黄冈中学高考数学压轴题精编精解精选100题
1．设函数()1,12
1,23
x f x x x ≤≤?=?
-<≤?，
()()[],1,3g x f x ax x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的
最大值与最小值的差为()h a 。 （I ）求函数()h a 的解析式；
（II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。
2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,
()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111
,(1)22
n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:
（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2
n n a a +<
（Ⅲ）若12
,a =则当n ≥2时,!n n b a n >?.
3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：
（1）2
1212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；
（2）(0)()14
f f π
==；
（3）当0,4
x π
∈
［］时，()f x ≤2 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．
个 个
4．设)0(1),(),,(22
222211>>=+b a b
x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，
满足0),(),(
2211=?a
y b x a y b x ，椭圆的离心率,23
=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；
（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 5．已知数列{}n a 中各项为：
12、1122、111222、 (111)
??????14243222n ??????14243 ……
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .
6、设1F 、2F 分别是椭圆22
154
x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ?的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？
若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；
.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-
（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由
（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.
8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
9、已知二次函数),(2)(2
R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ，且关于x 的方程
0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。 （1）求实数b 的取值范围；
（2）若函数)(log )(x f x F b =在区间（-1-c ，1-c ）上具有单调性，求实数C 的取值范
围
10、已知函数,1)2
1(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的x 、)1,1(-∈y 都有
).1()()(xy
y
x f y f x f ++=+
（1）若数列).(),(12,21}{*
211n n
n n n x f N n x x x x x 求满足∈+==+ （2）求)21()1
31()111()51
(12+++++++n f n n f f f Λ的值.
11.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时
满足①0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r , ②||MA uuu r = ||MB uuu r = ||MC u u u u r ③GM u u u u r ∥AB u u u r
（1）求顶点C 的轨迹E 的方程
（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F
0） ，已知PF u u u r ∥FQ uuu r ,
RF u u u r ∥FN u u u r 且PF u u u r ·RF u u u r
= 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.
12．已知α为锐角，且12tan -=
α，
函数)4
2sin(2tan )(2
π
αα+
?+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2
1
11n n a f a a ==
+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；
⑶ 求证：),2(211
11111*21N n n a a a n
∈≥<++++++<Λ
13．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足(
)111,21n n a a a n N *
+==+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111
321+=----Λ，证明：{}n a 是等差数列；
（Ⅲ）证明：()23111123
n n N a a a *++++<∈L
14．已知函数()(),02
32
32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g 在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围；
（II ）当2
1≥
a 时，（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/
≤x g 的充要条件是43≤c ；
（2）若关于x 的实系数方程()0/
=x g 有两个实根βα,，求证：,1≤α
且1≤β的充
要条件是.4
1
2a a c -≤≤-
15．已知数列{a n }前n 项的和为S n ，前n 项的积为n T ，且满足(1)
2n n n T -=。
①求1a ；②求证：数列{a n }是等比数列；③是否存在常数a ，使得
()
()()2
12n n n S a S a S a ++-=--对n N +∈都成立？ 若存在，
求出a ，若不存在，说明理由。
16、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，其图像均在x 轴的上方，对任意的
[0,)m n ∈+∞、，
都有()[()]n f m n f m =g ，且(2)4f =，又当0x ≥时，其导函数'
()0f x >恒成立。
（Ⅰ）求(0)(1)F f -、的值；
（Ⅱ）解关于x
的不等式：2
2f ??
≥????
，其中(1,1).k ∈-
17、一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”．
（I ）判断(
)1f x =
，()2f x x =，()23f x x =中，哪些是“保三角形函数”，哪些不
是，并说明理由；
（II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三
角形函数”；
（III ）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值． （可以利用公式sin sin 2sin cos
22
x y x y
x y +-+=）
18、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a
S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21=
+n
n n
S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1
11
11n n n c a a +=
++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：1
23
n T n >-．
19、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。 （I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式。
（III ）由数列{}n a 中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b n }，求n
n n b b 1
lim +∞→的值。
20、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:2
2=++上的动点，点Q 在NP 上，
点G 在MP 上，且满足0,2=?=. （I ）求点G 的轨迹C 的方程；
（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,+=
是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.
21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达
区域安排三个救援中心（记为A ，B ，C ），B 在A 的正东方向，相距6km,C 在B 的北偏东300
，相距4km,P 为航天员着陆点，某一时刻A 接到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s. （1）求A 、C 两个救援中心的距离； （2）求在A 处发现P 的方向角；
（3）若信号从P 点的正上方Q 点处发出，则A 、B 收到信号的时间差变大还是变小，并
证明你的结论.
