基础工程课后习题答案
2-1 某建筑物场地地表以下土层依次为：（1）中砂，厚2.0m，潜水面在地表以下1m处，饱和重度错误!未找到引用源。；（2）粘土隔离层，厚2.0m，重度错误!未找到引用源。；（3）粗砂，含承压水，承压水位高出地表2.0m（取错误!未找到引用源。）。问地基开挖深达1m 时，坑底有无隆起的危险？若基础埋深错误!未找到引用源。，施工时除将中砂层内地下水位降到坑底外，还须设法将粗砂层中的承压水位降几米才行？
【解】（1）地基开挖深1m时持力层为中砂层
承压含水层顶面以上土的总覆盖压力：20×1＋19×2=58kPa
承压含水层顶部净水压力：10×（2+2+2）=60kPa
因为58<60 故坑底有隆起的危险！
（2）基础埋深为1.5m时
承压含水层顶面以上土的总覆盖压力：20×0.5＋19×2=48kPa
≥承压含水层顶部净水压力=10×错误!未找到引用源。得：
错误!未找到引用源。≤4.8m ；
故，还应将承压水位降低6-4.8=1.2m。
2-2 某条形基础底宽b=1.8m，埋深d=1.2m，地基土为粘土，内摩擦角标准值错误!未找到引用源。=20°，粘聚力标准值错误!未找到引用源。=12kPa，地下水位与基底平齐，土的有效重度错误!未找到引用源。，基底以上土的重度错误!未找到引用源。。试确定地基承载力特征值
a
f。
【解】根据题给条件可以采用规范推荐理论公式来确定地基的承载力特征值。
由错误!未找到引用源。=20°查表2-3，得错误!未找到引用源。因基底与地下水位平齐，故错误!未找到引用源。取有效重度错误!未找到引用源。,故：地基承载力特征值
kPa
c
M
d
M
b
M
f
k
c
m
d
b
a
29
. 144
12
66
.5
2.1
3.
18
06
.3
8.1
10
51
.0
=
?
+
?
?
+
?
?=
+ +
=γ
γ
2-3 某基础宽度为2m，埋深为1m。地基土为中砂，其重度为18kN/m3，标准贯入试验锤
击数N=21，试确定地基承载力特征值a f 。
【解】 由题目知，地基持力层为中砂，根据标贯锤击数N=21查表2-5，得：
kPa f ak 286)250340(15
3015
21250=---+
=
因为埋深大于d=1m>0.5m ，故还需对k f 进行修正。查表2-5，得承载力修正系数0.3=b η，
4.4=d η，代入公式（2-14）得修正后的地基承载力特征值为： kPa
d b f f m d b ak k 6.325)5.01(184.4)33(180.3286)5.0()3(=-??+-??+=-+-+=γηγη 2-4 某承重墙厚240mm ，作用于地面标高处的荷载m kN F k 180=，拟采用砖基础，埋深为1.2m 。地基土为粉质粘土，318m kN =γ，9.00=
e ，kPa
f ak 170=。试确定砖基础的底面宽度，并按二皮一收砌法画出基础剖面示意图。
【解】 因为基础埋深d=1.2m>0.5m 故需先进行地基承载力深度修正，持力层为粉质粘土，查表2-5得 0.1=d η，得修正后的地基承载力为：
()kPa d f f m d ak a 6.1825.02.1180.1170)5.0(=-??+=-+=γη
此基础为墙下条形基础，代入式2-20得条形基础宽度：
13.12.1206.182180
=?-=-≥
d f F b G a k γm
为符合砖的模数取b=1.2m ，砖基础所需的台阶数为：
8
602240
1200=?-=
n
所以按二皮一收砌法的基础截面如图所示：
2-5 某柱基承受的轴心荷载MN F k 05.1=，基础埋深为1m ，地基土为中砂，318m kN =γ，kPa f ak 280=。试确定该基础的底面边长。
【解】 因为基础埋深d=1.0m>0.5m 故需先进行地基承载力深度修正，持力层为中砂，查表2-5得 4.4=d η，得修正后的地基承载力为：
()kPa
d f f m d ak a 6.3195.01184.4280)5.0(=-??+=-+=γη
柱下独立基础代入公式2-19，基础底面边长：
87.11
206.3191050
=?-=-≥
d f F b G a k γm
取基底边长为1.9m 。
2-6 某承重砖墙厚240mm ，传至条形基础顶面处的轴心荷载m kN F k 150=。该处土层自地表起依次分布如下：第一层为粉质粘土，厚度2.2m ，317m kN =γ，91.00=e ，kPa f ak 130=，MPa E s 1.81=；第二层为淤泥质土，厚度1.6m ，kPa f ak 65=，MPa E s 6.22=；第三层为中密
中砂。地下水位在淤泥质土顶面处。建筑物对基础埋深没有特殊要求，且不必考虑土的冻胀问题。（1）试确定基础的底面宽度（须进行软弱下卧层验算）；（2）设计基础截面并配筋（可近似取荷载效应基本组合的设计值为标准组合值的1.35倍）。 【解】 （1）确定地基持力层及基础埋深
考虑到第二层不宜作为持力层并结合“宽基浅埋”的设计原则，确定第一层粉质粘土作为持力层，其下第二层为软弱下卧层，故可按最小埋深条件确定基础埋深d=0.5m 。。 （2）初步确定基础底面尺寸
因为d=0.5m 故不需要进行地基承载力特征值埋深修正，即：
ak a f f ==130kPa 。
砖下条形基础代入公式2-20得基础宽度
25.15
.020130150
=?-=-=
d f F b G a k γm
取b =1.3m<3m ，故无需再进行宽度修正。 (3)软弱下卧层承载力验算
kPa CZ 4.372.217=?=σ
由1.36.21.821==s s E E ，7.15.02.2=-=z m >0.5b ，查表2-7得 23=θ。
kPa d b F p G k k 4.1255.0203.1150=?+=+=
γ 下卧层顶面处的附加应力为：
()()
kPa z b p b cd k Z 4.5523tan 7.123.15.0174.1253.1tan 2=??+?-?=+-=
θσσ
()kPa z d f f m d ak az 9.935.02.2170.165)5.0(=-??+=-++=γη
kPa f kPa az CZ Z 9.938.924.374.55=<=+=+σσ（可以）
(4)基础设计
依题意采用钢筋混凝土条形基础。采用C20混凝土，2
10.1mm N f t =，钢筋用HPB235
级，2
210mm N f y =。 基础埋深为0.5m 荷载设计值 kN F F k 5.20215035.135.1=?== 基底净反力 kPa b F p j 8.1553
.15.202===
基础边缘至砖墙计算截面的距离
()53.024.03.12
1
1=-?=
b m 基础有效高度
mm m f b p h t
j 107107.01100
7.053
.08.1557.010==??=
≥
取基础高度250=h mm ，2055402500=--=h mm （107>mm ）。
m kN b p M j ?=??==
9.2153.08.1552
12122
1 26
0565205
2109.0109.219.0mm h f M A y s =???==
配钢筋200@12φ，2
565mm A s =，垫层用C10混凝土。
2-7 一钢筋混凝土内柱截面尺寸为300mm ×300mm ，作用在基础顶面的轴心荷载
kN F k 400=。自地表起的土层情况为：素填土，松散，厚度1.0m ，34.16m kN =γ；细砂，
厚度2.6m ，318m kN =γ，320m kN sat =γ，标准贯入试验锤击数N ＝10；粘土，硬塑，厚度较大。地下水位在地表下1.6m 处。试确定扩展基础的底面尺寸并设计基础截面及配筋。 【解】 (1)确定地基持力层
根据承载力条件，及最小埋深的限制，综合“宽基浅埋”的设计原则，选择细沙层作为持力层（素填土层厚度太小，且承载力低；硬塑粘土层埋深太大不宜作持力层） (2)确定基础埋深及地基承载力特征值
