比例式的定義：
假設有兩個比a ：b 和c ：d ，如果這兩個比的比值相等(b a ＝d
c
)，則稱這兩個比相等， 記成 a ：b ＝c ：d ，這樣的式子就稱為比例式。 【範例】：請求出下列各比例式的解：
(1) 已知7：3＝35：d ，求d ＝？ (2) 已知a ：11＝144：132，求a ＝？
解 ：(1) ∵ 7：3＝35：d ∴ 37＝d
35
， 則 d ＝15。 答：d ＝15。
(2) ∵ a ：11＝144：132 ∴
11a ＝132
144 ， 則 a ＝12。 答：a ＝12。 比例式的性質：
性質1： a ：b ＝ a × n ：b × n ，其中 n ≠ 0。
性質3： x ：y ＝a :b ，則 p x ：q y ＝a ×p :b ×q 。
(x ：y ＝a :b ? a x
＝b y ? a p x p ??＝b q y q ?? ? p x ：q y ＝a ×p :b ×q 。)
因為 p x ：q y ＝a :b ?
a x p ＝b
y
q ? p a x ＝q
b y ? x ：y ＝ p a ：q b )
連比：
如果第一個數與第二個數的比是 a :b ，第二個數與第三個數的比是b : c ，那麼就 可以將這三個數的比寫成 a :b :c 。我們稱 a :b :c 為三個數a 、b 、c 的連比。按 照同樣的方法，還可以定義四個數或四個以上的數的連比。
連比例式的定義：若x ：y ：z ＝a :b :c ，即x ：y ＝a :b 且y ：z ＝b :c 。 由x ：y ＝a :b ，我們可得a x ＝b y ，由y ：z ＝b :c 我們可得b y ＝c z
因此可得
a x ＝b
y ＝c z
。
注意：x ：y ：z ＝a :b :c ，亦可有：x a ＝y b ＝z
c
。
【範例】： A ：B ＝3：2，B ：C ＝4：9，求A ：B ：C ＝？ 解法一： A ：B ＝3：2，我們可得3A ＝2B ， B ：C ＝4：9，我們可得4B ＝9
C
， 因此
3A ×21＝2B ×21＝4B ＝9C ，也就是6A ＝4B ＝9
C
， 故A ：B ：C ＝ 6：4：9。 解法二： 我們也可以從定義來做。
∵ A ：B ＝3：2 ， B ：C ＝4：9 ，則：
A ：
B ：
C 3 ： 2 4 ： 9
(放大2倍)
6 ： 4 4 ： 9 6 ： 4 ： 9
故A ：B ：C ＝ 6：4：9。 【範例】： 已知6A ＝9 B ＝14 C ，求A ：B ：C ＝？
解法一： [6，9，14]＝126，將6A ＝9B ＝14C 除以126我們可得： 126A 6＝126B 9＝126C 14，也就是21A ＝14B ＝9C
。 故A ：B ：C ＝ 21：14：9。
解法二： 由定義來做。
∵ 6A ＝9 B ? A ：B ＝9：6＝3：2 ∵ 9 B ＝14 C ? B ：C ＝14：9
則：
A ：
B ：
C 3 ： 2
14 ： 9
(放大7倍) 21 ： 14 14 ： 9 21 ： 14 ： 9
【範例】： A ：C ＝2：3，B ：C ＝3：4，求A ：B ：C ＝？ 解法一： A ：C ＝2：3，我們可得 2A ＝3C ， B ：C ＝3：4，我們可得 3B ＝4
C
， 因此
2A ×41＝3C ×41＝4C ×31＝3B ×31，也就是8A ＝9
B
＝12C ， 故A ：B ：C ＝8：9：12。 解法二： 由定義來做。 ∵ A ：C ＝2：3 ， B ：C ＝3：4 ，則： A ： B ： C 2 ： 3 3 ： 4 (放大4倍)
(放大3倍) 8 ： 12 9 ： 12 8 ： 9 ： 12
故A ：B ：C ＝8：9：12。
性質2： x ：y ：z ＝a ×x ：a ×y ：a ×z 。 【範例】： x ：y ：z ＝0.6：32：2.1 ＝106：32：1021 ＝106×30：32×30：10
21
×30＝18：20：63。
性質3：x ：y ：z ＝a :b :c ，則 px ：qy ：rz ＝a ×p :b ×q :c ×r ，其中p 、q 、r 三個數不為
零。
( 由性質1：可知x ：y ：z ＝a :b :c ，則有
a x ＝b
y ＝c z
， 若 p 、q 、r 三個不為零的數，則：
a x ×p p ＝
b y ×q
q ＝c z ×r r
? p a px ?＝q b qy ?＝r c rz ?