22．已知函数||1y x =+
，y ，11()2t y x x
-=+(0)x > 的最小值恰好
是方程32
0x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．
（Ⅰ）求证：2
23a b =+；
（Ⅱ）设1(,)x M ，2(,)x N 是函数3
2
()f x x ax bx c =+++的两个极值点．
①若122
||3
x x -=
，求函数()f x 的解析式； ②求||M N -的取值范围．
C B A
23．如图，已知直线l与抛物线y
x4
2=相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.
（I）若动点M满足0
|
|2=
+
?，求点M的轨迹C；
（II）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F （E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
24．设.2
)
(
,
ln
)
(
),
(
2
)
(-
-
=
=
-
-
=
e
p
qe
e
g
x
x
f
x
f
x
q
px
x
g且
其中（e为自然对数的底数）（I）求p与q的关系；
（II）若)
(x
g在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（III）证明：
①)1
(
)
1(-
>
≤
+x
x
x
f；
②
)1
(4
1
2
ln
3
3
ln
2
2
ln2
2
2
2+
-
-
<
+
+
+
n
n
n
n
n
Λ（n∈N，n≥2）.
25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a
S a a =
--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）
． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设021n
n
S b a =
+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1
11
11n n n c a a +=
+
+-，数列{}n c 的前n 项和为T n ，求证：123
n T n >-．
26、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．如果
函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=
∈-有且仅有两个不动点0、2，且1
(2)2
f -<-． （Ⅰ）试求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =g ，求证：1111
ln n n
n a n a ++-<<-；
（Ⅲ）设1
n n
b a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<．
27、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x - y ） =
f (x )·f (y )＋1
f (y )－f (x )
成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）
奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．
28、已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ,
且满足230PM MQ +=u u u u r u u u u r r
，0RP PM ?=u u u r u u u u r .
（Ⅰ）⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且111, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使AB AN λ=u u u r u u u r ，且163
AB ||=
29、已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
3
，两条准线间的距离为6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C . （Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）求证：CF FB λ=u u u r u u u r
(λ∈R )；
（Ⅲ）求MBC ?面积S 的最大值.
30、已知抛物线2
:ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜率为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0. （I ）求抛物线C 的焦点坐标；
（II ）若点M 满足BM =，求点M 的轨迹方程.
31．设函数321()()3
f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线
的斜率分别为0,a -． （Ⅰ）求证：01b
a
<≤
； （Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；
（Ⅲ）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒有1()0f x a -+<，试求k 的最小值．
32．如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头A 所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界线的概率为01.，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字）
33．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22
22
162x y m m
+=(0)m >的左，右焦点． （1）当P C ∈，且210PF PF =u u u r u u u r
g
，12||||8PF PF ?=时， 求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ．
（2）1F 、2F 是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知2F e 的半径是1，过动点Q 的作2F e 切线QM ，使得12QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．
34．已知数列{}n a 满足
15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．
（1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）设3(3)n n n n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *
∈恒成立，求m 的取值范
35．已知集合{}121212()00D x x x x x x k =>>+=，，，（其中k 为正常数）
． （1）设12u x x =，求u 的取值范围； （2）求证：当1k ≥时不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112
()()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的2k 的范围．
36、已知椭圆C ：22a x ＋22b
y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36
，过右焦点F 且斜率为1的直
线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。
（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON ；
（2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：
＝cos θ＋sin θ成立。
37、已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。 （1）求曲线C 的方程；
（2）过点.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线 ①当m 求直线时,1=λ的方程；
②当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值。
38、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数
x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ．
（1）求数列}{n a 的通项公式． （2）若n k n
a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
（3）设},2{},,{*
*
∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列}{n c 的任一项