根据基础尽量浅埋的原则，并尽量避开潜水层，可取埋深d =1.0m 。查表2-5，得细砂的
d η=3.0，地基承载力特征值为：
()kPa d f f m d ak a 6.1645.00.14.160.3140)5.0(=-??+=-+=γη
(3)确定基础底面尺寸
66.10
.1206.164400
=?-=-=
=d f F l b G a k γm
取7.1==l b m 。 (4)计算基底净反力设计值
kPa b F p j 9.1867.17.140035.12
=??==
(5)确定基础高度
采用C20混凝土，2
10.1mm N f t =，钢筋用HPB235级，2210mm N f y =。取基础高
度400=h mm ，355454000=-=h mm 。因01.1355.023.020=?+=+h b c m 故按式（2-57）作冲切验算如下： kN h b b b h a l p c c j 4.87355.023.027.17.1355.023.027.19.18622222 2 00=?? ?? ??? ???? ??---???? ??--?=?? ? ???????? ??---??? ??--()()kN kN h h bc f h t p 4.870.179355.0355.03.011000.17.07.000>=?+???=+β （可以） (6)确定底板配筋。本基础为方形基础，故可取 ()()() ()()m kN bc b ac p M M j ?=+??-??= +-==I 5.563.07.123.07.19.18624 1212412 2 26 0842355 2109.0105.569.0mm h f M A A y s s =???===I I 配钢筋1011φ双向，2 28425.863mm mm A s >=。 2-8 同上题，但基础底面形心处还作用有弯矩m kN M k ?=110。取基底长宽比为1.5，试确定基础底面尺寸并设计基础截面及配筋。 【解】 可取基础埋深为1.0m ，由上题知地基承载力特征值kPa f a 6.164=。 (1)确定基础底面尺寸 考虑到荷载偏心作用，可将轴心荷载下所得到的基底面积之增大30％得初选基底面积： 2 6.30.1206.164400 3.13 .1m d f F A G a k =?-?=-=γ 取边长比n=1.5得基础宽度： 55.15 .16.3=== n A b m ，取6.1=b m 。 4.26.15.1=?==nb l m kN G F k k 8.47614.26.120400=???+=+ 验算偏心距： m l m G F M e k k k 4.06 231.08.476110=<==+= （可以） kPa f kPa l e A G F p a k k k 5.1976.1642.12.19.1954.2231.0614.26.18.47661max =?=<=?? ? ???+??=? ?? ? ?++= （可以） (2)计算基底净反力设计值 kPa A F p j 6.1404 .26.140035.1=??== kPa bl M bl F p j 3.2374.26.1110 35.164.26.140035.162 2max =???+??=+= kPa bl M bl F p j 9.434.26.1110 35.164.26.140035.162 2min =???-??=-= 平行于基础短边的柱边Ⅰ-Ⅰ截面的净反力： ()()kPa p p l a l p p j j c j j 7.1529.433.2374 .223.04.29.432min max min =-??++=-++ =I (3)确定基础高度 采用C20混凝土，2 10.1mm N f t =，钢筋用HPB235级，2210mm N f y =。取基础高 度500=h mm ，455455000=-=h mm 。 因m b m h b c 6.121.1455.023.020=<=?+=+，故按式（2-57）作冲切验算如下（以max j p 取代式中的j p ）： kN h b b b h a l p c c j 9.216455.023.026.16.1455.023.024.23.23722222 2 00max =???? ??? ???? ??---???? ??--?=?? ? ???????? ??---??? ??-- ()()kN kN h h bc f h t p 9.2165.264455.0455.03.011000.17.07.000>=?+???=+β （可以） (4)确定底板配筋 对柱边Ⅰ-Ⅰ截面，按式（2-65）计算弯矩： ()()()[] ()()()()[]()m kN a l b p p b b p p M c j j c j j ?=-??-++??+?= --+++=I I I 8.1373.04.26.17.1523.2373.06.127.1523.23748 1248 1 2 2max max 26 01602455 2109.0108.1379.0mm h f M A y I SI =???== 配钢筋1215φ，2 216021695mm mm A s >=，平行于基底长边布置。 ()()()()m kN a l b b p M c c j ?=+?-??=+-= 5.503.04.223.0 6.16.14024 122412 2 260587455 .02109.0105.509.0mm h f M A y S =???== 按构造要求配筋1013φ，2 25871021mm mm A s >=，平行于基底短边布置。 如图所示 3-4 以倒梁法计算例题3-1中的条形基础内力。 【解】 （1）用弯矩分配法计算肋梁弯矩 沿基础纵向的地基净反力为: m KN l F bp j /5.37617 104.63 =?== ∑ 边跨固端弯矩为: m KN l bp M j ?=??==3.6355.45.37612112122 121 中跨固端弯矩为: m KN l bp M j ?=??== 5.112965.37612112122 223 1截面(左边)伸出端弯矩: m KN l bp M j l ?=??==2.18815.3762 12122 01 节点 1 2 3 4 分配系数 0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 固端弯矩 188.2 -635.3 635.3 -1129.5 1129.5 -635.3 660.3 -188.2 分配结果（kN ·m ） 188.2 -238.2 1011 -1011 1011 1011 238.2 -188.2 （2）肋梁剪力计算 1截面左边的剪力为: KN l bp V j l 5.3760.15.37601 =?== 计算1截面的支座反力 ()KN M M l l bp l R j 9.10515010115.55.376215.41211 2 12'21011=?? ? ??+-?=??????+-+= 1截面右边的剪力: ()kN R l l bp R KN R l bp V j j r 8.10189.10515.55.3764.6759.10515.3761102' 101=-?=-+=-=-=-= 取23段作为脱离体: KN R V KN R V KN R R R KN M M l bp l R r l j 5.11628.10183.21815.11628.10185.11621011101165.37621612112''22'22''2'22 3'2'2222''-=-====+=+==?? ? ??-+??=??? ??-+= 按跨中剪力为;零的条件来求跨中最大负弯矩: m KN R x bp m x x R bp j j ?