因此我們有 x p ：y q ：z r ＝a ×p :b ×q :c ×r 。 )
【範例】：已知A ：B ：C ＝2：3：5，求4A ：2 B ：3 C ＝？ 解法一： ∵ A ：B ：C ＝2：3：5我們可得：
∴ 4A ：2 B ：3 C ＝ 2×4：3×2：5×3 ＝ 8：6：15 故4A ：2B ：3C ＝8：6：15。 解法二：
∵ A ：B ＝2：3
∴
B A ＝3
2 ? 24×B A ＝32×24
?2B
4A
＝34 4A ：2B ＝4：3
∵ B ：C ＝3：5 ∴
C
B ＝53
? 32×C B ＝53×32
?
3C 2B ＝5
2 2B ：3C ＝2：5
由定義來做。
4A ： 2B ： 3C 4 ： 3 2 ： 5 (放大2倍) (放大3倍)
8 ： 6
6 ： 15
8 ： 6 ： 15
故4A ：2B ：3C ＝8：6：15。
( 因為 p x ：q y ：r z ＝a :b :c ?
a x p ＝b
y
q ＝c z r ? p a x ＝q b y ＝r
c z
? x ：y ：z ＝
p a ：q b ：r
c
。 )
【範例】： 將2A ：4B ：3C ＝4：12：15，求A ：B ：C ＝？ 解法一： 2A ：4B ：3C ＝4：12：15， 故有 A ：B ：C ＝
24：412：3
15
＝ 2：3：5 因此 A ：B ：C ＝ 2：3：5。 解法二：
由定義來做。
A ：
B ：
C 2 ： 3 3 ： 5
2 ：
3 ： 5
故A ：B ：C ＝2：3：5。
【範例】： 若2x ：3y ：4z ＝1：2：3，求x ：y ：z 之連比？
解法一： ∵ 2x ：3y ：4z ＝1：2：3
∴ x ：y ：z ＝21：32：43， 故x ：y ：z ＝12×21：12×32：12×4
3
＝6：8：9。 答： x ：y ：z ＝6：8：9。 解法二：
∵ 2x ：3y ＝1：2 ∴ x ：y ＝21：32
＝3：4 ∵ 3y ：4z ＝2：3
∴ y ：z ＝32：43
＝8：9 由定義來做。
x ： y ： z 3 ： 4 8 ： 9
(放大2倍) 6 ： 8 8 ： 9 6 ： 8 ： 9
故 x ：y ：z ＝6：8：9。
∵ 2A ：4B ＝4：12
∴ 4B 2A
＝12
4 ? 24×
4B 2A ＝124×24
? B A ＝32
A ：
B ＝2：3
∵ 4B ：3C ＝12：15 ∴
3C 4B ＝15
12 ? 43×
3C 4B ＝1512×43
?