R Q c n ?∈，其中1c 是R Q ?中的最小数，11511010< 式. 39、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1 23,22 a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中* 2,n n N ≥∈. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)(理科)计算lim n n n S n a →∞-的值. ( 文科) 求 n S . 40、)函数)(x f 对任意x ∈R 都有f(x)＋f(1－x)＝1 2 . （1）求))(1 ( )1()21 (N n n n f n f f ∈-+和的值； （2）数列}{),1()1 ()2()1()0(}{n n n a f n n f n f n f f a a 求数列满足+-++++=Λ的通 项公式。 （3）令n S b b b b T a b n n n n n 16 32,,1 442 232221- =++++=-=Λ试比较T n 与S n 的大小。 41．已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），2 422 1+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2 n a b n n +=（2n ≥）。 （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。 42．已知抛物线C ：2 2(0)y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1。 （1）求抛物线C 的方程； （2）若过焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，M 在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线 MN 的方程； （3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新 问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题． 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥 的体积”．求出体积163 后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积 为163 ，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163 ，求所有侧面面积之和的最小值”． 现有正确命题：过点(,0)2 p A - 的直线交抛物线C ：22(0)y px p =>于P 、Q 两点，设点P 关于x 轴的对称点为R ，则直线RQ 必过焦点F 。 试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。 43．已知函数f(x)= 52168x x +-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=． (I)写出2a ，3a 的值; (Ⅱ)试比较n a 与 5 4 的大小，并说明理由； (Ⅲ)设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1 n i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n －1)． 44．已知函数f(x)=x 3 －3ax(a ∈R)． (I)当a=l 时，求f(x)的极小值； (Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m ∈R 都不是曲线y=f(x)的切线，求a 的取值 范围； (Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x ∈[－l ，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中),(),,(n n n n b n B a n A )0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）在方向向量为（1，6） 的 线上.,11a b a a -== （1）试用a 与n 表示)2(≥n a n ； （2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围。 46．已知2||||),0,2(),0,2(2121=--PF PF P F F 满足点，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程； （2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点. （i ）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒 成立，求实数m 的值. （ii ）过P 、Q 作直线21 = x 的垂线PA 、OB ，垂足分别为A 、B ，记| |||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围. 47．设x 1、)0()()(223212>-+=≠a x a bx ax x f x x x 是函数 的两个极值点. （1）若2,121=-=x x ，求函数f (x )的解析式； （2）若b x x 求,22||||21=+的最大值； （3）若)()()(,,1221x x a x f x g a x x x x --'==<<函数且，求证：.)23(12 1 |)(|2+≤a a x g 48．已知}{),10(log )(n a a a x x f <<=，若数列{a n } *)(42),(,),(),(),(,2321N n n a f a f a f a f n ∈+K K 使得成等差数列. （1）求{a n }的通项a n ; （2）设),(n n n a f a b ?= 若{b n }的前n 项和是S n ，且 .312:,1122 4 224<-+<-+a na S a a n n 求证 49．点P 在以21,F F 为焦点的双曲线1:22 22=-b y a x E )0,0(>>b a 上，已知21PF PF ⊥， ||2||21PF PF =，O 为坐标原点． （Ⅰ）求双曲线的离心率e ； （Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线渐近线相交于21,P P 两点，且4 27 21- =?OP OP ，221=+PP ，求双曲线E 的方程； （Ⅲ）若过点)0,(m Q （m 为非零常数）的直线l 与（2）中双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且QN MQ λ=（λ为非零常数），问在x 轴上是否存在定点G ，使 )(21F F λ-⊥？若存在，求出所有这种定点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 50.已知函数1163)(2 3 --+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线9:+=kx y m ，又0)1(=-'f ． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是)(x g y =的切线；如果 存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由． （Ⅲ）如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围． 51．已知二次函数),,(,)(2 R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意实数x ，都有x x f ≥)(， 且当∈x （1，3）时，有2)2(8 1 )(+≤x x f 成立。 （1）证明：2)2(=f 。 （2）若)(,0)2(x f f =-的表达式。 （3）设x m x f x g 2 )()(- = ),0[+∞∈x ，若)(x g 图上的点都位于直线41 =y 的上方， 求实数m 的取值范围。 52．（1）数列{a n }和{b n }满足)(1 21n n b b b n a +++= Λ （n=1，2，3…） ，求证{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。（8分） （2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条 件，需说明理由。[提示：设数列{b n }为)3,2,1(2Λ=-=+n a a b n n n 53．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为 2 1 ，乙赢的概率为31，且每局比赛输赢互 不受影响. 若甲第n 局赢、平、输的得分分别记为2=n a 、1=n a 、 0=n a ,51,*≤≤∈n N n 令n n a a a S +++=Λ21 . (Ⅰ)求53=S 的概率； （Ⅱ）若随机变量ξ满足7=ξS （ξ表示局数），求ξ的分布列和数学期望. 54．如图，已知直线l 与抛物线y x 42 =相切于点P(2, 1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0) . （I ）若动点M 满足02=+ ?AM BM AB ，求点M 的轨迹C ； （II ）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围. 55,,,已知A 、B 是椭圆 )0(12 22 2>>=+b a b y a x 的一条弦，M (2，1)是AB 中点，以M 为焦 点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB 交于N (4，—1). (1)设双曲线的离心率e ，试将e 表示为椭圆的半长轴长的函数. 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 2017高考压轴题精选 黄冈中学高考数学压轴100题 目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12．数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13．椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 （1）2a b c π++...， ....................................................................................................................................................... 110 （2）2a b c π++< (110)[数学]数学高考压轴题大全
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