-=?-??=?-= ==-=-0.3448.110118.25.3762 1 8.121M 8.25.376/8.10438 .10435.3762121max 1所以 23段对称,最大负弯矩在中间截面: m KN M l bp M j ?-=+??-=+-=2.683101165.3768 18 1222 2max 2 由以上的计算结果可作出条形基础的弯矩图和剪力图 683.2 344 344 188.2 188.2 238.2 238.2 弯矩图M(kN ·m) 1011 1011 1018.8 1162.5 376.5 675.4 剪力图V(kN) 376.5 675.4 1162.5 1018.8 补充题：设一箱形基础置于粘性土（kPa f k 300=）地基上，其横剖面上部结构及上部结构荷重如图，上部结构总重为48480KN ，箱形基础自重为18000KN ，箱形基础及设备层采用C20混凝土，上部结构梁、柱采用C30混凝土，框架柱0.5m ×0.5m ，框架梁0.25m ×0.60m ，求矩形基础纵向跨中的整体弯矩。 【解】 （1）箱型基础内力计算，按纵向整体弯曲计算，由静力平衡条件计算跨中最大弯矩为： m kN M /22690660601260601860602430303635.8859659.90015661.97221646.1281max =?-?-?-?-??+??+??+??= （2）计算箱型基础刚度F F E I 箱型基础横截面惯性矩334 112.5 3.55(12.50.8) 2.7726.326012 F I m ??= ?--?=?? 箱基刚度26.3260F F F E I E = （3）上层结构折算刚度B B E I 纵向连续钢筋混凝土墙的截面惯性矩341 20.3 2.20.532412 w I m =???= 各层上下柱的截面惯性矩341 30.50.50.015612 ui li I I m ==???= 各层纵梁的截面惯性矩341 30.30.50.009412 bi I m =? ??= 各层上下柱、纵梁的线刚度0.01560.00562.8 ui li K K === 0.0094 0.00166bi K = = 上部结构折算刚度 2122(1)20.00560.00564870.00941()20.00160.00560.0056 60.0056480.00941()0.5324 20.00160.0056 64.2658n ui li B B b bi w w bi ui li b b b b K K E I E I m E I K K K E E E E ??+=++??++?? +? ?=???+??? ?++??? ?+??+?+????+??=∑ （4）箱型基础所承担的整体弯矩F M （取F b E E =） 26.3260226901952626.3260 4.2658F F F F F F B B F b E I E M M kN m E I E I E E ==?=?++ 3-1 （a ）强柱弱梁 弱柱强梁 基础受约束较小，趋于自由变形，整体变形。 相当于叠合在一起，弯矩方向基础受到梁的约束 地基反力 弯矩中部较大弯矩较均匀 (b) 框架刚度大基础刚度大 反力均匀反力不均匀 弯矩均匀弯矩中部大 （c）中柱下压缩大边柱压缩大 反力较均匀反力中间大两边小 基础弯矩中部大 弯矩较均匀 （d ）高压缩地基 土反力不均匀 低压缩地基 土反力均匀 弯矩中部大 弯矩均匀 P115页 3-4 以倒梁法计算例题3-1中条形基础内力。 解：例题3-1，基底平均净反力 kpa lb F p j 6.1505 .2172)20001200(=??+== ∑ 沿基础纵向地基净反力线荷载 m kN l F bp j /47.376==∑ （1） 固端弯矩计算 边跨固端弯矩为：m kN l bp M j BA ?=??== 3.6355.447.376121 121221 中跨固端弯矩为：m kN l bp M j BC ?=??==4.1129647.37612 112122 2 A 截面（左边）伸出弯矩为：m kN l bp M j l A ?=??==24.188147.3761212122 两端固定的梁，力偶作用下固端弯矩 M l a b M AB 2)13(-= ，M l b a M BA 2 ) 13(-=，这里a=0 ,b=l A 端力偶荷载产生的内力是-50KN.m 。A 端固端弯矩是线荷载和力偶荷载产生弯矩的叠加，相互抵消。 所以是585.3 KN.m A 固端弯矩的分配，左边自由伸出，不传递分配弯矩，0=l A μ, 右边1=r A μ。 B 固端弯矩的分配，左边57.0444=+= BC BA BA l A i i i μ，右边43.0444=+=BC BA BC r A i i i μ 即使作为点荷载，A点弯矩荷载也应分配到A右边，因为右边分配系数是1，左边是0 。 任何超静定结构上的荷载都会产生内力，内力在弯矩二次分配要参与工作！ ●大多数同学对B端固端弯矩分配系数错误，注意长度不一样，AB和BC跨度不一样， 一个4.5m,一个是6m.线刚度是不一样的。有些是仿照例题3-3, 边支座作为铰接，所以 边跨刚度是3i BA, 但这和计算出的弯矩和传递系数1/2不符，是一种保守的简化计算。 ●A端的弯矩没有叠加力偶产生的固端弯矩。 （2）用弯矩分配法计算梁弯矩 见表1， （2）地基梁剪力和跨中弯矩计算（参考P97页例题3-3过程） 表1 A B C D 分配系数0 1 0.57 0.43 0.43 0.57 1 0 固端弯矩188.24 -585.3 635.3 -1129.4 1129.4 -635.3 585.3 -188.24 传递与分配397.06 -397.1 198.5 -198.5 -168.5 127 -127 -168.5 84.3 -63.5 63.5 -84.3 -84.3 36.2 27.3 -27.3 -36.2 84.3 18.1 -42.2 -13.9 13.9 42.2 -18.1 M(KN m) 188.24 -170.14 996.3 -1052 1052 -996.3 170.14 -188.24 -18.1 18.1 -9.05 9.05 37 27.8 -27.8 -37 18.5 -13.9 13.9 -18.5 -18.5 7.9 5.98 -5.98 -7.9 18.5 M(KN m) 188.24 -188.24 1032.2 -1032.2 1032.2 -1032.2 188.24 -188.24 弯矩和剪力图。 单位：KN.m 单位：KN P180 第4章习题答案 4-1桩端支撑在中等风化的硬质岩石上，为端承桩。忽略侧阻影响，则桩所受轴力均匀，等于桩顶传来竖向压力值800KN . 桩的沉降量即等于桩发生的弹性压缩变形（单位都统一换算成N，mm） S=mm l EA N 67 .1 10 10 10 3 400 10 800 3 4 2 3 = ? ? ? ? ? = 4-2 此题练习使用单桩竖向承载力特征值的规范经验公式 ∑ + = i sia p p pa a l q u A q R 承台埋深1.0m ，桩端进入中密中砂为1.0 m, 则桩长为（3+6+1）—1=9m 。 KN R a 7. 595 2. 277 5. 318 )1 30 6 20 2 24 ( 35 .0 4 35 .0 26002 = + = ? + ? + ? ? ? + ? = 单桩承载力特征值为595.7KN 4-3此题练习应用分配桩顶荷载计算公式 （1）确定承台埋深。根据题意，第一层土为杂填土，厚度1.0m ，此土层强度低，变形大，埋深大于等于此土层厚度。埋深确定为1m ,满足规范最小埋深0.5m 要求。 （2）计算单桩竖向承载力特征值。 初步确定桩进入粉质粘土层1m ,计算桩承载力。