C
B ＝53 B ：
C ＝3：5
連比的性質：
性質1： x ：y ：z ＝a :b :c ，則有：a x ＝b
y ＝c z
。
性質2： x ：y ：z ＝a ×x ：a ×y ：a ×z 。
性質3： x ：y ：z ＝a :b :c ，則 px ：qy ：rz ＝a ×p :b ×q :c ×r ，其中p 、q 、r 三個數不
為零。
性質4：若p x ：q y ：r z ＝a :b :c ，則有x ：y ：z ＝
p a ：q b ：r
c 。 最簡整數連比：若連比x ：y ：z ＝a :b :c ，其中 a ，b ，c 的最大公因數為1，
(a ，b ，c )＝1，則稱x ：y ：z 為最簡整數連比。
【範例】： x ：y ：z ＝2：8：10，其最簡整數比為？
解 ： (2，8，10)＝2 故 x ：y ：z ＝22：28：2
10
＝1：4：5，
因為(1，4，5)＝1，因此x ：y ：z 其最簡整數比為1：4：5。
連比性質的推廣：
性質1： x ：y ：z ：w ＝a :b :c ：d ，則有：
a x ＝
b y ＝
c z
＝d
w 。 性質2： x ：y ：z ：w ＝a ×x ：a ×y ：a ×z ：a ×w 。
性質3： x ：y ：z ：w ＝a :b :c ：d ，則 px ：qy ：rz ：sw ＝a ×p :b ×q :c ×r :d ×s ，其中p 、
q 、r 、 s 四個數不為零。 性質4：若p x ：q y ：r z ：s w ＝a :b :c ：d ，則有x ：y ：z ：w ＝
p a ：q b ：r c
：s
d 。
範例：設x ：z = 2：3，y ：w = 4：3 及x ：y = 3：1，問x ：y ：z ：w = ？ 解：
x ： y ： z ： w 4 ： 3 3 ： 1
12 ： 4 ： 3
2 ：
3
12 ： 4： 18 ：
3 故 x ：y ：z ：w = 12：4：18：3。
範例：設5x ＝ 3y ，3y ＝ 2z 及 2w ＝ 3x ，問x ：y ：z ：w = ？ 解： 5x ＝ 3y ? x ：y = 3：5
3y ＝ 2z ? y ：z = 2：3 2w ＝ 3x ? x ：w = 2 ：3
x ： y ： z ： w 3 ： 5 2 ： 3 6 ： 10 ： 15 2 ：
3 6 ： 10： 15 ：
9
故 x ：y ：z ：w = 6：10：15：9。
範例：設2x ：3y ：4z ：w =3：5：7：2，=問x ：y ：z ：w = ？ 解：
3x 2＝5y 3＝7z 4＝2w ? 23x ＝35y ＝4
7z
＝2w
? x ：y ：z ：w = 23：35：4
7
：2 = 18：20：21：24
故 x ：y ：z ：w = 18：20：21：24。
設甲、乙、丙、丁四人合資買基金，獲利x 元，若他們的投資金額比為6：4：3：2，投資月數比為3：2：4：6 該如何分配獲利才公平？
範例：設甲、乙、丙、丁四人合資買基金，獲利x 元，現在以投資金額與投資時間的乘積分配獲利，
若他們的投資金額比為6：4：3：2，投資月數比為3：2：4：6，問每人各分多少元？
解： 獲利分配比為 9：4：6：6 甲分得
259x 元，乙分得254x 元，丙分得256x 元，丁分得25
6x 元
【更比定理】 若 a ：c = b ：d 則 d ：b = c ： a 。
(
b a = d
c ? b
d = a c
? d ：b = c ： a 。 )
【合比定理】 若 a ：b = c ：d 則 a + b ：b = c + d ：d 。 ( 也就是，
b a ＝d
c
則 b b a + = d d c +。)
【分比定理】 若 a ：b = c ：d 則 a - b ：b = c - d ：d 。
( 也就是，
b a ＝d
c
則 b b a - = d d c -。 ) 【合分比定理】 若 a ：b = c ：d 則 a ＋ b ：c ＋d = a - b ：c －d 其中a ≠b 且c ≠d 。 ( 若
b a ＝d
c
≠ 1 則 b a b a -+ = d c d c -+。
連比的應用：
1. 有A 、B 二種食鹽水，A 重量為40公克，B 重量為90公克，已知兩者水量的比為A ：B ＝2：5，含鹽量的比為A ：B ＝1：2，則A 種食鹽水的濃度為多少？《答案》50％ 詳解：設A 種食鹽水含水2x 公克，鹽y 公克 B 種食鹽水含水5x 公克，鹽2y 公克 ?
?
?=+=+902540
2y x y x 得x ＝10，y ＝20 ∴A 種濃度%50%10040
20
=?
