∠BHC=180° ∴∠BHC=(180－x)度 【点睛】
本题的关键是掌握三角形内角和定理
6．如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，4OC OB =.
① ②
（1）若ABC ?的面积为20，求点B ，C 的坐标.
（2）如图①，向x 轴正方向移动点B ，使90ABC ACB ∠-∠=?，作BAC ∠的平分线
AD 交x 轴于点D ，求ADO ∠的度数.
（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD 上有一动点Q ，作AQM DQP ∠=∠，它们的边分别交x 轴、y 轴于点M ，P ，作FMG DMQ ∠=∠，试判断FM 与PQ 的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）10,03B ?? ???
，40,03C ??
???；（2）45°；（3）FM PQ ⊥
【解析】 【分析】
(1)设OB=a ，根据三角形的面积公式列式求出a ，即可得到点B 、C 的坐标；
(2)设ACB α∠=，根据题意得到∠ABC=90°+α，根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α，再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案；
(3)延长FM 交QP 于H ，设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案. 【详解】
(1)设OB=a ，则OC=4a ， ∴BC=3a ， 由题意得，1
34202
a ??=， 解得：a=103
， ∴OB=
103，OC=403
， ∴10,03B ?? ???
，40,03C ??
???； (2)设ACB α∠=， ∵90ABC ACB ∠-∠=?， ∴90ABC α∠=?+，
∴180BAC ABC ACB ∠=?-∠-∠
()18090αα=?-?+-
902α=?-，
∵AD 平分BAC ∠，∴1
452
DAC BAC α∠=
∠=?-， ∴4545ADO DAC ACB αα∠=∠+∠=?-+=?； (3)FM ⊥PQ ，理由如下： 延长FM 交PQ 于点H ，.
设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β， 则∠DMH=∠FMG=β，
∠AQM=∠QMD+∠QDM ，即α=β+45°，
∴∠1=180°-∠DQP-∠ADO=90°-β，
∴∠2=∠1=90°-β，
∴∠2+∠DMH=β+90°-β=90°，
∴∠MHQ=90°，即FM⊥PQ.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
7．在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上（不与点A、B、C重合），点P是直线AB上的任意一点（不与点A、B重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．
（1）如图，当点P在线段AB上运动，且n=90°时
①若PD∥BC，PE∥AC，则m=_____；
②若m=50°，求x+y的值．
（2）当点P在直线AB上运动时，直接写出x、y、m、n之间的数量关系．
【答案】（1）①90°，②140°；（2）详见解析.
【解析】
分析：（1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；
②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；
（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；
④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；
⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．
详解：（1）①如图1，
∵PD∥BC，PE∥AC，
∴四边形DPEC为平行四边形，
∴∠DPE=∠C，
∵∠DPE=m，∠C=n=90°，
∴m=90°；
②∵∠ADP=x，∠PEB=y，
∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，∠C=90°，∠DPE=50°，
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，
∴x+y=140°；
（2）分五种情况：
①y﹣x=m+n，如图2，
理由是：
∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，∴∠DFP=n+180°﹣y，
∵x+m+∠DFP=180°，
∴x+m+n+180°﹣y=180°，
∴y﹣x=m+n；
②x﹣y=m﹣n，如图3，
理由是：
同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，∴x﹣y=m﹣n；
③x+y=m+n，如图4，
理由是：
由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，
∴x+y=m+n；
④x﹣y=m+n，如图5，
理由是：
同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，
∴x﹣y=m+n；
⑤y﹣x=m﹣n，如图6，
理由是：
同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，
∴y﹣x=m﹣n．
点睛：本题考查了三角形综合、平行四边形的判定.
8．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
(1)求证：∠OAC＝∠OCA；
(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC
＝1
3
∠AOC，∠PCE＝
1
3
∠ACE，求∠P的大小；
(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1
n
∠AOC，∠PCE＝
1
n
∠ACE，猜想∠OPC
的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．
【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n
【解析】
试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；
（2）根据题干中给出的∠POC=1
3
∠AOC、∠PCE=
1
3
∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，
再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；
（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1
n
∠AOC、∠PCE=
1
n
∠ACE可以求得
∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．
试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.
∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.
(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.