如不满足则再增加桩长，直到满足。如开始就取很长桩长，承载力很大，则会造成较大浪费。 去掉承台埋深1m，则桩长为6.5+1=7.5m KN l q u A q R i sia p p pa a 1. 331 6. 110 5. 220 )1 40 5.6 6( 35 .0 4 35 .0 18002 = + = ? + ? ? + ? = + =∑ （3）初步选定桩数，确定承台尺寸，布桩。 桩数6.5 1. 331 / 1850= = > a k R F n，取6根。 桩距m b s p 05 .1 35 .0 0.3 0.3= ? = = 按照常规经验，桩距一般3~4倍范围内。此题可以在这个范围调整桩距，建议取整数，例如1.1m ，1.2m 等，这样便于施工。 如果只是按照书中例题步骤模仿做题，则取桩距1.05m 承台边长 8.2)05.135.0(2=+?=a m m b 9.1)6.035.0(2=+?= 实际这是最低限要求，可以在此基础上调整，如取0.20.3?，0.28.2?。 布桩如图所示。 有些同学一开始桩取的很长，如大于12m ，则桩数就少，4根。如果按照上述步骤生硬计算，很可能布桩错位，如计算a 时，公式不加区分代入 1.05，就是错误。这个应该代入1.05/2=0.525m ，可以取整数0.6，则桩距1.2m 。 （3）计算桩顶部荷载。 根据题意，所有荷载传至设计地面。切勿生硬模仿书中例题，书中例题告知荷载传至承台顶面。一般设计，如果没有明确说明传至承台顶面，一般上部荷载的计算位置在设计地面。 KN G F Q k k k 1.3266 .19.18.22018506=???+=+= ∑+±=2 max max min )(i k k k k k x x d H M Q Q =220205.1405 .1)175135(1.326?+???+± ? ??>=<=±=01.2763972.11.376501.326KN KN R KN a 单桩竖向承载力满足要求 1.要了解某班50名学生的性别构成情况，则总体是（）。 A.每一个学生 B.每一个学生的性别 C.全体学生 D.全体学生的性别 2.要了解全国的人口情况，总体单位是（）。 A.每一个人 B.每一户 C.每个省的人口 D.全国总人口 3.某班四名学生金融考试成绩分别为70分、80分、86分和90分，这四个数字是（）。 A.变量值 B.标志 C.指标值 D.指标 4.工业企业的职工人数、职工工资是（）。 A.离散变量 B.前者是离散变量，后者是连续变量 C.连续变量 D.前者是连续变量，后者是离散变量 5.统计学与统计工作的关系是（）。 A.理论与应用的关系 B.工作与结果的关系 C.理论与实践的关系 D.工作与经验的关系 6.某地区为了掌握该地区水泥生产的质量情况，拟对占该地区水泥总产量的90%的五个大型水泥厂的生产情况进行调查，这种调查方式是（）。 A.典型调查 B.重点调查 C.抽样调查 D.普查 7.某地进行国有商业企业经营情况调查，则调查对象是（）。 A.该地所有商业企业 B.该地所有国有商业企业 C.该地每一家商业企业 D.该地每一家国有商业企业 8.对企业先按经济类型分组，再按企业规模分组，属于（）。 A.简单分组 B.平行分组 C.复合分组 D.再分组 9.某变量数列，其末组为开口组，下限为600，又知其相邻组的组中值为550，则末组的组中值是（）。 A.100 B.500 C.650 D.700 10.统计表的宾词是用来说明总体特征的（）。 A.统计指标 B.总体单位 C.标志 D.统计对象 11.下面属于时期指标的是（）。 A.商品销售额 B.商场数量 C.商品价格 D.营业员人数 12.用水平法检查长期计划完成程度，应规定（）。 A.计划期初应达到的水平 B.计划期末应达到的水平 C.计划期中应达到的水平 D.整个计划期应达到的水平 13.第五次人口普查结果，我国每10万人中具有大学程度的为3611人。该数字资料为（）。 A.绝对数 B.结构相对数 C.比较相对数 D.强度相对数 14.某商场计划11月份销售利润比10月份提高2%，实际提高了3%，则销售利润计划完成程度为（）。 A.100.98% B.95.10% C.99.00% D.105.10% 15.平均数反映了（）。 A.总体分布的集中趋势 B.总体分布的离中趋势 C.总体中各单位分布的集中趋势 D.总体变动的趋势 16.中位数和众数是一种（）。 A.常见值 B.代表值 C.实际值 D.典型值 17.计算发展速度的分母是（）。 A.计划期水平 B.固定期水平 C.报告期水平 D.基期水平 18.由一个10项的时间序列可以计算的环比发展速度有（）。 A.8个 B.9个 C.10个 D.11个 例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值． 分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数． 故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-1 【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8 分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中， 从学区2000 名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘 制成如下图表： ⑴表中 a 和 b 所表示的数分别为：a= .，b=.； ⑵请在图中补全频数分布直方图； 2000 名九年级考生数学⑶如果把成绩在70 分以上（含70 分）定为合格，那么该学区 成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇 1﹣ 5 月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （ 1）某镇今年1﹣5 月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （ 2）该镇今年 3 月新注册的小型企业中，只有 2 家是餐饮企业，现从 3 月新注册的小型企业中随机抽取 2 家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（ 12 分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜 色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有 10 个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量． 4．（本题 10 分）某校为了解2014 年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了 40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形 统计图，其中科普类册数占这40 名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）12880m48 （ 1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角 a 的度数； （2）该校 2014 年八年级有 500 名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（ 10 分）将如图所示的版面数字分别是1， 2，3， 4 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“ A”看做是“ 1”）。 （ 1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （ 2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是 5 的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗 匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 幂函数 知识点 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α =（R x ∈）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如1 12 3 4 ,,y x y x y x -===等 都是幂函数 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质，列表如下． ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 三、幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 四、解题方法总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝α x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象 限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 典型题 类型一、求函数解析式 例1.已知幂函数2 223 (1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+， ∞时为减函数，则幂函数y =__________． 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)4 3 3.14 -与43 π - (2)35 (- 与35 (- (3）比较0.5 0.8 ，0.5 0.9，0.5 0.9 -的大小 类型三、求参数的范围 看懂一个程序，分三步：1、流程；2、每个语句的功能；3、试数； 小程序：1、尝试编程去解决他；2、看答案；3、修改程序，不同的输出结果； 4、照答案去敲； 5、调试错误； 6、不看答案，自己把答案敲出来； 7、实在不会就背会。。。。。周而复始，反复的敲。。。。。 【程序1】 题目：有1、2、3、4个数字，能组成多少个互不相同且无重复数字的三位数？都是多少？ ============================================================== 【程序2】 题目：企业发放的奖金根据利润提成。利润(I)低于或等于10万元时，奖金可提10%；利润高 于10万元，低于20万元时，低于10万元的部分按10%提成，高于10万元的部分，可可提 成7.5%；20万到40万之间时，高于20万元的部分，可提成5%；40万到60万之间时高于 40万元的部分，可提成3%；60万到100万之间时，高于60万元的部分，可提成1.5%，高于 100万元时，超过100万元的部分按1%提成，从键盘输入当月利润I，求应发放奖金总数？ ============================================================== 【程序3】 题目：一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？============================================================== 【程序4】 题目：输入某年某月某日，判断这一天是这一年的第几天？ ============================================================== 【程序5】 题目：输入三个整数x,y,z，请把这三个数由小到大输出。 ============================================================== 【程序6】 题目：用*号输出字母C的图案。 ============================================================== 【程序7】 题目：输出特殊图案，请在c环境中运行，看一看，Very Beautiful! ============================================================== 【程序8】 题目：输出9*9口诀。 ============================================================== 【程序9】 题目：要求输出国际象棋棋盘。 ============================================================== 【程序10】 题目：打印楼梯，同时在楼梯上方打印两个笑脸。 -------------------------------------------------------------------------------- 【程序11】 题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月 后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？ ============================================================== 2. 数据筛选的主要目的是（ A 、发现数据的错误 C 、找出所需要的某类数据 3. 为了调查某校学生的购书费用支出， B 、对数据进行排序 D 纠正数据中的错误 将全校学生的名单按拼音顺序排列后，每 ） A H 0:二=0.15；二-0.15 B H o ：二二 0.15;二=0.15 C H 0: 一 - 0.15；二：： 0.15 D H 0:二乞 0.15;二 0.15 9. 若甲单位的平均数比乙单位的平均数小, 大，则（ ）。 A 、甲单位的平均数代表性比较大 C 甲单位的平均数代表性比较小 10. 某组的向上累计次数表明（ A 、 大于该组上限的次数是多少 B 、 小于该组下限的次数是多少 但甲单位的标准差比乙单位的标准差 B 、两单位的平均数一样大 D 、无法判断 1.当正态总体方差未知时，在大样本条件下，估计总体均值使用的分布是 （ A ）。 z 分布 B 、t 分布 F 分布 D 、 2 分布 A 、比平均数高出2个标准差 C 等于2倍的平均数 D 5.峰态通常是与标准正态分布相比较而言的。 则峰态系数的值（ ）。 B 比平均数低2个标准差 等于2倍的标准差 如果一组数据服从标准正态分布, A =3 C 、v 3 6. 若相关系数r=0，则表明两个变量之间（ A 、相关程度很低 C 不存在任何关系 7. 如果所有变量值的频数都减少为原来的 1/3， 均数（ ）。 A 、不变 B C 减少为原来的1/3 D > 3， =0 ）。 不存在线性相关关系 存在非线性相关关系 而变量值仍然不变，那么算术平 扩大到原来的3倍 不能预测其变化 8. 某贫困地区所估计营养不良的人高达 15%然而有人认为这个比例实际上还要 高，要检验该说法是否正确，则假设形式为（ ）。 隔50名学生抽取一名进行调查，这种调查方式是（ A 、简单随机抽样 B 、分层抽样 C 、系统抽样 D 、整群抽样 4. 如果一组数据标准分数是（-2 ），表明该数据（ ）。 经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数，则幕函数y二___________________ . 