2. 某就業考試中，男女考生比為8：15，考完錄取時發現男女生之比為2：3，而落榜沒錄取的男、女生之比為1：2，求男生的錄取率為多少？ 《答案》25％
詳解：設已錄取男生2x 人，女生3x 人 未錄取男生y 人，女生2y 人 ∴(2x ＋y )：(3x ＋2y )＝8：15 8(3x ＋2y )＝15(2x ＋y ) 24x ＋16y ＝30x ＋15y y ＝6x
男生錄取率為
%254
1
8262222===+=+x x x x x y x x 3. 小豆腐從彰化回臺北，前32路程騎機車，後3
1
路程坐汽車；若機車時速為40公里，全程平均時
速為50公里，則小豆腐坐汽車與騎機車速率的比為多少？
《答案》7：4
詳解：設汽車時速為x 公里，
40?32＋x ?3
1
＝50，x ＝70，
坐汽車與騎機車速率＝70：40＝7：4
4. 小光拿零用錢買鹹酥雞，剩餘的錢為用去的2倍，後來買飲料又用去20元，所餘的錢為原有的
2
1
倍。則小光原有多少錢？ 《答案》120元
詳解：設小光買鹹酥雞用了x 元，剩下2x 元，(2x －20)＝2
3
x ，x ＝40，原有40＋80＝120(元)
5. 父子兩人現年的年齡和為80歲，10年前父年是子年的3倍，幾年後父親年齡是兒子的兩倍？
《答案》5年後
詳解：設父親x 歲，兒子y 歲，(x －10)＝3(y －10)，又x ＋y ＝80→x ＝55，y ＝25， 設n 年後，父親年齡是兒子的兩倍： (55＋n )＝2(25＋n )→n ＝5
6. 蛋蛋到超市買一包杏仁小魚，內含杏仁及小魚乾，共重400克，其中杏仁與小魚乾重量比為3：1，每公斤杏仁300元，小魚乾每公斤400元，則蛋蛋買一包杏仁小魚需幾元？
《答案》130元
詳解：杏仁與小魚乾重量比為3：1， 內含杏仁300克，小魚乾100克，
300×1000300＋400×1000100＝130(元)
7. 有一群男女，男生走了15名後，男女生之比為3：4，之後女生走了11名，此時男女生之比為5：3，求最初男女生各有多少人？
《答案》男生30人，女生20人
詳解：設最初男生有x 人，女生有y 人
?
?
?=--=-35)11()15(43
)15(：：：：y x y x ????-=-=-)11(5)15(33)15(4y x y x ????-=-=-10536034y x y x ????-=-=-301593001520y x y x ???
?==20
30
y x 8. 小野貓與少甫兩人將資本投入股市，最初資本比為3：4，一年後小野貓獲利50000元，少甫虧損20000元，結果兩人資本比變為5：4，請問小野貓原本投資多少元？
《答案》資本112500元
詳解：設小野貓資本3x 元，少甫4x 元，
(3x ＋50000)：(4x －20000)＝5：4，x ＝37500， 小野貓資本112500元。
9. 921大地震損失慘重，甲、乙、丙三人決定捐出一日所得幫助受災戶，已知甲一天工資的3倍等於乙一天工資的2倍，乙一天工資的3倍等於丙一天工資的2倍，若三人共捐出4560元，則甲、乙、丙三人一天的工資各是多少元？
《答案》甲工資＝960元，乙工資＝1440元，丙工資＝2160元。
詳解：甲工資：乙工資：丙工資＝4：6：9，所以甲工資＝960元，乙工資＝1440元，丙工資＝2160元。
10. 永澤去文具店挑選文具，發現1枝鋼筆打3折的價錢與2枝原子筆的價錢相同，3枝原子筆的價錢與5枝鉛筆的價錢相同，則鋼筆，原子筆與鉛筆的價錢比為何？
《答案》100：15：9
詳解：設鋼筆一支x 元，原子筆一支y 元，鉛筆一支x 元，0.3x ＝2y ，3y ＝5z ，x ：y ：z ＝100：15：9
11. 設a c c b b a ==，求c b a c b a 27325-+-+之值？
《答案》4
3
詳解：令k a
c
c b b a === k ≠0
∴a ＝bk b ＝ck c ＝ak 32ak ck bk a ===∴