(3)解：∠OPC＝.
证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝
(180°－45°)＝.
∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，
∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.
点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．
9．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。
（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；并说明理由；（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积.
【答案】（1）△EPF 是等边三角形，理由见解析；（2）S △GBE 3 【解析】
试题分析：（1）要证三角形EPF 是等边三角形，已知∠EPF=60°，只需要证PE=PF 即可，可通过证△PBE 和△PFC 全等来得出结论，是证明全等，则需要证明FP ⊥BC 和BE=PC ；
（2）由（1）不难得出∠CFG=90°，那么在△CFG 中，有∠C 的度数，可以根据CF 的长求出GC 的长，从而求出GB 的长，下面的关键就是求GB 边上的高，过E 作EH ⊥BC ，那么EH 就是所求的高，在直角△BEP 中，有BP 的长，有∠ABC 的度数，可以求出BE 、EP 的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH 的长，即可求出△GBE 的面积； 试题解析：（1）△EPF 是等边三角形，理由如下： ∵PE⊥AB，∠B=60°，因此Rt△PEB 中，BE=
12BP=1
3
BC=PC ，∴∠BPE=30°，∵∠EPF=60°，∴FP⊥BC，∵∠B=∠C=60°，BE=PC ，∠PEB=∠FPC=90°，∴△BEP≌△CPF，∴EP=PF，∵∠EPF=60°，∴△EPF 是等边三角形. （2）过E 作EH⊥BC 于H ，由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=
23BC=4，BE=CP=1
3
BC=2，在三角形FCP 中，∠PFC=90°-∠C=30°，∵∠PFE=60°，∴∠GFC=90°，Rt△FGC 中，∠C=60°，CF=4，∴GC=2CF=8，∴GB=GC -BC=2，Rt△BEP 中∠EBP=60°，BP=4，3BE=23，∴S △GBE =
1
2
3 点睛：本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，熟练掌握全靠三角形的判定方法和等边三角形的性质是解题的关键.
10．如图 (1)所示，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，连接AD ，MD ，BC ，BD ， MC ，AC ，S △DMC ，S △DAC 和S △DBC 分别表示△DMC ，△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝
2
DAC
DBC
S
S .
(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 不平行时，S △DMC =2
DBC
DAC
S
S +是否仍然成立?请
说明理由；
(2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB 与CD 相交于点O 时，S △DMC 与S △DAC ，S △DBC 有什么样的数量关系?试说明你的结论． 【答案】(1) S △DMC =2
DAC
DBC
S
S +仍成立，理由见解析； (2)S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -，理由见
解析. 【解析】 【分析】
（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC ，DMC ，DBC 都是同底，而由于AB ∥DC ，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A ，M ，B 分别作BC 的垂线AE ，MN ，BF ，AE ∥MN ∥BF ，由于M 是AB 中点，因此MN 是梯形AEFB 的中位线，因此MN=
1
2
（AE+BF ），三个三角形同底因此结论①是成立的． （2）本题可以利用AM=MB ，让这两条边作底边来求解，三角形ADB 中，小三角形的AB 边上的高都相等，那么三角形ADM 和DBM 的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD ，OMD 的和就等于三角形BMD 的面积，同理三角形AOC 和OMC 的面积和等于三角形CMB 的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系． 【详解】
(1)当AB 与CD 不平行时，S △DMC =
2
DAC
DBC
S
S +仍成立．分别过点A ，M ，B 作CD 的垂线
AE ，MN ，BF ，垂足分别为E ，N ，F.∵M 为AB 的中点，∴MN ＝
12(AE+BF)，∴S △DAC +S △DBC =12DC·AE+12DC·BF ＝12
DC·(AE+BF)= 12
DC·2MN=DC·MN=2S △DMC .∴S △DMC =2
DAC
DBC
S S +；
(2)S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -.理由：∵M 是AB 的中点，∴S △ADM ＝S △BDM ，S △ACM =S △BCM ,而
S △DBC =S △BDM +S △BCM +S △DMC ,① S △DAC =S △ADM +S △ACM -S △DMC ,②∴①-②得S △DBC -S △DAC =2S △DMC ,故S △DMC =
2
DBC
DAC
S
S -.
【点睛】
本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.