解析：由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数， 所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\. 当ni = 2时，nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数； 当m = -l时，/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + ?)上为常数函数，不合题意，舍去. 故所求幕函数为y = x-3. 总结升华：求慕函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白需函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. 4 4 _ 3 _ 3 (1)3」4万与兀了；(2)(-近门与(-73)^. 4 4_4 解：⑴由于幕函数y = ?亍(x>0)单调递减且3」4 <龙，???3.14万 > 兀了. _3 (2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.???f (-x) =-f (x) —_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此，(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减，且血 3 3 3 3 3 3 ???(血戸 >"门即(一血门v( 总结升华. (1)各题中的两个数都是“同指数”的幕，因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值，从而可根据幕函数的单调性做出判断. (2)题(2)中，我们是利用幕函数的奇偶性，先把底数化为正数的幕解决的问题.当然，若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小. 思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0?8°5与0.9°"的大小，再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小. 解：y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增，且0.8 v 0.9 , .?,0.805 <0.905. 作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖， 易知0.严< 0.9心. 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分，共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A ．y x =43? B.y x =32 C ．y x =-2 ? D.y x =- 14 ２．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ） Ａ. 4 1 ?Ｂ．1-?Ｃ．4 D.4- 3.下列所给出的函数中，是幂函数的是? ?( ） A.3 x y -=?Ｂ．3 -=x y ? C.3 2x y =?Ｄ．13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ） Ａ． B. Ｃ． D ． 5．下列命题中正确的是? ? ( ) Ａ.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(０，0)和(1，1）点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 ６.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? （ ) A.关于原点对称 Ｂ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ） A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ） A ．]6,(--∞ ? B ．),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图１—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ) Ａ．102431<<<<<αααα Ｂ．104321<<<<<αααα Ｃ.134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< １0． 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<，则 )2( 21x x f +，2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?Ｂ. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C ． )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6分,共2４分). １１．函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12．的解析式是?? . 1３．9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 1４．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ． 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) . 1５．（1２分)比较下列各组中两个值大小 （１)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与；（）与-- 1α 3α 4α 2α POJ上的一些水题(可用来练手和增加自信) (poj3299,poj2159,poj2739,poj1083,poj2262,poj1503,poj3006,p oj2255,poj3094) 初期: 一.基本算法: (1)枚举. (poj1753,poj2965) (2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586) (3)递归和分治法. (4)递推. (5)构造法.(poj3295) (6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996) 二.图算法: (1)图的深度优先遍历和广度优先遍历. (2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra) (poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240) (3)最小生成树算法(prim,kruskal) (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026) (4)拓扑排序(poj1094) (5)二分图的最大匹配(匈牙利算法) (poj3041,poj3020) (6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436) 三.