13=∴k ∴k ＝1 a ＝b ＝c c b a c b a 27325-+-+∴a a a a a a 27325-+-+=4
386==a a 12. 小達一家三口的年齡總和為80，且爸爸的年齡是小達的3倍，媽媽年齡的3倍是小達的8倍，則三人年齡各為何？
《答案》爸爸36歲，媽媽32歲，小達12歲 詳解：設爸爸x 歲，媽媽y 歲，小達z 歲 x ＝3z ，∴x ：z ＝3：1， 3y ＝8z ，∴y ：z ＝8：3， ∴x ：y ：z ＝9：8：3 故x ＝9k ，y ＝8k ，z ＝3k 9k ＋8k ＋3k ＝80，k ＝4 x ＝36，y ＝32，z ＝12
13. 若鳳梨、蘋果與西瓜各一斤的售價比為2：3：1，欲宣各買3斤共花了270元，則新梓買了2斤鳳梨、3斤蘋果與5斤西瓜共花多少錢？
《答案》270
詳解：270÷÷3＝90
90÷6×2＝30，90÷6×3＝45，90÷6×1＝15， 2×30＋3×45＋5×15＝270
14. 已知一預拌水泥車內，水泥、砂和石子的比為7：4：3，後來因不夠使用，又增加了同比例的預拌水泥若干。已知後來增加的預拌水泥之中，砂比石子多增加了0.05公噸，試求後來增加的預拌水泥中含有水泥多少公噸？
《答案》0.35公噸
詳解：因為水泥：砂：石子＝7：4：3 設水泥增加7x 公噸，砂增加4x 公噸，
石子增加3x 公噸?4x －3x ＝0.05，x ＝0.05 所以7x ＝7×0.05＝0.35
15. 已知買3斤鳳梨的錢和2斤蘋果的錢相等，且買1斤鳳梨的錢等於2斤西瓜的錢，則鳳梨、蘋果與西瓜各一斤的售價比為何？
《答案》2：3：1
詳解：設鳳梨、蘋果、西瓜一斤的售價分別為x 元、y 元與z 元 則3x ＝2y ?x ：y ＝2：3 又x ＝2z ?x ：z ＝2：1 所以x ：y ：z ＝2：3：1
16. 如圖，有甲、乙、丙三個齒輪緊密接合在一起，而且分別有60齒、24齒、36齒，則甲、乙、丙三個齒輪在同一時間轉動的圈數比為 。
《答案》6：15：10
詳解：同一時間轉動的圈數比等於齒數的倒數比
故所求為36
1
:241:601＝10:15:6
17. 設酒精x 立方公分的重量為y 公克，而且x 、y 的關係如圖所示。
(1)設kx y =，則=k ？
(2)酒精80立方公分的重量為多少公克？ (3)酒精80公克的體積為多少立方公分？
《答案》(1)0.8 (2)64 (3)100
詳解：(1)kx y =的圖形通過點)8,10( 所以8.0108=??=k k (2)以80=x 代入x y 8.0=中 得64808.0=?=y
(3)以80=y 代入x y 8.0=中 得x ?=8.080100=?x
18. 若y 與x 成正比，已知1x 、2x 為x 的兩個值，而且其對應y 的兩個值分別為1y 、2y ，請嘗試說明
2121::x x y y =。
《答案》如詳解
詳解：因為y 與x 成正比，所以可假設y ＝kx (k 為定數且k ≠0)，又1x 、2x 的對應值分別為1y 、2y ，所以11kx y =、22kx y =，因此21:y y ＝21:kx kx ＝21:x x
19. 一物體自高空自由落下(落下的距離s 公分與時間t 秒的平方成正比)，已知此物體2秒後落下1960公分，請問：
(1)s 與t 的關係式為何？
(2)此物體3秒後落下了多少公分？
(3)此物體在第3秒內落下了多少公分？(從第3秒初到第3秒末)
(4)此物體在第4秒末恰落於地面，則此物體原來所在的高度為多少公分？
《答案》(1)2490t s = (2)4410 (3)2450 (4)7840 詳解：(1)設2kt s =(k 為定數且0≠k )
則2
21960?=k 490=?k 故s 與t 的關係式為2490t s =
(2)以3=t 代入2490t s =中 得2
