数学思想与方法—构造法(含答案）
所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定
的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。
这是一种重要死亡数学方法和技巧,通过“构造”可
以把原本复杂、隐蔽、陌生的条件和问题变得简单、明显、容易，借助构造法可以把许多问题化难为易，化繁为简，从而达到正确解题的目的。
【例1】有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三
甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然【例2】
数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，
8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格
中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数
字可以重复。当6个方格都填有数字后，就形成一个
六位数。如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；
如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜。设N小
于15，问当N取哪几个数时。乙能取胜？
在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了【例3】
4发子弹，全部中靶。其命中情况如下：
①每人4发子弹所命中的环数各不相同；
②每人4发子弹所命中的总环数均为17环；
③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，
乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样：
④甲与丙只有1发环数相同；
⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
问：甲与丙命中的相同环数是几？
老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进【例4】
行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上
2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操
作后，使得：
⑴三个数都变成12？⑵三个数变成23、15、19？
老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进【例4】
行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上
2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操
作后，使得：
⑴三个数都变成12？⑵三个数变成23、15、19？
有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆【例5】
中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石
子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆。
开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块
石子，第三堆有89块石子。问能否做到：
⑴某2堆石子全部取光？
⑵3堆中的所有石子都被取走？
任意选取9个连续的正整数，即它们的乘积为P，【例6】
最小公倍数为Q。我们知道，P除以Q所得到的商必
定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少？
测试题
1．在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3 名专业选手与3 名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分。问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高？
2．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。求M的最小值并完成你的填图。
3．1998 名运动员的号码依次为1 至1998 的自然数。现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积。那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人？
4．在10×19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和。问最多能得到多少个不同的和数？
5．在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点。求n的最小值。
6．在图中有16个黑点，它们排成了一个4×4的方阵．用线段连接其中4 点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点？
答案
1．答案：当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10＋2－3＝9(分)。此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10＋2－2＋3＝13(分)。所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高。
当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10＋2＋2－2＝12(分)。此时，三位专业选手最多共得30＋0＋4＝34(分)，
其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分。由三个人得34分，34÷3＝11 1
3
，推知，必有人得分不超过11分。
也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高。
2．答案：要使M 最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5 个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M 就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的。因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×(1＋2＋3＋…＋10)＝275．每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整数M大于28。
下面来验证M＝28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27。因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图。
3．答案：我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处？
考虑到44的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式。因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数。
但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢？构造2×97，3×96，4×95，…，44×45，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数，所以43位最小值，即为所求。
4．答案：首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，…，18，19这20个。
下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现。
如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能。
如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法。
5．答案：首先确定1998不行。反例如下：
其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个红点分布在1000行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点，因为含有0或1个红点的行最多999 个，所以其他行含有红点肯定大于等于1999－999＝1000，如果是大于1000，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n 的最小值为1999。
6．答案：至少要除去6个点，如下所示为几种方法：