数据结构. (1)串(poj1035,poj3080,poj1936) (2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299) (3)简单并查集的应用. (4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash) (poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503) (5)哈夫曼树(poj3253) (6)堆 (7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513) 四.简单搜索 (1)深度优先搜索(poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251) (2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414) (3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129) 五.动态规划 (1)背包问题. (poj1837,poj1276) (2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书page149): 1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533) 2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159) 3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题) 六.数学 (1)组合数学: 环球雅思教育学科教师讲义 讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 1、理解随机抽样的必要性和重要性，了解分布、样本数据标准差的意义和作用，理解用样本估计总体的思想。 2、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 【趣味链接】 U2合唱团在17分钟内得赶到演唱会场，途中必需跨过一座桥，四个人从桥的同一端出发，你得帮助他们到达另一端，天色很暗，而他们只有一只手电筒。一次同时最多可以有两人一起过桥，而过桥的时候必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端。手电筒是不能用丢的方式来传递的。四个人的步行速度各不同，若两人同行则以较慢者的速度为准。BONO需花1分钟过桥,EDGE需花2分钟过桥,ADAM需花5分钟过桥,LARRY需花10分钟过桥,他们要如何在17分钟内过桥呢? 【知识梳理】 一、抽样方法与总体分布的估计 1、随机抽样 （1）总体：在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体，把每个研究对象叫做个体，把总体中个体的总数叫做总体容量．总体与个体之间的关系类似于集合与元素的关系. （2）样本：从总体中随机抽取一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目称为样本的容量，样本和总体之间 的关系类似于子集和集合之间的关系. （3）简单随机抽样：一般地，从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本. 常用的方法有抽签法和随机数表法. （4）系统抽样：当总体中的个体比较多时，将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样，也称作等距抽样. （5）分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样. 2、频率分布直方图与茎叶图 （1）频率分布：样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表、频率分布折线图、茎叶图、频率分布直方图来表示. （2）频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图。 （3）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光华曲线，即总体密度曲线。 （4）制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出. 茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地表示原始数据的信息. 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图. 3、样本的数字特征 （1）众数：出现次数最多的数叫做众数． （2）中位数：如果将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据或中间两个数据的平均是叫做这组数据的中位数. （3）平均数与加权平均数：如果有n 个数，，，，n x x x x ??321那么12n x x x x n ++???+= 叫做这n 个数的平均数. 如果在n 个数中,1x 出现次1f 次, 2x 出现次2f 次,……，k x 出现次2f 次,（这里），n f f f k =+??++21那么 11221 ()k k x x f x f x f n =++???+叫做这n 个数的加权平均数，其中k f f f ??，，21叫做权. （4）标准差与方差：设一组数据123n x x x x ?，，，，的平均数为x ，则 二次函数与幂函数 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用． 基础梳理 1．二次函数的基本知识 (1)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R . (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝ －b 2a ，顶点坐标是? ?? ?? －b 2a ， 4ac －b 2 4a . ①当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在? ????－∞，－b 2a 上递减，在?????? －b 2a ，＋∞上递增，当x ＝－b 2a 时，f (x )min ＝4ac －b 2 4a ； ②当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在? ????－∞，－b 2a 上递增，在?????? －b 2a ，＋∞上递减，当x ＝－b 2a 时，f (x )max ＝4ac －b 2 4a . ③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当Δ＝b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ |a | . (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋h (a ≠0)； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．幂函数 统计案例分析及典型例题 §抽样方法 1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，总体的一个样本是 . 答案 200个零件的长度 2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的 . 