3490?=s 4410=所以此物體3秒後落下4410公分 (3)此物體2秒後落下1960公分 而且物體3秒後落下4410公分 又4410－1960＝2450 故此物體在第3秒內落下了2450公分 (4)以4=t 代入2490t s =中
得784044902=?=s 所以此物體原來所在的高度為7840公分
20. 已知球的體積與其半徑的立方成正比。今有三個金屬球，它們的半徑分別是3、4、5公分，若把這三個球熔成一個大球，則此大球的半徑是多少公分？
《答案》6
詳解：因為球的體積與半徑的立方成正比，而且333543++＝1256427++＝216＝3
6，所以大球的半徑為6
21. 若x 61
與y 81成反比，而且當4=x 時，3=y ，則當9-=y 時，=x ？
《答案》3
4
-
詳解：因為x 61
與y
81成反比，所以6x 與8y 成反比，因此設k y x =?86，又4=x 時，3=y ，所以
k =?2424 576=?k ，即57686=?y x ，再以9-=y 代入57686=?y x 中，得576)72(6=-?x
34
-=?x
22. 若x 與2
y 成反比，當y 變為原來的2倍時，則x 變為原來的多少倍？
《答案》4
1
倍
詳解：因為x 與2y 成反比，所以可假設k xy =2（k 為定數且0≠k ），當y 變為原來的2倍時，則
2224)2(y y y ??，又k y x =?244，所以x 變為原來的4
1
倍
23. 有一彈簧秤原長20公分，在彈性限度內最多可秤16公斤，若秤y 公斤重的物體時，彈簧拉長x 公分。根據「虎克定律」，則：
(1)若秤10公斤重的物體時，彈簧全長25公分，請寫出x 、y 的關係式。 (2)若秤14公斤重的物體時，彈簧全長多少公分？
《答案》(1)y ＝2x (2)27公分
詳解：(1)25－20＝10×k ，k ＝2
1
?x ＝2
1
y ?y ＝2x
(2)2x ＝14，x ＝7 20＋7＝27(公分)
24. 在彈性限度內，如果秤y 公斤重的物體時，彈簧拉長x 公分，且x 與y 成正比，則：
(1)設一原長18公分的彈簧，在彈性限度內秤18公斤重的物體時，彈簧全長為24公分，則當秤10公斤重的物體時，彈簧拉長多少公分？
(2)另一彈簧在彈性限度內秤重15公斤時，彈簧拉長9公分，則秤重多少公斤時，彈簧會被拉長10公分？
《答案》(1)313公分 (2)3
2
16公斤
詳解：(1)依題意得y ＝kx (k 為常數) y ＝18時，x ＝24－18＝6 ?18＝6k ?k ＝3
則x 與y 的關係式為y ＝3x
當y ＝10時 ?10＝3x ?x ＝3
1
3(公分)
(2)15＝9k ?k ＝3
5
則x 與y 的關係式為y ＝x 35
當x ＝10時 ?y ＝35×10＝3
2
16(公斤)
25. 甲、乙、丙同時出發跑400公尺，若三人全程均以固定速率來跑，當乙到終點時甲離終點還有50公尺，丙離終點還有100公尺，那麼： (1)甲、乙、丙三人速率比為何？
(2)三人以相同速率參加800公尺比賽，當丙落後乙70公尺時，乙離終點還有多少公尺？
《答案》(1)7：8：6 (2)520公尺
詳解：(1)因為當時間相同時，速率比＝距離比 所以甲、乙、丙三人速率比為
(400－50)：400：(400－100)＝7：8：6 (2)設乙離終點還有x 公尺
則(800－x )：(800－x －70)＝8：6 ?(800－x )：(730－x )＝4：3 ?2400－3x ＝2920－4x ?x ＝520
【範例】：雞兔賽跑，雞跑3步的距離等於兔跑5步的距離；雞跑5步的時間等於兔跑
3步的時間。請問雞跟兔的速率比是多少？
解 ：∵雞跑3步的距離等於兔跑5步的距離，
∴雞跟兔跑一步的距離比為 31：5
1
。
∵雞跑5步的時間等於兔跑3步的時間，
∴雞跟兔跑一步的時間比為 51：3
1
。
又 ∵ 速率＝距離÷時間，
則雞跟兔的速率比為5131：3151
＝35：53
＝5×5：3×3＝25：9。
答：雞跟兔的速率比是25：9。