答案①②③ 3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为 . 答案3，9，18 4.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n= . 答案80 例1某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2007应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请 用抽签法和随机数表法设计抽样方案. 解抽签法： 第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18) 第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀； 第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号； 基础自测 第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员. 随机数表法： 第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03， (18) 第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如第8行第29列的数7开始，向右读； 第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01—18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09. 第四步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员. 例2 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施. 解 （1）将每个人随机编一个号由0001至1003. （2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新随机编号由0001至1000. （4）分段，取间隔k= 10 0001=100将总体均分为10段，每段含100个工人. （5）从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l. （6）按编号将l ，100+l ，200+l,…，900+l 共10个号码选出，这10个号码所对应的工人组成样本. 例3 （14分）某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人 的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法并写出具体过程. 解 应采取分层抽样的方法. 3分 过程如下： （1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层. 5分 （2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×153=60（人）；300× 15 2 =40（人）； 300×155=100（人）；300×15 2=40（人）； 300× 15 3=60（人）， 10分 因此各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人. 12分 （3）将300人组到一起即得到一个样本. 14分 高三数学专题复习总结-(幂函数)经典 1 / 1 2 高三数学专题复习 （幂函数）经典 1．设? ????? --∈3,2,1,21,1,2α，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设11,0,,1,2,32a ? ?∈-???? ，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．对于幂函数f(x)=45x ，若0＜x 1＜x 2，则12( )2x x f +，12()()2 f x f x +的大小关系是( ) A. 12( )2x x f +＞12()()2f x f x + B. 12()2x x f +＜12()()2 f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2 f x f x + D. 无法确定 4．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 5．下列说法正确的是( ) A ．幂函数的图像恒过(0,0)点 B ．指数函数的图像恒过(1,0)点 C ．对数函数的图像恒在y 轴右侧 D ．幂函数的图像恒在x 轴上方 6．若0>>n m ，则下列结论正确的是（ ） A. 22m n < B. 22 m n < C. n m 22log log > D. 11m n > 7．若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 8．幂函数y f x =()的图象经过点1 42 (,)，则(2)f （ ） A. 14 B. 12 - 9．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=， 则m =（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 10．已知幂函数()m f x x =的图象经过点（4，2），则(16)f =（ ） 统计与概率精典例题解析 在新课标理念指导下，预计2011年考查有关统计与概率的知识点将着重数据的分析和事件发生机会大小的确定以及统计与概率知识的实际应用，对统计中涉及的计算将趋向简单．试题将会继续结合社会热点，创设一些新的情境来涉及有关统计与概率的知识，突出收集、整理、描述信息，建立数学模型（概率模型），进而解决问题．中考中会适当设置一些把统计、概率知识和方程、不等式、函数等知识结合在一起的开放型问题和探索问题，或者出现与其他学科、生活知识等综合的题型，注重考查学生的创新意识与实践能力．本文就精典例题的解析，并以此作为预测，仅供复习参考. 【例1】下列调查方式，合适的是（） Ａ.要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式 Ｂ.要了解中央电视台“星光大道”栏目的收视率，采用普查方式 Ｃ.要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查方式 Ｄ.要了解外地游客对吉林雾凇冰雪节的满意度，采用抽查方式 【分析】要了解一批灯泡的使用寿命必须采用抽查，所以选项A错误；了解电视节目的收视率采用普查虽然能够得出详细结论，但普查范围太大不容易实现，所以采用抽查方式合适，所以选项B错误；“神舟六号”载人飞船是高科技产品，要保证它发射成功任何一个重要零部件都要求完好，所以必须普查，所以选项C错误. 解：D. 【点评】普查是为了一定目的对考察对象进行的全面调查；抽样调查是从总体中抽取部分个体进行的调查.明确调查的问题，弄清普查和抽样调查所适合的对象和各自的含义是解题的关键. 【例2】班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他们在家学习时间如下表所示，那么这六位学生学习时间的众数与中位数分别是统计学经典习题集参考答案
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